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土质学与土力学第4章 土中应力计算

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4土中应力的计算

4土中应力的计算
y x
y x
) xz x (1 P(1 )P xz x 2 u ( 1 ) u (1 2 3 ) 3E 2 R ( R z ) R 2E R R( R z ) 1 ) yz y (yz P (1v )P y ( 1 2 ) 2 3 v ( 1 ) E R R ( R z ) 2 3 2E P R R ( R z ) 2 1 (1 2 ) z w 12 (1 ) 3 P (1 ) 2 z E R R ) w 3 2(1 2E R R
第4章
土中应力的计算
土体受到力的作用，以内力的形式作出响 应，即产生内力，内力的集度称为应力。 应力按起因可分为：自重应力和附加应力。
土中某点的总应力=
该点的自重应力与附加应力之和。
应力按分担作用可分为： 有效应力和孔隙应力（孔隙压力）。
土中某点的总应力=
该点的有效应力与孔隙应力之和。
均质土中的自重应力
关于基底压力简化计算的说明
基底压力的简化计算
（一） 中心荷载下的基底压力P(kPa)
室内设计地面 G
d d
F
+0.00
+0.00
G
F
室外设计地面
b
b
p (a) (b)
p
d — 基础埋 深(m)；必 须从设计地 面或室内外 平均设计地 面算起。
F G p A
F — 作用任基础上的竖向力设计值(kN)； G — 基础自重设计值及其上回填土总重 (kN)；G=GAd , 其中G为基础及回填土之 平均重度，一般取20kN/m3。
单向偏心荷载下的基底压力
单向偏心荷载 下，设计时通常 取基底长边方向 与偏心方向一致， 此时两短边边缘 最大压力设计值 pmax 与最小压力设 计 值 pmin 按 材 料 力学短柱偏心受 压公式计算：

土力学与地基基础4.土中应力计算

土力学与地基基础4.土中应力计算

第四章地基土中的应力计算★概述★土中自重应力计算★基底压力的分布与计算★地基附加应力及有效应力原理第一节概述地基应力计算的目的：1. 计算土体变形，比如建筑物地基的沉降；2. 土体承载力与稳定性分析。

一、地基土中应力分类1.按引起的原因分为自重应力和附加应力自重应力——由土体自身重量所产生的应力。

附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力增量。

一、地基土中应力分类2.按作用原理或应力传递方式分为有效应力和孔隙应（压）力有效应力——土粒所传递的粒间应力，它是控制土的体积（或变形）和强度两者变化的土中应力。

孔隙应（压）力——由土孔隙中的水和气体所传递的应力。

二、基本假设视地基土体为连续体半无限的线弹性体均质各向同性体按《弹性力学》的方法进行计算。

三、土中一点的应力状态土中一点的应力状态：---土中一点在各个方向上应力的数值。

三、土中一点的应力状态土力学中，法向应力以压应力为正，拉应力为负。

剪应力的正负号规定是：当剪应力作用面上的法向应力方向与坐标轴的正方向一致，则剪应力的方向与坐标轴正方向一致时为正，反之为负。

第二节自重应力的计算一、均质土体1.竖向自重应力2.水平向自重应力K 0-土的静止侧压力系数z FFz cz γγσ=•=二、成层土体地基为不同土层且无地下水ii h γσ∑=三、有地下水时的自重应力地下水位以下的砂土、粉土以及粘性土液性指数大于等于1时均取浮重度；粘性土液性指数小于等于0时取天然重度，在0～1之间时依最不利原则取其天然或浮重度。

