一元一次方程的概念
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初中数学什么是一元一次方程的最简形式一元一次方程是数学中的基础概念,也是初中数学学习中的重要内容。
其中,最简形式是一元一次方程的一种特殊形式,具有简洁明了的特点。
本文将详细介绍一元一次方程的最简形式,包括定义、特点、求解方法等内容。
一、一元一次方程的基本概念回顾一元一次方程是指只含有一个变量,并且变量的最高次数为1的方程。
它的一般形式为ax + b = 0,其中a和b是已知数,x是未知数。
例如,方程2x + 3 = 7就是一个一元一次方程,其中a = 2,b = 3。
解一元一次方程的基本思路是通过变量消去和运算,使方程变为x = 常数的形式,从而求得方程的解。
二、一元一次方程的最简形式定义一元一次方程的最简形式是指系数a为1的一元一次方程。
它的一般形式为x + b = 0,其中b是已知数,x是未知数。
例如,方程x + 5 = 0就是一个一元一次方程的最简形式。
三、一元一次方程的最简形式的特点一元一次方程的最简形式具有以下特点:3.1 系数a为1一元一次方程的最简形式中,系数a恒为1。
这样,方程中的变量x的系数就只有1,使方程的形式更加简洁明了。
3.2 常数项b的纯数字形式一元一次方程的最简形式中,常数项b通常为一个具体的数字,而不包含其他变量。
这样,方程中仅包含了变量x和一个数字常数。
3.3 方程形式简单一元一次方程的最简形式相对于一般的一元一次方程,形式更加简单。
由于系数a为1,常数项b为一个具体的数字,所以方程的形式更加明了,更容易进行运算和求解。
四、一元一次方程的最简形式的求解方法一元一次方程的最简形式的求解方法与一般的一元一次方程相同,主要包括以下步骤:4.1 将方程写成最简形式将给定的一元一次方程转化为最简形式,即将系数a化为1。
例如,对于方程2x + 3 = 7,我们可以将方程除以系数2,得到x + 1.5 = 3.5。
这样,我们成功将方程转化为最简形式。
4.2 消去常数项消去方程中的常数项,即将方程两边减去常数项b。
一、方程方程:含有未知数的等式叫方程,如,它有两层含义:①方程必须是等式;②等式中必须含有未知数 二、方程的解方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值;只含有一个未知数的方程的解,也叫方程的根。
三、一元一次方程一元一次方程的概念:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的方程叫做一元一次方程,这里的“元”是指未知数,“次”是指含未知数的项的最高次数.一元一次方程的形式:最简形式:方程(,,为已知数)叫一元一次方程的最简形式.标准形式:方程(其中,,是已知数)叫一元一次方程的标准形式. 注意:⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式,所以判断一个方程是不是一元一次方程,可以通过变形(必须为恒等变换)为最简形式或标准形式来验证.如方程是一元一次方程.如果不变形,直接判断就出会现错误.⑵方程与方程是不同的,方程的解需要分类讨论完成 四、一元一次方程的解法(一)等式的性质等式的性质:等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.若,则;等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式,所得结果仍是等式.若,则,注意:⑴在对等式变形过程中,等式两边必须同时进行.即:同时加或同时减,同时乘以或同时除以,不能漏掉某一边⑵等式变形过程中,两边同加或同减,同乘或同除以的数或整式必须相同.⑶在等式变形中,以下两个性质也经常用到:对称性,即:如果,那么.传递性,即:如果,,那么.又称为等量代换易错点:等号左右互换的时候忘记变符号(二)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤:21x +=ax b =0a ≠a b 0ax b +=0a ≠a b 22216x x x ++=-ax b =()0ax b a =≠ax b =a b =a m b m ±=±a b =am bm =a b m m=(0)m ≠a b =b a =a b =b c =a c =一元一次方程的概念及解法知识讲解温馨提示:不要漏乘不含分母的项,分子是个整体,含有多项式时应加上括号. 2.去括号:一般地,先去小括号,再去中括号,最后去大括号.温馨提示:不要漏乘括号里的项,不要弄错符号.3.移项:把含有未知数的项都移到方程的一边,不含未知数的项移到方程的另一边. 温馨提示:⑴移项要变号;⑵不要丢项.4.合并同类项:把方程化成的形式.温馨提示:字母和其指数不变.5.系数化为1:在方程的两边都除以未知数的系数(),得到方程的解. 温馨提示:不要把分子、分母搞颠倒.【例1】 已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=m ,则m 的值是【例2】 已知关于x 的方程(a +1)x +(4a -1)=0的解为-2,则a 的值等于().A.-2B.0C.32D.23 【例3】 下列各式中,变形正确的是().A .若,则B .若,则C .若,则D .若,则【例4】 根据等式性质5=3x -2可变形为().A.-3x =2-5B.-3x =-2+5C.5-2=3xD.5+2=3x 【变式练习】下列变形中,不正确的是()A .若,则B .若则C .若,则D .若,则 【例5】 下列各式中:⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻.哪些是一元一次方程?【例6】 关于x 的方程(k +2)x 2+4kx -5k =0是一元一次方程,则k =________.【例7】 已知等式0352=++m x 是关于x 的一元一次方程,则m =____________. ax b =a 0a ≠b x a =a b =a c b c +=+(1)2a x -=21x a =-2a b =4a b =1a b =+221a b =+25x x =5x =77,x -=1x =-10.2x x -=1012x x -=x y a a =ax ay =3x +2534+=+44x x +=+12x =213x x ++=44x x -=-23x =2(2)3x x x x +=++同步练习【例8】 若是一元一次方程,那么【变式练习】若关于的方程是一元一次方程,则【变式练习】若关于的方程是一元一次方程,则,方程的解是【变式练习】已知关于的方程是一元一次方程,则、需要满足的条件为【例9】 下列等式中变形正确的是()A.若,则 B. 若,则 C.若,则 D. 若,则 【例10】将3(x -1)-2(x -3)=5(1-x )去括号得()A.3x -1-2x -3=5-xB.3x -1-2x +3=5-xC.3x -3-2x -6=5-5xD.3x -3-2x +6=5-5x 【例11】在解方程21-x −1332=+x 时,去分母正确的是() A.()()132213=+--x x B.()()632213=+--x xC.13413=+--x xD. 63413=+--x x【例12】方程2-342-x =-67-x 去分母得() A.2-2 (2x -4)= -(x -7) B .12-2 (2x -4)= -x -7C.12-2 (2x -4)= -(x -7) D .12-(2x -4)= -(x -7)【变式练习】解方程:⑴⑵【例13】解方程:(1)5y -9=7y -13;(2)3(x -1)-2(2x +1)=12 ;131m x -=m =x 1(2)50k k x k --+=k =x 2223x x ax a x a -=-+a =x (21)50n m x --=m n 31422x x -+=3144x x -=-31422x x -+=3182x x -+=31422x x -+=3180x -+=31422x x -+=3184x x -+=6(1)5(2)2(23)x x x ---=+12225y y y -+-=-(3)757875x x -=-;(4).逐层去括号 含有多重括号时,去括号的顺序可以从内向外,也可以从外向内。
