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数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
1-2习题1-2图所示为一个理想采样—恢复系统，采样频率Ωs =8π,采样后经过理想低通G jΩ 还原。
解：(1)根据余弦函数傅里叶变换知：)]2()2([)]2[cos(πδπδππ-Ω++Ω=t F ，)]6()6([)]6[cos(πδπδππ-Ω++Ω=t F 。
又根据抽样后频谱公式：∑∞-∞=∧Ω-Ω=Ωk s a a jk j X T j X )(1)(，得到14T= ∑∞-∞=∧--Ω+-+Ω=Ωk a k k j X )]82()82([4)(1ππδππδπ∑∞-∞=∧--Ω+-+Ω=Ωk a k k j X )]86()86([4)(2ππδππδπ所以，)(1t x a ∧频谱如下所示)(2t x a ∧频谱如下所示（2）)(1t y a 是由)(1t x a ∧经过理想低通滤波器)(Ωj G 得到，)]2()2([)()()]([11πδπδπ-Ω++Ω=ΩΩ=∧j G j X t y F a a ，故)2cos()(1t t y a π=(4π) (4π) (4π)(4π)(4π) (4π) Ω-6π-10π-2π 2π0 6π10π)(1Ω∧j X a Ω10π-10π -6π-2π 0 2π6π-14π 14π(4π)(4π) (4π)(4π) (4π) (4π)(4π) (4π))(2Ω∧j X a同理，)]2()2([)()()]([22πδπδπ-Ω++Ω=ΩΩ=∧j G j X t y F a a 故)2cos()(2t t y a π=（3）由题（2）可知，无失真，有失真。
原因是根据采样定理，采样频率满足信号)(1t x a 的采样率，而不满足)(2t x a 的，发生了频谱混叠。
1-3判断下列序列是否为周期序列，对周期序列确定其周期。
（1）()5cos 86x n A ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）()8n j x n eπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=（3）()3sin 43x n A ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解：（1）85πω=，5162=ωπ为有理数，是周期序列，.16=N （2）πωπω162,81==，为无理数，是非周期序列； （3）382,43==ωππω，为有理数，是周期序列，8=N 。
习 题1-1 有一个连续信号)2cos()(ψπ+=ft t x a ，式中Hz f 20=，2πψ=，（１） 求出)(t x a 的周期；（２） 用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样，写出采样信号)(ˆt xa 的表达式； （３） 画出对应)(ˆt xa 的时域离散信号（序列）)(n x 的波形，并求出)(n x 的周期。
解：（1）)(t x a 的周期是s fT a 05.01==（2）∑∞-∞=-+=n a nT t fnT t x)()2cos()(ˆδψπ∑∞-∞=-+=n nT t nT )()40cos(δψπ（3）)(n x 的数字频率为πω8.0=，252=ωπ周期5=N 。
)28.0cos()(ππ+=n n x ，画出其波形如题1-1图所示。
题1-1图 1-2 设)sin()(t t x a π=，()()sin()a s s x n x nT nT π==，其中s T 为采样周期。
（1）)(t x a 信号的模拟频率Ω为多少？ （2）Ω和ω的关系是什么？（3）当s T s 5.0=时，)(n x 的数字频率ω为多少？ 解：（1）)(t x a 的模拟频率s rad /π=Ω。
（2）Ω和ω的关系是：s T ⋅Ω=ω。
（3）当s T s 5.0=时，rad πω5.0=。
1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）)873cos()(ππ-=n A n x ，A 为常数；（2）)81()(π-=n j e n x 。
解： （1）πω73=，3142=ωπ，这是有理数，因此是周期序列，周期是14=T ； （2）81=ω，πωπ162=，这是无理数，因此是非周期序列。
1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列)()(n u a n h n =，10<<a 。
对于矩阵输入序列，1,01()0N n N R n ≤≤-⎧=⎨⎩,其他 求出输出序列，并用MATLAB 计算，比较其结果。
第一章 序论一、内容提要本章主要讲述了数字信号的定义、特点和处理方法，并且简要地回顾了我们后面所涉及的一些常用的模拟信号知识。
1．数字信号定义、特点和方法信号可定义为传递信息的函数，或者信息的物理表现形式。
各种信号在数学上可表示为一个或者几个独立变量的函数。
如果我们以信号的时间为独立变量，则时间变量既可以是连续的，也可以是离散的，从而信号可以分为模拟信号（或称为连续时间信号）和离散信号（或称为离散时间信号）。
模拟信号除了是时间的连续函数外，它在一定的时刻都有理论上无限精确的数值（幅值），且此值在一定的范围内随时间连续变化，即模拟信号表现为时间连续，幅度连续。
而离散信号定义在离散时间上的信号，只在特定的时间上有精确的数值，在其他时间上数值为零或未知。
若离散信号的幅值是连续的，则取样数据信号；若将离散信号的幅度也进行离散化处理（量化），然后将离散幅度值编码为二进制数码序列，则为数字信号，其特点是时间和幅度都是离散的。