例题4-1、4-2、4-3例题4-3两者相比较可以看出，当地下水位下降时，会引起有效自重应力的增加。

地下水位的升降，使地基土中自重应力也相应发生变化。

当地下水位长期下降时，地基中有效应力增加，从而引起地面大面积沉降；当地下水位长期上升时，会引起地基承载力减少、湿陷性土的塌陷等现象。

第三节基底压力和基底附加压力计算地基---建筑物影响范围内的有限土层。

土力学 第四章 土中应力计算

土力学 第四章 土中应力计算

地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
2. 矩形面积中点下竖向附加应力
z 0p
0
f
l b
,
z b
应力系数 表 4-8
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
a
da
d
A
b
c
b
c
A
M M
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
0.89
Qi
10
1.581 0.158 0.449
0.045
Qs
10
0.707 0.071 0.471
0.047
解答
z 2m :
8
z zi 4 0.36 0.89 5.0kPa i 1
z 10m :
8
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa i 1
地基附加应力计算
o
x
zx z
y
z
xz
x
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
平面应变状态——平面问题，二维问题 对应的工程问题：条形基础，路堤，堤坝等
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij=
x 0xy xz 0yx yy 0yz
zx 0zy z
土中应力计算的有关问题
•土类
地基条件 •密度
•土层结构
基底压力的分布与计算
基底压力分布
绝对柔性基础
基础的抗弯刚度EI→0； 基础变形完全贴合地基表面的变形; 基础底面的压力分布与荷载的分布 形状完全相同。

第4章1 土中应力计算

第4章1 土中应力计算
F
d 1m
l 6m 分析：1、计算基底压力
2、计算基底附加压力
3、根据l/b、z/b查表得c
4、计算附加应力
b 3m
某矩形基础的底面尺寸为6m×3m，埋深为1m，设计 地面以上荷载为900kN，地基土重度为18.5kN/m3。求基底 角点下6m及10m处附加应力值。
解：1、计算基底压力
Wx

lb2 6
Wy

bl 2 6
4.基底附加压力
• 基底附加压力：基底压力与基底处建造前土重自重应力 之差。 F
p0 p ch p g mh
g0：基底标高以上天然土层的加权平均重度；
h：基础埋深。
§4.4 地基中附加应力的计算
4.4.1 竖向集中力下的地基附加应力
1. 公式推导 • 假定：地基是均质的线性变形半空间。 • 采用弹性力学中应力位移解。
2. 地基：半无限空间
∞
0
∞
x
3. 土力学中符号的规定
y z
压为正 拉为负
∞
§4.2 自重应力
1.均质土中自重应力
• 土的天然重度g (kN/m)
• 任意深度z处 • 单位面积土重
cz
W F

gz 1 gz
1
cz
z
• 地下水位以上用天然容重γ • 地下水位以下用浮容重γ’
2. 成层土中自重应力
2. 例题分析
在地表面作用集中力p＝100kN，计算地面下深度z＝2m 处水平面上的附加应力σz分布及距F作用点r＝1m处竖直面 上的附加应力σz分布。
z r r/z
α
z

p z2
2 0 0 0.4775 11.9

第四章 土中应力计算

第四章 土中应力计算

第四章土中应力计算主要内容第一节概述第二节土中自重应力计算第三节基底压力计算第四节土中附加应力计算第五节有效应力原理第一节概述土中应力（stress in soil）是由地基上的作用在土中引起的应力。

