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三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。
2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。
（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。
（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。
那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中，均值不等式是一条非常重要的数学定理。
它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。
本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。
一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。
它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。
算术平均值是最为熟悉的一种形式，它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。
几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。
平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。
在不等式的关系中，对于正实数来说，有以下几个性质：1. 当所有元素相等时，算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。
2. 当所有元素不相等时，算术平均值大于几何平均值，而几何平均值大于平方平均值。
3. 对于正实数来说，算术平均值大于几何平均值，并且它们都大于平方平均值。
二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。
它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。
1. 证明与推导在证明和推导方面，均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。
通过运用不同形式的均值不等式，我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。
例如，在求证某个不等式问题时，我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。
2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。
通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较，我们可以得出一些关于数列性质的结论。
例如，当一组数的算术平均值大于几何平均值时，就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。
三、均值不等式的例题解析下面，我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。
例题1：已知a、b、c为正实数，证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。
解析：我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。
用均值不等式证明不等式【摘 要】：不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位．本文介绍了用均值不等式证明几个不等式，我们在证明不等式时，常用到均值不等式。
要求我们要认真分析题目，本文通过几个国内外竞赛数学的试题，介绍用均值不等式证明初等不等式的基本方法及技巧。
【关键词】：均值不等式；不等式；方法；技巧均值不等式设 n a a a 、、、 21 是 n 个 正数 ，则不等式)()()()(a Q a A a G a H ≤≤≤称为均值不等式[1]．其中na a a na H 111)(21+++=，nn a a a a a a G 121)(=，na a a n A n+++=21)(，na a a n Q n22221)(+++=分别称为 n a a a 、、、 21 的调和不等式，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例1 设1a 、2a 、…、n a 均为正，记)()(2121nn na a a na a a n n -+++=ψ试证：)1()(-≥n n ψψ，并求等号成立的条件．证明 由所设条件，得)1()(--n n ψψ=)1)(1()(11211212121-----++---+++n n n nn na a a n a a a n a a a na a a n=11211212121)1()(-=--++++--+++n n n n n n a a a n a a a a a a n a a a=n n n n n a a a n a a a n a 12111121)())(1( --+--，将)()(a A a G ≤应用于n 个正数：n a ，个）（11112111121)(-----++n n n n n a a a a a a ，有 11112112(1)()()n n n n n a n a a a a a a n--+-≥ ，即11112112(1)()()n n n n n a n a a a n a a a --+-≥ ．所以)1()(-≥n n ψψ，当且仅当11121)(--=n n n a a a a ，即1121n n n a a a a --= 时等号成立．此题不只是公式的直接应用．代表了均值不等式中需要挖掘信息找n a a a 、、、 21 的一类题． 例2 设0=++z y x ，求证：32222333)()(6z y x z y x ++≤++． 证明 当0===z y x 时不等式显然成立．除此情况外，z y x 、、中至少有一正一负．不妨设0<xy ，因为)(y x z +-=，所以22222333233354)](3[6])([6)(6zy x y x xy y x y x z y x I =+-=+-+=++=．