全集与补集
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全集与补集的教案教案标题:全集与补集的教案教学目标:1. 了解并能够正确定义全集和补集的概念。
2. 能够运用集合运算中的全集和补集进行问题解决。
3. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
教学内容:1. 全集的定义和性质。
2. 补集的定义和性质。
3. 全集和补集的运算规则。
教学步骤:引入活动:1. 创设情境,引发学生对全集和补集的思考。
例如,假设有一个班级里的学生,问学生们如何定义这个班级的全集和补集。
探究活动:2. 介绍全集的概念和定义。
通过示意图或实际例子,让学生理解全集是指讨论的范围内的所有元素的集合。
3. 引导学生思考补集的概念和定义。
解释补集是指在全集中不属于某个子集的元素的集合。
4. 给出具体的例子,让学生通过思考找出全集和补集。
例如,全集可以是一个班级的所有学生,补集可以是男生或女生的集合。
拓展活动:5. 引导学生思考全集和补集的运算规则。
例如,全集的补集就是空集,补集的补集是原来的集合。
6. 给出一些练习题,让学生运用全集和补集的运算规则解决问题。
例如,给出一个集合A和全集U,让学生求A的补集。
总结活动:7. 总结全集和补集的概念、定义和运算规则。
强调全集和补集在数学中的重要性和应用。
评估活动:8. 给学生一些评估题目,测试他们对全集和补集的理解和应用能力。
例如,给出一些集合运算的问题,让学生判断正确的答案。
拓展活动:9. 鼓励学生运用全集和补集的概念解决实际问题。
例如,让学生分析一个班级的学生喜欢的体育项目,通过求补集找出不喜欢的体育项目。
教学资源:1. 教材或课本中关于全集和补集的相关内容。
2. 示意图或实际例子的图片或幻灯片。
3. 练习题和评估题目。
教学延伸:1. 鼓励学生自主学习更多集合运算的内容,如交集、并集等。
2. 引导学生运用集合运算解决更复杂的问题,如概率问题等。
注:以上教案仅供参考,具体教学内容和步骤可根据教学实际情况进行调整和修改。
高一数学补集和全集知识点在高一的数学学习中,数集是一个重要的概念。
而在数集的基础上,我们还需要了解数集的补集和全集的相关知识。
本文将为大家介绍高一数学中关于补集和全集的重要知识点。
一、数集的基本概念在数学中,数集指的是具有相同特性的数的集合。
常见的数集包括自然数集、整数集、有理数集和实数集等。
我们可以用大括号来表示一个数集,例如自然数集可以表示为N={1, 2, 3, ...}。
二、补集的概念补集是指一个数集中不属于另一个数集的元素所组成的集合。
在数学中,我们一般用A'来表示集合A的补集。
例如,若A={1, 2, 3, 4, 5},而全集为U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},那么A'={6, 7, 8, 9, 10},其中的元素6、7、8、9、10为A的补集。
三、全集的概念全集是指一个讨论范围内的包含所有可能元素的集合。
在数学中,我们一般用符号U来表示全集。
全集可以根据不同的情境进行确定,例如在讨论自然数时,全集可以为U={1, 2, 3, ...};在讨论直角三角形时,全集可以为U={所有直角三角形}。
全集的确定对于后续的补集运算非常重要。
四、补集和全集的运算性质1. 若A为全集U,则A'为空集∅;反之亦成立。
2. 若A为全集U,则A∪A'=U;反之亦成立。
3. 若A为全集U,则A∩A' = ∅;反之亦成立。
五、补集和全集的应用补集和全集在数学中有着广泛的应用,特别是在集合论和概率论中。
在集合论中,我们可以通过补集来求解集合的关系和性质。
在概率论中,我们可以利用补集来求解事件的概率。
举个例子来说明补集和全集的应用。
假设一个班级有50名学生,其中20名学生喜欢足球,30名学生喜欢篮球。
我们可以将喜欢足球的学生的集合表示为A,喜欢篮球的学生的集合表示为B。
全集可以表示为U,即U={所有学生}。
根据题目,我们需要求解即既不喜欢足球也不喜欢篮球的学生的人数。
3.2全集与补集1.问题导航(1)什么是全集?(2)什么是补集?(3)A与∁U A有公共元素吗?2.例题导读(1)P13例3.通过本例学习,学会用集合的运算表示Venn图中指定的区域.(2)P13例4.通过本例学习,掌握补集的有关运算.试一试:教材P14练习T3、T4你会吗?1.全集在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号U表示.全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素.2.补集3.