江西省宜春市2019届高三数学4月模拟考试试题文(含解析)
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宜春市2019届高三模拟考试试卷
数学（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，集合为函数的定义域，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以根据一元二次不等式的解法求出集合，然后根据对数的相关性质求出集合，最后根据交集的相关性质即可得出结果。
【详解】由题意可知，
集合：，，解得；
集合：，解得，
综上所述，，故选D。
【点睛】本题考查了交集的相关性质以及集合的取值范围的求解，能否求出集合以及集合的取值范围是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题。
2.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先可以根据共轭复数、复数的模的相关性质以及复数得出以及的值，然后通过两者相加即可得出结果。
【详解】因为复数，
所以复数的共轭复数，，
所以，故选C。 【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的共轭复数的计算方法以及复数的模的计算方法，考查计算能力，提高了学生对复数的理解，是简单题。
3.已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线的渐近线方程为，结合渐近线方程为，从而可得结果.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
又渐近线方程为，所以，故选A．
【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，以及双曲线的渐近线，属于基础题. 若双曲线方程为，则渐近线方程为.
4.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据“、是方程的两根”计算出的值，然后通过等比数列的相关性质得出，即可计算出的值。
【详解】因为、是方程的两根，
所以根据韦达定理可知，
因为数列是等比数列，
所以，，故选B。
【点睛】本题考查等比数列的相关性质，主要考查等比数列中等比中项的灵活应用，若，则有，考查推理能力，体现了基础性，是简单题。
5.已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据向量的运算法则将转化为，然后根据题意以及投影的相关性质即可得知、以及向量在向量方向的投影为，最后代入数据计算，即可得出结果。
【详解】设向量与向量的夹角为，则向量在向量方向的投影为，
因为，，，
所以，
即，，故选B。
【点睛】本题考查了向量的相关性质，主要考查了向量的运算法则、向量的数量积以及投影的相关性质，考查计算能力与推理能力，考查化归与转化思想，是简单题。
6.若满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以通过题目所给出的不等式组画出不等式组在坐标系中所表示的可行域，然后通过对目标函数进行平移即可找出可行域内使得目标函数取最小值的点为，最后将代入目标函数中即可得出结果。
【详解】 可根据题目所给不等式组画出如图所示的平面区域，
得出、、，
再根据线性规划的相关性质对目标函数进行平移，
可知当目标函数过点时取最小值，此时，故选B。
【点睛】本题考查线性规划的相关性质，能否通过不等式组正确的画出可行域并在可行域中找出目标函数的最优解是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力，锻炼了学生的绘图能力，是中档题。
7.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则
A. 2
B. 4
C. 1
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，利用几何体的体积求出r，再求出该几何体的表面积．
【详解】由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，
该几何体的体积为，．
故选：A．
【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．
8.已知数列是等差数列，是正项等比数列，且 ,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以通过、以及是正项等比数列计算出数列的通项公式，然后通过数列是等差数列、以及计算出数列的通项公式，最后通过数列的通项公式以及数列的通项公式即可计算出的值。
【详解】因为，，是正项等比数列，
所以，，，，，
因为数列是等差数列，，，
所以，，，，
所以，，，，。
所以，故选D。
【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，考查等差中项的使用，考查推理能力与计算能力，体现了基础性，是中档题。
9.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息.现有一幅剪纸的设计图，其中的个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过对称性将圆阴影部分面积转化为一个小圆的面积，然后利用小圆半径表示出正方形对角线长，从而求解出正方形面积和圆的面积，作比得到概率.
【详解】由图像对称可知，原题中阴影部分面积与下图中阴影部分面积一致，则阴影部分面积为一个小圆的面积
设：，则，
正方形面积
阴影部分面积
所求概率
本题正确选项：
【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.
10.如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线定义可得，从而的周长，确定点横坐标的范围，即可得到结论．
【详解】抛物线的准线，焦点，
由抛物线定义可得，
圆的圆心为，半径为4，
∴的周长，
由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，
∴，∴，故选 C.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定点横坐标的范围是关键，属于中档题.
11.设点，分别是曲线（是自然对数的底数）和直线上的动点，则，两点间距离的最小值为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对曲线y＝xe﹣x进行求导，求出点P的坐标，分析知道，过点P直线与直线y＝x+2平行且与曲线相切于点P，从而求出P点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．
【详解】∵点P是曲线y＝xe﹣x上的任意一点，和直线y＝x+3上的动点Q，
求P，Q两点间的距离的最小值，就是求出曲线y＝xe﹣x上与直线y＝x+3平行的切线与直线y＝x+3之间的距离．
由y′＝（1﹣x）e﹣x，令y′＝（1﹣x）e﹣x＝1，解得x＝0，
当x＝0，y＝0时，点P（0，0），
P，Q两点间的距离的最小值，即为点P（0，0）到直线y＝x+3的距离，
∴dmin＝.
故选：B.
【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．
12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以对函数的解析式进行分析，根据时函数的解析式推导出、、等区间的函数解析式并确定每一段区间内的函数的值域，然后将函数有零点转化为有解，通过求解以及偶函数的相关性质即可得出结果。
【详解】函数有零点即有解，即，
由题意可知，当时，，当时，，
所以当时，，此时的取值范围为；
当时，，此时的取值范围为，时，； 当时，，此时的取值范围为，时，；
当时，，此时的取值范围为，
所以当时，有两解，即当时函数有两个零点，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以当时，也有两解，
所以函数共有四个零点，故选B。
【点睛】本题考查了函数的相关性质，主要考查分段函数的相关性质以及偶函数的相关性质，考查通过函数性质求函数解析式，考查化归与转化思想，考查函数的值域的求解，体现了综合性，是难题。
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.已知数列的通项公式，设其前项和为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以将数列的通项公式化简为，然后求出数列的前项和，最后代入，即可得出结果。
【详解】因为数列的通项公式，
所以数列的前项和，
所以，故答案为。
【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，属于中档题。裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
14.已知函数，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以将以及代入到函数中，得到以及的值，然后两者相加并通过三角函数诱导公式进行化简即可得出结果。
【详解】因为函数，
所以，
所以,
所以，
综上所述，答案为2。
【点睛】本题考查了函数值的求法，考查了化归与转化思想，考查了计算能力，考查的公式有，是简单题。
15.直线与圆交于两点，，当最大时，的最小值为_____．
【答案】
【解析】
当最大时，即直线过圆心，
所以，即，
所以
16.在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