一元一次方程的概念及解法【知识点】:1、一元一次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,这样的整式方程叫一元一次方程。
(如果方程的两边都是整式,我们就把这样的方程叫整式方程。
)2、方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
3、解方程:求方程解的过程叫做解方程。
4、等式的基本性质:(1)、等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。
(2)、等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式。
5、解一元一次方程的基本步骤:(1):去分母;(2):去括号;(3):移项;(4):合并同类项;(5):系数化成1。
【例题解析】1、判断下列各式是不是一元一次方程,是的打“√”,不是的打“x”。
(1) x+3y=4 ( ) (2) x2-2x=6 ( )(3) -6x=0 ( ) (4) 2m +n =0 ( )1+8=5y(5) 2x-y=8 ( ) (6)y ( )2、下列变形中,正确的是()A 、若ac=bc ,那么a=b 。
B 、若cb c a =,那么a=b C 、a =b ,那么a=b 。
D 、若a 2=b 2那么a=b3、给出下面四个方程及其变形:①48020x x +=+=变形为;②x x x +=-=-75342变形为;③253215x x ==变形为;④422x x =-=-变形为; 其中变形正确的是( )A .①③④B .①②④C .②③④D .①②③4、解方程:(1)x +2x +4x=140 (2)3x +20=4x-25 解: x+2x+4x=140[来源:学科网] ↓合并 7x=140 ↓系数化为1 x=20练习:解方程:(1)12y-3-5y=14; (2)2x -3x =5; (3)0.6x-13x-3=0.5、解方程:(1)42112+=+x x ; (2)2(x -2)-(4x -1)=3(1-x ) 6、解方程:452168x x +=+ 解 :去分母,得 依据去括号,得 依据 移项,得 依据 合并同类项,得 依据 系数化为1,得6x =- 依据 6、数学小诊所:小马虎的解法对吗?如果不对,应怎么改正?解方程312-x =1-614-x解:去分母 2(2x-1)=1-4x-1 去括号 4x-1=1-4x-1 移项 4x+4x=1-1+1 合并 8x=1 系数化为1 x=8练习:解方程:(1) 2x -13 =x+22 +1 (2)3142125x x -+=- (3) 4-3(2-x)=5x7、已知关于x 的方程132233x m m x x x -+=+=-与 的解互为倒数,求m 的值.归纳:解一元一次方程的步骤:步骤方法注意依据去分母在方程两边都乘以________________不要漏乘不含分母的项,分子是一个整体,去分母后应加括号去括号先去_______,再去______,最后______。
一元一次方程的概念与解法一元一次方程是数学中最基础的一种方程形式,也是初中阶段学习数学的重要内容之一。
它是形如ax+b=0的方程,其中a、b为已知实数,且a≠0。
本文将介绍一元一次方程的概念和解法。
一、概念一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。
其中,变量通常用字母表示,如x、y等,系数则表示变量前面的常数,如a、b等。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0,在方程中,a称为未知数的系数,b称为常数项。
二、解法解一元一次方程的常用方法有三种:图解法、等式性质法和代入法。
1. 图解法图解法是通过绘制一元一次方程的图像来求解方程的解。
为了方便绘图,我们可以将方程变形为y=ax+b的形式,其中x是自变量,y是因变量。
通过观察图像与x轴的交点,我们可以直观地得到方程的解。
2. 等式性质法等式性质法是利用等式两边平等的性质来求解一元一次方程。
在解题过程中,我们可以通过变换等式的形式,将方程中的未知数移到一边,将常数移到另一边,最终得到未知数的值。
3. 代入法代入法是先令方程中的未知数等于一个已知值,然后求解出已知值对应的未知数的值。
首先,我们可以通过变形将方程转化为x的显式表达式,然后代入一个已知的数值,求解出未知数的值。
三、示例下面通过解一些具体的一元一次方程来进一步说明解法。
例1:解方程2x+5=0等式性质法:2x=-5 (移项)x=-5/2 (除以系数2)例2:解方程3x-1=2x+4等式性质法:3x-2x=4+1 (移项)x=5 (合并同类项)例3:解方程4(x-2)=2x+3等式性质法:4x-8=2x+3 (分配律)4x-2x=3+8 (移项)2x=11x=11/2 (除以系数2)结语一元一次方程是数学学习的基础,掌握解方程的方法对于数学的学习和日常生活都有着重要的意义。
通过图解法、等式性质法和代入法,我们可以解决各种一元一次方程的问题。
在实际应用中,我们可以灵活运用这些方法,解决各种与一元一次方程相关的数学问题。
第一节 一元一次方程的基本概念1.等式的概念:像m+n=n+m ,x+ 2x= 3x ,3×3+1=5×2,3x+1=5y 这样的式子,都是等式,我们可以用a=b 表示一般的等式. 注:用“=”连接的式子叫做等式,但是等式不一定表示相等关系.2.等式的类型(1)恒等式:无论用什么数值代替等式中的字母,等式总成立.例如.3x= 3x 这样,无论字母的取值如何变化,或2=2这样,等式两边恒相等;(2)条件等式:只能用某些数值代替等式中的字母,等式才能成立.例如,2x =2这样,只有当x=l 时等式两边才相等;(3)矛盾等式:无论用什么数值代替等式中的字母,等式都不能成立,例如,x-2= x+2这样,无论字母取什么值,或者2=3这样,等式两边恒不相等.3.等式的性质(1)等式的性质1:等式两边同时加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.如果,b a =那么;c b c a ±=±(2)等式的性质2:等式两边同时乘以同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.如果b a =那么.bc ac =如果),0(=/=c b a 那么⋅=cb c a (3)对称性:等式左、右两边互换,所得结果仍是等式,即:如果a=b .那么b=a ;(4)传递性:如果a=b ,b=c ,那么a=c .4.方程的定义含有未知数的等式叫做方程,注:方程是等式,但是等式不一定是方程.5.方程中的已知数和未知数已知数指具体的数值,未知数指要求的数,通常未知数用z ,y ,z 来表示,例如,方程x+3= y-1,其中3和1指的是已知数,x 和y 指的是未知数.6.方程的解和解方程使方程左、右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.求方程的解的过程,叫做解方程.例如,x=2是方程3-x=1的解,而求出x=2的过程叫做解方程.注:①方程的解一定要写成x=2这样的形式,2=x 不是方程的解的形式;②方程可能无解,可能只有一个解,也可能有多个解.7.