若由此直接用)3()()(=≤n a A a G ，只能得到较粗糙的不等式32223222222)(2)3(5454z y x zy x z y x I ++=++≤=，如果改用下面的方法，用)()(a A a G ≤，便得32322222)22(3222162221654xy z z xy xy zxy xy zy x I +=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⋅⋅==， 再注意到xy z xy y x y x 22)(2222+=-+=+，因而222222z y x xy z ++=+，于是即得欲证的不等式．此题解题的关键在于构造n a a a 、、、 21通常需要拓宽思路多次尝试，此类也属均值不等式的常考类题． 例3 设0>x ，证明：64122222xxx⋅≥+．(第16届全苏数学竞赛试题[2])证明 此不等式的外形有点像均值不等式． 由)()(a A a G ≤，得24124124122222222xx xxxx+⋅=⋅⋅≥+，又612141121412)(2x x x xx =≥+，即得要证的不等式．结语有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较常见的不等式是有好处的)；有些不等式还要用数学归纳法来证明等等．而且在一个题目的证明过程中，也往往不止应用一种方法，而需要灵活运用各种方法．因此，要培养和提高自己的证题能力。
均值不等式一、 基本知识梳理1.算术平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的几何平均值3.重要不等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2a b+≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理可叙述为： 4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤；5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。
注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值； （3）各项或各因式都能取得相等的值。
6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。
有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。
二、 常见题型：1、分式函数求最值，如果)(x f y =可表示为B x g Ax mg y ++=)()(的形式，且)(x g 在定义域内恒正或恒负，,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。
例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值。
解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x aa ax x x ax ax x x ax y1212211)1(=-+≥-++++=a a a x ax a 当1)1(+=+x ax a 即x=0时等号成立，1min =∴y2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。
常用均值不等式及证明证明常用的均值不等式有以下几个：1.算术均值-几何均值不等式：对于任意非负实数$a_1,a_2,...,a_n$，有$\dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$证明：设 $S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$，则 $a_1 + a_2+ ... + a_n = nS$。
由均值不等式 $a_1 + a_2 + ... + a_n \geq n \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$，将等式两边同时除以 n 得到$S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$2.二次均值不等式（柯西-施瓦茨不等式）：对于任意实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2$证明：设$x=(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$，$y=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$。
对于任意非零实数$t$，考虑函数$f(t)=t^2y-x$。
由于 $f(t)$ 是一个二次函数，且 $f(t) \geq 0$，则 $f(t)$ 的判别式不大于 0。
即 $4y(a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 - 4y(a_1^2 +a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \leq 0$。
简化之后得到 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2+ ... + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 \geq 0$，即所证明的不等式。
琴生不等式高中证明方法篇一：琴生不等式是数学中的一个重要不等式，它可以用来表示函数的极大值或极小值。
在高中阶段，琴生不等式的证明是一个重要的知识点，下面我们将介绍几种常用的证明方法。
方法一：利用均值不等式证明琴生不等式首先，我们需要了解均值不等式的概念：对于任意实数序列{a1, a2, ..., an},有∫[f(x)]n dx ≥ f(a1) + f(a2) + ... + f(an) - n(n-1)a1a2...an(g(a1) + g(a2) + ... + g(an))其中，f(x) 和 g(x) 是任意两个函数，a1, a2, ..., an 是实数。
利用均值不等式，我们可以证明琴生不等式。
设 f(x) = x^2,g(x) = 1/x,则∫[f(x)]n dx ≥ f(a1) + f(a2) + ... + f(an) - n(n-1)a1a2...an(g(a1) + g(a2) + ... + g(an))化简得∫[f(x)]n dx ≥ (an)^2/[n(n-1)]因此，当 n = 2 时，琴生不等式成立。
方法二：利用琴生不等式的特例证明琴生不等式琴生不等式可以表示为：对于任意实数序列{a1, a2, ..., an},有∫[f(x)]n dx ≥ f(a1) + f(a2) + ... + f(an) - n(n-1)a1a2...an(g(a1) + g(a2) + ... + g(an))其中，g(x) = 1/x 当 x > 0 时，g(x) = 0 当 x <= 0 时。