一、分类1、按引起的原因分自重应力：由土体自重产生的应力。

附加应力：由外部作用，在土中产生的应力。

2、按分担物质分有效应力：由土骨架传递或承担的应力。

是土体产生变形和强度的真正应力。

孔隙水应力：由土中孔隙水传递或承担的应力。

二、分析计算方法1、弹性力学法2、数值计算方法，比如差分法、有限元法等。

自重应力（geostatic stress ）是由土体自重产生的应力。

一、假定1、土体表面为无限大的水平面。

2、土体在自重的作用下已压缩稳定。

二、竖向自重应力计算1、成层土式中z ：计算点到地表的距离，m ；γi ：第i 层土的重度，地下水位以下采用浮重度γ'；h i ：第i 层土的厚度，m 。

∑==n i ii cz h 1γσz h n i i =∑=12、有隔水层时⑴隔水层效应隔水层面以上水的静压力使隔水层面以下土的有效应力增加。

⑵计算公式式中：γw :水的重度，可取10.0kN/m 3；h w :地下水位到隔水层面的距离，m 。

ww ni i i cz h h γγσ+=∑=1二、水平自重应力计算式中：k 0：土的侧压力系数；μ：土的泊松比。

三、自重应力分布规律1、均质土中线性分布；2、随深度逐渐增加；3、一般呈折线分布；4、隔水层面处，突然增加。

czcy cx k σσσ0==μμ-=10k第三节基底压力计算基底压力(contact pressure of foundation base)：作用于基础底面处土层单位面积上的压力。

一、影响基底压力分布的因素1、荷载大小和分布。

2、地基土的性质和分布。

3、基础和上部结构与地基的相对刚度。

3、基础大小、形状和埋深。

二、基底压力简化计算1、假设：基底压力为线性分布。

土力学1-第4章-土中应力计算

土力学1-第4章-土中应力计算

a
a
a
a
σ σ' u
更直观？
课堂讨论：有效应力原理的不同形式
26
§3.2 有效应力原理 A： 土单元的断面积 As：颗粒截面的面积 Aw： 孔隙水的断面积 a-a 断面竖向力平衡： A 外荷载 总应力 A
A As Aw
P
sv
+u Aw
a
a
As A
P
As
太沙基–土力学的奠基人
17
§3.2 有效应力原理
土体是由固体颗粒骨架、孔隙流
体（水和气）三相构成的碎散材 料，受外力作用后，总应力由土 骨架和孔隙流体共同承受
• 对所受总应力，骨架和孔隙 流体如何分担？ • 它们如何传递和相互转化？ • 它们对土的变形和强度有何 影响？
外荷载 总应力
Terzaghi的有效应力原理和固结理论

有效应力原理的讨论
23
§3.2 有效应力原理
孔隙水压 力的作用 有效应力 的作用 简单实例
讨论：
海底与土粒间的接触压力 哪一种情况下大？
1m
σz=u=0.01MPa
104m
σz=u=100MPa
有效应力原理的讨论
24
• 一个例子——深海底的土层是否要承受很大的压力？
总应力
w H sat h
应力正负号规定-应力计算
6
§3.1 地基中的应力状态
三维应力状态（一般应力状态）
o
y
x
yz
z
zx xy
γ xy εy
1 2
z
σx σ ij τ yx τ zx τ xy σy τ zy τ xz τ yz σz

第4章 土中应力计算

z
3 pz 2
3
r
R 2 2

0
2

( r 2 r cos z )
2 5/ 2
1
0
d d
z
c p
c —应力系数，是(r/R)及(z/R)的函数
查表4-6，4-7
2．矩形面积均布荷载作用
(1) 矩形面积中点0下土中竖向应力计算
dP pdxdy
d z
W.T.
1 h 1 + 2 h 2
1 h1 + 2h2 + 3h3
1.地下水位以上土层采用天 然重度，地下水位以下土层采 用浮重度。 2.分层地基中自重应力沿深 度呈折线分布。 3. 地下水位以下埋藏有不透 水层，不存在水的浮力，自重 应力应按上覆土层的水土总重 计算。
3. 地下水位以下情况 的进一步讨论
K e
L x 3K y L
p min 0
应力重分布 结果 反力 = 荷载
p max
e=B/6: 三角形
K=B/2-e
p max
e>B/6: 拉力??
p max
2P 3KL
基底压力重分布
F+G
偏心荷载大小与基底压力的合力 相等 偏心荷载作用线与基底压力的合 pmax 力作用线重合
e L
F G
2 2 2

