第三章 参数多项式的插值与逼近

高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。

它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。

本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。

一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。

插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。

2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。

通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。

二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。

这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。

差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。

三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。

多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。

2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。

最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。

四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。

而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。

逼近方法和插值方法的比较逼近方法和插值方法是数值分析中常用的两种数据处理技术，它们可以用于解决各种数学问题，例如函数逼近、信号处理、图像处理等。

虽然这两种方法都可以用于拟合数据，但是它们的原理与应用有很大的不同。

在本文中，我们将对逼近方法和插值方法进行比较，并分析它们的优缺点和应用场景。

一、逼近方法逼近方法是一种利用数学模型对实际数据进行拟合的方法。

与插值方法不同，逼近方法不要求通过数据点来直接计算出函数值，而是要求在整个拟合域内，最小化实际数据与拟合函数之间的误差。

因此，在逼近方法中，拟合函数不需要通过所有数据点，只需要通过一部分数据点，从而能够更好地逼近真实的函数。

逼近方法中常用的模型包括多项式模型、三角函数模型、指数模型、小波模型等。

逼近方法相较于插值方法的优点在于，它对数据中的噪声具有一定的容忍度。

由于在逼近过程中，并不要求通过所有数据点，因此可以为一些离群点和噪声点留下一定的空间。

而插值方法则要求通过所有数据点，一旦数据出现噪声点或者离群点，就会对插值结果产生极大的影响。

逼近方法缺点在于，由于逼近过程是基于模型的，因此需要先选定一种适合于实际数据的模型，否则拟合结果可能无法正确表达数据的真实本质。

逼近方法适用于数据比较平滑的情况，例如时间序列数据、声音处理等。

通过选取合适的模型，逼近方法可以更好地保留数据的特征，同时对于部分离群点的情况，也可以提供一定程度的容忍度。

二、插值方法插值方法是一种通过已知数据点，在数据点之间进行插值计算出未知数据点的数值的方法。

插值方法要求通过每个数据点，计算出它们之间的函数值，从而构建出全局的函数。

常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法、三次样条插值法等。

插值方法的优点在于，它可以精确地通过所有数据来计算未知数据值。

但是，插值方法的缺点在于，它对于数据的噪声敏感，并且过度拟合的可能性会很大。

当数据点过多时，插值方法会使插值函数波动较大，从而无法反映数据的真实本质。

插值与逼近一插值多项式有时候我们只知道函数f(x)在区间［a,b ］上的一系列点的函数值，即知道i i y x f =)(，而不知道它在区间［a,b ］上的具体的函数表达式。

所以，无法研究该函数在其它点上的函数值的变化；也有些时候在［a,b ］区间上的函数)(x f 的表达式十分复杂，不便于利用函数的表达式研究问题。

插值法就是构造插值函数)(x p y =去近似被插值函数)(x f y =，使之满足插值条件)(i i x p y =。

通常我们构造插值多项式。

插值多项式就是利用一些已知的函数值所做的既能反映原来函数的主要性质，又有简单形式的一种较好的替代函数。

求插值多项式的基本思想：设函数)(x f 在区间［a,b ］上连续。

已知它在],[b a 上1+n 个互不相同的点nx x x ,,,10Λ处的值n y y y ,,,10Λ。

如果多项式)(x p 在点i x 上满足),,1,0()(n i y x p ii Λ==则称)(x p 是函数)(x f 的插值多项式。

在本章中讨论拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式、埃尔米特插值多项式和分段插值多项式。

1. 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值法是最基本、最常用的插值方法，也是其他插值方法的基础。

我们讲授的拉格朗日插值多项式包括线性插值多项式、抛物线插值多项式和n 次插值多项式拉格朗日插值多项式的公式为：)())(()()()())(()()()()()()()()()(1101000110n i i i i i i i n ini i i ni i i n n o n x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x y x l y x l y x l y x l x L -⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-='-⋅⋅⋅--='-==+⋅⋅⋅++=+-==∑∑ωωωω其中基函数的公式为：),...,2,1()()()())...()()...()(())...()()...()(()(11101110n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l i i n i i i i i i i n i i i ='-=----------=+-+-ωω余项公式为),()()!1()()()()(1)1(b a x n f x P x f x R n n n n ∈+=-=++ξωξ其中拉格朗日插值多项式计算步骤:⑴ 准确计算插值基函数。