(1)∁U U=∅;(2)∁U∅=U;(3)A∪(∁U A)=U;(4)A∩(∁U A)=∅;(5)∁U(∁U A)=A;(6)(∁U A)∪(∁U B)=∁U(A∩B);(7)(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B).1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)集合∁Q N与∁Z N相等.()(2)一个集合的补集一定含有元素.()(3)设集合S是全部的三角形,集合A是直角三角形,则∁S A是斜三角形.()(4)已知U=R,A={x|1x-1>0},则∁U A={x|x<1}.()解析:(1)∁ZN∁QN;(2)当子集等于全集时不成立;(3)正确,因为{直角三角形}∪{斜三角形}={三角形};(4)A={x|x>1},∁U A={x|x≤1}.答案:(1)×(2)×(3)√(4)×2.已知全集U=R,集合P={x|x2≤1},那么∁U P=()A.{x|x<-1} B.{x|x>1}C.{x|-1<x<1} D.{x|x<-1或x>1}解析:选D.因为P={x|-1≤x≤1},U=R,所以∁U P=∁R P={x|x<-1或x>1}.3.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,4},B={2,4},则∁U(A∪B)=() A.{1,3,4} B.{3,4}C.{3} D.{4}解析:选C.因为A ∪B ={1,2,4},U ={1,2,3,4},所以∁U (A ∪B )={3}.4.设全集U ={2,3,a 2+2a -3},集合A ={2,|a +1|},∁U A ={5},则a =________.解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|a +1|=3,a 2+2a -3=5,所以a =-4或2. 答案:-4或2对“全集”“补集”的理解(1)“全集”是一个相对概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题来加以选择的.例如:我们常把实数集R 看作全集,而当我们在整数内研究问题时,就把整数集Z 看作全集.(2)补集运算具有相对性,求集合A 的补集时,要先清楚全集是什么,同一集合在不同全集中的补集也不同.Venn 图在补集中的应用图中阴影部分所表示的集合是( )A .B ∩∁U (A ∪C )B .(A ∪B )∪(B ∪C )C .(A ∪C )∩(∁U B )D .∁U (A ∩C )∪B[解析] 阴影部分可表示为B ∩∁U (A ∪C ).[答案] A方法归纳(1)当阴影是凹陷图形时,常用补集表示;(2)当题目涉及多个集合的补集时,常利用Venn 图分析解决;(3)应用题常用Venn 图分析求解.1.(1)设全集U 是实数集R ,M ={x |x >2或x <-2},N ={x |x ≥3或x<1}都是U 的子集,则图中阴影部分所表示的集合是( )A .{x |-2≤x <1}B .{x |-2≤x ≤2}C .{x |2<x <3}D .{x |x <2}(2)已知全集U ,集合A ={1,3,5,7,9},∁U A ={2,4,6,8},∁U B ={1,4,6,8,9},则集合B =________.解析:(1)阴影部分为M ∩(∁U N )={x |x >2或x <-2}∩{x |1≤x <3}={x |2<x <3}.(2)借助Venn 图,如图所示.得U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.因为∁U B ={1,4,6,8,9},所以B ={2,3,5,7}.答案:(1)C (2){2,3,5,7}补集的简单运算(1)设全集U ={1,2,3,4},M ={1,2,3},N ={2,3,4},则∁U (M ∩N )=( )A .{1,2}B .{2,3}C .{2,4}D .{1,4}(2)若集合A ={y |0≤y <2},B ={x |-1<x <1},则A ∩(∁R B )=( )A .{x |0≤x ≤1}B .{x |1≤x <2}C .{x |-1<x ≤0}D .{x |0≤x <1}[解析] (1)因为M ∩N ={2,3},所以∁U (M ∩N )={1,4}.(2)因为∁R B ={x |x ≤-1或x ≥1},所以A ∩(∁R B )={y |0≤y <2}∩{x |x ≤-1或x ≥1}={x |1≤x <2}.[答案] (1)D (2)B方法归纳(1)在解答有关集合补集运算时,如果所给集合是无限集,则常借助于数轴,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点问题.(2)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于Venn 图来求解.2.