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连续信号的正交分解

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3 连续信号的正交分解1-2

3 连续信号的正交分解1-2
t2 t1
∫
g r (t )dt
2
1 = kr
∫
t2
t1
f (t ) g r (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
如果一正交信号空间可以精 无误差）地表示任一函数， 确（无误差）地表示任一函数， 则称该正交空间为完备的正交信 则称该正交空间为完备的正交信 号空间或正交函数集。 号空间或正交函数集。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
选择C 的准则亦也使近似误差ε(t) ε(t)的方 选择C12的准则亦也使近似误差ε(t)的方 均值最小，即使： 均值最小，即使：
1 t2 2 1 t2 ε (t ) = ε (t )dt = [ f1 (t ) − C12 f 2 (t )]2 dt t 2 −t1 ∫t1 t 2 −t1 ∫t1
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
为了更好地说明两个信号间相似的程 从功率的角度， 度，从功率的角度，引入了相关系数的概 t2 念： ∫t1 f1 (t ) f 2 (t )dt ρ12 = 1 t2 t2 2 2 [ ∫ f 2 (t )dt ∫ f 2 (t )dt统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
与正交向量集相在似， 与正交向量集相在似，任何一个函 f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用 在区间[t1 内可近似地用n 数f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用n维正 交信号空间中的各正交分量来表示， 交信号空间中的各正交分量来表示，即：
§3.2 正交函数集与信号分解
可知： 完全相同时： 可知：当 A1 与 A2 完全相同时：C12=1 垂直时： =0。 当 A1 与 A2 垂直时： C12=0。即 A1 上的分量为0 此时， 在 A2 上的分量为0。此时，这两个互相垂 直的矢量组成一个正交矢量集 正交矢量集。 直的矢量组成一个正交矢量集。 方向上的分量， E 也是 A1 在 E 方向上的分量， A2 与 E

信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)

信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)

)
F (j )

/2
/ 2
e
j t
dt
e
j
e j
2

j

2
2 sin(

2
1
gτ (t)
)

Sa(

2
)


2
0

2
t
频谱图
F j

2π
O 2π

F j
4π

幅度频谱
2π
O
频宽：
2π 4π
第3 章 连续信号的正交分解
目录
周期信号的傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的傅里叶变换 典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换的性质
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制等重要概念。
f(t) ←→F(jω)
或
F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j (ω) = R(ω) + jX(ω)
2、常用函数的傅里叶变换
Sa( 例：矩形脉冲 (门函数） G (t )
F

2
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便， 因而经常采用指数形式的傅里叶级数。

信号与系统第三章 连续信号的正交分解

信号与系统第三章 连续信号的正交分解

f (t ) Ci gi (t )
i 1
n
第三章连续信号的正交分解
13
理论上讲
f (t ) lim Ci gi (t )
n i 1
n
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
t t1 f (t ) gi (t )dt Ci t 2 gi2 (t )dt t1
均方误差
n t2 2 ( t ) [ f ( t ) crgr ( t )]2 dt t 2 t 1 t 1 r 1
第三章连续信号的正交分解 23
1

若令 n 趋于无限大， 2 (t )的极限等于零 lim 2 (t ) 0
n
则此函数集称为完备正交函数集
第三章连续信号的正交分解
15
定义2：
如果在正交函数集 g1( t ), g 2( t ), gn( t ) 之外， 不存在函数x（t）
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
第三章连续信号的正交分解 8
信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间
t 1 t t 2 内，用函数 f 1(t )
在另一
函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2(t ) 来近似的代表 原函数 f 1(t ) 。
f 1(t ) C12 f 2(t )
1 jnt f (t ) An e cn e jnt 2 n n
cn
1 An 称为复傅里叶系数。 2
表明任意周期信号可以表示成 e jn t 的线性组合，加权因 子为 cn 。