多项式插值和最佳逼近简析及比较多项式插值法是将若干离散的数据点用某个规律的多项式的综合函数来拟合表示，适用于已知曲线但未知函数时，利用经过几个点的函数值形成的初等多项式确定曲线上所有点的值。

最佳逼近是以尽量减少离散点与所拟合曲线的均方误差，或者存在一般约束条件下最小化拟合误差的极小曲线为目的。

条件约束的最小曲线常数的综合函数叫做最佳逼近曲线，其特色是在一定条件下准确地逼近离散点，甚至可以精确地逼近实质上的曲线。

比较：
1. 多项式插值更加简单，计算量小，但过拟合的可能性比较大，特别是当数据点分布不够均匀时；
2. 最佳逼近算法比较复杂，耗时较长，但是更拟合数据，并且能够尽量减少离散点与所拟合曲线的均方误差，更能够认型数据分布规律。

多项式插值与数值逼近理论多项式插值和数值逼近是数学分析领域中重要的数值计算方法，在科学计算、数据处理和图像处理等领域具有广泛应用。

本文将介绍多项式插值和数值逼近的基本概念、方法和应用。

一、多项式插值多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数，使该函数在给定点处的函数值与真实值尽可能接近的方法。

插值多项式通过在已知数据点之间“填充”适当的多项式函数，从而实现对未知函数的近似估计。

1.1 基本定义给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，其中x0<x1<...<xn，多项式插值的目标是找到一个n次多项式 P(x)，使得P(xi) = yi 对于所有的 i=0,1,...,n 成立。

1.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式是一种常用的多项式插值方法。

给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，拉格朗日插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( yi * li(x) )其中li(x) = ∏[j=0,n,j≠i]( (x-xj)/(xi-xj) )，称为拉格朗日基函数。

1.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。

给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，牛顿插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( ci * Ni(x) )其中Ni(x) = ∏[j=0,i-1]( x-xj )，ci 是插值节点上的差商。

二、数值逼近数值逼近是一种利用已知数据点来估计未知函数的方法，数值逼近的目标是找到一个函数近似值，使其与真实值之间的差别尽可能小。

数值逼近可以通过多项式逼近、三角函数逼近等方法实现。

2.1 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常用的数值逼近方法。

给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，最小二乘逼近的目标是找到一个 m 次多项式 P(x)，使得P(x) = ∑[i=0,m]( ai * φi(x) )，其中 ai 是待确定的系数，φi(x) 是 m 个已经确定的基函数。

第三章 参数多项式的插值与逼近2009年8月29日10时35分 1本章内容•几何不变性与参数变换•参数多项式插值与逼近的基本概念•参数多项式插值曲线与逼近曲线•张量积曲面•参数双三次曲面片2009年8月29日10时35分 22009年8月29日10时35分 3第一节 几何不变性和参数变换 • 一、几何不变性：1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的 选择，或者说在旋转与平移变化下不变 的性质。

2、曲线曲面的基表示： 0 n i i i P a j = = å r r 其中： 为矢量系数，修改它可以改变曲线曲面的形状i a r i j 为单参数（表示曲线时）或双参数（表示曲面时） 的基函数，决定曲线曲面的几何性质2009年8月29日10时35分 43、基表示的分类：（1）规范基表示：即满足Cauchy 条件 也称权性。

这种表示下，曲线 （面）上的点是矢量系数的一个重心组 合，重心坐标是基函数。

其中 一、几何不变性：0 1n i i j = º å 我们常见的线性插值就是一种规范基表示。

（2）部分规范基表示：即满足 0 1,0 ki i k n j = º£< å 如： 01 () p u a a u =+ r r r 0 1j =一、几何不变性：（3）非规范基表示：除规范基表示和部分规范基表示以外的其它基表示。

4、基表示与几何不变性的关系：曲线曲面的规范基表示具有仿射不变性， 其余两种只具有几何不变性。

5、几何不变性的意义： （1）方便局部坐标与整体坐标之间的转换；（2）便于平移和旋转变换；（3）节省了计算量。

2009年8月29日10时35分 5• 1、概述• 曲线的参数域总是有界的。

• 曲线的参数可能有某种几何意义，也可能没有。

• 曲线的参数化：即确定曲线上的点与参数域中的参数值之间的一种对应关系。

• 这种对应关系可以是一一对应的，也可以不是一一对应的，后者称为奇点（Singularpoint），如曲线的自交点。

多项式逼近和插值多项式逼近和插值是计算数学中的两个基本概念，它们是求一定准确度下函数近似值所必须采用的数值方法。

多项式逼近是指用低阶多项式逼近原函数，插值是利用已知数据点在插值区间内构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。