方程解的检验要验证某个数是否为一个方程的解,只需将该数代入这个方程中.若此时方程左右两边数值相等,则这个数为方程的解,否则不是方程的解.8.一元一次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程,注:“元”指的是未知数,“次”指的是未知数项的最高次数.9.最简形式方程b a a b ax ,,0=/=(均为已知数)的形式叫做一元一次方程的最简形式.10.标准形式方程b a a b ax ,,00=/=+(均为已知数)的形式叫做一元一次方程的标准形式注:①一元一次方程均可转化成最简形式或标准形式,在判断一个方程是否为一元一次方程时需要先根据方程的原始形式判断该方程是否为整式方程,如果是整式方程则进行整理化简.若能进一步整理为最简形式或标准形式则该方程为一元一次方程;②一元一次方程一般情况下有唯一解.绝对值符号里有字母的方程不是一元一次方程.(1)在对等式变形过程中,等式两边必须同时进行 即:同时加或者减,同时乘以或同时除以,不能漏掉某一边;(2)若题目条件中给出分式形式,则默认为分母不为零.如“若b c b a = 则c a =是正确的,这里条件中已经出现分式形式,因此默认;0=/b(3)若题目结论中出现分式形式,则需要说明分母不为零,如“若,c a =,b c b a =不正确,而“若,c a =则,),0(=/=b bc b a 正确; (4)注意比较“若,cb ab =则,c a =和“若),1()1(22+=+b c b a 则,c a =前者为错误的说法,后者为正确的说法.这两个判断题从条件到结论的变化,均需同时除以一个数,这里需要我们注意,同时除以的这个数不能为0.前者b 可能为零,但是后者+2b .01=/2.判定一元一次方程的方法(1)看一看:先判定方程是否为整式方程,即等号两边是否为整式,如果是整式则进行化简,若不是整式,则该方程一定不是一元一次方程;(2)消一消:若方程是整式方程,则对方程进行整理化简,如果能化成一元一次方程的最简形式或者是标准形式则为一元一次方程,否则不是一元一次方程.3.已知方程的解,求参数值逢解必代入 .如果题目中告诉方程的解,解题时一般情况下均需要把方程的解代入原方程,4.求含参一元一次方程中的参数值此时考查了一元一次方程的“110定律”.何为“110定律”?“1”指一元即方程中只含有一个未知数,另一个“1”指一次即未知数项的次数为1,“0”指未知数的系数不为0.求解参数值时,只需按照“110”定律,列方程求参数值即可,例1.(广东中考)已知方程,832=+-y x 则整式y x 2-的值为( )5.A 10.B 12.C 15.D检测1.已知,2,3+=-=k y k x 则y 与x 的关系是( )5.=+y x A 1.=+y x B 1.=-y x C 1.-=x y D例2.下列方程:;33x x =-①;15.0=x ②;34=-x x ③;433x x -=④;13-=+x y ⑤;324222-+=-x x x x ⑥ ;1271x x x x +=-+⑦.37||=-x ⑧其中是一元一次方程的是检测2.在方程,23=-y x ,021=-+x x ,2121=x 0322=--x x 中一元一次方程的个数为( )A.1个 B .2个 C .3个 D .4个例3.(福建泉港期末)已知x=2是关于x 的方程03=+a x 的一个解,则a 的值是( )6.-A 3.-B 4.-C 5.-D检测3.(福建石狮市期末)下列方程中解为x=0的是( )11.-=+x A x x B 32.= 22.=x C x x D 5421.=++例4.已知方程m m x m x m 24)35()43(2-=----是关于x 的一元一次方程.(1)求m 和x 的值;(2)若n 满足关系式,1|2|=+m n 求n 的值,检测4.(四川自贡期末)若6)2(|32|=--m x m 是一元一次方程,则m 等于( )A .1B .2 C.1或2 D .任何数第一节 一元一次方程的基本概念(建议用时: 25分钟)实战演练1.(山东沂源一模)下列各项中叙述正确的是( )A .若,nx mx =则n m =B .若,0||=-x x 则0=xC .若,nx mx =则121220152015+=+x n x m D .若,n m =则nx mx -=-24242.下列叙述中,正确的是( )A.方程是含有未知数的式子B.方程是等式C.只有含有字母x ,y 的等式才叫方程D.带等号和字母的式子叫方程3.在以下的式子中:;383=+x ;12x -;3=-y x ;121+=+x x ;1032=x ,752=+其中是方程的个数为( ) 3.A 4.B 5.C 6.D4.下列方程的解是x=2的方程是( ) 084.=+x A 03231.=+-x B 232.=x C 531.=-x D 5.方程024=-x 的解是( )2.=x A 2.-=x B 21.=x C 21.-=x D 6.已知1=x 是方程12-=+a x 的解,那么a 的值是( )1.-A 0.B 1.C2.D7.在下列方程中;122=+x x ①;931=-x x ②;021=x ③;322313=-④,3132+=-y y ⑤是一元一次方程的有( )个.1.A2.B3.C4.D8.(山东威海期末)若关于x 的方程032=+--m mx m 是一元一次方程,则这个方程的解是( )0.=x A 3.=x B 3.-=x C 2.=x D9.(江西校级期末)在等式6253+=-a a 的两边同时减去一个多项式可以得到等式,1=a 则这个多项式是10.将方程634=+y x 变形成用y 的代数式表示x ,则x=11.(河南扶沟期末)阅读下列解题过程,指出它错在了哪一步?为什么?.1)1(31)1(2--=--x x 两边同时加上1,得),1(3)1(2-=-x x 第一步,两边同时除以),1(-x 得2=3,第二步.12.(重庆忠县期末)已知,43143n m =-试用等式的性质比较m 与n 的大小. 13.(重庆忠县期末)已知方程)()32()(3y x m m y y m x -=--+-是关于x 的一元一次方程,求m 的值,并求此时方程的解.14.(重庆忠县期末)已知08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程,求代数式xm 的值. 15.已知08)2()4(22=----x n x n 是关于x 的一元一次方程,(1)试求x 值;(2)求关于y 方程x y n =+||的解.拓展创新16.已知201611)2016(2015||-=++-a x a a 是关于x 的一元一次方程,求a 的值及方程的解.拓展1.已知2016)2016(2015||-=++-a y x a a 为一元一次方程,其中a 为参数,求a 的值及方程的解,拓展2.已知b a y b x a b a +=+++--2015||2015||)2016()2016(为一元一次方程,其中a ,b 为参数,求a+b 的值.极限挑战17.若p ,q 都是质数,以x 为未知数的方程975=+q Px 的根为1,求q P -2的值.课堂答案培优答案。