(1)设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,5},则(∁U A )∩(∁U B )=( )A .{2}B .{2,3}C .{4}D .{1,3}(2)已知全集U =R ,集合A ={x |-12<x <2},B ={x |x 2<1},则∁U (A ∪B )=( ) A .{x |x ≥2}B .{x |x ≤-12或x ≥1} C .{x |x ≤-1或x ≥2}D .{x |x ≤-12或x ≥2} 解析:(1)选C.因为U ={1,2,3,4,5},A ∪B ={1,2,3,5},所以(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B )={4}.(2)选C.因为A ={x |-12<x <2},B ={x |-1<x <1},所以A ∪B ={x |-1<x <2}, 故∁U (A ∪B )=∁R (A ∪B )={x |x ≤-1或x ≥2}.利用补集求参数已知集合A ={x |2a -2<x <a },B ={x |1<x <2},且A ∁R B ,求a 的取值范围.[解] 因为B ={x |1<x <2},所以∁R B ={x |x ≤1或x ≥2}.因为A ∁R B ,所以分A =∅和A ≠∅两种情况讨论.(1)若A =∅,则有2a -2≥a ,所以a ≥2.(2)若A ≠∅,如图所示:则有⎩⎪⎨⎪⎧2a -2<a ,a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a -2<a ,2a -2≥2. 所以a ≤1.综上可得:a ≥2或a ≤1.故a 的取值范围为{a |a ≥2或a ≤1}. 方法归纳由集合补集求有关参数问题的方法3.(1)已知集合A ={x |x <a },B ={x |2<x <3},且A ∪(∁R B )=R ,则实数a 的取值范围是________.(2)设U ={0,1,2,3},A ={x ∈U |x 2+mx =0},若∁U A ={1,2},则实数m =________. 解析:(1)∁R B ={x |x ≤2或x ≥3},如图所示,由于A ∪(∁R B )=R ,所以a ≥3.(2)由题意可知,A ={x ∈U |x 2+mx =0}={0,3},即0,3为方程x 2+mx =0的两根,所以m =-3.答案:(1)a ≥3 (2)-3已知集合A ={x |2m -1<x <3m +2},B ={x |x ≤-2或x ≥5},是否存在实数m ,使A ∩B ≠∅?若存在,求实数m 的取值范围;若不存在,请说明理由.[解] 若A ∩B =∅,分A =∅和A ≠∅讨论:(1)若A =∅,则2m -1≥3m +2,解得m ≤-3,此时A ∩B =∅.(2)若A ≠∅,要使A ∩B =∅,则应有⎩⎪⎨⎪⎧2m -1<3m +2,2m -1≥-2,3m +2≤5,即⎩⎪⎨⎪⎧m >-3,m ≥-12,m ≤1.所以-12≤m ≤1.综上,当A ∩B =∅时,m ≤-3或-12≤m ≤1. 所以当m >1或-3<m <-12时,A ∩B ≠∅. [感悟提高] 对于一些比较抽象复杂,条件和结论之间关系不明确,难以从正面入手的问题,在解题时,应及时调整思路,从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这时能化难为易,化隐为显,从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略.1.设全集U ={x ∈N |x ≥2},集合A ={x ∈N |x 2≥5},则∁U A =( )A.∅B.{2}C.{5} D.{2,5}解析:选B.因为A={x∈N|x≤-5或x≥5},所以∁U A={x∈N|2≤x<5},故∁U A={2}.2.设全集U={a,b,c,d},A={a,c},B={b},则(∁U B)∩A=()A.∅B.{a,c}C.{a} D.{c}解析:选B.∁U B={a,c,d},(∁U B)∩A={a,c}.3.已知全集U={1,2,3,5,6},∁U A={1,3,6},则集合A=________.解析:因为U={1,2,3,5,6},∁U A={1,3,6},所以A={2,5}.答案:{2,5}4.设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∪(∁R B)=________.解析:由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3},因为B={x|-1<x≤5},所以∁R B={x|x≤-1或x>5}.所以A∪(∁R B)={x|-3<x<3}∪{x|x≤-1或x>5}={x|x<3或x>5}.答案:{x|x<3或x>5}[A.