它们的应用范围很广，包括科学工程计算、图像处理、信号处理等领域。

下面介绍它们的原理和应用。

一、多项式逼近当我们需要用低阶多项式逼近原函数时，可以采用最小二乘法。

最小二乘法是一种在数据拟合中广泛使用的方法，通过将误差的平方和最小化来确定函数的系数。

假设给定函数$f(x)$及其在$n+1$个采样点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$处的值，我们要用一个$m$次多项式$p_m(x)$去逼近$f(x)$。

我们可以将$p_m(x)$表示为$p_m(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_mx^m$，则函数的误差可以表示为$E(a_0,a_1,...,a_m)=\sum_{i=0}^n [f(x_i)-p_m(x_i)]^2$，通过最小化误差函数来确定多项式系数$a_0,a_1,...,a_m$。

最小二乘法可以用线性代数和矩阵计算方法求解。

最小二乘逼近是一种非常有效的数据拟合方法，并且有许多实际应用。

例如，在金融领域中，我们可以用该方法来估计股票期权价格；在图像处理中，我们可以用该方法实现图片的平滑处理和降噪处理。

二、插值插值是利用已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。

插值法可分为以下两种情况：一是利用拉格朗日插值公式，将函数表示为已知节点函数的线性组合；二是利用牛顿插值公式，基于差商的思想构造插值多项式。

两种方法的计算效果是相同的，但在计算机实现过程中，两者有些微小的差别。

在实际应用中，插值方法常常用于图像处理、信号处理、数值微分和数值积分等问题，例如，在金融领域中，也可以利用插值方法对期权的未来价格进行预测。

插值法与逼近论
插值法和逼近论都是数学中研究函数逼近和求解近似解的方法。

插值法是一种通过已知的数据点来确定未知函数的方法。

它的主要思想是使用已知数据点之间的函数来拟合未知函数，并在已知数据点上得到相同的函数值。

常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。

逼近论是研究函数逼近的数学分支。

它的主要目标是通过一系列简单函数来近似复杂函数，从而精确计算或解决一些难题。

逼近论研究的问题包括：在某个函数空间中寻找最佳逼近函数、逼近函数的最优性、逼近函数的收敛性等。

插值法和逼近论之间存在一定的联系和区别。

插值法是在已知数据点上进行插值，通过插值函数来逼近未知函数；而逼近论是通过一系列简单函数来逼近复杂函数，有时并不需要已知的数据点。

插值法更加注重通过已知参数得到未知函数的精确解，而逼近论更注重通过简单函数近似复杂函数来解决实际问题。

函数逼近是数学中的一个重要分支，旨在通过已知的数据点构造一个逼近目标函数的函数，并用于预测未知数据值。

在函数逼近中，插值和逼近理论是两种常见方法。

插值是通过已知数据点在特定区间内构造一个函数，使该函数通过所有已知数据点。

插值函数在已知数据点上完全匹配原函数，但在其他位置可能会有较大误差。

常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。

拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式将函数逼近到已知数据点的方法。

该方法利用了拉格朗日多项式具有唯一性的性质，可以通过已知数据点构造一个唯一的函数。

这个唯一函数将准确地经过已知数据点，但在其他位置的逼近可能不够理想。

牛顿插值是一种利用差商和牛顿插值多项式来逼近函数的方法。

差商的定义是通过已知数据点的函数值来定义的，可以递归地计算出牛顿插值多项式的系数。

牛顿插值在构造插值函数时比拉格朗日插值更方便，并且在处理带噪声的数据时表现更好。

插值方法的优点是对已知数据点完全匹配，但缺点是在其他位置可能存在较大误差。

插值方法适用于已知数据点密集的情况，对于数据点较少或有噪声的情况可能不够适用。

逼近理论是另一种函数逼近的方法，它通过在整个区间内构造一个函数，使该函数与目标函数在整个区间上的误差最小。

逼近方法的目标是尽可能通过已知数据点，同时在整个区间上的误差最小。

常用的逼近方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。

最小二乘逼近是一种通过最小化目标函数和逼近函数之间的二乘误差来逼近函数的方法。

该方法通过求解线性方程组来确定逼近函数的系数，使得目标函数和逼近函数之间的二乘误差最小。

最小二乘逼近在处理带噪声的数据时表现良好，同时对于数据点较少的情况也适用。

