高中数学人教A版必修4讲义：第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念含答案

高中数学人教A 版必修4第二章平面向量2.1.1向量的物理背景与概念学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则这n 个向量( ) A ．都相等 B ．都共线 C ．都不共线 D ．模都相等2．已知圆心为O 的⊙O 上三点A 、B 、C ，则向量BO⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A ．有相同起点的相等向量B ．长度为1的向量C ．模相等的向量D ．相等的向量3．下列说法中错误的是 ( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段B ．共线的向量,起点不同,终点可以相同C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等二、填空题4．与非零向量a 平行的单位向量有________个．5．设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K,L,M,N 分别是AB,BC,CD,DA 的中点,在以已知各点为起点和终点的向量中,与向量KL 相等的向量是____.参考答案1．D【解析】正n 边形n 条边相等,故这n 个向量的模相等.故选：D.2．C【解析】圆的半径r ＝|BO⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |不一定为1，故选C. 3．C【解析】对于A ，向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示向量，有向线段不是向量，向量也不是有向线段，∴A 正确；对于B ，共线的向量,起点不同,终点可以相同，B 正确；对于C ，长度相等但方向相反的两个向量是共线向量，∴C 错误；对于D ，相等向量的大小相等，方向相同的两个向量，∴方向相反的两个非零向量必不相等，D 正确．故选C ．点睛：本题考查了平面向量的基本概念，注意我们研究的向量根据需要是可以平移的，在平移过程中，仍然是相等向量.4．2【详解】与非零向量a 平行的单位向量即模为1,方向与向量a 相同或相反的向量有两个.故答案为25．NM【解析】因为点K,L 分别是AB,BC 的中点,所以KL∥AC,KL=12 AC,因为点M,N分别是CD,DA的中点,所以MN∥AC,MN=12 AC,所以KL∥MN,KL=MN,所以KL NM.故答案为NM点睛：本题考查了对相等向量的理解，充分利用中位线定理转化线段间的关系.。

描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做 ，长度为 的向量叫做零向量(zero vector)，记做 ．零向量的方向不确定．长度等于 个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 （parallel vectors），向量 、 平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量 与 相等，记做 ．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若 ， 是单位向量，则 ；⑥ 若非零向量 与 是共线向量，则四点 共线．其中真命题的个数为（ ）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（ ）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为 ，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示， 是正六边形 的中心．（1）与 的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与 长度相等、方向相反的向量？（3）与 共线的向量有哪些？解：（1）因为 的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有 个，所以共有 个与 的模相等的向量．（2）存在，是 ．（3）有 、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