连续信号的正交分解

连续信号的正交分解
如果（或），则称和正交。 ▪ 如果和是复函数，则其方均误差为： ▪ 最佳系数为：
信号的分解
▪ 多个标准信号下的分解：将信号表示为多 个标准信号的线性组合：
▪ 这之里间的两同两样正难 交以 ，确 则定 可。 以但 证是 明如：果标准函数 ccffiii( (t t) ) tt1t1t22c ff1 if ((1 tt( ))tff) ii* *((ttc ))2 ddft2 t( t) . .c n .fn ( t) i n 1 c ifi( t)
标准信号集两例
▪ 三角函数： ▪ 指数函数： ▪ ， 1 en , nc t 0t ,, s o 1, t ,c is 2 n t , o s2 t i , sn . c. k , o s .t k ,i , s. n t..
▪ 对标准信号集的要求： ▪ 归一化： ▪ 正交化：， it1 t2 fji(t)f▪ij**((tt))dd完t t10备性：可以用其线性组合表示任意信号。
连续信号的正交分解信号的正交分解信号正交分解力的正交分解10e0力的正交分解法向量的正交分解矩阵的正交分解力的正交分解法习题平面向量的正交分解力的正交分解练习
第三章 连续信号的正交分解源自 §3-1 引 言▪ 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信 号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应 求解系统对复杂信号的响应。
▪ 如何确定最佳的系数？对于特定的i而言，不仅 与特定的有关，与其它的标准矢量也有关系。 但是如果矢量两两正交，可以证明：
▪
矢量分解
▪ 标准矢量基的几个限制条件： ▪ 归一化：标准矢量的模等于1——方便计
算 ▪ 正交化：标准矢量两两正交 ▪ 完备性：可以不失真地组合出任意矢量
cc(ft1112 1((f,(tt1tt))(2)t)tt) 1t1t22 tff12((1 tt))t1 ff11((tt1 tt2))dd2tt(t)dt

信号与系统_第三章连续信号的正交分解_ppt课件

信号与系统_第三章连续信号的正交分解_ppt课件
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
信号与系统_第 三章连续信号 的正交分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
学习内容及要求
内容：
信号的分量与分解、正交函数集的概念，信号 的傅立叶级数分解
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析，常用典型信号的傅立 叶变换，掌握傅立叶变换的技巧 傅立叶变换的性质，帕塞瓦尔定理与能量频谱
示任何的复杂信号;
找到---信号如何分解，如何将信号分解或表示为该函数集中单 元函数的组合(付里叶级数（三角付里叶级数，指数付里叶级 数）) –从信号分量组成情况讨论信号特性
周期信号频谱； 非周期信号频谱；
–信号时域特性与频域特性的关系
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
§3.1 引言
t 2
2 (t) min 1 2 1 t 1 2 2 f ( t ) dt 1 t1 t t 2 1
1 2
12

t2 t1
t2
t1
f1(t)f2(t)dt
t2 t1 2 2 1 2
[ f (t)dt ] f (t)dt
2 1
A n C 1V 1 C 2V 2 C rV r C nV n 并且： V V K V 2 m m m m V ,l m m 0 l V
为使近似误差矢量的模 或是模的平方最小，
Cr AV r V r V r AV r V r

t2
t1
f1(t) f2(t)dt
t2 t1

f2 (t)dt
2
§3.2 正交函数集与信号分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解

第3章_正交分解

第3章_正交分解
第三章 连续信号的正交分解 • 信号分解
– 将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函 数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用 叠加原理求得总响应。
• 单元函数选择
时域
频域 – 冲激函数、阶跃函数 – 正交函数集：三角函数集、指数函数集
• 信号域变换
– 时域↔频域 – 时域↔复频域 •从本章开始由时域转入变换域分析。

t 0 T
2 t 0 T f (t ) cos(nt ) dt T t0
t0
正弦分量系数
bn

t 0 T
t0
f (t ) sin(nt )dt sin 2 (nt )dt

t 0 T
2 t 0 T f (t ) sin(nt )dt t0 T
t0
第三章 连续信号的正交分解
则称此函数集为在区间（t1,t2）内的正交函数集。
于是信号 f (t ) 在区间（t1,t2）内可以用n个互相正交的 函数表示为： n f (t ) C1 g1 (t ) C 2 g 2 (t ) C r g r (t ) C n g n (t ) C r g r (t )
其中
an An cos n bn An sin n
可证: an an 偶函数 A n An
A a 2 b 2 n n n bn n arctan an
b n bn 奇函数 n n
10
1
第三章 连续信号的正交分解
3.2.1 矢量的正交分解
1. 正交矢量 2. 矢量的正交分解
90° o V1 V2
V c1V1 c2V2
V cos1 V V1 c1 V1 V1 V1 V cos 2 V V2 c2 V2 V2 V2