我们可以利用琴生不等式的特例来证明琴生不等式。
设 f(x) = x^2,g(x) = 1/x,则∫[f(x)]n dx = 1/x^2[1 + 1/x + 1/x^2 + ... + 1/x^(2n-2)]当 x > 0 时，g(x) = 1/x,则 1/x^2[1 + 1/x + 1/x^2 + ... + 1/x^(2n-2)] >= 1/(n-1)x^(2n-2)因此，当 n = 2 时，琴生不等式成立。
均值不等式的应⽤（习题+标准答案）均值不等式的应⽤(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：均值不等式应⽤⼀．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最⼩值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最⼩值，正所谓“积定和最⼩，和定积最⼤”．（2）求最值的条件“⼀正，⼆定，三取等”(3)均值定理在求最值、⽐较⼤⼩、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题⽅⾯有⼴泛的应⽤．应⽤⼀：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧⼀：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最⼤值。
1，利用均值不等式证明不等式（1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记12111n nn H a a a =++⋅⋅⋅+n G =12n n a a a A n++⋅⋅⋅=n Q =它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。
有如下关系：n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==⋅⋅⋅=。
先证n n A G ≥证法一：.n n A G ≥用数学归纳法证明：20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
1.kk k kA G ≥≥假设：n=k 2时成立,即有：11111111k k k k k k k k k k k k k k k kA A A G G G A G ++++++++≥⇔≥n=k+1时：只需证：12n a a a ≤≤≤L 不妨设：0<1111111111=11k k k k k ki i i i k i i i i k a a a a A k k k k +++++====+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑11011111111k kkkk kii i i i i i i k k a a a a C C k k k k ++====++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≥+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑1111111(1)(11).1kkkk kki i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k +====++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-+-==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 11111.1k k k k k k k k kA G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。
原不等式成立。
.n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明：20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
++k N ∈kk 1假设：n=2（）时成立，当n=2时：++++1+11++==.iii i ii aaa A G ===≥≥=∑∑∑k 1k k 1kk 1k 12222kk2k 1222222+,k N ∀∈k 即，对当n=2时，结论成立。
+t N ≥∈假设n=t+13（）时成立。
则n=t 时有：1t tt tA G G t +=≥==+t t A G n t ≥=化简即得：，即时亦成立。
所以原不等式成立。
证法三：12n a a a ≤≤≤L 不妨设：0<11,0.kii k k k ab b b k=-=≥>∑令：则有：1211111111()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b kb -----------=-+++≥-L111111[(1)](1).kk k k kk k k k k k k b b b kb k b kb k b b ------≥--≥--即：，亦即：111(1).(2),.k k k kb k b a n k b a ---=≥≥=且：11112211[(1)]k nn nnn nk nnk k k nk k k k k b A b b b kb k b a G b --===-==≥--==∏∏∏ 12n ===.n n G A a a a ∴≤L 等号成立当且仅当:上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。
例1：求证下列不等式：（1）()13a a b b+≥-，(0)a b >> （2）()()log 1log 11,2n n n n n -+<>（3）444222222x y y x y y z z x ++≥++()xyz x y z ≥++，其中,,0x y z > 证明（1）()1a a b b +-()()1a b b a b b=-++-3≥= 当且仅当()10a b b a b b-==>-，即2,1a b ==取等号。
证明（2()()log 1log 12n n n n -++<()2211log 1log 122n n n n =-<= ∴()()log 1log 11,2n n n n n -+<>证明（3）44222x y x y +≥=，同理44222z y z y +≥44222z x z x +≥，三式相加得444222222x y y x y y z z x ++≥++另一方面222222x y y z xy z +≥=，同理222222x y x z yx z +≥=，222222x z y z yz x +≥= 三式相加得222222x y y z z x ++()xyz x y z ≥++说明：（1）中涉及到与常数相关的不等式的证明问题，通过变形使其出现互为倒数的因式，利用均值不等式证得。