2023-2024学年苏科版数学七年级上册章节知识讲练知识点01:一元一次方程的概念1.方程:叫做方程.2.一元一次方程:只含有(元),未知数的次数都是,这样的方程叫做一元一次方程.知识要点:判断是否为一元一次方程,应看是否满足:①只含有一个未知数的次数为;②未知数所在的式子是,即分母中不含未知数.3.方程的解:叫做这个方程的解.4.解方程:叫做解方程.知识点02:等式的性质与去括号法则1.等式的性质:等式的性质1:,结果仍相等.等式的性质2:,结果仍相等.2.合并法则:合并时,把系数 保持不变. 3.去括号法则:(1)括号外的因数是 ,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同. (2)括号外的因数是 ,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反.知识点03:一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母:在方程两边同乘以各分母的(2)去括号:依据 ,先去小括号,再去中括号,最后去大括号. (3)移项:把含有未知数的项移到方程一边, 移到方程另一边.(4)合并:逆用 ,分别合并含有未知数的项及常数项,把方程化为 (a ≠0)的形式.(5)系数化为1: 得到方程的解bx a=(a ≠0). (6)检验:把方程的解代入原方程,若 相等,则是方程的解;若方程左右两边的值不相等,则不是方程的解.知识点04:用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题:路程= ×时间2.和差倍分问题:增长量=原有量×3.利润问题:商品利润=商品售价-4.工程问题:工作量=工作效率× ,各部分劳动量之和=5.银行存贷款问题:本息和=本金+利息,利息=本金× ×6.数字问题:多位数的表示方法:例如:32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2022秋•惠山区校级期末)关于x 的方程kx =2x +6与2x ﹣1=5的解相同,则k 的值为( ) A .4B .3C .5D .62.(2分)(2022秋•高新区期末)已知等式3a =2b +5,则下列等式中不一定成立的是( ) A .3a ﹣5=2bB .3a +1=2b +6C .D .3ac =2bc +53.(2分)(2022秋•玄武区校级期末)小明到某文具店购买铅笔和中性笔.设购买铅笔的金额为x元,根据表格,下列方程错误的是()商品单价(元/支)购买数量/支购买金额/元铅笔x中性笔总计/ 13 34 A.+=13 B.x+3.5(13﹣)=34C.1.2(13﹣)=x D.3.5(13﹣)=34﹣x4.(2分)(2022秋•江都区期末)某学校组织师生去中小学素质教育实践基地研学.已知此次共有n名师生乘坐m辆客车前往目的地,若每辆客车坐40人,则还有15人没有上车;若每辆客车坐45人,则刚好空出一辆客车.以下四个方程:①40m+15=45(m﹣1);②40m﹣15=45(m﹣1);③=﹣1;④+1.其中正确的是()A.①④B.①③C.②③D.②④5.(2分)(2022秋•连云港期末)明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银,不知人数不知银,七两分之少四两,五两分之多半斤.”其大意为:有一群人分银子,如果每人分七两,则还差四两,如果每人分五两,则还多半斤(注:明代1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语).设共有x 两银子,则可列方程为()A.7x﹣4=5x+8 B.C.7x+4=5x﹣8 D.6.(2分)(2022秋•惠山区校级期末)元旦期间,甲、乙两家水果店对刚到货的橙子搞促销,甲水果店连续两次降价,第一次降价10%,第二次降价20%,乙水果店一次性降价30%,小丽想要购买这种橙子,她应选择()A.甲水果店B.乙水果店C.甲、乙水果店的价格相同D.不确定7.(2分)(2022秋•南通期末)“曹冲称象”是流传很广的故事,如图.按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置,如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的重量是x斤,则正确的是()A.依题意3×120=x﹣120B.依题意20x+3×120=(20+1)x+120C.该象的重量是5040斤D.每块条形石的重量是260斤8.(2分)(2022秋•泗洪县期末)《算学启蒙》中有一道题,原文是:良马日行二百四十里,驽马日行一百二十里.驽马先行一十二日,问良马几何追及之?译文为:跑得快的马每天走240里,跑的慢的马每天走120里.慢马先走12天,快马几天可以追上慢马?设快马x天可以追上慢马,可列方程()A.240(x+12)=120x B.240(x﹣12)=120xC.240x=120(x+12)D.240x=120(x﹣12)9.(2分)(2022秋•工业园区校级月考)如图,已知A,B两点在数轴上,点A表示的数为﹣10,OB=2OA,点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动,点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动(点M、点N同时出发),经过几秒,点M、点N分别到原点O的距离相等()A.5秒B.5秒或者4秒C.5秒或者秒D.秒10.(2分)(2022秋•江都区月考)观察月历,用形如的框架框住月历表中的五个数,对于框架框住的五个数字之和,小明的计算结果有45,55,60,75,小华说有结果是错误的.通过计算,可知小明的计算结果中错误的是()A.45 B.55 C.60 D.75二.填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)11.(2分)(2022秋•亭湖区期末)若(2﹣a)x|a﹣1|﹣5=0是关于x的一元一次方程,则a=.12.(2分)(2022秋•泗阳县期末)如图,在数轴上,A、B两点同时从原点O出发,分别以每秒2个单位和4个单位的速度向右运动,运动的时间为t,若线段AB上(含线段端点)恰好有4个整数点,则时间t 的最小值是.13.(2分)(2022秋•海门市期末)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,余三.问人数羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,多余3钱.问人数、羊价各是多少?根据题意,可求得合伙买羊的是人.14.(2分)(2022秋•鼓楼区校级期末)防范新冠病毒感染要养成戴口罩、勤洗手、多通风、常消毒等卫生习惯,其中对物体表面进行消毒可以采用浓度为75%的酒精.现有一瓶浓度为95%的酒精500mL,需将其加入适量的水,使浓度稀释为75%.设加水量为xmL,可列方程为.15.(2分)(2022秋•江都区期末)一项工程甲单独做要20小时,乙单独做要12小时,现先由甲单独做5小时,然后乙加入进来合作.完成整个工程一共需要小时.16.(2分)(2022秋•江阴市期末)某种商品降价10%后的价格恰好比原价的一半多40元,该商品的原价是元.17.(2分)(2022秋•姑苏区校级期末)如图,在数轴上,O为原点,点A对应的数为2,点B对应的数为﹣12.在数轴上有两动点C和D,它们同时向右运动,点C从点A出发,速度为每秒4个单位长度,点D从点B出发,速度为每秒6个单位长度,设运动时间为t秒,当点O,C,D中,其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时,t的值为.18.(2分)(2022秋•大丰区期末)京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施,考虑到不同路段的特殊情况,将根据不同的运行区间设置不同的时速.其中,北京北站到清河段全长11千米,分为地下清华园隧道和地上区间两部分,运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时,按此运行速度,地下隧道运行时间比地上大约多3分钟,求清华园隧道全长为多少千米.设清华园隧道全长为x千米,依题意,可列方程为.19.