2.1平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1.【题文】下列各量中不是向量的是（ ） A ．浮力 B ．风速 C ．位移D ．密度2．【题文】在下列判断中，正确的是( )①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤ D ．①③⑤3．【题文】若AB AD =且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形4．【题文】已知：如图，D ，E ，F 依次是等边三角形ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量AD 共线的向量有（）A ．个B ．个C ．个D ．个5．【题文】下列说法正确的有( )①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A ．个 B ．个 C ．个 D ．个6．【题文】给出下列说法：①AB 和BA 的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④0=0；⑤AB CD >，其中正确说法的个数是( )A. B. C. D.7．【题文】若四边形ABCD 是矩形，则下列说法中不正确的是 （ ） A ．AB 与CD 共线B ．AC 与BD 共线C ．AD 与CB 是相反向量 D ．AB 与CD 的模相等8.【题文】下列说法正确的是( )A ．有向线段AB 与BA 表示同一向量 B ．两个有公共终点的向量是平行向量C ．零向量与单位向量是平行向量D ．对任一向量，aa是一个单位向量 二、填空题9．【题文】如图，正六边形ABCDEF 中，点O 为中心，以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中，与向量AB 平行的向量有个（含AB ）．10.【题文】给出下列四个条件：①=a b ；②=a b ；③与的方向相反；④0=a 或0=b ，其中能使a b 成立的条件有________．11．【题文】下列说法中，正确的是 ． ①向量AB 的长度与BA 的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是相等向量，则A、B、C、D能构成平行四边形．三、解答题12．【题文】如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中：（1）找出与向量EF相等的向量；（2）找出与向量DF相等的向量．13．【题文】如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是DB，EC 的中点，求证：向量DE与FG共线．14．【题文】如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：（1）与向量CD共线的向量；（2）与向量DF的模相等的向量；（3）与向量DE相等的向量.2.1平面向量的实际背景及基本概念参考答案与解析一、选择题1.【答案】D【解析】根据向量的定义，从大小和方向两个方面考虑，可知密度不是向量．考点：平面向量的概念.【题型】选择题【难度】较易2．【答案】D【解析】由零向量与单位向量的概念知①③⑤正确．考点：零向量与单位向量.【题型】选择题【难度】较易3．【答案】C【解析】四边形ABCD中，∵BA CD=，∴BA CD，且BA CD=，∴四边形ABCD是平行四边形.又AB AD=，∴平行四边形ABCD是菱形.考点：相等向量.【题型】选择题【难度】较易4．【答案】C【解析】∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，∴AD∥EF ，∴与向量AD共线的向量有AB，FE，EF，DA，BA，BD，DB，共7个．考点：共线向量.【题型】选择题【难度】较易5．【答案】A【解析】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故①错误；长度为的向量叫零向量，故②正确；通过平移能够移到同一条直线上的向量叫共线向量，故③错误；零向量的方向是任意的，故④错误；共线向量方向相同或相反，⑤正确；平行向量方向相同或相反，故⑥错误，因此②与⑤正确，其余都是错误的，故选C.考点：相等向量，共线向量.【题型】选择题【难度】一般6．【答案】B【解析】①正确，AB与BA是方向相反、模相等的两个向量；②错误，方向不同包括共线反向的向量；③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；④错误，是一个向量，而为一数量，应为0=0；⑤错误，向量不能比较大小.只有①正确，故选B.考点：向量的有关概念.【题型】选择题【难度】一般7．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB CD且AB CD=，AD CB，∴AB 与CD共线，且模相等，AD与CB是相反向量，∵AC与BD相交，∴AC与BD不共线，故B错误.考点：共线向量，相等向量.【题型】选择题【难度】一般 8. 【答案】C【解析】向量AB 与BA 方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当=0a 时，aa无意义，故A 、B 、D 错误．零向量与任何向量都是平行向量，C 正确．考点：平行向量;单位向量. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9． 【答案】10【解析】正六边形ABCDEF 中，点O 为中心，以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中，与向量AB 平行的向量有,,,,,,,,,AB BA OC CO OF FO CF FC DE ED ，共10个． 考点：平行向量. 【题型】填空题 【难度】较易 10.【答案】①③④【解析】因为与为相等向量，所以a b ，即①能够使a b 成立；=a b 并没有确定与的方向，即②不能够使ab 成立；与方向相反时，a b ，即③能够使a b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以0=a 或0=b 时，a b 能够成立．故使a b 成立的条件是①③④.考点：平行向量. 【题型】填空题 【难度】一般11． 【答案】①【解析】对于①，向量AB 与BA 互为相反向量，长度相等，正确；对于②，因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，所以②错误；对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，所以③错误； 对于④，向量AB 与向量CD 是相等向量，则A 、B 、C 、D 可能在同一直线上，则A 、B 、C 、D 四点不一定能构成平行四边形，所以④错误．综上，正确的是①． 考点：平面向量的概念. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12．【答案】（1）,BD DA （2）,BE EC【解析】（1）∵E ，F 分别为BC ，AC 的中点， ∴EFBA ，且12EF BA =，又D 是BA 的中点， ∴EF BD DA ==，∴与向量EF 相等的向量是,BD DA .（2）∵D ，F 分别为BA ，AC 的中点， ∴DFBC ，且12DF BC =， 又E 是BC 的中点，∴DF BE EC ==， ∴与向量DF 相等的向量是,BE EC ． 考点：共线向量.【题型】解答题【难度】较易13．【答案】详见解析【解析】证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE BC，∴四边形DBCE是梯形．又∵F，G分别是DB，EC的中点，∴FG是梯形DBCE的中位线，∴FG DE.∴向量DE与FG共线．考点：向量共线.【题型】解答题【难度】一般14．【答案】（1）,,,,,,BD BC EF DB CB FE DC（2）,,,,FD AE EA EB BE（3）,CF FA【解析】根据三角形中位线的性质及共线向量及相等向量的概念即可得到：（1）与向量CD共线的向量为,,,,,,BD BC EF DB CB FE DC．（2）与向量DF的模相等的向量为,,,,FD AE EA EB BE．（3）与向量DE相等的向量为,CF FA．考点：相等向量，平行向量. 【题型】解答题【难度】一般。

