整数规划和0-1规划

线性规划的十种类型
1、标准型线性规划：目标是最大化或最小化一个线性函数的值，约束条件也是线性的。

2、有约束的线性规划：目标是最大化或最小化一个线性函数的值，约束条件是线性或非线性的。

3、整数规划：变量必须是整数值。

4、0-1整数规划：其变量只能是0或1值。

5、二次约束规划：有二次式约束条件。

6、模型规划：模型规划是一种解决方案，用来解决一类问题。

7、受约束的多目标规划：有多个目标函数和各种约束条件，然后通过系统的优化来选择最优的结果。

8、混合整数规划：其中的变量可以是整数也可以是实数。

9、多项式规划：目标函数和约束条件都是多项式的。

10、动态规划：动态规划通常是用来解决某个未来状态要被满足时，对于当前要采取的策略最佳化的问题。

0—1型整数规划模型1. 0—1型整数规划模型概述整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。

在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。

0—1型整数规划的的数学模型为：目标函数 n n x c x c x c z Min Max +++= 2211)(约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥≤++=≥≤++=≥≤++1| 0 ) ,() ,() ,(22112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21这里，0 | 1表示0或1。

2. 0—1型整数规划模型的解法0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量nx x x , , ,21 的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中求出最优解。

这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也几乎是不可能的。

隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。

此时，就只能用穷举法了。

3. 应用实例例1 工程上马的决策问题1）问题的提出某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。

2）模型分析与变量的假设这是工程上马的决策问题，对任一给定的工程而言，它只有两种可能，要么上马，要么不上马，这两种情况分别对应二进制数中的1、0，大凡这样的实际背景所对应的工程问题，大都可考虑用0—1型整数规划模型建立其相应的模型。

MATLAB 求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约束的，变量范围为有理数的线性规划。

如：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。

但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。

最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。

但LINGO 软件并不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的线性规划完全可以不使用它。

一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ，它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。

我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题。

为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。

我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩阵形式：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∙≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥⎩于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。

求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个函数的使用。

打开MATLAB 帮助文档（PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8级），可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：min .Tx f x A X b s t Aeq X beq lb x ub ≤⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩公式中各符号的意义是自明的，在这里简单介绍下，首先MATLAB 中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A ，b 分别为不等式约束中的系数矩阵。

0—1型整数规划问题的求解方法1、一般来说，碰到了0-1规划的问题，怎么办？枚举，比较每个解对应的目标函数值。

为什么要枚举，是把每一个解都拿出来比较。

因此，有的叫法是显枚举法？2、有显枚举法，就有隐枚举法。

如果说，显枚举法是显式的枚举法，那么隐枚举法就是隐式的枚举法。

都是枚举法，都是要把所有的解带入到目标函数进行比较，对不对？理论上是这样的，可以参考其他的讲解。

但是，其他的地方讲解似乎没有把这个讲解到位，为什么叫隐枚举法。

有一种说法是：设计一种方法，只检查0-1变量组合的一部分，就能得到问题的最优解。

3、首先，如果你不把所有的解都判断一下，我怎么知道那个解是不是最优的解呢？回顾一下LP问题的求解，发现线性规划并不需要判断所有的解，确切的说，是所有的可行解。

只需要在所有的基本可行解里面去寻找最优的解。

因此，0-1规划求解的思路也是一样，是在所有的0-1可行解里面去寻找。

这样，就需要在约束条件里面去一个一个的判断，这个0-1组合是否可行。

所以，隐枚举法的思路，还是枚举法，但是我并不是要把每个解都要进行约束条件的判断，判断他是不是可行，可以只检查所有0-1变量组合的一部分约束条件的判断，这样还是可以得到问题的最优解。

4、接着，那怎么减少约束条件的检查判断呢？设置一个过滤条件，叫做过滤约束，如果这个不满足，那么其他的约束就不用判断了。

因此，隐的意思应该在这里。

问题来了，怎么添加这个过滤约束呢？通过一种方法（试探法），找到一个可行解，然后代入目标函数，得到目标值，这个就得到了一个过滤约束。

求最大值的时候，如果一个可行解的目标值不大于这个约束，那么直接排除。

5、继续。

怎么得到这个过滤约束。

比如下面的例子：一种说法是试探法，随便试探？或者可以从某一个解开始（比如0,0,0）开始递增，直到得到一个可行解，然后就得到了这个过滤约束了，比如上面的例子，我们可以从1,0,0开始递增，先看看这个解是不是可行解。

是在可行解，因此看目标函数值是3，因此得到一个约束，3x1-2x2+5x3>=3过滤约束。

LINDO软件简介/求解线性规划问题LINDO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。

由于LINDO执行速度很快、易于方便输入、求解和分析数学规划问题。

因此在数学、科研和工业界得到广泛应用。

LINDO/GO主要用于解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题。

也可以用于一些非线性和线性方程组的求解以及代数方程求根等。

LINDO/GO中包含了一种建模语言和许多常用的数学函数（包括大量概论函数），可供使用者建立规划问题时调用。

一般用LINDO（Linear Interactive and Discrete Optimizer）解决线性规划（LP—Linear Programming）。

整数规划（IP—Integer Programming）问题。

其中LINDO 6 .1 学生版至多可求解多达300个变量和150个约束的规划问题。

其正式版（标准版）则可求解的变量和约束在1量级以上。

LINGO则用于求解非线性规划（NLP—NON—LINEAR PROGRAMMING）和二次规则（QP—QUARATIC PROGRAMING）其中LINGO ６.0学生版最多可版最多达300个变量和150个约束的规则问题，其标准版的求解能力亦在10^4量级以上。

虽然LINDO和LINGO 不能直接求解目标规划问题,但用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解决的规划问题。

要学好用这两个软件最好的办法就是学习他们自带的HELP文件。

下面拟举数例以说明这两个软件的最基本用法。

（例子均选自张莹《运筹学基础》）例１.（选自《运筹学基础》Ｐ５４.汽油混合问题，线性规划问题）一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数”描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述。

某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为１，２，３，４，其特性及库存量列于下表１中，将上述标准汽油适量混合，可得两种飞机汽油，某标号为１，２，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求列于表２中。

§5.4 0—1型整数规划模型1、 0—1型整数规划模型概述整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。

在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。

0—1型整数规划的的数学模型为：目标函数 n n x c x c x c z M i n M a x+++= 2211)( 约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥≤++=≥≤++=≥≤++1| 0 ) ,() ,() ,(22112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21这里，0 | 1表示0或1。

2、0—1型整数规划模型的解法0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量n x x x , , ,21 的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中求出最优解。

这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也几乎是不可能的。

隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。

此时，就只能用穷举法了。

3. 应用实例例1 工程上马的决策问题1）问题的提出某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。

2）模型分析与变量的假设这是工程上马的决策问题，对任一给定的工程而言，它只有两种可能，要么上马，要么不上马，这两种情况分别对应二进制数中的1、0，大凡这样的实际背景所对应的工程问题，大都可考虑用0—1型整数规划模型建立其相应的模型。