基础达标]1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁U A=() A.{1,3,5,6} B.{2,3,7}C.{2,4,7} D.{2,5,7}解析:选C.因为全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},所以∁U A ={2,4,7}.2.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}解析:选D.因为A={x|x≤0},B={x|x≥1},所以A∪B={x|x≤0或x≥1},在数轴上表示如图.所以∁U(A∪B)={x|0<x<1}.3.已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁R A)∩B=()A.{-2,-1} B.{-2}C.{-1,0,1} D.{0,1}解析:选A.因为集合A={x|x>-1},所以∁R A={x|x≤-1},则(∁R A)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}={-2,-1}.4.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁U A)∪(∁U B)等于()A.{1,6} B.{4,5}C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}解析:选D.∁U A={1,3,6},∁U B={1,2,6,7},所以(∁U A)∪(∁U B)={1,2,3,6,7}.5.设全集U={1,2,3,4},且集合M={x∈U|x2-5x+p=0},若∁U M={2,3},则实数p的值为()A.-4 B.4C.-6 D.6解析:选B.由全集U={1,2,3,4},∁U M={2,3}可知M={1,4},而M={x∈U|x2-5x+p=0},所以1,4为方程x2-5x+p=0的两根,由一元二次方程中根与系数的关系可得p=1×4=4,故选B.6.设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B =________.解析:U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},画出Venn 图,如图所示,阴影部分就是所要求的集合,即(∁U A )∩B ={7,9}.答案:{7,9}7.设全集U ={不大于20的素数},已知A ∩(∁U B )={3,5},(∁U A )∩B ={7,11},(∁U A )∩(∁U B )={2,17},则集合A =________,B =________.解析:U ={2,3,5,7,11,13,17,19},由(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B )={2,17},知2,17∉(A ∪B ),由条件,画出Venn 图,如图所示,所以A ={3,5,13,19},B ={7,11,13,19}.答案:{3,5,13,19} {7,11,13,19}8.如图,已知U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A ={2,3,4,5,6,8},B ={1,3,4,5,7},C ={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________.解析:因为A ∩C ={2,4,5,8},∁U B ={2,6,8,9,10},所以(A ∩C )∩(∁U B )={2,8}.答案:{2,8}9.已知全集U =R ,集合A ={x |-1≤x -1≤2},B ={x |x -a ≥0,a ∈R },若(∁U A )∩(∁U B )={x |x <0},(∁U A )∪(∁U B )={x |x <1或x >3},求a 的值.解:如图所示,由(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B )={x |x <0},得A ∪B ={x |x ≥0},由(∁U A )∪(∁U B )=∁U (A ∩B )={x |x <1或x >3},得A ∩B ={x |1≤x ≤3}.因为A ={x |-1≤x -1≤2}={x |0≤x ≤3},所以B ={x |x ≥a }={x |x ≥1},所以a =1.10.已知集合A ={x |-4<x <2},B ={x |x <-5或x >1},C ={x |m -1<x <m +1}.(1)求A ∪B ,A ∩(∁R B );(2)若B ∩C =∅,求实数m 的取值集合.解:(1)A ={x |-4<x <2},B ={x |x <-5或x >1},所以A ∪B ={x |x <-5或x >-4},又∁R B ={x |-5≤x ≤1},所以A ∩(∁R B )={x |-4<x ≤1}.