向三要素构成；而向量只有大小和方向两要素，因此二者是两个完全不同的概念．目标引领把目标板书在黑板的右上角，并引领学生进行解读。

一起朗读目标。

以目标引领学习的全过程。

活动导学1．向量与数量。

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 2．向量的几何表示。

(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示，向量AB →的大小也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.向量也可以用字母a 、b 、c …表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如AB →、CD →. 【问题导思】零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？【提示】零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同. 名称 定义零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量下列说法正确的有________．(1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；(2)向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上； (3)向量AB →与BA →是平行向量； (4)任何两个单位向量都是相等向量．【思路探究】 明确向量的有关概念，根据定义进行判定． 【自主解答】 (1)错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系．(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量A B →、C D →必须在同一直线上，因此点A 、B 、C 、D 不一定在同学生带着问题去阅读课本。

学生自己动手尝试。

教师通过分析、讲解，帮助学生理解概念。

通过例1来加深对“向量”的理解。

一条直线上．(3)正确．向量A B→与B A→是长度相等，方向相反的两个向量．(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．【答案】(3)1．单位向量、零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的．2．对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．判断下列说法是否正确，并简要说明理由：(1)零向量只有大小没有方向；(2)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量；(3)若向量a与向量b同向，|a|＞|b|，则a＞b；(4)若a＝b，b＝c，则a＝c.【解】(1)不正确，零向量的长度为零，方向是任意的，并不是没有方向．(2)正确，相等向量的方向相同，因此必是平行向量，但平行向量的长度不一定相等，因此不一定是相等向量．(3)不正确，向量不能比较大小．(4)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.(1)已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．图2－1－1(2)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．①作出向量AB→，BC→，CD→. ②求AD→的模．【思路探究】 1.向量BC→与CB→是相等向量吗？可以从哪两个角度列学生通过两道变式，增强学生的理解与把握。

《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计一、教材内容分析1．教材的地位和作用本节内容是选自人教A版高中数学必修4第二章第一节，由于向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，因而成为数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用.本节课是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习.2.学情分析：高一学生在认识能力、抽象能力和思维能力等方面相对较弱，由于对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以学生对它的认识不可能一步到位。

因此，进行概念教学时，除了对概念进行逐字逐句分析外，还要通过日常生活中的实例和不同的例题对概念进行分析，并通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入。

3.教学目标的确定根据本课教材的特点，新课标的教学要求，学生身心发展的需要，本节课确定教学目标如下：知识与技能（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.过程与方法引导发现法与讨论相结合。

这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。

体现了在老师的引导下，学生的主体地位和作用。

第二章平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念（一）导入新课思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.图1思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.（二）推进新课、新知探究、提出问题①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？③数量与向量的区别在哪里？活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题. 讨论结果:①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题①如何表示向量?②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦数量与向量有什么区别?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面.|.有向线段包含三个要素:已知,线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作AB起点、方向、长度.图2知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是:1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:.这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用a)3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作||(或|a|).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义.讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.（三）应用示例例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C 两地的位移.(精确到1 km)图5分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000) 表示A地至C地的位移,且||≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.变式训练一个人从A 点出发沿东北方向走了100 m 到达B 点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m 到达C 点,求此人从C 点走回A 点的位移.图6解:根据题意画出示意图,如图6所示. ||=100 m,|BC |=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC 为正三角形.∴|CA |=100 m,即此人从C 点返回A 点所走的路程为100 m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C 点走回A 点的位移为沿西偏北15°方向100 m.图7例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. (1)ABCD 中,与是共线向量;(2)单位向量都相等.活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.因为AB//CD,所以AB ∥CD .由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.解:(1)正确;(2)不正确.点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.图8例3 如图8,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中所示向量与OC OB OA相等的量. 活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断与EF,与AF是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解:==;==;===.点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.变式训练本例变式一:与向量长度相等的向量有多少个？(11个)本例变式二:是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？(存在)例4 下列命题正确的是( )A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.答案:C点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.变式训练1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆答案:D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案:B（四）课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.（五）作业。