所以说数字信号是离散信号的特例，是离散信号最重要的子集。
数字信号处理是研究如何用数字或符号序列来表示信号以及如何对这些序列进行处理的一门学科。
信号处理是对信号进行某种变换（处理），包括滤波、变换、分析、估计、检测、压缩、识别等，从而更容易获得人们所需要的信息。
信号处理系统按所处理信号的种类分为：模拟系统、时域离散系统、数字系统。
与模拟信号处理相比，数字信号处理具有精度高、可靠性高、灵活性强、便于大规模集成化、易于加密、易于处理低频信号等显著特点。
数字信号处理实际上就是进行各种数学函数运算，许多数字信号处理算法都是在时域和频域两个域中进行，实现的方法有软件、硬件和软硬结合。
2．傅立叶变换的定义傅立叶变换的表达式为：()()1()()2j t j t H h t e dth t H e d π∞-Ω-∞∞Ω-∞Ω==ΩΩ⎰⎰傅立叶变换是信号处理中最重要的工具之一，它主要用于分析信号的频谱。
习 题1-1 有一个连续信号)2cos()(ψπ+=ft t x a ，式中Hz f 20=，2πψ=，（１） 求出)(t x a 的周期；（２） 用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样，写出采样信号)(ˆt xa 的表达式； （３） 画出对应)(ˆt xa 的时域离散信号（序列）)(n x 的波形，并求出)(n x 的周期。
解：（1）)(t x a 的周期是s fT a 05.01==（2）∑∞-∞=-+=n a nT t fnT t x)()2cos()(ˆδψπ∑∞-∞=-+=n nT t nT )()40cos(δψπ（3）)(n x 的数字频率为πω8.0=，252=ωπ周期5=N 。
)28.0cos()(ππ+=n n x ，画出其波形如题1-1图所示。
题1-1图 1-2 设)sin()(t t x a π=，()()sin()a s s x n x nT nT π==，其中s T 为采样周期。
（1）)(t x a 信号的模拟频率Ω为多少？ （2）Ω和ω的关系是什么？（3）当s T s 5.0=时，)(n x 的数字频率ω为多少？ 解：（1）)(t x a 的模拟频率s rad /π=Ω。
（2）Ω和ω的关系是：s T ⋅Ω=ω。
（3）当s T s 5.0=时，rad πω5.0=。
1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）)873cos()(ππ-=n A n x ，A 为常数；（2）)81()(π-=n j e n x 。
解： （1）πω73=，3142=ωπ，这是有理数，因此是周期序列，周期是14=T ； （2）81=ω，πωπ162=，这是无理数，因此是非周期序列。
1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列)()(n u a n h n =，10<<a 。
对于矩阵输入序列，1,01()0N n N R n ≤≤-⎧=⎨⎩,其他 求出输出序列，并用MA TLAB 计算，比较其结果。
分析：输入)()(n R n x N =，线性时不变系统的输出等于输入序列与单位脉冲响应的卷积，用公式表示为∑∞-∞=-⋅=*=k k n h k x n h n x n y )()()()()(为了计算输出序列的第n 个值，必须计算出乘积)()(k n h k x -⋅，并将所得到的序列值相加。
解：输出序列∑∞-∞=-⋅=*=k k n h k x n h n x n y )()()()()(可以分成三种情况来求解：（１） 当0<n 时，由于)(k n h -和)(k x 的非零取样互不重叠，因此0)(=n y 。
（２） 当10-≤≤N n 时，从0=k 到n k =，)(k n h -和)(k x 的非零取样值有重叠，因此 ∑∑=-∞-∞==-⋅=nk k n k a k n h k x n y 0)()()(aa a a an n n--=--=+---1111111（３） 当1-≥N n 时，)(k n h -和)(k x 重叠的非零取样值从0=k 到1-=N k ，因此∑∑-=--==-⋅=11)()()(N k kn N k a k n h k x n y11)11(11+-----=--=N n n N na aa a a a所以 110,01(),0111(),11n nn N n ay n n N a a aN n a +-+⎧⎪<⎪-⎪=≤≤-⎨-⎪⎪--<⎪-⎩利用MATLAB 求其响应,程序如下： a=1/2;N=20; n=0:N-1; c=[1]; d=[1 -a]; x=ones(1,N); y=filter(c,d,x); stem(n,y); ylabel('y(n)');题1-4图 输出相应序列()y n1-5 设)()(n u a n x n =，)1()()(1--=-n u ab n u b n h n n ，求)()()(n h n x n y *=。
解： az zz X -=)(，a z >bz a z b z a b z z z H --=---=)(，b z > 所以， bz zz H z X z Y -==)()()(，b z >其Z 反变换为)()]([)()()(1n u b z Y n h n x n y n =Z =*=-显然，在a z =处，)(z X 的极点被)(z H 的零点所抵消，如果a b <，则)(z Y 的收敛域比)(z X 与)(z H 收敛域的重叠部分要大。
1-6 求下列序列的Z 变换及其收敛域，并用MA TLAB 画出零极点示意图。
（１）双边指数序列nan x =)(，01a <<；（２）正弦调制序列)()cos()(0n u n Ar n x n φω+=，10<<r 。