(2)若B ∩C =∅,则需⎩⎪⎨⎪⎧m -1≥-5,m +1≤1,解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥-4,m ≤0, 故实数m 的取值集合是{m |-4≤m ≤0}.[B.能力提升]1.设U ={1,2,3,4,5},且A U ,B U ,A ∩B ={2},(∁U A )∩B ={4},(∁U A )∩(∁U B )={1,5},则下列结论正确的是( )A .3∈A ,3∈B B .3∈∁U A ,3∈BC .3∈A ,3∈∁U BD .3∈∁U A ,3∈∁U B解析:选C.由(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B )={1,5}知1,5∉(A ∪B ),画出Venn 图,如图所示,所以3∈A ,3∈∁U B .2.设M ,P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为:M -P ={x |x ∈M且x ∉P },则M -(M -P )=( )A .PB .MC .M ∩PD .M ∪P解析:选C.当M ∩P ≠∅时,M -P 为图中的阴影部分,则M -(M -P )显然是M ∩P ;当M ∩P =∅时,M -P =M ,此时有M -(M-P )=M -M ={x |x ∈M 且x ∉M }=∅=M ∩P .综上所述,故选C.3.已知集合A ,B 均为全集U ={1,2,3,4}的子集,且∁U (A ∪B )={4},B ={1,2},则A ∩(∁U B )=________.解析:因为U ={1,2,3,4},∁U (A ∪B )={4},所以A ∪B ={1,2,3}.又因为B ={1,2},所以{3}⊆A ⊆{1,2,3}.又∁U B ={3,4},所以A ∩(∁U B )={3}.答案:{3}4.设非空集合A ={x |2a +1≤x ≤3a -5},B ={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆(A ∩B )成立的a 的集合是________.解析:因为A ⊆(A ∩B ),所以A ⊆B .因为A ≠∅,则2a +1≤3a -5,所以a ≥6.所以由3≤2a +1≤3a -5≤22,解得6≤a ≤9.答案:{a |6≤a ≤9}5.设A ={x |2x 2+ax +2=0},B ={x |x 2+3x +2a =0},A ∩B ={2}.(1)求a 的值及A ,B ;(2)设全集U =A ∪B ,求(∁U A )∪(∁U B );(3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集.解:(1)因为A ∩B ={2},所以2∈A ,且2∈B .所以2是方程2x 2+ax +2=0和x 2+3x +2a =0的解.所以8+2a +2=0,且4+6+2a =0,解得a =-5.所以A ={x |2x 2-5x +2=0}={12,2},B ={x |x 2+3x -10=0}={-5,2}. (2)U =A ∪B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,2∪{-5,2}=⎩⎨⎧⎭⎬⎫-5,12,2. 因为∁U A ={-5},∁U B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12, 所以(∁U A )∪(∁U B )=⎩⎨⎧⎭⎬⎫-5,12. (3)集合(∁U A )∪(∁U B )的所有子集为∅,{-5},⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,⎩⎨⎧⎭⎬⎫-5,12. 6.(选做题)已知集合A ={x |x 2-4x +3=0},B ={x |ax -6=0}且∁R A ⊆∁R B ,求实数a的取值集合.解:因为A ={x |x 2-4x +3=0},所以A ={1,3}.又∁R A ⊆∁R B ,所以B ⊆A ,所以有B =∅,B ={1},B ={3}三种情形.当B ={3}时,有3a -6=0,所以a =2;当B ={1}时,有a -6=0,所以a =6;当B =∅时,有a =0,所以实数a 的取值集合为{0,2,6}.。
全集与补集的教案教案:全集与补集一、教学目标:1.了解集合中的全集和补集的概念。
2.能够找出给定集合的全集和补集。
3.能够运用全集和补集的概念进行集合运算。
二、教学重点:1.全集和补集的概念。
2.找出给定集合的全集和补集。
三、教学难点:1.能够运用全集和补集的概念进行集合运算。
四、教学准备:1.教材:数学教材PPT、课堂练习题。