2.1 平面向量的实际背景及基本概念A 级 基础巩固一、选择题1．下列命题中，正确命题的个数是( )①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a |a |.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．答案：D2．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝1⇒a ＝±1 B ．|a |＝|b |且a ∥b ⇒a ＝b C ．a ＝b ⇒a ∥b D ．a ∥0⇒|a |＝0解析：两共线向量的模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行．答案：C3．如图所示，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量 答案：C4．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE→＝PF → D.EP→＝PF → 解析：由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP→与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →. 答案：D5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形解析：由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD →|知四边形ABCD 为菱形．答案：C 二、填空题6．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 三点不共线，所以AB →与BC →不共线，又因为m ∥AB →且m ∥BC →，所以m ＝0.答案：07．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案：28．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：53 2三、解答题9．如下图，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→的模相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．解：(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊12BC.又因为D是BC的中点，所以与EF→共线的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)与EF→的模相等的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)与EF→相等的向量有DB→，CD→.10.如图所示，两人分别从A村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km到了B村，另一人沿北偏西30°方向行走了 3 km 到了C村，问B、C两村相距多远？B村在C村的什么方向上？解：由题可知|AB →|＝1，|AC →|＝3，∠CAB ＝90°，则|BC →|＝2，又tan ∠ACB ＝|AB →||AC →|＝13＝33，所以∠ACB ＝30°，故B 、C 两村间的距离为2 km ，B 村在C 村的南偏东60°的方向上．B 级 能力提升1．已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定解析：因为|OA →|＝2，所以终点A 到起点O 的距离为2. 又因为O 点固定，所以A 点的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆． 答案：C2．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号)．解析：因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④.答案：①③④3．如图的方格纸由于若干个边长为1的小正方体并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →； (2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由(1)所画的图知， ①当点C 位于点C 1或C 2时， |BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5或C 6时，|BC →|取得最大值42＋52＝41；所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。

第二章平面向量本章教材分析1．丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2．教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3．本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.4.§2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.二、教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

从近几年的高考试题来看，高考对于向量知识的考查，多以选择题、填空题的形式出现，题目难度不大，共线向量的考查频率较高，向量的线性运算也常与函数等知识综合命题，题目比较新颖。

知识点一 向量的概念及表示思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 思考2 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案 可以用一条有向线段表示．思考3 向量可以用有向线段表示，那么能否说向量就是有向线段？答案 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．梳理 (1)向量：具有大小和方向的量称为向量．只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量． (2)有向线段：从点A 位移到点B ，用线段AB 的长度表示位移的距离，在点B 处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB 具有从A 到B 的方向．具有方向的线段，叫做有向线段．点A 叫做有向线段的始点，点B 叫做有向线段的终点．有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示位移的距离，位移的距离叫做向量的长度．(3)以A 为始点，以B 为终边的有向线段记作AB →，AB →的长度记作|AB →|，如果有向量线段AB →表示一个向量，教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.向量的概念数学抽象水平1水平21.向量是一个既有大小又有方向的量，方向和大小是向量的两个要素。