解：（1）双边指数序列可写为,0(),0nna n x n an -⎧<=⎨≥⎩ 其Z 变换为11011()1n nn nn n n n n X z a zaza z az ∞-∞----==-∞==+=+-∑∑∑ 211111(1)11111(1)()n nn z a a z az az az az z a ∞--=-=+-=+-=-----∑ na n x =)(，10<<a 是一个双边序列，其收敛域为1a z a <<表示极点，极点为z a =，a 1，零点为0z =。
其极点、零点图如图所示，图中⨯表示极点，○表示零点。
利用MATLAB 画出其零极点，如题1-6图(a)所示： a=3;y=1-a*a; b=[0 y 0]; a=[-a y -a]; zplane(b,a);题1-6图(a ) 零极点图（2）)(2)()cos()()()(000n u e e Arn u n Ar n x n j n j nnφωφωφω+-++=+=， 10<<r 我们将其分解为标准的指数序列形式，然后根据Z 变换的求和定义式求得其对应的Z 变换、收敛域并画出零极点图。
其Z 变换为00()()100()cos()2j n j n nnnnn n e e X z Ar n zA r z ωφωφωφ+-+∞---==-∞+=+=∑∑0010111220cos cos()112(1)2(1)12cos j j j j A Arz A A e e re z re z rz r zϕϕωωϕωϕω--------=+=---+ 收敛区域为z r >，极点为0j z reω=，0ωj re-，零点为0z =，φφωcos )cos(0-r 。
其对应的零极点图如题1-6图所示。
利用MATLAB 画出其零极点,如题1-6图(b)所示： A=1;r=1;w0=4*pi; w=2*pi;x=2*r*cos(w0);y=A*r*cos(w0-w); b=[A*cos(w) -y ]; a=[1 -x r*r];zplane(b,a);题1-6图(b ) 零极点图讨论 通常将正弦序列信号展开为两个基本复指数序列和或差的形式，然后按照Z 变换定义式求起对应的Z 变换和收敛域。
对于Z 变换表达式可表示为等比级数和的形式的序列，其Z 变换的收敛域是保证等比小于1，如本例中要保证011j q z re ω-=<，可得收敛域为z r >。
ωj re题1-6图 零极点示意图1-7 已知,0(),1nna n x n bn ⎧≥=⎨-≤-⎩， 求其Z 变换及其收敛域。
并用MATLAB 求解。
解：这是一个双边序列，其Z 变换为n n n n nn n nz b z azn x z X ---∞=∞=-∞-∞=-∑∑∑-==1)()(bz za z z bz az -+-=-+-=--111111))(()2(b z a z b a z z ----=，b z a << MATLAB 求解程序如下： F=ztrans(sym('a^k+b^k'))结果为：F =- z/(a - z) - z/(b - z)1-8 求1125()16z X z z z ---=+-,23z <<的逆Z 变换，并用MATLAB 求解。
解：由部分分式展开可得 1111()1213X z z z--=--+, 因为23z <<。
所以得20()(3)nnn x n n ⎧≥=⎨-<⎩MATLAB 求解： 程序如下：syms k z ; Fz=5*z/(z^2+z-6); fk=iztrans(Fz,k)运行结果： fk =2^k - (-3)^k 1-9 判断系统（1）∑==nm m x n y 0)()(，（2）)()(n nx n y =是否为时不变系统，并利用MA TLAB 验证。
解：（1）令输入为)(0n n x -，输出为00()[()]()nm Y n T x n n x m n ==-=-∑而0()y n n -=00()()n n m x m Y n -=≠∑，所以系统是时变的。
MATLAB 验证：令 ()(1)2()(1)x n n n n δδδ=+++-，01n = 程序如下：x=[1 2 1];n0=1;n=-1:1;x0=[2 1];%x0为x 横坐标非负的值 y=cumsum(x0); Y=cumsum(x);subplot(3,2,1);stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('输入');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');title('输出');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n-n0)');title('输入');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y);xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('输出');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,4);n=1:2;stem(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('输出');axis([-1,3,0,4]);-1123n x (n )输入-1123024n y (n )输出-1123024n x (n -n 0)输入-1123024nY (n )输出-1123024ny (n -n 0)输出题1-9图(a ) 时变性验证（2）令输入)(0n n x -，输出00()[()]()Y n T x n n nx n n =-=- 而000()()()()y n n n n x n n Y n -=--≠，所以系统为时变的。