o
x
x
z
zx yz y
R
xy x
y
z
2 2 2
R r z x y z
（P；x,y,z；R, α, β)
布辛涅斯克解答
竖向应力

z

3 r 2 1 z

土力学第四章 土中应力计算

土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素（如地下水渗流、地 震等）作用下，均可产生土中应力。土中应力将引起土体或地基变形，使土 工构筑物（如路堤、土坝等）或建筑物（如房屋、桥梁、涵洞等）产生沉降 、倾斜以及水平位移。土体或地基的变形过大时，往往会影响路堤、房屋和 桥梁等的正常使用。土中应力过大时，又会导致土体的强度破坏，使土工构 筑物发生土坡失稳或使建筑物地基的承载力不足而发生失稳。
建 筑
上部结构 （a）理想柔性基础； （b）路堤下的基底压力
物
设
基础
计
地基
（2）刚性基础。基底压力大小、分布状况与上部荷载的大小、分布状况 不相同。
例如：砂土地基 黏性土地基
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
粘性土地基
三、基底压力的简化计算
1、中心荷载下的基底压力
1H1
sz
2H2
2H3
sy
sx
z
说明：
1.地下水位以上土层采用天然重度，地下水位以下土层采用浮重度 2.非均质土中自重应力沿深度呈折线分布
均质地基
1 (1 2)
2
2
成层地基
例题分析
【例4.1】某地基土层情况及其物理性质指标如下图所示，试计算 a、b、c三个点 处的自重应力，并画出应力分布图。 【解】 首先确定各层土的重度。 粗砂：在水下且透水，采用浮重度，有
2）基础的刚度、平面形状、尺寸大小、埋置深度有关；
3）作用在基础上的荷载性质、大小和分布情况有关；
4）地基土的性质有关。
二、基底压力的分布规律
基础按刚度分为：（1）柔性基础（抗弯曲变形能力为0） （2）刚性基础（抗弯曲变形能力为∞） （3）有限刚性基础（弹性地基上梁板分析方法）

土中应力的计算公式


2z3 pd
b 2

x


2

z2


p
arctan
1

2n'

arctan 1
2n'


2m
2m

4m 4n'2
4n2 4m2 1 4m2 1 2 16m2


u
p
土中应力计算
2) 计算土中任一点的主应力
取元素荷载宽度dx，可知
几种常见的基础底面形状及分布荷载
土中应力计算
作用时，土中应力的计算公式
圆形面积上作用均布荷载时
中点下
空间问题 矩形面积上作用均布荷载时 角点下
竖向分布荷载 作用下，土中 应力计算
任一点 矩形面积上作用三角形分布荷载时
均布线性荷载作用时
平面问题
任一点竖向应力
均布条形荷载作用时
任一点主应力
三角形分布条形荷 载作用时
1

2

3) 三角形分布条形荷载作用下的土中应力计算
土中应力计算
在地基表面作用三角形分布条形 荷载，其最大值为Pm，计算土中点 M(x，z)的竖向应力(如图所示)，可 按公式(4.17)在宽度范围内积分即得：
z
4.4.1 竖向集中力作用下的土中应力计算
法国数学家布西奈斯克 (J.Boussinesq)1885 年 给 出 了弹性力学的解答。
土中应力计算
α 是的(r/z)函数，可制成表 格查用。见表4-1。
4.4.2 竖向分布荷载作用下土中应力计算
土中应力计算
若在半无限土体表面作用一分
布荷载p(x,y) 。为了计算土中某

4 土中应力计算 (2)

在求解地基中的附加应力时，一般假定地基土是连续、均 匀、各向同性的弹性体，然后根据弹性理论的基本公式进 行计算。 按照问题的性质，将应力划分为空间（三维）问题和平面
问题两大类型。
矩形、圆形等基础（l/b<10）下的附加应力计算即属空间问 题（其应力是x,y,z的函数）； 条形基础（l/b≥10）下的附加应力计算即属于平面问题（其 应力是x, z的函数），坝、挡土墙等大多属于条形基础。
矩形面积均布荷载作用时土中竖向应力计算
1. 中点O下土中竖向应力
应力系数，是n=l/b及 m=z/b的函数，表4-8
土质学与土力学——土中应力计算
33
4.5 竖向均布荷载作用下土中应力计算
矩形面积均布荷载作用时土中竖向应力计算
2. 角点下的竖向应力
dP
p
y
x
应力系数，是n=l/b及 m=z/b的函数，表4-9
递给地基，作用于基础底面传至地基的单位面积压力 F
土质学与土力学——土中应力计算
15
4.3 基底压力分布与计算

