江西省宜丰中学2019届高三上学期第四次月考数学(文)试题(解析版)
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2018-2019（上）高三第四次月考数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.若集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先化简集合A，然后根据交集的定义得出结果．
【详解】∵集合=
,
∴A∩B＝（，]
故选：B．
【点睛】此题考查了交集的定义，属于基础题．
2.已知复数，则的值为 （ ）
A. 3 B. C. 5 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由z求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．
【详解】由z＝，得z•（2﹣i）（2+i）＝4﹣i2＝5．
故选：C．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．
3.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的 （ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：若成立，则成立；反之，若成立，则不一定成立，因此“”是“”成立的
充分不必要条件；
考点：充分必要条件；
4.已知,则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二倍角公式将所求等价成，代入已知即可得到．
【详解】∵，∴，
故选D.
【点睛】本题考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
5.函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为,所以函数为奇函数，图像关于原点对称,故排除BC,当时，,故排除D．故A正确．
考点：函数图像．
6.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 60﹣12π B. 60﹣6π C. 72﹣12 D. 72﹣6π
【答案】D
【解析】
根据三视图知：该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为3；所以该组合体的体积为：，故选D．
点睛:本题考查立体几何三视图的直观图,以及还原几何体后求出相应的体积和表面积.三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
7.已知平面向量满足则向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
展开，利用向量的数量积公式，解得，进而求解的值.
【详解】因为，解得，
由，得，所以．故选D
【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及向量的夹角，考查了运算求解能力；在解题时要注意两向量夹角的范围是.
8.若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
略
9.《数学九章》中对“已知三角形三边长求三角形面积”的求法，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，具体求法是“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开平方得积”.若把这段文字写成公式，即现有周长的满足，用上面给出的公式求得的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据：：：：，可得：a：b：：：，周长为，可得，，，带入S，可得答案.
【详解】由题意，：：：：，
根据正弦定理：可得a：b：：：，
周长为，即，
可得，，，
由，
故选
【点睛】本题考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
10.正项等比数列中,，若, 则的最小值等（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由等比数列的性质，结合已知条件可求q，结合通项公式可求m+n，代入所求式子，利用基本不等式即可求．
【详解】∵正项等比数列{an}中，a2018＝a2016+2a2014，
a2014q4＝a2014q2+2a2014，
∵a2014＞0，
∴q4＝q2+2，
解可得，q2＝2，
∴，
∵，
4
qm+n﹣2＝4，
∴m+n＝6，
则（）（m+n），
当且仅当且m+n＝6即m＝n＝3时取等号．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等比数列的 性质及基本不等式的简单应用，求解最值的关键是进行1的代换．
11.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线 的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于轴（其中 分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.
【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，
根据双曲线的对称性，设点，，
则，即，且，
又直线的倾斜角为，
直线过坐标原点，，
，整理得，即，解方程得，（舍）
故选D.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.
圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：
1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.
根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.
2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.
根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.
12.设函数若存在唯一的正整数，使得则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，则 ， ，由得在和上递增，在上递减，画出两个函数图象如图：
由图知要使存在唯一的正整数，使得，只要，即，解得，故选B.
【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、利用导数研究函数的单调性以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知函数的图象在点处的切线过点，则=_______．
【答案】-5
【解析】
【分析】
求出函数的导数f′（x）=3x2+a，f′（1）=3+a，而f（1）=a+2,根据点斜式得到程，利用切线的方程经过的点求解即可．
【详解】函数f（x）=x3+ax+1的导数为：f′（x）=3x2+a，f′（1）=3+a，而f（1）=a+2，
切线方程为：y﹣a﹣2=（3+a）（x﹣1），因为切线方程经过（-1，1），
所以1﹣a﹣2=（3+a）（-1﹣1），
解得a=-5．
故答案为：-5.
【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.
14.已知实数x,y满足则目标函数的最大值为________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据约束条件，画出可行域，再平移直线3x-y=0，确定取最大值时点的位置，进而求解.
【详解】作可行域如图所示，
由图可知，当过点时，-z取得最小值4，则取得最大值．故填：-4.
【点睛】本题考查了线性规划求最值，解决这类问题一般要分三步：画出可行域、找出关键点、求出最值．线性规划求最值，通常利用“平移直线法”解决.
15.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”
丙说：“B, D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是A或D作品获得一等奖”
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．
【答案】C.
【解析】
若获得一等奖,则甲、丙、丁的话是对的,与已知矛盾;若获得一等奖,则四人的话是错误的,与已知矛盾;若获得一等奖,则乙、丙的话是对的,满足题意;所以获得一等奖的作品是.
16.已知直线交抛物线于E和F两点，以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为，则=__________.
【答案】
【解析】
由消去y整理得，
设，
则，
∴．
由抛物线的定义可得，
∴以为直径的圆的半径为，圆心到x轴的距离为．
由题意得，
解得．
答案：
三、解答题（共70分）
17.中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，
(1)求b的值；
(2)求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用正弦定理及同角三角函数之间的关系求解；（2）借助题设运用诱导公式及三角变换公式求解.
试题解析：
（1）因，故……1分
因，故.……3分
由正弦定理，得.……6分