Chebyshev逼近是一种通过构造一系列Chebyshev多项式来逼近函数的方法。

这些多项式在某些特定点上取值最大，因此在逼近函数时能够在整个区间上准确逼近目标函数。

Chebyshev逼近在逼近理论中具有广泛的应用，能够以较高的精度逼近各种函数。

初识插值法和逼近法插值法和逼近法是数值分析领域中常用的数值逼近方法。

两者在数学和工程领域均有广泛的应用。

本文将会介绍插值法和逼近法的基本原理、常用方法以及应用实例等内容。

一、插值法1. 插值法的基本原理插值法是利用一系列已知数据点，通过构造一个适当的函数来近似代替这些数据点之间未知函数的数值。

插值方法的基本思想是通过已知数据点的数值来推导出未知函数在数据点之间的数值，从而利用得到的函数对其他未知数据进行估计预测。

2. 常用插值方法（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

通过构造一个多项式函数，使其经过已知数据点，从而利用该多项式函数来逼近未知函数。

（2）牛顿插值法：牛顿插值法也是一种基于多项式的插值方法。

它通过构造一个递推公式，逐步逼近未知函数。

（3）样条插值法：样条插值法是一种相对较为复杂的插值方法。

它将函数划分为多个小区间，并在每个区间上构造一个低次多项式，利用这些多项式来逼近真实函数。

3. 插值法的应用实例插值法在工程和科学领域有广泛应用。

例如，在图像处理中，插值法常用于图像的放大和缩小。

在地理信息系统中，插值法可用于构建高程模型。

此外，插值法还在金融领域中用于利率曲线的估计等。

二、逼近法1. 逼近法的基本原理逼近法是指通过选择一个适当的函数类，使其与所需逼近的函数相似，从而用该函数类逼近未知函数。

逼近方法的基本思想是通过一些已知的函数，找到一个最接近未知函数的函数。

2. 常用逼近方法（1）最小二乘逼近法：最小二乘逼近法是一种通过最小化残差平方和来逼近未知函数的方法。

它通过构造一个最优解，选择一个函数类，使其与未知函数的残差平方和最小。

（2）离散逼近法：离散逼近法是一种基于离散数值数据的逼近方法。

它通过选择一个函数类，在已知数据点上的函数值与未知函数在这些数据点上的函数值之间的差异最小。

3. 逼近法的应用实例逼近法在信号处理、数据拟合和函数逼近等领域有广泛应用。

例如，在信号处理中，逼近法可用于去除噪声信号。

插值与逼近一、考核知识点拉格朗日插值法及其余项、差商定义及性质、牛顿插值法及其余项、最小二乘法、矛盾方程组。

二、考核要求：1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。

2．了解差商定义及性质，熟练掌握牛顿插值法及其余项。

3．了解最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与矛盾方程组最小二乘解的三、重、难点分析例1 已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。

解 取插值节点x 0= 4,x 1= 9，两个插值基函数分别为)9(51)(1010--=--=x x x x x x l )4(51)(0101-=--=x x x x x x l 故有 565)4(53)9(52)()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25655)5()5(1=+=≈L f 误差为 )(2)95)(45(!2)()5(2ξξf f R ''-=--''=例2已知函数)(x f 数值表为解 作差商表：代入牛顿插值多项式得：1)2)(1()1(21)(22+-=--+-+=x x x x x X N 故 44.218.1)8.1()8.1()8.1(22=+-=≈N f例3已知的函数表求在[0，2]解 因为y i 关于x 严格单调减少，用反插值法求f(x) 零点的近似值比较简单， 具体作法如下：先作反函数表将节点x 0=8,x 1=-7.5，x 2=-18及对应函数值y 0=0,y 1=1,y 2=2代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令x=0,得445.02)5.718)(818()35.70)(80(1)185.7)(85.7()180)(80(0)188)(5.78()180)(5.70()0(2≈⨯+----+-+⨯+---+-+⨯++++=L 于是得f(x)在[0，2]内零点445.0)0()0(21*≈≈=-L fx值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在[a,b]上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。