影响基底压力的因素:基础的形状、大小、刚度，埋置深度，基础上
作用荷载的性质（中心、偏心、倾斜等）及大小、地基土性质
土质学与土力学——土中应力计算
16
4.3 基底压力分布与计算
一、中心荷载作用下的基底压力
28
4.4 竖直集中力作用下土中应力计算
多个集中力及不规则分布荷载作用
等代荷载法
Fn F1 F2 1 z 1 2 2 2 .... n 2 2 z z z z
F
i 1 n
n
n
例题4-4
29
土质学与土力学——土中应力计算
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均按不利状态考虑。
4.2
土中自重应力计算
若地下水位以下的土受到水的浮力作用,则水下部分土
的重度应按有效重度 γ' 计算 , 其计算方法同成层土体的情
况。 在地下水位以下,如果藏有不透水层(如,岩层或只含结 合水的坚硬黏土层 ), 由于不透水层中不存在水的浮力 , 所 以层面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计 算。如图4-4虚线所示。
4.1
概述
2)土的非均质性和非理想弹性体的影响。土在形成过程中具有各 种结构与构造 ,使土呈现不均匀性。同时土体也不是一种理想的弹性 体,而是一种具有弹塑性或黏滞性的介质。但是,在实际工程中土中应 力水平较低,土的应力-应变关系接近于线性关系,可以应用弹性理论方 法。因此,当土层间的性质差异不大时,采用弹性理论计算土中应力在 实用上是允许的。 3) 地基土可视为半无限体。半无限体就是无限空间体的一半 , 即 该物体在水平向x轴及y轴的正负方向是无限延伸的,而竖直向z轴仅只
4.2
土中自重应力计算
假设土体是均匀的半无限体,土体在自身重力作用下任 一竖直切面都是对称面,切面上不存在剪应力。因此,在深
度z处平面上,土体因自身重力产生的竖向应力 σcz(简称为
自重应力) 等于单位面积上土柱体的重力 W,如图4-2所示。
图4-2
均质土的自重应力分布
4.2
土中自重应力计算
均质土体
图4-1
土中一点的应力状态
4.1
概述
则作用在单元体上的3个法向应力分量为σx、σy、σz,6
个剪应力分量为τxy=τyx、τyz=τzy、τzx=τxz。剪应力的脚
标前面一个英文字母表示剪应力作用面的法线方向 , 后一 个表示剪应力的作用方向。在土力学中规定法向应力以压 应力为正,拉应力为负。 剪应力的正负号规定是当剪应力作用面上的法向应力 方向与坐标轴的正方向一致时 , 则剪应力的方向与坐标轴 正方向一致时为正, 反之为负。
4.2.1
当地基是均质土体时,在深度z处土的竖向自重应力为
γ——土的重度(kN/m3); z——计算深度(m); F——土柱体的截面积,现取F=1。 从式 (4-1) 知 , 自重应力随深度 z 线性增加 , 呈三角形分 布,如图4-2所示。
4.2
土中自重应力计算
成层土体
4.2.2
当地基是成层土体时 , 各土层的厚度为 hi, 重度为 γi, 在
4.2
土中自重应力计算
图4-4
水下土的自重应力分布
4.2
土中自重应力计算
水平向自重应力计算 σcx=σcy=K0σcz(4-3)
4.2.4
土的水平向自重应力σcx、σcy 按式(4-3)计算,即
式中 K0——侧压力系数,也称静止土压力系数。
【例4-1】某土层及其物理性质指标如图4-5所示。计 算土中自重应力。
