解： a
b
a
3
b
a
a
a
b
6
b
b
2 2
a a b 6 b
2
2
a a b cos 6 b
62 6 4 cos 60 6 42 72
例 5 .已 知 |a| 3 ,|b|4 ,当 且 仅 当 k为 何 值 时 ， 向 量 a kb 与 a kb 互 相 垂 直 ？
a b a b 0
其中θ是 a 与 b 的夹角。
定义理解： a·b= |a| |b| cosθ
(1)a ·b不能写成 a×b ,a×b 表示向量的另一种运 算．
(2)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号
由夹角 决定；
当0 9时0，
ab 0
当 90 时， 当90 1时80，
ab 0
ab 0
a
与
b
夹角
120,求
a b .
解：a • b |a||b|cos
5 4 cos120
5 4( 1)
10
2 cos a • b
| a || b |
已知 a
5, b
4且
a
b
10
,求
a
与
b
的夹角
.
平面向量的数量积的几何意义
B
a • b a • b • cos
b
O
a B1 A
作OA a，OB b，过点B作 BB1垂直于直线OA，
如图可知： (ab)cacbc
|O B 1 | |O B |c o s |a b |c o s
|OA1||a|cos1
|A 1 B 1| |A B 2| |b|c o s2