2.教学媒体:电子白板。
3.教学素材:集合的示意图。
五、教学过程:Step1:导入新知识(5分钟)1.引入集合的概念:什么是集合?集合是由一些元素组成的整体。
2.引入全集的概念:全集是指集合中的元素的所有可能情况的集合。
3.引入补集的概念:补集是指全集中不属于给定集合的元素的集合。
Step2:全集与补集的概念(10分钟)1.通过示意图解释全集和补集的概念。
2.举例说明全集和补集的概念。
Step3:找出给定集合的全集和补集(15分钟)1.给出一个集合,让学生找出该集合的全集。
2.通过讨论,解释全集的确定方法。
3.给出一个集合,让学生找出该集合的补集。
4.通过讨论,解释补集的确定方法。
5.让学生自主完成一些练习题。
Step4:运用全集和补集进行集合运算(20分钟)1.给出两个集合,让学生进行交集、并集、差集等运算。
2.通过解题和讨论,引导学生运用全集和补集概念进行集合运算。
Step5:归纳总结(5分钟)1.让学生总结全集和补集的概念和确定方法。
2.解答学生提出的问题。
六、教学延伸:1.让学生在实际生活中找出一些例子,并找出其全集和补集。
2.通过实例让学生进一步巩固和应用全集和补集的概念。
七、教学反思:本节课通过引导学生观察和思考,解释全集和补集的概念,并通过练习题让学生巩固和应用所学内容。
在教学过程中,充分调动了学生的积极性,提高了学生的学习兴趣。
但在教学中,还需注意教学效果的评价和反馈,及时发现学生的问题并进行指导和调整。
《全集与补集》导学案一、学习目标1、理解全集和补集的概念。
2、掌握求补集的方法。
3、能够运用全集和补集的概念解决相关的数学问题。
二、重点难点1、重点(1)全集和补集的概念。
(2)求补集的运算。
2、难点补集概念的理解及应用。
三、知识梳理1、全集在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合就称为全集。
全集通常用字母 U 表示。
例如,在研究数集时,常常把实数集 R 作为全集。
2、补集设 U 是全集,A 是 U 的一个子集,则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,称为集合 A 在全集 U 中的补集,记作∁UA,读作“A 在U 中的补集”。
数学表达式为:∁UA ={x | x ∈ U 且 x ∉ A}例如,设 U ={1, 2, 3, 4, 5},A ={1, 2, 3},则∁UA ={4, 5}四、典型例题例 1:已知全集 U ={1, 2, 3, 4, 5, 6},集合 A ={1, 3, 5},求∁UA。
解:因为 U ={1, 2, 3, 4, 5, 6},A ={1, 3, 5}所以∁UA ={2, 4, 6}例 2:设全集 U = R,集合 A ={x | x < 1},求∁UA。
解:因为全集 U = R,集合 A ={x | x < 1}所以∁UA ={x |x ≥ 1}例 3:已知全集 U ={x |-1 < x < 5},集合 A ={x | 0 < x < 3},求∁UA。
解:因为 U ={x |-1 < x < 5},A ={x | 0 < x < 3}所以∁UA ={x |-1 <x ≤ 0 或3 ≤ x < 5}五、课堂练习1、已知全集 U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},集合 A ={2, 4, 6},求∁UA。
2、设全集 U = Z,集合 A ={x | x = 2k,k ∈ Z},求∁UA。
3、已知全集 U ={x |-3 < x < 7},集合 A ={x |-1 < x < 4},求∁UA。
§3.2全集与补集【学习目标】1.了解全集,补集的含义及其符号表示,理解补集的运算实质。
2.掌握集合的交并补的综合运算,培养学生的逻辑思维及转化能力。
3.激情投入,高效学习,踊跃展示,大胆质疑,体验自主学习的快乐【学习重点】集合的交并补的混合运算。
【学习难点】集合交并补的区别及Venn 图的应用。
预习案一、教材助读1.全集,补集的概念(1)在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫 作 ,用字母 表示。
全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素。
(2)设U 是全集,A 是U 的一个子集,则由U 中所有 的元素组成的集合,叫做U 中子集A 的补集,记作 。
