【数学】江西省宜春市高三4月模拟考试试题(文)(解析版)
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江西省宜春市高三4月模拟考试数学（文）试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，集合为函数的定义域，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，
集合：，，解得；
集合：，解得，
综上所述，，故选D。
2.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为复数，
所以复数的共轭复数，，
所以，故选C。
3.已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，
又渐近线方程为，所以，故选A．
4.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为、是方程的两根，
所以根据韦达定理可知，
因为数列是等比数列，
所以，，故选B。
5.已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设向量与向量的夹角为，则向量在向量方向的投影为，
因为，，，
所以，
即，，故选B。
6.若满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】可根据题目所给不等式组画出如图所示的平面区域，
得出、、，
再根据线性规划的相关性质对目标函数进行平移，
可知当目标函数过点时取最小值，此时，故选B。
7.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则
A. 2
B. 4
C. 1
D. 3
【答案】A
【解析】由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，
该几何体的体积为，．
故选：A．
8.已知数列是等差数列，是正项等比数列，且 ,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，是正项等比数列，
所以，，，，，
因为数列是等差数列，，，
所以，，，，
所以，，，，。
所以，故选D。
9.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息.现有一幅剪纸的设计图，其中的个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图像对称可知，原题中阴影部分面积与下图中阴影部分面积一致，则阴影部分面积为一个小圆的面积
设：，则，
正方形面积
阴影部分面积
所求概率
本题正确选项：
10.如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线的准线，焦点，
由抛物线定义可得，
圆的圆心为，半径为4，
∴的周长，
由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，
∴，∴，故选 C.
11.设点，分别是曲线（是自然对数的底数）和直线上的动点，则，两点间距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵点P是曲线y＝xe﹣x上的任意一点，和直线y＝x+3上的动点Q，
求P，Q两点间的距离的最小值，就是求出曲线y＝xe﹣x上与直线y＝x+3平行的切线与直线y＝x+3之间的距离．
由y′＝（1﹣x）e﹣x，令y′＝（1﹣x）e﹣x＝1，解得x＝0，
当x＝0，y＝0时，点P（0，0），
P，Q两点间的距离的最小值，即为点P（0，0）到直线y＝x+3的距离，
∴dmin＝.
故选：B.
12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数有零点即有解，即，
由题意可知，当时，，当时，，
所以当时，，此时的取值范围为；
当时，，此时的取值范围为，时，；
当时，，此时的取值范围为，时，；
当时，，此时的取值范围为，
所以当时，有两解，即当时函数有两个零点，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以当时，也有两解，
所以函数共有四个零点，故选B。
二、填空题
13.已知数列的通项公式，设其前项和为，则________．
【答案】
【解析】因为数列的通项公式，
所以数列的前项和，
所以，故答案为。
14.已知函数，则_________．
【答案】
【解析】因为函数，
所以，
所以,
所以，
综上所述，答案为2。
15.直线与圆交于两点，，当最大时，
的最小值为_____．
【答案】
【解析】当最大时，即直线过圆心，
所以，即，
所以
16.在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为_____．
【答案】
【解析】如图所示，作中点，连接、，在上作三角形的中心，过点作平面的垂线，在垂线上取一点，使得。
因为三棱锥底面是一个边长为的等边三角形，为三角形的中心，
所以三棱锥的外接球的球心在过点的平面的垂线上，
因为，、两点在三棱锥的外接球的球面上，所以点即为球心，
因为平面平面，，为中点，所以平面
，，，
，
设球的半径为，则有，，
，即，解得，
故表面积为。
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在中，角的对边分别是，.
（1）求角的大小；
（2）为边上的一点，且满足，锐角三角形面积为，求的长.
解：（1）因为，所以，
解得，所以，
因为，所以，，解得。
（2）因为锐角三角形的面积为，
所以，，
因为三角形为锐角三角形，所以，
在三角形中，由余弦定理可得：
，所以，
在三角形中，，所以，
在三角形中，，解得。
18.随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表:
个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后） 免征额元 免征额元
级数
全月应纳税所得额
税率（）
级数
全月应纳税所得额
税率（）
1 不超过元部分 1 不超过元部分
2 超过元至元的部分 2 超过元至元的部分
3 超过元至元部分 3 超过元至元的部分
… … … … … …
某税务部门在某公式利用分层抽样方法抽取2019年3月个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
收入（元）
人数
（1）先从收入在及的人群中按分层抽样抽取人，则收入在及的人群中分别抽取多少人？
（2）在从（1）中抽取人中选人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率.
解：（1）由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取7人，其中占人，中占人。
（2）由（1）知，占人，分别记为，中占人分别记为，再从这人中选人的所有组合有：共种情况，
其中不在同一收入人群的有，共种，所以所求概率为。
19.如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
（1）证明：连接，
因为底面为菱形，，所以为正三角形，
因为是的中点，所以，
因为，所以，
因平面，平面，所以， 的
又因为，所以平面。
（2）解：,则，，
所以。
20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，，分别为椭圆的上、下顶点，点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆的另一交点分别为，证明：直线过定点.
解：(1)由题意知，解得，所以椭圆的方程为。
(2)易知、，则直线的方程为，直线的方程为.
联立，得，于是，，
同理可得，，
又由点及椭圆的对称性可知定点在轴上，
设为，则直线斜率，直线的斜率，
令，则，化简得，解得，
所以直线过定点。
21.已知函数.
（1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间；
（2）当时，求证：.
解：（1）由题意，函数的定义域为，
又由，且是函数的极值点，
所以，解得，
又时，在上，是增函数，且，
所以，得，，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知因为，在上，是增函数，
又（且当自变量逐渐趋向于时，趋向于），
所以，，使得，
所以，即，
在上，，函数是减函数，
在上，，函数是增函数，
所以，当时，取得极小值，也是最小值，
所以，
令，
则，
当时，，函数单调递减，所以，
即成立，
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