2.注意向量共线与线段共线不同【考查内容】本节内容是平面向量的基础知识，在高考中很少单独考查，但常与后面的知识综合命题。

【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.零向量、单位向量、向量的模的概念数学抽象 水平1 水平23.相等向量、相反向量的概念数学抽象 水平1 水平24.共线向量的概念数学抽象 水平1 水平2 第一讲 平面向量的实际背景和基本概念知识通关本章综述通常我们就说向量AB →. 知识点二 相等向量思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？ 答案 因为向量AB →和向量BA →方向不同，所以二者不相等． 思考2 两向量相等需要具备哪些条件？答案 需要具备两个条件：长度相等、方向相同．梳理 (1)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．(2)如果AB →＝a ，那么AB →的长度表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |.两个向量a 和b 同向且等长，即a 和b 相等，记作a ＝b . 知识点三 向量共线或平行 思考1 共线向量的方向有何特征？ 答案 共线向量的方向相同或相反．思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案 不相同．我们说到向量，指的都是自由向量，因此向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合． 梳理 (1)通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的基线(如图)．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a 平行于b ，记作a ∥b .(2)长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行． 知识点四 位置向量任给一定点O 和向量a (如图)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的位置向量．题型一 向量的概念例1 已知下列命题.①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②如果向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线；③如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；④两个向量不能比较大小，但是它们的模能比较大小.其中正确的命题为A.①③④B.③④C.④D.②③解析： 对于①，向量是矢量，用有向线段表示，但有向线段本身不是向量，所以①错误；对于②，当向量AB →与向量CD →共线时，A ，B ，C ，D 四点不一定共线，所以②错误；对于③，当a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a ∥c 不一定成立，所以③错误；对于④，向量是矢量，两个向量不能比较大小，它们的模能比较大小，所以④正确.综上，正确命题的序号是④.故选C. 答案 C变式训练1 下列说法错误的有________.(填上你认为所有符合的序号) ①两个单位向量不可能平行；②两个非零向量平行，则它们所在直线平行； ③当两个向量a ，b 共线且方向相同时，若|a |＞|b |，则a ＞b .解析： ①错误，单位向量也可能平行；②错误，两个非零向量平行，它们所在直线还可能重合；③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小. 答案 ①②③题型二 共线向量与相等向量例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1) 写出与EF →共线的向量； (2) 写出与EF →的模大小相等的向量； (3) 写出与EF →相等的向量．解析： (1)因为E ，F 分别是AC ，AB 的中点， 所以EF ∥BC ，且EF ＝12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.变式训练2如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．(1) 与OA →的模相等的向量有多少个？(2) 是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3) 与OA →共线的向量有哪些？解析： (1)与OA →的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．(2)存在．由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →长度相等、方向相反的向量有AO →，OD →，FE →，BC →，共4个．(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，共9个．题型三 向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1) 作出向量AB →，BC →，CD →； (2) 求|AD →|.解析： (1)向量AB →，BC →，CD →如图所示．(2)由题意易知，AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线． 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.变式训练3 在如图的方格纸中，画出下列向量.(1) |OA →|＝3，点A 在点O 的正西方向； (2) |OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3) 求出|AB →|的值.解析： 取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知， (1)(2)的向量如图所示.(3)由图知，△AOB 是等腰直角三角形， 所以|AB →|＝|OB →|2－|OA →|2＝3.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．一、选择题1．下列结论正确的个数是()①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若|a|>|b|，则a>b.A．0 B．1 C．2 D．3解析：①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对．答案 B2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：②③④⑤是向量．答案 C3.如图，在四边形ABCD中，若AB→＝DC→，则图中相等的向量是()A.AD→与CB→B.OB→与OD→C.AC→与BD→D.AO→与OC→解析：∵AB→＝DC→，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC，BD互相平分，∴AO→＝OC→.答案 DA组基础演练4．以下命题：①|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量． 其中，正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析： ②④错误． 答案 C5．若a 为任一非零向量，b 的模为1，给出下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③ D ．②③解析：①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误； ④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B. 答案 B6．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A. AB →＝OC →B. AB →∥DE → C . |AD →|＝|BE →| D. AD →＝FC →解析：由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →不共线，故AD →≠FC →，故选D. 答案 D7．下列说法中正确的是( )A ．有向线段AB →与BA →表示同一个向量 B ．两个有公共终点的向量是平行向量 C ．零向量与单位向量是平行向量 D ．对任一向量a ，a|a |是一个单位向量解析： 向量AB →与BA →是相反向量；有公共终点的向量的方向不能确定；当a ＝0时，a |a |无意义．故只有C 选项正确． 答案 C8．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析： 由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD →|知四边形ABCD 为菱形．故选C ． 答案 C9.下列命题中，正确的是A.|a |＝1⇒a ＝±1B.|a |＝|b |且a ∥b ⇒a ＝bC.a ＝b ⇒a ∥bD.a ∥0⇒|a |＝0 解析： 两向量共线且模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行. 答案 C10.下列结论中，不正确的是A.向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →意义是相同的 B.若AB →＝CD →，则AB →∥CD →C.若向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝bD.若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →解析： 平行向量又叫共线向量.相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C 错误.故选C. 答案 C二、填空题11．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________． 解析： ∵AB →＝DC →，∴AB ∥DC ，且AB ＝DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形． 答案 菱形12．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.→00①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0. 答案 ③14．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，BO →(OD →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素． 答案 12三、解答题15.