第三章 连续信号的正交分解-2


c
n

Ae T
2
dt
T
Sa(
2
)
A f (t ) T
n jnt Sa( 2 )e n

第三步：频谱分析
An
a
2 n
bn
2
a
n

Cn
A
1 n 与 T 之比值有关，取 T 5
A n Sa ( ) T 2
2 A n 2 A n Sa( ) Sa( ) T 2 T 2
由周期信号f (t )
n
Ce
n

jnt
， 2 2 d
当T ， d，n ，T f (t ) lim TCn jnt Te T n

1 d T , ， T 2 2
讨论：
讨论：
f (t )

1

0
F ( j ) cos t ( )d
从上式可以看出： 1. 非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。
2. 不同的是，由于非周期信号的 T , 0,于是它包含了从零到无限高的所 有频率分量。
3. 同时，三角函数振幅 函数作出。
n
n
n

相位频谱图
An
Ae
n
j
2 A n 2 Sa ( ) Cn
N
T
2

n
0
n )0 2 n Sa( )0 2 Sa (
即 Cn>0 即 Cn<0
Cn
1 j An e n — —称复数频谱 2
此例中 为一实数。振幅频谱与 相位频谱可以和画在一张图上。

连续信号的正交分解


• 三角傅里叶级数还可以表示为
f
(t)
a0 2
n 1
An
c os (nt
n )
其中 An
a
2 n
bn2
, n
tg 1 bn an
或 an An cosn , bn An sin n
有上式可以看出An，an为n的偶函数，bn，φn为n 的奇函数。（这个关系在三角级数中用不到，
因为频率不会是负的，但在今后会用到）
t2
的内积为： gl (t), gm (t) g1(t)gm* (t)dt
t1
如果函数集 {g1(t), g2 (t), gn (t)} 满足以下条件
则称为正交函数集。
t2
gm
(t
)
g
* m
(t)dt
Km
t1 t2
gl
(t
)
g
* m
(t)dt
0
t1
Km 为常数，l, m 1,2, , n, l m
若Km=1则称归一化正交函数集。如果在该函 数空间中的任意函数f(t)可表示为：
f (t) C1g1(t) C2g2 (t) Cn gn (t) 那么称函数集 {g1(t), g2 (t), gn (t)} 为正交
完备函数集。即它们构成一个n维的函数空间。
其中的C1,C2,…,Cn称为f(t)在 g1(t), g2 (t), gn (t)
T0
T
2
T
bn
2 T
T 0
f (t)sin ntdt
2 [ 2 sin ntdt T sin ntdt]
T0
T
2
T
T
2
2
[ sin ntdt

3 连续信号的正交分解3


第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.3 信号表示为傅立叶级数
• a0/2,an,bn都是分量系数 都是分量系数 • a0/2是函数 /2是函数 f(t)在该区间内的平均值,称为直流分量。 f(t)在该区间内的平均值,称为直流分量。 在该区间内的平均值 直流分量 合成一个角频 • n=1时，即a1cos t+b1sin t合成一个角频 n=1时 =2π/T的正弦分量 称为基波分量 的正弦分量， 基波分量； 率为 =2π/T的正弦分量，称为基波分量； • N〉1时，ancos t+bnsin t合成一个角频 率为n 的正弦分量，称为f(t) f(t)的 率为n 的正弦分量，称为f(t)的n次谐波 分量; 分量; • 称为基波频率，n 称为谐波频率。 称为基波频率 基波频率， 称为谐波频率 谐波频率。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
bn an
§3.3 信 ∫ =
t1 +T
t1
f (t ) cos( nΩt ) dt cos 2 ( nΩt ) dt
∫ ∫
t1 + T
2 = T 2 = T
∫ ∫
t1 +T
t1
f (t ) cos( nΩt ) dt
t1
t1 +T
t1
f (t ) sin( nΩt ) dt sin 2 ( nΩt ) dt
t1 + T
t1 +T
t1
f (t ) sin( nΩt ) dt
t1
2 n = 0时， a0 = T
∫
t1 + T
t1
f (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析