(2分)(2022秋•句容市校级期末)如图,正方形的边长为6,已知正方形覆盖了三角形面积的,而三角形覆盖了正方形面积的一半,那么三角形的面积是.20.(2分)(2021秋•射阳县校级期末)如图,在长方形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,点E是AB上的一点,且AE=2BE.点P从点C出发,以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动,最终到达点E.设点P运动时间为ts,若三角形PCE的面积为18cm2,则t的值为.三.解答题(共8小题,满分60分)21.(6分)(2022秋•仪征市期末)解方程:(1)5(x﹣1)+3=3x﹣3;(2)+=1.、22.(6分)(2022秋•仪征市期末)某小组计划做一批“中国结”如果每人做5个,那么比计划多了9个;如果每人做4个,那么比计划少了15个.该小组共有多少人?计划做多少个“中国结”?小明和小红在认真思考后,根据题意分别列出了以下两个不同的方程:①5x﹣9=4x+15②=(1)①中的x表示;②中的y表示.(2)请选择其中一种方法,写出完整的解答过程.23.(8分)(2022秋•丹徒区期末)某商场用2730元购进甲、乙两种商品共60件,这两种商品的进价、标价如表所示:价格\类型甲乙进价(元/件)35 65标价(元/件)50 100(1)这两种商品各购进多少件?(2)若甲种商品按标价的9折出售,乙种商品按标价的8.5折出售,且在运输过程中有2件甲种、1件乙种商品不慎损坏,不能进行销售,请问这批商品全部售出后,该商场共获利多少元?24.(8分)(2022秋•惠山区校级期末)运动场环形跑道周长为300米,爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步,速度为3米/秒,与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动,速度为a米/秒.(1)若a=1,求两人第一次相遇所用的时间;(2)若两人第一次相遇所用的时间为80秒,试求a的值.25.(8分)(2022秋•丹徒区期末)已知关于m的方程的解也是关于x的方程2(x﹣8)﹣n=6的解.(1)求m、n的值;(2)如图,数轴上,O为原点,点M对应的数为m,点N对应的数为n.①若点P为线段ON的中点,点Q为线段OM的中点,求线段PQ的长度;②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动,点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动,经过秒,P、Q两点相距3个单位.26.(8分)(2022秋•玄武区校级期末)某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费,收费标准如表:户月用水量(m3)收费标准(元/m3)不超过18m3超过18m3,但不超过25m3的部分 5超过25m3的部分7(1)小明家3月份用水量为20m3,应缴纳水费元;(2)设某户某月的用水量为xm3,应缴纳水费多少元?(用含x的代数式表示)(3)小红家6月份和7月份的用水量共50m3,且7月份用水量比6月份多,这两个月共缴纳水费217元,则小红家6月份和7月份的用水量分别为m3,m3.27.(8分)(2022秋•太仓市期末)如图1,将一副三角板摆放在直线MN上,在三角板OAB和三角板OCD中,∠OAB=∠OCD=90°,∠AOB=45°,∠COD=30°.(1)保持三角板OCD不动,当三角板OAB旋转至图2位置时,∠BOD与∠AON有怎样的数量关系?请说明理由.(2)如图3,若三角板OAB开始绕点O以每秒6度的速度逆时针旋转的同时、三角板OCD也绕点O以每秒3度的速度逆时针旋转,当OB旋转至射线OM上时,两块三角板同时停止转动.设旋转时间为t秒,则在此过程中,是否存在t,使得∠BOD+∠AON=60°?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.28.(8分)(2022秋•广陵区校级期末)数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形进行完美地结合.研究数轴我们发现了很多重要的规律,例如;数轴上点M、点N表示的数分别为m、n,则M、N 两点之间的距离MN=|m﹣n|,线段MN的中点表示的数为.如图,数轴上点M表示的数为﹣1,点N 表示的数为3.(1)直接写出:线段MN的长度是,线段MN的中点表示的数为;(2)x表示数轴上任意一个有理数,利用数轴探究下列问题,直接回答:|x+1|+|x﹣3|有最小值是,|x+1|﹣|x﹣3|有最大值是;(3)点S在数轴上对应的数为x,且x是方程2x﹣1=x+4的解,动点P在数轴上运动,若存在某个位置,使得PM+PN=PS,则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”,请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”?若存在,则求出所有“麓山幸运点”对应的数;若不存在,则说明理由.。
一元一次方程的概念与解法【知识要点】1.一元一次方程的有关概念(1)一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程.(2)一元一次方程的标准形式是:2.等式的基本性质(1)等式的两边都加上或减去或,所得的结果仍是等式.(2)等式的两边都乘以或都除以,所得的结果仍是等式. 3.解一元一次方程的基本步骤:【典型例题】例1.下列方程是一元一次方程的有哪些?x+2y=9 x 2-3x=1 11=xx x 3121=-2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=1例2. 用适当的数或整式填空,使得结果仍是等式,并说明是根据等式的哪条性质,通过怎样变形得到的.(1)如果________;-8x 3,853==+那么x(2)如果-1_x_________3,123=--=那么x x ;(3)如果;__________x ,521==那么x(4)如果________.3x ,32==那么yx例3.解下列简易方程1.5223-=+x x 2.4.7-3x=113.x x +-=-32.0 4.)3(4)12(3-=+x x例4.解方程 1.32243332=+--x x 2.1423(1)(64)5(3)25x x x --++=+3.21101211364x x x -++-=- 4.22314615+=+---x x x x 5.003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6.83161.20.20.55x x x +-+-=-例6.x 取何值时,代数式 63x + 与 832x- 的值相等.例7.已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同,求m 的值.例8. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解,求221195k k --的值.例9.当.38322倍的的值是为何值时,代数式x x x x ++-例10. 若对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=43nm +,解方程3x ※4=2.系统讲解一元一次方程的应用【知识梳理】一、知识结构二、知识要点归纳1.列方程解决实际问题的一般步骤(1)找——找准等量关系,找出能够表示题意的等量关系.