思考:若a N ∈,但+∉N a ,则a 会等于什么?2.补集的性质(1)∁U U = (2) ∁U ∅=(3)A ∪(∁U A)= (4) A ∩(∁U A)=(5)∁U (∁U A)= (6)(∁U A)∪(∁U B)=(7)(∁U A)∩(∁U B)=3.请在以下的venn 图中用阴影表示相应集合∁U (A ∪B) ∁U (A ∩B)(∁U A )∪(∁U B) (∁U A)∩(∁U B)二、预学自测1.若{}{}{},4,3,2,1A ,4,3,2,1U ===B 求 ∁U A , ∁U B , ∁U (A ∩B), ∁U (A ∪B).2. 集合A={x|-1≤x ≤2},B={x|x<1},则A ∩∁R B =3.设全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c,d},则(∁U A)∪(∁U B)= (∁U A)∩(∁U B)=4. 已知集合{}{}{}U U 0,2,4,6,C A -1-3,1,3C B -1,0,2B A ===,,.求探究案探究点一:运用数轴1. 已知全集U {|4}x x =≤,集合A={x|-2<x<3}, 集合B={x|-3≤x ≤2}, 求A ∩B , (∁U A )UB, A ∩(∁U B) .探究点二: 集合与一元二次方程2.设集合{}{}2A 2-1,2, B 2,3,23a a a ==+-,且∁B A={5},求实数a 的值?3. 已知全集{}{}{}22U 1,2345A x|x -5x m 0 x|x nx 120,B ==+==++=,,,,, 且(∁U A )∪B={1,3,4,5},求n m +的值。
《全集与补集》课标解读教材分析本节的主要内容是集合的基本运算,包含交集与并集、全集与补集这两部分内容.教材通过实例引入了交集与并集的概念,并得出了交集与并集的一些简单性质.在研究某些集合的时候,我们往往需要在一定的“范围”内研究,就像在实数范围内和在有理数范围内分解因式结果不同一样,这样的“范围”就是我们要引入的“全集”概念.教材在此基础上,介绍了“补集”的概念,进而指导学生借助Venn图进行集合的补集运算.本节内容在整个教材中具有基础性地位,为今后学习函数及不等式的解集奠定了基础,数形结合的思想方法对学生今后的学习起着铺垫的作用.高考中主要考查求两个集合的交集与并集,求给定集合的补集.本节内容涉及的数学核心素养有数学抽象、直观想象、数学运算等.学情分析高一学生的逻辑思维从经验型逐步向理论型发展,观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展,学生虽有好奇、好表现的因素,更有知道原理、明白方法的理性愿望,希望平等交流研讨,厌烦空洞的说教.在此之前,学生已学习了集合的概念与表示、集合的基本关系,这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用,通过本节内容的学习,学生会对集合的含义、集合的关系以及集合的运算有全面的理解.学生对集合有了完整的认识之后,就能体会其在描述和解决生活中的问题时的价值和作用.教学建议本节宜采用学生广泛参与、师生共同探讨的教学模式,对集合的基本关系进行适当的复习回顾以作铺垫,对交集与并集、全集与补集采用文字语言、符号语言、图形语言的分析,以突出重点,分散难点,通过启发式的方法与数学结合的思想指导学生学习.在交集和并集的教学中,应通过实例,引出集合之间的两种运算——交和并.要针对具体问题,引导学生恰当地使用文字语言、图形语言和符号语言来描述相应的数学内容,有了集合的语言,可以更清晰地表达我们的思想.交集与并集是对集合基本知识的进一步巩固和深化.在此,通过适当的问题情境,使学生感受、认识并掌握集合的两种基本运算.在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算.在教学这部分内容时,要注重体现逻辑思考的方法,如类比、归纳等.由于集合经常与以后学习的不等式知识紧密结合,本节对此也应该予以体现.学科核心素养目标与素养1.理解全集与补集的概念,达到数学抽象核心素养水平一的要求.2.会求一个集合在全集中的补集,达到数学运算核心素养水平一的要求.3.能够应用Venn图和数轴进行集合的补集运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用,达到直观想象核心素养水平一的要求.情境与问题世间万物都是对立统一的,在一定范围内事物有正就有反,就像数学中,有正数必有负数,有有理数必有无理数一样,那么,在集合内部是否也存在这样的“对立统一”呢?若有,又需要什么样的条件呢?通过创设这一问题情境引出本节的内容.内容与节点全集与补集既是集合运算环节中的重要一环,又为后续学习常用逻辑用语、不等式证明等提供了必要的知识储备.过程与方法1.通过对实例的分析,引导学生抽象概括出全集与补集的定义,培养学生的抽象思维能力.2.通过从集合实例中抽象概括出集合的基本运算——全集与补集的过程,使学生感知全集与补集的含义.3.通过借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养学生的数形结合思想.教学重点难点重点全集与补集的概念,补集的性质.难点补集的求解.。