第3章 连续信号的正交分解


《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
2. 复指数傅里叶级数

指数函数具有如下关系
e e dt T
t 0 T jnt jnt * t0
e
t 0 T t0
jmt
e dt 0
jnt *
mn

t 因此，指数函数 e jn， n 0,1,2, 为一完备的 正交函数集
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
根据欧拉公式
cos
1 j e e j 2



且考虑到An是n或频率的偶函数，而 n 是奇函数
a0 1 f (t ) An e j nt n An e j nt n 2 2 n 1 1 1 jnt An e j nt n An e 2 n 2 n
则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果

t2
t1
0 * gi (t ) g j (t )dt 1
则称该函数集为归一化正交函数集。
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
例如,三角函数集 ｛ 1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,… ｝ 在区间（t0,t0+Ｔ）(式中T=2π/Ω)组成正交函数集,而且 是完备的正交函数集。这是因为
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
3.3 信号表示为傅里叶级数

1.三角傅里叶级数
周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函 数的代数和，即f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级 数展开。 f(t)应满足狄利克雷条件。
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n
Fn
1 2
A
n
1 2
an2 bn2
Fn n
•
由指数Ｆourier级数可得信号的双边谱。
周期矩形脉冲的频谱（教材中3-4）
以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。
1）频谱的结构
1
Fn T
T / 2 f (t)e jnt dt
T / 2
E
T
sin n
2
n
2
1 s
20
T 1s 4
Fn
E 5
Sa
Amplitude
Frequency
(b) Frequency Domain
f1
f2
Frequency
Amplitude
Time
(c) Time Domain Time
§３－1 周期信号的频谱分析 ――Ｆourier级数（教材中3-3、3-4）
• 一、三角Ｆourier级数：
• １、三角Ｆourier级数的基本形式：
• 周期信号f(t),其重复周期为Ｔ，角频率为ω1。当 它满足Dirichlet条件时，它可以展开成三角形式 的Ｆourier级数，即：
f t
a0 2
a n
n1
c os n1t
bn
sin n1t
a n
2 T
T f tcosn1tdt
bn
2 T
T f tsin n1tdt
• 注意：
•
１）对一周期积分，为方便起见，起点常常
T
2 0
T 2 0
1
n1
sin
1tdt]
2E
(n )2
[( 1)n
1]
4E
(n )2
0
(n为奇数) (n为偶数)
f
(t)
E 2
4E
2
n1,3,5
1 n2
cos
2n
T
t
f (t) 1
Tt
例2，有一奇函数，其波形如图所示， 求其傅立叶展开式并画出其频谱图
解:
f (t)在一个周期内可写为如下形式
f (t) 2 t T
T tT
2
2
f (t)是奇函数，故an 0
An
2
2
3
21
41
0 11
31
1
1
2
bn 4 T
T 2 0
f (t) sin n1tdt
(1
2
T
)
4 T
T 2 0
2t T
sin
n1tdt
T
8 T2
(
t
n1
ห้องสมุดไป่ตู้c os n1t
1
(n1 ) 2
sin
n1t)
2 0
2 (1)n1
n
f (t ) 2 (1)n1 1 sin 2n t
-
-
其中：T 2
bn
2 T
t sin ntdt 2 (1)n1
n
n 1,2,3,
傅里叶级数展开式为：
f t 0 2[sin t 1 sin 2t 1 sin 3t ]
2
3
直流 基波
谐波
３、周期信号的谱图：
f t
a0 2
An
n 1
cos(n1t n )
An an2 bn2
T
2 T
f (t)e jnt dt
2
(2)
（2）可写为：
TFn
T
2 T
f (t)e jnt dt
