均值不等式及其证明复习过程

均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xx x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。

当且仅当a=b=c时，等号成立。

3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。

当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。

x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。

(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。

另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

均值不等式证明均值不等式是一个非常重要的数学定理，它被广泛应用于数学、物理、经济等学科中。

均值不等式的证明是数学证明中的一种非常重要的方法，通过均值不等式的证明，我们可以体会到数学证明的思路和方法。

本文将详细介绍均值不等式的证明，让读者更深入地了解这个重要的数学定理。

首先，我们来介绍一下均值不等式的概念。

均值不等式是指对于n个实数a1，a2，……，an，它们的算术平均数和它们的几何平均数之间有如下关系：(a1+a2+……+an)/n ≥ (a1×a2×……×an)^(1/n)其中“≥”表示大于等于的关系。

这个不等式告诉我们，对于一组实数，它们的算术平均数一定大于等于它们的几何平均数。

并且，当这组实数中每个数都相同时，这个不等式取等。

这就是均值不等式，它是一个非常重要的不等式。

接下来，我们将介绍均值不等式的证明方法。

首先，我们来证明一个简单的均值不等式，即两个数的均值不小于它们中的较小值。

假设a和b是两个实数，不妨假设a≥b，那么它们的算术平均数是(a+b)/2，它们的几何平均数是(a×b)^(1/2)。

我们需要证明(a+b)/2 ≥ (a×b)^(1/2)。

我们先把等式两边平方，得到：(a+b)^2/4 ≥ a×b化简后得到：a^2+b^2+2ab/4 ≥ a×b即：a^2+b^2 ≥ 2ab这个不等式显然成立，因为它等价于(a-b)^2 ≥ 0。

因此，我们证明了两个数的均值不小于它们中的较小值。

接下来，我们来证明n个数的均值不等式。

我们先不妨假设这n个数是正实数，否则我们可以通过取绝对值来获得正实数的情况。

假设a1，a2，……，an是n个正实数，它们的算术平均数是A，几何平均数是G。

则有：A = (a1+a2+……+an)/nG = (a1×a2×……×an)^(1/n)接下来，我们需要证明A≥G。

均值不等式的拓展形式有很多，这里以算术-几何平均值
（AM-GM）不等式为例，介绍其证明方法：
第一步，首先考虑非负实数的情况。

设x1,x2,…,xn为非负实数，考虑AM-GM不等式，即x1+⋯+xn≥x1⋯xn等号成立当且仅当x1=⋯=xn。

第二步，使用反向数学归纳法证明该不等式。

首先对k用归纳法证明：x1+⋯+x2k2k≥x1⋯x2k2k，其中k=1时该结论易证。

第三步，假设该结论对k-1成立，即若记G=x1⋯x2k−12k−1，
G′=x2k−1+1⋯x2k2k−1，由该结论分别在k-1和1时的情况成立，可知x1+⋯+x2k2k≥2k−1G+2k−1G′2k≥GG′=x1⋯x2k2k等号成立当且仅当
x1=⋯=x2k−1, x2k−1+1=⋯=x2k且G=G′，即所有xi均相等。

第四步，这表明该结论对k也成立。

以上表明，原命题P(n)对无穷多个正整数n=2k成立。

第五步，对任意给定的正整数n≥2，设原命题P(n)成立，则在P(n)中令xn=A:=x1+⋯+xn−1n−1可得x1+⋯+xn−1+An (=A)
≥x1⋯xn−1An⟹A≥x1⋯xn−1n−1且等号成立当且仅当所有xi均相等。

这表明P(n−1)也成立。

因此，算术-几何平均值（AM-GM）不等式得证。

n元基本不等式的证明过程n元基本不等式是指对于任意实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立，(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1 a2 ... an)^(1/n)。

这个不等式也被称为均值不等式或者幂平均不等式。

证明过程如下：首先，我们可以使用数学归纳法来证明这个不等式。

当n=2时，不等式成立。

这是因为对于任意实数a和b，有(a+b)/2 ≥ √(ab)，这是平均值不等式的形式。

接下来，假设对于任意正整数k，不等式对于n=k成立。

我们来证明不等式对于n=k+1也成立。

考虑实数a1, a2, ..., ak+1，我们可以将它们分成两组，(a1, a2, ..., ak)和ak+1。

根据我们的假设，对于前面的k个数，不等式成立，(a1 + a2 + ... + ak)/k ≥ (a1 a2 ... ak)^(1/k)。

对于ak+1，我们可以将它看做是一个数的情况，即n=1的情况，不等式显然成立，ak+1 ≥ ak+1。

现在我们考虑这两组数的加权平均值。

设前面k个数的加权平均值为A，即A = (a1 + a2 + ... + ak)/k，加权平均值的定义是A = (w1a1 + w2a2 + ... + wkak)，其中w1, w2, ..., wk是权重，满足w1 + w2 + ... + wk = k。

