第五章 固体中电子的能量状态

反键态
导带
3p sp3
3s 成键态 价带
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紧束缚近似对原子的内层电子是相当好的近似，它还可用来近似地 描述过渡金属的 d 带、类金刚石晶体以及惰性元素晶体的价带。紧 束缚近似是定量计算绝缘体、化合物及半导体特性的有效工具。 （10） 能带的三种图象
扩展布里渊区图象： 不同的能带在 k 空间中不同的布里渊区中给出。每一个布里渊区有 中一个能带，第 n 个能带在第 n 个布里渊区中。
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由于认为 k 与 k+Gl 等价，因此可以认为 En(k)是以倒格矢 Gl 为周 期的周期函数，即对于同一能带 n，有
En (k) = En (k +Gl)
（11）能带的性质
¾ 能带具有周期性
E (k ) = E (k + n 2π ) a
电子波矢
k ' = k + n 2π a
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—— 第一布里渊区和第二布里渊区能带的重叠
（9）原子能级与能带的对应 对于原子的内层电子，其电子轨道很小，因而形成的能带较 窄。这时原子能级与能带之间有简单的一一对应关系。
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E
对于外层电子，由于其电子轨道较大，形成的能带就较宽。 这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单的一一对应关 系。一个能带不一定与孤立原子的某个能级相对应，可能会出现能 带的重叠。 在某些情况下还可能出现不同原子态的相互作用。如：Si 的价带与 导带。
电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任 何力 的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子势 场的作用。
在一定的条件下根据布洛赫定理可知电子不再是完全被束 缚在某个原子周围，而是可以在整个固体中运动，称为共有 化电子。
电子受到的势场
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薛定谔方程：
[− h2 ∇2 +V (rv)]ψ (rv) = Eψ (rv) 2m
Ψ= Aeikx A：归一化因子，由归一化条件确定。
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∫(V
ψ
)
k*ψ
k
dτ
=1
A= 1 V
∴ψ k (r )
1 exp(ik ⋅ r )
V
k：电子波矢
3.电子的能量状态
E
E = (hk)2
2m
k
电子的能量
E = h2 k2 2m
=
h2 2m
(k
2 x
+
k
2 y
+
k
具有性质：
ψ(rv
+
v Rn
)
=
eikv⋅Rvn
ψ(rv)
其中
v k
为一矢量。
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表明，当平移晶格矢
v Rn
时，只增相因子
eikv⋅Rvn
根据布洛赫定理可以把波函数写成：
其中
ψ
r k
(rr)
=
eikr⋅rrukr
(rr)
ukr
(rr
+
r Rn
)
=
ukr
(rr)
即 u(rv) 与晶格具有相同的周期性。
5.基态与费米面 费米面的一个非常重要的慨念。 基态, T=0K。 费米面：在绝对零度下，k 空间中被电子占据与未被占据状态
的分界面（等能面）。 费米球：以费米波矢为半径而构成的球。
定义费米波矢:
N
=
2 ρ (k )⋅ 4 πk 3
3
=
V 4π 3
⋅
4 3
π
k
3 F
=
V 3π 2
k
3 F
( ) N
电子数： kF
特点： １.电子的能量是量子化的; ２.电子的运动有隧道效应; 3. 越是外层电子，能带越宽，ΔE 越大; 4. 点阵间距越小，能带越宽，ΔE 越大; 5. 两个能带有可能重叠。 （7）布里渊区和能带 —— 在 k 空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，k 空间 分割为许多区域 —— 每个区域内 E~k 是连续变化的，而在这些区域的边界上能量 E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区 简单立方晶格 k 空间的二维示意图
部分填充的