(2)设——设未知数,弄清题意和找准等量系后,用字母表示题目中的一个未知数.(3)列——列出方程,用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量,依据找准的等量关系,列出方程.(4) 解——解方程.解出所列的方程,求出未知数的值.(5) 答_作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出回答且注明单位.水速度=船速-水速2.分析应用题中等量关系的一般方法(1)译式法:将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式,然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系.(2)线示法:用同一直线的线段表示应用题中的数量关系,然后根据线段的长度的内在联系,找出等量关系.(3)列表法:将已知条件和所求的未知量纳入表格,从而找出各种量之间的关系.(4)图示法:利用图表示题中的数量关系,它可以使量之间的关系更为直观,更方便找出其中的等量关系.三、考查解析一元一次方程应用问题,关键是考查同学们用一元一次方程的模型解决实际问题的能力,大多数属于当基本题或中档题,学习中应抓住其核心问题——建模,从等量关系入手,而不是只让学生套题型,套步骤去解应用题.【典型例题】劳动力分配问题例1.某车间有100个工人,每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个,要使每天加工的螺栓与螺母配套(一个螺栓要配两个螺母)应如何分配加工螺栓、螺母的工人?分析:等量关系为螺栓数:螺母数=1︰2.设加工螺栓人数为x,则加工螺栓的总数为18x个,加工螺母总数为24(100-x)个.解:设加工螺栓的人数为x人,依题意有24xx⨯(=-2,18)100解得 40=x (人).∴加工螺母的人数为 100-x =100-40=60(人) 答:应分配40人去加工螺栓.点评:此题重点是培养学生寻找等量关系的意识和能力. 等体积问例2.一个圆柱形水桶,底面半径为11cm ,高25cm ,将满桶的水倒入底面长30cm ,宽20cm 的长方体容器,问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水(π取3.14,结果精确到0.1cm )? 分析:从相等关系入手,即圆柱形容器积=长方体器容积. 解:设长方体容器的高为x cm ,依题意,有 30×20x =25π×112,解方程,得 ≈=24121πx 15.9cm , 答:长方体容器的高至少需要15.9cm.点评:“等积变换”是中学数学的常用方法,要让学生理解和把握这方法,并能在实际问题中灵活应用. 盈亏问题例3.某服装个体户同时卖出两套服装,每件都以135元出售,按成本计算,其中一件盈利25%,另一件亏本25%.(1)在这次买卖中,这位个体户是赔是赚还是正好保本? (2)若将题中的135元改成为任何正数a 元,情况如何? 分析:关键把握等量关系: 进价(1+盈利率)=售价,进价(1-亏本率)=售价.解:(1)设第一件进价为x 元,则135%)251(=+x , 解得 108=x ,设第一件进价为y 元,则135%)251(=-y , 解得 180=y ,而 181352)180108(1352)(=⨯-+=⨯-+y x .所以赔18元.(2)仿前一小题方法可得: a x =+%)251(及a y =-%)251(, 解得 a x 54=, a y 34=,而 0152234542)(>=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+aa a a a y x , 所以此时仍然是亏本.点评:解决该题的关键是把握住此类问题中的几个等量关系,同时理解好一些常用“词”:如:打八折,进价,售价,盈利10%,亏本20%等.拓广:在例3中,将题中的135元改为任何正数a 元,同时又将题中的25%改为m%(0<m <100)情况如何?工程量问题例4.甲、乙两水管往水池中注水,甲管单独打开用20小时可注满一池水,乙管单独打开用40小时可注满一池水.现在甲管单独打开8小时后,乙管才开始工作,问两管一起打开后需多少小时可注满水池?分析:利用等量关系,甲管工作量+乙管工作量=1,来解题,为了理清工作量的关系,可列表如下:(设两管一起开后x 小时可注满全池)解:设两管一起打开后x 小时可注满全池,依题意,得140208=++xx . 解得 8=x (小时),答:两管一起打开后8小时可注满水池.点评:“列表法”在分析等量关系中,有其特点,但重点还应是在培养学生寻找等量关系的意识和能力上,提高“建模”能力.行程问题例5.由甲地到乙地前32的路是高速公路,后31的路是普通公路,高速公路和普通公路交界处是丙地.A 车在高速公路上的行驶速度是100千米/时,在普通公路的行驶速度是60千米/时.B 车在高速公路上的行驶速度是110千米/时,在普通公路上的行驶速度是70千米/时.A 、B 两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶,在距离丙地44千米处相遇,求甲、乙两地之间的距离是多少?分析:本题在相遇过程中A 、B 两车同时出发相向而行至相遇如图3-5-1所示,相等关系是A 车行驶时间=B 车行驶时间.距丙地44千米处,有两种可能,(1)相遇处在高速公路上距丙地44千米,(2)相遇处在普通公路上,解题时要考虑到这两种情况,再根据实际取舍.解:设甲、乙两地相距x 千米,A 车从甲地到丙地,需要15010032xx=(小时),B 车从乙地到丙地,需要2107031x x=(小时), ∵210150x x > ∴A 、B 两车只能在高速公路上距丙地44千米处相遇.列方程得,1104470311004432+=-xx 解得441=x .答:甲、乙两地之间的距离是441千米.点评:“线示法”分析等量关系比较方便.但要注意分类讨论各种情况,以免挂一漏万.利息问题例6.大宝、小宝共利用假期打工1000元,大宝把他的工钱按一年期教育储蓄存入银行,年利率为1.98%,免收利息税,小宝把他的工钱买了月利率为2.15%的债券,但要交纳20%的利息税,一年后两人得到的收益恰好相等,问两人的压岁钱各是多少?分析:抓住这一问题的等量关系.1.利息(免税的)=存入钱数×年利率,2.利息(不免税的)=存入钱数×年利率×(1-税率),3..大宝的收益=小宝的收益.解:设大宝的工钱为x元,则小宝的工钱为(1000-x)元,由题意,得.1⨯98%⨯⨯x.=x-(80%100012%).215解得510x(元),1000-x=490(元).=答:大宝的工钱是510元,小宝的工钱是490元.【自我测试】一、基础测试1.在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米,速度为100千米/时的卡车,则轿车从开始追及超越卡车,需要花费的时间约是()A.1.6秒B.4.32秒C.5.76秒D.345.6秒2.有一旅客携带30公斤行李从某机场乘飞机返回绵阳,按民航规定,旅客最多可免费携带20公斤行李,超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购行李票,已知该旅客现已购行李票60元,则它的飞机票价为()A.300元B.400元C.600元D.800元3.一年期定期储蓄年利率为2.25%,所得利息要交纳20%的利息税,已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元,问该储户存入多少本金?4.某商品的进货单价为280元,按25%的利润率确定售价.后因市场发生变化,决定按原定价格的八五折出售,问这时每售出一件这种商品,商店获利多少?5.