（3）中累加的方法是常用的处理手段。
例2：若,,a b c R +∈且1a b c ++=≤证明：左边3≤==例3：已知12,,n a a a ⋅⋅⋅是正数，满足121n a a a ⋅⋅⋅⋅= 求证：()()()122223n n a a a ++⋅⋅⋅+≥（89年联赛试题） 证明：11211aa +=++≥22a +≥2n a +≥，将以上式子相乘即得证。
例4：n N ∈，求证：11111231n n n ++⋅⋅⋅+>+++ 证明：由2121n n A H ++≥有1111231n n n ++⋅⋅⋅++++ ()()()()()()22221211123121n n n n n n ++≥==++++⋅⋅⋅++显然上式不可能取等号，故原不等式成立。
说明：注意到n H 的表达式的结构特点，当一些正数的倒数和易于化简时，应考虑含n H 的均值不等式。
例5：若,,m n N m n ∈<，求证：1111mnm n ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明：由n n G A ≤有1111111mmn m m m -⎛⎫⎛⎫+=+⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123个11111nnm n m m n n ⎡⎤⎛⎫+⋅+- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥≤=+ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦∵ 111m+≠，∴上式不可能取等号。
故原不等式得证。
例6：设12,,n a a a ⋅⋅⋅是1，2，…n 的一个排列，求证：12123n n-++⋅⋅⋅+≤11223n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+证明：∵12,,n a a a ⋅⋅⋅是1，2，…n 的一个排列 ∴()()()()()()121111112111n a a a n -++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅-+12n a a a =⋅⋅⋅于是11223n n a a a a a a -++⋅⋅⋅++11112n++⋅⋅⋅+ =11223n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+12111na a a +++⋅⋅⋅+112123111n na a a a a a a -++=+++⋅⋅⋅+n ≥≥而1112n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭12123n n -⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭所以12123n n-++⋅⋅⋅+≤11223n na a a a a a -++⋅⋅⋅+说明：由于不等式的左边值的估计较为不便，且右边由于排列的任意性导致若直接用均值不等式放缩则“度”太大了，所以本题采用在两边均加上11112n++⋅⋅⋅+的变形处理。
例7：设为正实数，求证：(1)(1)(1)2(1a b c b c a +++≥+ 证明：(1)(1)(1)2a b c a b c a b cb c a b c a c a b+++=++++++ ()()()1a a a b b b c c cb c a b c a b c a=++++++++-1≥1312(1=-≥+-=+ ，构造均值定理是本题的关键。
例8： ,,a b c R +∈,求证:2223()()()a bcb cac aba b c b c a c a b +++++≥+++ 证明 左边=222(1)(1)(1)3()()()a bcb cac aba b c b c a c a b ++++++++-+++ ()()()()()()3()()()a b a c b c b a c a c b a b c b c a c a b ++++++=++-+++3≥3=3≥3233=⨯-=.注:本题多次利用了均值不等式本题也可以由2()a bc c caa b c a b ab bc+=++++∑∑∑,再处理. 例9：已知,,,+∈R c b a 求证：.43)()()(3322322322≥+++++b a c a c b c b a 分析：通过放缩，将异分母化为同分母，从而构造成出一些“零件不等式”，最后，将这些“零件不等式”相加，即可得出原不等式的证明。
证明：3)()(22))((22)(22)(333323322c b c b a ac b c b a ac b a ac b a ++++≥++⋅=+=+cb a a ++•=343 ① 同理可得 cb a ba cb ++•≥+332243)( ② cb ac b a c ++•≥+332243)( ③将①、②、③三个零件不等式相加，得332232232243)()()(≥+++++b a c a c b c b a 注：本题的技巧在于将三个异分母的分式放缩成三个同分母的分式，构造出“零件不等式”①、②、③。
例10：如图△及其内接△分原三角形所得△、△、△中，至少有一个三角形的面积不大于原△面积的（这里所指△的内接三角形，是顶点D 、E 、F 分别在△三条边上的三角形）证明：如图，设△三边，，，且，，，，，，逆用公式，并注意到,于是有 ，，， 更注意到若S △、S △、S △皆大于S △的，（*）式不可能成立，故所给四个三角形面积中，至少有一个不大于类似例子很多，望同学们在做题实践中，更多予以总结，不断提高自己的分析，归纳解题能力。
例11：已知0,1,2,i m i n >=⋅⋅⋅，1p ≥，1111npi im ==+∑， 求证：()121npn m m m n ⋅⋅⋅≥-证明：令11i p i x m =+，则1p ii ix m x -=，且11ni i x ==∑∴12111i i i n x x x x x x -+-=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()11111i i n n x x x x --+≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴()()()121212111n p p p nnx x x m m mx x x --⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ()()1111121211nn n n n nnnn x x x n -----⋅⋅⋅≥=-∴()121npn m m m n ⋅⋅⋅≥-说明：本题采用变量代换的方式清晰地展现了已知条件与结论表达式中变量的关系。