那么我们可以得到ak+1的加权平均值为ak+1 = (1/k)ak+1。

根据加权平均值不等式，我们有A ≥ (a1 a2 ...ak)^(1/k)，ak+1 ≥ (a1 a2 ... ak)^(1/k)。

将这两个不等式相乘，我们得到A ak+1 ≥ (a1 a2 ... ak)^(1/k) (a1a2 ... ak)^(1/k) = (a1 a2 ... ak ak+1)^(1/k)。

因此，我们有(A ak+1)/2 ≥ (a1 a2 ... akak+1)^(1/(k+1))。

均值不等式证明过程
嘿，朋友们！今天咱来唠唠均值不等式的证明过程。

你说这均值不等式啊，就像一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！它就好像是一个公平的裁判，告诉你几个数的平均水平和它们的乘积之间有着特别的关系。

咱就拿两个正数 a 和 b 来说吧。

它们的算术平均值就是 (a+b)/2，几何平均值呢就是根号下 ab。

那为啥说均值不等式厉害呢？咱想想啊，如果有一堆苹果要分给两个人，算术平均值就像是平均分，让每个人得到的差不多；而几何平均值就像是一种更紧凑的分配方式，保证了整体的“紧凑性”。

那怎么证明它呢？咱可以这样来想呀。

你看，(a-b)² 总是大于等于 0 的吧，这没毛病吧？展开它就得到a² - 2ab + b² 大于等于 0 呀。

把式子稍微变一变，就得到a² + 2ab + b² 大于等于 4ab 啦。

然后再把左边变成
(a+b)²，这不就出来了(a+b)² 大于等于 4ab 嘛。

两边同时开方，再除以4，不就得到了 (a+b)/2 大于等于根号下 ab 嘛！咋样，是不是挺神奇的？
这就好比盖房子，均值不等式就是那稳固的根基，有了它，上面才能建起高楼大厦呀！你再想想，如果没有这个不等式，那数学世界得变得多么混乱呀！
而且哦，均值不等式的应用可广啦！在好多实际问题里都能看到它的影子呢。

比如计算面积啦、优化资源分配啦等等。

所以说呀，可别小瞧了这均值不等式，它可是数学里的大宝贝呢！咱可得好好把它弄明白，让它为咱的数学学习助力呀！这就是均值不等式的证明过程和它的重要性，你说是不是很有意思呢？。

代数角度证明均值不等式代数角度证明均值不等式1. 引言在数学中，均值不等式是一类重要的不等式，它描述了数列中各项的平均值与其它特殊平均值之间的关系。

这些不等式具有广泛的应用，涉及到函数论、概率论、数论等领域，并被用于证明数学的许多重要结论。

本文将从代数的角度来证明均值不等式，以帮助读者更深入地理解这一概念。

2. 均值不等式的定义对于一个非负实数数列 $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$，其算术均值定义为 $A=\frac{1}{n}(a_1+a_2+\ldots+a_n)$，几何均值定义为$G=\sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n}$。

均值不等式可以表述为：当数列中的每一项都非负时，有 $A\geq G$。

当且仅当数列的每一项都相等时，等号成立。

3. 证明思路要证明均值不等式，我们可以利用代数的方法来推导。

我们可以用代数平方的方式，将均值不等式转化为一个关于平方的形式，再通过代数运算进行证明。

在证明过程中，我们可以使用一些常见的代数恒等式和不等式，如柯西-施瓦茨不等式、阿姆-哥耳定理等。

4. 证明过程设 $x=a_1 a_2 \ldots a_n$，则我们需要证明的是$\left(\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\right)^2 \geq x$。

将左边展开并移项得到 $a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 \geq nx$。

接下来，我们可以使用数学归纳法来证明这个不等式。

当 $n=2$ 时，我们有 $a_1^2+a_2^2 \geq 2a_1 a_2$，这是由 $(a_1-a_2)^2\geq 0$ 得到的。

对于 $n=2$ 的情况，不等式成立。

假设对于 $n=k$ 的情况，不等式成立，即$a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2 \geq kx$。

我们需要证明对于$n=k+1$ 也成立。

考虑 $b_1 = \frac{a_1+a_2+\ldots+a_k}{k}$ 和 $b_2 = a_{k+1}$，根据柯西-施瓦茨不等式可得：$(b_1^2+b_2^2)(k+1) \geq (a_1+a_2+\ldots+a_k+a_{k+1})^2$展开后整理可得：$(k+1)(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2)+a_{k+1}^2+2b_1 b_2 \geq (a_1+a_2+\ldots+a_k)^2+2(a_1+a_2+\ldots+a_k)a_{k+1}+a_{k+ 1}^2$再次使用柯西-施瓦茨不等式可得：$(k+1)(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2)+a_{k+1}^2+2b_1 b_2 \geq (a_1+a_2+\ldots+a_k+a_{k+1})^2$由归纳假设可知，$a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2 \geq kx$，$a_{k+1}^2 \geq x$，因此：$(k+1)(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2)+a_{k+1}^2 \geq(k+1)x+x=(k+2)x$所以对于 $n=k+1$ 的情况，不等式也成立。