用内径18毫米的圆柱形试管盛满水后,向一个底面是边长为22毫米的正方形,高是15毫米的空长方体容器内倒水,倒满容器后试管内水面下降约多少毫米?6.一艘船在甲、乙两地之间航行,顺水要3小时,逆水要3.5小时,已知船在静水中航行速度是每小时26千米,求水流速度.7.两人在环形跑道上同向急走,一圈为400米,甲的速度为平均每分钟80米,乙的速度是甲的1.25倍,如果乙在甲的前面100米,多少分钟后两人相遇?8.某人原计划骑车以12km/h的速度由A地去B地.这样可在规定时间内到达B地.但他因事将原计划出发的时间推迟了20min,只好以15km/h的速度前进,结果比规定时间早4min到达B地,求A、B 两地的距离?二、综合能力测试题1.某商店先在广州以每件15元的价格购进一种商品10件,后来又到深圳以每件12.5元的价购进同样商品40件,如果商店销售这些商品时,要获利12%的利润,那么这种商品的销售价应该是_______.2.有一卷铁丝,第一次用去了它的一半少1m,第二次用去了剩下的一半多1m,结果还剩下10m,这卷铁丝原长多少?3.有大中小三个正方形水池,它们的内池分别为6m、3m、2m,把两堆碎石分别沉浸在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6cm和4cm,如果将这两堆碎石都沉浸在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米?4.有一火车以每分钟600m的速度要过完第一、第二座铁桥,过第二座铁桥比过第一座铁桥多用5分钟,又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50m,试求各铁桥的长?5.某公司向银行贷款40万元用来生产某种新产品,已知该贷的年利率为1.5%(不计复利),每人新产品的成本是2.3元,售价4元,应纳税是销售额的10%,如果每年生产该种产品20万个,并把所得利润用来归还贷款,问需要几年才能一次性还清?(利润=销售额-成本-应纳税款)6.某班共40名学生,其中33人数学成绩不低于80分,32人英语成绩不低于80分,且班上每人在这两科中至少有一科不低于80分.求两科成绩都不低地80分的人数.。
小学数学解一元一次方程解一元一次方程是小学数学中的重要内容。
在解题过程中,我们需要理解一元一次方程的概念,并掌握解题方法。
本文将详细介绍解一元一次方程的步骤,并通过实例演示解题过程。
一、一元一次方程的概念一元一次方程是指仅含有一个未知数,并且未知数的最高次数为1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0,其中a和b为已知数,x为未知数。
二、解一元一次方程的步骤解一元一次方程的步骤一般包括去分母、去括号、整理方程、移项和求解。
下面我们将通过一个具体的例子来解释这些步骤。
例题:解方程3x + 4 = 13(1)去括号:由于方程中没有括号,所以这一步可以省略。
(2)整理方程:将方程3x + 4 = 13中的4移到等号右侧,得到3x = 13 - 4,即3x = 9。
(3)移项:将3x = 9中的4移到等号左侧,得到x = 9 / 3,即x = 3。
(4)求解:由x = 3得出方程的解为x = 3。
三、解一元一次方程的实例演示为了更好地理解解一元一次方程的步骤,我们来通过一个实例演示解题过程。
例题:解方程2x - 5 = 3x + 1(1)去括号:由于方程中没有括号,所以这一步可以省略。
(2)整理方程:将方程2x - 5 = 3x + 1中的3x移到等号左侧,得到2x - 3x = 1 + 5,即-x = 6。
(3)移项:将-x = 6中的负号移动到等号右侧,得到x = -6。
(4)求解:由x = -6得出方程的解为x = -6。
在解题过程中,我们使用了去括号、整理方程、移项和求解的步骤,依次按照这些步骤进行,可以有效地解决一元一次方程。
需要注意的是,在进行移项时,要根据方程中的符号进行合理的操作。
四、小结解一元一次方程是小学数学中的重要内容。
在解题过程中,我们需要掌握解一元一次方程的步骤,包括去括号、整理方程、移项和求解。
通过实例演示,可以更好地理解和掌握解题的方法。
在实际应用中,我们可以通过解一元一次方程来解决一些实际问题,如求未知数的值等。
一元一次方程概念例子
一元一次方程概念例子:
一元一次方程,也被称为一次方程或线性方程,是一个数学方程,其中只包含
一个变量的一次项和常数项。这种方程的一般形式为ax + b = 0,其中a和b是已
知数,x为未知数。
举个例子来说明一元一次方程的概念。假设我们有一个问题:某个商店正在促
销商品,每个商品都售价10元。如果你购买的商品数量为x个,并且你要支付
100元,那么我们可以通过一元一次方程来解决这个问题。
我们可以设立如下的方程:10x = 100。在这个方程中,10表示每个商品的售
价,x表示你购买的商品数量,而100表示你支付的总金额。通过解这个方程,我
们就可以得到x的值,即购买商品的数量。
解这个方程的步骤是将方程转化为标准形式,即ax + b = 0,其中a和b是已知
数。在这个例子中,我们可以将方程重写为10x - 100 = 0。从中我们可以看出,a
的值为10,b的值为-100。
下一步是应用解方程的方法来求解x。我们可以将10x - 100 = 0重写为10x =
100,并且通过除以10的操作,得到x = 10。因此,购买商品的数量为10个。
这个例子展示了一元一次方程的概念和应用。通过解方程,我们可以找到未知
数的值,从而解决实际问题。在生活中,一元一次方程可以应用于各种情境,例如
解决购物、财务或者生产过程中的问题。
总结起来,一元一次方程是数学中常见的方程类型,其中只包含一个变量的一
次项和常数项。通过解方程,我们可以求解未知数的值,从而解决实际问题。了解
和掌握一元一次方程的概念和应用,可以帮助我们在日常生活和学习中更好地应用
数学知识。
一元一次方程知识点汇总【知识点归纳】一、方程的有关概念1.方程:含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程:只含有一个未知数(元)x ,未知数x 的指数都是1(次)的方程叫做一元一次方程.3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.注:⑴ 方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质(1):等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍相等. 用式子形式表示为:如果a=b ,那么a±c=b±c等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 用式子形式表示为:如果a=b ,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么a c =b c三、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.四、去括号法则 〔依据分配律:a (b+c )=ab+ac 〕1. 括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.2. 括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.五、解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a (或乘未知数的倒数),得到方程的解x=b a). 六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1. 审:审题,分析题中已知什么,求什么,找:明确各数量之间的关系;2. 