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导带。 半导体: 禁带宽度一般较窄：Eg 介于 0.2 ~ 3.5 eV 之间
常规半导体：如 Si：Eg ~ 1.1eV； Ge： Eg ~ 0.7 Ev GaAs： Eg ~ 1.5 eV 宽带隙半导体：如 β－SiC： Eg ~ 2.3 Ev 4H－SiC： Eg~ 3 eV 绝缘体：禁带宽度一般都较宽， Eg >几个 eV 如 α－Al2O3： Eg~ 8 eV；NaCl： Eg~ 6 eV
在能量为 E 的球体中，波矢 k 的取值总数为 ρ (k) ⋅ 4 π k3
3
Z(E)
=
ρ(k )⋅
4 3
πk 3
=
V 8π
3
⋅
4 3
π ⎜⎛ ⎝
2mE h2
⎟⎞3/ 2 ⎠
能级数为：
=
V 6π
2
⎜⎛ ⎝
2mE h2
⎟⎞3/ 2 4πV ⎠
(
2m h2
)3/
2
E1/ 2
=
C
E
(V = L3)
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（3）晶体中电子的波函数
布洛赫定理和布洛赫波函数
晶体中的电子是在一个具有晶格周期性的势场中运动，其单电
子波动方程为
[− h2 ∇2 +V (rr)]ψ(rr) = Eψ(rr) 2m
其中
V
(rr
+
r Rn
)
=
V
(rr)
v Rn
=
n1av1
+
n2av2
+
n3av3
——任意格矢
布洛赫定理： 当晶格势场具有周期性时，波动方程的解（波函数）
h−1
d2ε d2k
dk dt
=
1 (h2
d2ε d2k)F
1 = 1 d 2ε m * h2 dk 2
三维情况：
1 = 1 d 2ε mμν * h2 dkμ dkν
• 有效质量为张量 • 价带顶附近的有效质量量为负
• 导带底附近的有效质量为正
（13）与能带有关的概念
满带、导带和近满带中电子的导电能力，空穴概念
的布洛赫函数
ψk+n2π a
(x)
i(k+n2π )x
=e
u a k+n2π
a
(x)
=
eikx[ei
2nπ a
x
uk+n2π
(x)]
ψ k+n2π (x) = eikxuk (x) =ψ k (x)
a
a
—— 在 k 的状态中观察到的物理量与在 k’的状态中是相同的
E(k) = E(k + n 2π ) a
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—— 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带 —— 不同的布里渊区对应不同的能带 —— 每一个布里渊区的体积相同，为倒格子原胞的体积 —— 每个能带的量子态数目：2N（计入自旋） —— 三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，使得不同的能 带发生重叠 （8）能带重叠的条件
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第五章 固体中电子的能量状态
【教学目的】通过本章学习，要求学生掌握金属、晶体及半导体中 能带结构、形成及特点，同时掌握能带间电子的跃迁。 【教学内容】固体能带理论、半导体的能带、固体中的元激发 【教学重点】能带的形成及特点 【教学方法及手段】多媒体课件展示图、表
5.1 能带理论
能级密度为：
G(E)
=
dZ dE
=
V 4π
2
⎜⎛ ⎝
2m h2
⎟⎞3/ ⎠
2
E =C
E
(V = L3 )
考虑电子自旋，如将每一个自旋态看作一个能态，在能量为 E
的球体中，电子能态总数为
z(E)
=
2ρ(k )⋅
4 3
πk 3
=
2
V 8π
3
⋅
4 3
π ⎜⎛ ⎝
2mE h2
⎟⎞3/ 2 ⎠
=
V 3π
2
⎜⎛ ⎝
越大。
( ) E (k) = h2k2 2m
= h2 2m
k
2 x
+
k
2 y
+
k
2 z
能量 E 的分布是以波矢 k 为半径的一球体。
k 空间中单位体积包含的 k 点的数目为：
ρ(k) =
V (2π )3
=
(L 2π
)3
( ) E (k) = h2k2 = h2 2m 2m
k
2 x
+
k
2 y
+
k
2 z
k' = k + n 2π a
—— 三维情况中表示
v
vv
E(k ) = E(k + Gn )
2. 能带具有对称性
E(k) = E(−k)
（12）电子的准经典运动及有效质量
一维情况：
vg
=
dω dk
=
h −1
dε dk
F
=
h
dk dt
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dvg dt
=h−1
d2ε = dkdt