Fn Fn
1T
f
2
令 T 则： n
单位频带上的频谱值
TFn T
f (t)e j tdt
F( j )
f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。
（1）可写为：
f (t) TFn
n
Fn
E 2
S
a
n 2
不变，谱线间距相等；
零分量频率减小：B 或Bf变小； 有效谱带内谐波分量减少；
谱线振幅较大，减小变化急速。
讨论：
(1) T
幅度
谱线间隔
2
T
（2）矩形脉冲信号的频带宽度：B
2
占有带宽与脉宽成反比
或
Bf
1
1
对于一般信号，频带宽度定义为幅值下降为 10 F n max
n1
nT
.f=sin(2*3.14*50t)+4sin(2*3.14*500t)+4sin(2*3.14*800t)
(P^2+888p+628)y=394384f(t)
(P^2+888p+628)y=394384f(t)
• f0=100; • wc=2*pi*f0; • a=[1 sqrt(2)*wc wc]; • b=[wc^2]; • p=0.0005; • t=0:p:1/5; • x=sin(2*pi*50*t)+4*sin(2*pi*500*t)+4*sin(2*pi*800*t); • subplot(2,1,1) • plot(t,x); • y=lsim(b,a,x,t) • subplot(2,1,2) • plot(t,y);
3、偶双边指数信号
f
3 t
Eet Eet
t 0 t 0
0
F3( j)
0 Ee te j t dt
Ee j t dt
0
E
E
2E
j
j
2
2
4、直流信号
f4t E
F4 j 2E
1 2
5、奇双边指数信号
f5
t
Ee
t
t 0
Ee t t 0
0
F5(
j )
0 Ee te j t dt
例： f (t) U(t) 1 1 sgnt
22
1
2
0
t
1
2
1 sgnt 1
2
j
1 sgnt
12
0
0
F( j) 1
2
0 1 t
2
j
二、折叠性 若f (t) F ( j)，
则有:
f
(t)
F( j)
F(
j )
（f (t)为实函数）
三、对称性
F( j) （f (t)为虚函数）
n
tg1
bn an
• Ａn和ω的关系表示在一张图里，称为振幅谱；
• θn和ω的关系表示在一张图里，称为相位谱。
• 由三角Ｆourier级数得的谱图为单边谱。
T T
2
f (t)
E
解f:(t)在一个周期内可写为如下形式
2E t 0 t T
TT t
f (t) T
2
2
2E t T t 0
第三章 连续信号的正交分解
•
前
言
• “频域”中信号分解为正弦和余弦信号（又称 为复指数信号）的叠加。
• 数学工具：Ｆourier级数和Ｆourier变换。
正交分解的特点和优点：
• １、分析信号的频域特点：如信号的 带宽，信号的谱含量等等。
• ２、系统频域分析方法：线性时不变 系统对给定频率的正弦信号的零状态响 应是同样频率的正弦信号，系统的作用 只体现在振幅和相位上。
T
2
f (t)是偶函数，故bn 0
a0 2 T
T
2 T
2
f (t)dt 2 [
T 2
2Etdt
T 0T
0 T
2
2Etdt] T
E
An E
11 31
51
0
4E 2
4E 4E 25 2
9 2
an 4
T
T 2 0
2Et T
cosn1tdt
(1
2
T
)
8E T2
[
t
n1
sin
n1t
1 e jnt T
TFne jnt
n
2
令 T 则：n
2 d
T
TFn F( j )
f
(t) TFne jnt
n
2
T
1
2
F ( j )e jt d
T
周期信号 非周期信号 离散谱 连续谱，幅度无限小
二. 傅立叶变换对 f t F 或 F f t
正变换： F ( j ) f (t)e jt dt F f (t) 象函数
选在（－Ｔ／２）或０。
•
２）函数f(t)的Ｆourier级数除了不连续点外，
都唯一的收敛于f(t)。在不连续点，Ｆourier级数收敛
于左右极限的平均值。（用有限项逼近时会出现
Gibbs现象。）
•
３）对非周期信号，在某个时间区间内展成
Ｆourier级数，则在此区间，收敛于原函数，而在别
的区间收敛于此函数的周期延拓。
二、指数Ｆourier级数：
• 1、指数Ｆourier级数的形式：
f t
Fn e jn1t
n
Fn
1 T
f
T
t e jn1tdt
2、指数Ｆourier级数和三角Ｆourier
级数的关系：
cos(n1t n )
1 2
e jn1tn
e jn1tn
f t Fne jn1t
•
４）在Ｆourier级数中，ω1为基波频率
（fundamental frequency），２ω1，３ω1，……为谐
波频率(harmonic frequency)。
２、三角Ｆourier级数的其他形式：