如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1) 写出与AF →，AE →相等的向量； (2) 写出与AD →的模相等的向量．解析： (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →.(2)与AD →的模相等的向量有DA →，CF →，FC →.16．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a .(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．17．如图2-1-6所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →且CN →＝MA →，求证：DN →＝MB →.图2-1-6证明： 因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ， 所以四边形ABCD 是平行四边形，所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB ． 又因为DA →与CB →的方向相同， 所以CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， 所以CM →＝NA →.因为|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， 所以|MB →|＝|DN →|. 又DN →与MB →的方向相同， 所以DN →＝MB →.18. 一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地.(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位移.解析： (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示.(2)由题意知AD →＝BC →.所以AD 綊BC ， 则四边形ABCD 为平行四边形.所以AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位移为“北偏东60°，6千米”.一、选择题1．下列说法错误的是( )A ．若a ＝0，则|a |＝0B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的解析： 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任一向量都平行，所以B 是错误的．答案 B2．下列说法中正确的个数是( )①任一向量与它的相反向量都不相等；②一个向量方向不确定当且仅当模为0；③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；④单位向量的模都相等．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C3.下列说法中，正确的是A.两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B.模为0的向量叫做零向量C.向量就是有向线段D.任何向量的模都是正实数解析： 选项A ，因为向量的方向和长度未知，所以向量的终点未必相同；选项C ，向量与有向线段是两个不同的概念；选项D ，零向量的模是0，故D 错误.故选B.答案 B4.下列说法中：①若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反.②若向量AB →是单位向量，则向量BA →也是单位向量.③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同.其中正确的个数为A.0B.1C.2D.3解析： 由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确；因为|AB →|＝|BA →|，所以当AB →是单位向量时，BA →也是单位向量，故②正确；据相等向量的概念知，③是正确的.答案 C5.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则以下说法错误的是( )A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →)B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C.BD →的模恰为DA →的模的3倍D.CB →与DA →不共线解析： 由于AB →＝DC →，因此与AB →相等的向量只有DC →，因此选项A 正确；而与AB →的模相等的向量有DA →，DC →，AC →，CB →，AD →，CD →，CA →，BC →，BA →，因此选项B 正确；而在Rt △AOD 中，∵∠ADO ＝30°，∴|DO →|＝32|DA →|，故|DB →|＝3|DA →|，因此选项C 正确；由于CB →＝DA →，因此CB →与DA →是共线的 答案 D6．下列说法正确的是( )A. AB →∥CD →表示AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在一条直线上的向量解析： AB →∥DC →表示AB →所在的直线平行于DC →所在的直线，或AB →所在的直线与DC →所在的直线重合；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A ，B ，D 均错误答案 C 7．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a |>|b |，则a >bD ．单位向量的长度为1解析：A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．答案 D8．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( )A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →)B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C.BD →的模恰为DA →模的3倍D.CB →与DA →不共线解析：两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．答案 D9．给出下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0. 其中的正确命题有( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确． 答案 A10.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式成立的是A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析： 根据相等向量的定义，A 中，AD →与BC →的方向不同，故A 错误；B 中，AC →与BD →的方向不同，故B错误；C 中，PE →与PF →的方向相反，故C 错误；D 中，EP →与PF →的方向相同，且长度都等于线段EF 长度的一半，故D 正确.答案 D二、填空题11．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)解析： 相等向量一定是共线向量，故①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，故④能使a ∥b .答案 ①③④12．给出下列三个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即①不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ， 即②能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是②③.答案 ②③13．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析： 因为A ，B ，C 三点不共线，所以AB →与BC →不共线．又因为m ∥AB →且m ∥BC →，所以m ＝0.答案 014．给出以下五个条件：①a ＝b ；②|a|＝|b|；③a 与b 的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．解析：共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显仅有①③④.答案 ①③④三、解答题15. O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图2-1-5所示的向量中：图2-1-5(1) 分别找出与AO →，BO →相等的向量；(2) 找出与AO →共线的向量；(3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？解析： (1) AO →＝BF →，BO →＝AE →.(2) 与AO →共线的向量有：BF →，CO →，DE →.(3) 与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.(4) 向量AO →与CO →不相等，因为它们的方向不相同．16．如图，已知AA ′—→＝BB ′—→＝CC ′—→.求证：(1) △ABC ≌△A ′B ′C ′；(2) AB →＝A ′B ′——→，AC →＝A ′C ′——→.证明： (1)∵AA ′—→＝BB ′—→，∴|AA ′—→|＝|BB ′—→|，且AA ′—→∥BB ′—→.又∵点A 不在BB ′—→上，∴AA ′∥BB ′，∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴|AB →|＝|A ′B ′——→|.同理|AC →|＝|A ′C ′——→|，|BC →|＝|B ′C ′——→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′——→，且|AB →|＝|A ′B ′——→|，∴AB →＝A ′B ′——→.同理可证AC →＝A ′C ′——→. 17．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明：∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →，∴|CB →|＝|DA →|.同理可得，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →.∴|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|，又DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.高中数学，同步讲义必修四第二章平面向量第一讲平面向量的实际背景和基本概念。