设:设未知数(可分直接设法,间接设法), 表示出有关的含字母的式子;3. 列:根据题意列方程;4. 解:解出所列方程, 求出未知数的值;5. 检:检验所求的解是否是方程的解,是否符合题意;6. 答:写出答案(有单位要注明答案).七、有关常用应用题类型及各量之间的关系1. 和、差、倍、分问题(增长率问题): 增长量=原有量³增长率 现在量=原有量+增长量(1)倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,几分之几,增长率,减少,缩小……”来体现.(2)多少关系:通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余……”来体现. 审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别.2. 等积变形问题:(1)“等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提,是等量关系的所在.常用等量关系为: ①形状面积变了,周长没变; ②原料体积=成品体积.(2)常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.①圆柱体的体积公式 V=底面积³高=S ²h =πr 2h②长方体的体积 V =长³宽³高=abc3. 劳力调配问题:从调配后的数量关系中找等量关系,要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:(1)既有调入又有调出;(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变4. 数字问题: 要正确区分“数”与“数字”两个概念, 同一个数字在不同数位上,表示的数值不同,这类问题通常采用间接设法,常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程.列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式,一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和.(1)要搞清楚数的表示方法:一般可设个位数字为a ,十位数字为b ,百位数字为c ,十位数可表示为10b+a ,百位数可表示为100c+10b+a (其中a 、b 、c 均为整数,且0≤a ≤9, 0≤b ≤9, 1≤c ≤9).(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n 表示,连续的偶数用2n+2或2n —2表示;奇数用2n+1或2n —1表示.5. 工程问题(生产、做工等类问题):工作量=工作效率³工作时间 工作时间工作量工作效率= 工作效率工作量工作时间=合做的效率=各单独做的效率的和. 一般情况下把总工作量设为1,完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1.分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
一元一次方程的概念及解法【知识点】:1、一元一次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,这样的整式方程叫一元一次方程。
(如果方程的两边都是关于未知数的整式,我们就把这样的方程叫整式方程。
) 2、方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
3、解方程:求方程解的过程叫做解方程。
4、等式的基本性质: (1)、等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。
(2)、等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式。
5、解一元一次方程的基本步骤: (1):去分母;(2):去括号;(3):移项;(4):合并同类项;(5):系数化成1。
【例题解析】例1、判断下列各式是不是一元一次方程,是的打“√”, 不是的打“x”。
(1) x+3y=4 ( ) (2) x 2-2x=6 ( ) (3) -6x=0 ( ) (4) 2m +n =0 ( ) (5) 2x-y=8 ( ) (6)y1+8=5y ( ) 例2、下列变形中,正确的是( ) A 、若ac=bc ,那么a=b 。
B 、若cbc a =,那么a=b C 、a =b ,那么a=b 。
D 、若a 2=b 2那么a=b 【练习】:1、下列方程中是一元一次方程的是( ) A .23x y = B .()7561x x +=- C .()21112x x +-= D .12x x-= 2、下列运用等式的性质对等式进行的变形中,正确的是 ( )3、若x (n-2)+2n=0是关于x 的方程一元一次方程,则n= ,此时方程的解是x=___。
4、某数x 的43%比它的一半少7,则列出求x 的方程应是( )A :43%12x -B :43%1()72x -=C :43%12x x -D :172x -=43%x例3、给出下面四个方程及其变形:①48020x x +=+=变形为; ②x x x +=-=-75342变形为;③253215x x ==变形为; ④422x x =-=-变形为; 其中变形正确的是( )A .①③④B .①②④C .②③④D .①②③ 例4、解方程:(利用移项、合并同类项及系数化成1来解方程) (1)x +2x +4x=140 (2)3x +20=4x-25解: x+2x+4x=140↓合并↓系数化为1【练习】:1、下列叙述正确的是 。
一元一次方程的概念与解法一元一次方程是初中数学中的基础知识之一,它在数学应用中具有重要的作用。
本文将介绍一元一次方程的概念及解法,并简要探讨其在实际生活中的应用。
概念一元一次方程是指只有一个未知数,且未知数的最高次数为1的方程。
一般形式可以表示为ax + b = 0,其中a和b为已知数,x为未知数。
在这个方程中,a称为系数,b称为常数项。
解法解一元一次方程可以使用多种方法,下面将分别介绍两种常见的解法:图解法和代入法。
图解法图解法是通过图像的方式来求解一元一次方程。
首先,将方程转化为y = ax + b的形式,其中y是变量,x是未知数。
然后,选取适当的数值作为x的取值,在坐标系中绘制出对应的点,最后通过连接这些点形成的直线来确定方程的解。
例如,考虑方程2x - 3 = 0。
将其转化为y = 2x - 3的形式,我们可以选取x = 0和x = 2两个值,计算出相应的y值为-3和1。
在坐标系中绘制出点(0, -3)和(2, 1),并连接这两个点,得到的直线与x轴的交点即为方程的解。
代入法代入法是通过代入已知数值来求解一元一次方程。
首先,将方程中的未知数表示为一个已知数的表达式,然后将这个表达式代入方程中,最后通过求解得到未知数的值。
例如,考虑方程3x + 4 = 10。
我们可以将4表示为10 - 3x,将其代入方程中得到3x + (10 - 3x) = 10。
化简这个方程,可以得到10 = 10,这说明方程的解为任意值。
实际应用一元一次方程在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的例子:1. 商业应用在商业交易中,一元一次方程可以用来计算成本、利润、销售量等。
例如,一个公司每生产一个单位的产品需要投入固定成本和变动成本,假设这个单位的成本为x,销售价格为y。
则方程表示为y = ax + b,其中a为变动成本的系数,b为固定成本。
通过解方程,可以计算出平衡点,即销售价格等于成本的时候,公司不盈不亏。