深度 z处土的竖向自重应力也等于单位面积上土柱体的重 力 如图4-3所示 σcz=(W1+W2)=γ1h1+γ2h2 从式(4-2)知,成层土体的自重应力分布是折线形,如图 4-3所示。 即 。
4.2
土中自重应力计算
图4-3
成层土的自重应力分布
4.2
土中自重应力计算
土层中有地下水
4.2.3
计算地下水位以下土的自重应力时,应根据土的性质确
在图4-1所示的法向应力及剪应力均为正。
4.1
概述
土中某点的应力按产生的原(2)自重 Nhomakorabea力与附加应力
因分为自重应力与附加应力两种。
由土体重力引起的应力称为自重应力。自重应力一般 自土形成时就在土中产生,因此也将它称作为长驻应力。 附加应力是指由外荷载(如建筑物荷载、车辆荷载、土 中水的渗流力、地震力等)的作用,在土中产生的应力增量。 修建建筑物后,土中的应力为自重应力和附加应力之和 ,称为总应力,即总应力=自重应力+附加应力。
定是否需要考虑水的浮力作用。通常水下的砂性土需要考 虑浮力作用,黏性土则视其物理状态而定。
一般认为,若水下的黏性土液性指数 IL≥1, 则土处于流动状态,土 颗粒之间存在着大量自由水,此时可以认为土体受到水的浮力作用;若
IL≤0, 则土处于固体状态 , 土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻碍
不能传递静水压力 , 认为土体不受水的浮力作用 ; 若 0<IL<1, 土处于 塑性状态时,土颗粒是否受到水的浮力作用就较难确定 ,一般在实践中
解:第一层土为细砂,地下水位以下的细砂是受到水的浮力作用,其
浮重度γ'1为 γ'1==kN/m3=10.0kN/m3
4.2
土中自重应力计算
第二层黏土层的液性指数IL=(ω-ωP)/(ωL-ωP)=(50-25)/(4825)=1.09>1,故认为黏土层受到水的浮力作用,其浮重度为 γ'2==7.1kN/m3
第 4章
□4.1 □4.2 概述
土中应力计算
土中自重应力计算
□4.3
□4.4 □4.5 □4.6 □4.7
基础底面的压力分布与计算
竖向集中力作用下土中应力计算 竖向分布荷载作用下土中应力 有效应力概念 其他条件下的地基应力计算
4.1
4.1.1
概述
土中应力计算方法
土中应力产生的条件不同,分布规律和计算方法也不同。主要采用弹 性理论公式,即把地基土视为均匀的、各向同性的半无限弹性体。实际 上, 土体是一种非均质的、各向异性的多相分散体 , 是非理想弹性体 , 采 用弹性理论计算土体中应力必然带来计算误差,但对于一般工程,其误差 是工程所允许的。但对于许多复杂条件下工程的应力计算 ,应采用其他 更为符合实际的计算方法,如非线性力学理论、数值计算方法等。采用 弹性理论虽然同土体的实际情况有差别 ,但其计算结果基本能满足实际 工程的要求,其主要理由如下: 1) 土的分散性影响。土是三相组成的分散体 ,而不是连续介质 , 土中 应力是通过土颗粒间的接触而传递的。但是,由于建筑物基础面积尺寸 远远大于土颗粒尺寸,同时研究的也只是计算平面上的平均应力,而不是 土颗粒间的接触集中应力。因此可以忽略土分散性的影响 ,近似地将土 体作为连续体考虑,而应用弹性理论。
在向下的正方向是无限延伸的 ,向上的负方向等于零。地基土在水平
向及深度方向相对于建筑物基础的尺寸而言 ,可以认为是无限延伸的。 因此,可以认为地基土符合半无限体假定。
4.1
概述
土中一点的应力状态
4.1.2
(1) 法向应力与剪应力
土体中某点 M 的应力状态 , 可
以用一个正六面单元体上的应力来表示。若半无限土体所 采用的直角坐标系如图4-1所示。