学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标第二章平面向量学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2．1平面向量的实际背景及基本概念学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标学案·新知自解学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．2．理解零向量、单位向量、两个向量平行(共线)、两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标向量的定义大小方向既有_____，又有_____的量称为向量．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标向量的表示方法学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标向量的长度（模）|AB→|(或|a|)表示向量AB→(或a)的_____，即长度(也称模)．与向量有关的概念大小学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标向量的平行或共线学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[化解疑难]注意以下几组量的关系 (1)向量与有向线段的关系：如果有向线段AB →表示一个向量，通常我们就说向量AB →，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(2)向量与数量的区别：①向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；②数量可以比较大小，而向量无法比较大小．即使有|a|>|b|也不能说a>b，特殊地，若向量a与b是相等向量，记作a＝b；③0与0不同，虽然|0|＝0，但0是向量，而0是数量．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(3)平行向量、共线向量与相等向量的关系：①平行向量也是共线向量，与有向线段的起点无关；②要区别平行向量与平行直线的位置关系；③将一向量按某一方向平移后，得到的向量与原向量是相等向量；④相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．答案：D学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2．如图，在矩形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ) A.DA →和BC →B.DC →和AB →C.DC →和BC →D.DC →和DA →解析： 易知AB →＝DC →.答案： B学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标3．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析： ∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， ∴m ＝0.答案： 0学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标教案·课堂探究学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标向量的有关概念自主练透型有下列说法：①向量AB →和向量BA →长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC →是有向线段；④向量0＝0；⑤向量AB →大于向量CD →；⑥若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一直线上；⑦单位向量相等；⑧四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB →＝DC →；⑨一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑩共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．其中正确的是________．(只填序号)学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析： 序号 正误 原因 ① √ |AB →|＝|BA →|＝AB② × 因为平行向量包括方向相同和相反两种情况 ③ × 向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来④ × 0是一个向量，而0是一个数量⑤ ×向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标⑥ × 共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两向量在同一直线上 ⑦ × 单位向量的模均为1，但方向不确定 ⑧ √ 由AB →＝DC →，得AB ∥DC 且AB ＝DC ⑨ √ 零向量的模为零且方向不确定 ⑩×共线的向量，若起点不同，终点也可以相同答案： ①⑧⑨学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华]上述概念性问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量；还有如单位向量，任何一个非零向量都有单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1．判断下列说法是否正确，不正确的说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析：(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标向量的表示多维探究型(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝5，画出所有的向量AC →；(2)已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．①作出向量AB →，BC →，CD →，DA →.②问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析： (1)画出所有的向量AC →，如图所示．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(2)①由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示，②依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 0002，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°.所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华]用有向线段表示向量的步骤及注意事项(1)步骤(2)注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2．在某军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A 处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北走了120 km到达C 地，最后又改变方向，向南偏东45°突进80 2 km到达D处，完成了对蓝军的包围．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(1)在如图所示的坐标纸上，用直尺和圆规作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求出|AD →|.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析： (1)向量AB →，BC →，CD →如图所示：(2)|AD →|＝202＋402＝205(km)．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标共线向量与相等向量多维探究型学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？ (4)请一一列出与a ，b 相等的向量．学案·新知自解 教案·课堂探究练案·学业达标 [边听边记] (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. (4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华](1)寻找相等向量，先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线；寻找共线向量，先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量．(2)向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来.学案·新知自解 教案·课堂探究 练案·学业达标3．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(1)与DO →，CO →相等的向量；(2)写出与DO →共线的向量；(3)写出与AO →模相等的向量．学案·新知自解 教案·课堂探究 练案·学业达标解析： (1)DO →＝CF →，CO →＝DE →.(2)与DO →共线的向量为：CF →，BO →，AE →.(3)与AO →模相等的向量有：DO →，CO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标练案·学业达标点击进入WORD链接学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标谢谢观看！。