全集与补集教案教案标题:全集与补集教学目标:1. 理解和区分全集与补集的概念。
2. 能够运用全集与补集的概念解决相关问题。
3. 培养学生的逻辑思维和分析能力。
教学资源:1. 教科书或教材中有关全集与补集的内容。
2. 黑板、粉笔或白板、马克笔。
教学过程:引入:1. 利用生活中的例子引入全集与补集的概念,例如:全班学生的集合是全集,男生的集合是补集。
2. 引导学生思考全集与补集的定义和特点。
探究:1. 在黑板上绘制一个示意图,表示全集,并用一个圆圈表示全集的元素。
2. 引导学生思考并回答以下问题:- 全集中的元素有哪些?- 全集的特点是什么?- 如何表示全集?3. 在示意图上绘制一个表示补集的圆圈,并用不同的颜色填充。
4. 引导学生思考并回答以下问题:- 补集中的元素有哪些?- 补集的特点是什么?- 如何表示补集?概念讲解:1. 结合示意图,对全集和补集的概念进行简要讲解,强调它们的区别和联系。
2. 解释全集和补集的符号表示方法,例如:全集用大写字母U表示,补集用符号U的撇号表示。
示例分析:1. 给出一些具体的示例,引导学生分析全集和补集的应用。
- 示例1:全集为大写字母A到Z的集合,补集为元音字母的集合。
- 示例2:全集为班级所有学生的集合,补集为男生的集合。
2. 引导学生思考并回答以下问题:- 如何表示示例中的全集和补集?- 如何求解全集和补集的交集和并集?练习与巩固:1. 提供一些练习题,让学生运用全集和补集的概念解决问题。
2. 指导学生在纸上绘制示意图,表示给定问题的全集和补集,并回答相应的问题。
总结:1. 总结全集和补集的定义和特点。
2. 强调全集和补集在解决问题中的应用价值。
3. 鼓励学生在日常生活中寻找更多的例子来理解和应用全集和补集的概念。
扩展:1. 引导学生思考全集和补集的概念在其他学科中的应用,例如:数学、语言、科学等。
2. 鼓励学生深入研究全集和补集的相关概念,拓展他们的数学思维和问题解决能力。
1、3、3 全集与补集
【 预 习 】阅读教材第 页,试回答下列问题
1、全集(universal set )的概念
2、补集的概念:
①自然语言 ②符号语言 ③图形语言
【复习检测】
交集、并集的定义
①自然语言 ②符号语言 ③图形语言
指出:这一节课我们研究集合间的另一种运算。
【探索新知】 知识点一
全集的概念
阅读下列一段材料:
在研究集合间的关系和运算时,我们所研究的集合常常是某一特定集合的子集,这个特定的集合叫做全集,记作U.
例如:1、研究{}1|≥=x x A , {}31|<≤-=x x B 等集合时,A 、B 都是R 的子集 , R
就是全集。
2、在研究
①{}Z n n x x A ∈==,2| , {}Z n n x x B ∈-==,12|
②{}Z n n x n A ∈==,3|,{}Z n n x x B ∈+==,13|,{}Z n n x x C ∈+==,23| 等集合时,A 、B 、C 都是Z 的子集,Z 就叫做全集。
3、在研究质数集A 与合数集B 时,质数集合A 与合数集合B 都是{}2|≥∈=n Z n U 的子集,U 就是全集。
4、在研究有理数集Q 合无理数集时,有理数集Q 和无理数集都是实数集R 的子集,U=R 就是全集。
5、在研究{}
是斜三角形x x A |= , {}是直角三角形x |x B =等集合时,A 、B 都是 {}是三角形x U |x =的子集,U 就是全集。
知识点二
补集的定义
指出:有时全集也可以规定:
例如:{
}5,4,3,2,1=U ,{}3,2,1=A 问题:集合{}5,4与U 、A 有什么关系?
结论:{}5,4是由全集U 中所有不属于A 的元素组成的集合,记作{}5,4=A C U ,A C U 叫
做A 在U 中的补集。
{}A x |∉∈=且U x x A C U
在上面五个例子中,求集合A 、B 的补集。
指出:我们也可以用Venn 图表示补集
显然:A A C C U U =)(,U C U =φ, φ=U C U
φ=A A C U )(, U A A C U = )(
【例题剖析】
例1、已知U=R ,{3|-=x A ≤x ≤}4, {x x B |=≤}52>x 或
求)(B A C U , )(B A C U
)()(B C A C U U ,)()(B C A C U U
再看例1的逆向思维:
已知U=R ,{3|-=x A ≤x ≤}4,{x x B |=≤}3+>a x a 或
{x x B A C U <=4|)( ≤}φ≠+3a
求a 的取值范围。
例2、已知{}的公约数与是3024|x x U =,{}
065|2=+-=x x x A {}
067|2=+-=x x x B
求)(B A C U ,)(B A C U )()(B C A C U U ,)()(B C A C U U 。
问题:从例1和例2的结果看,你能得出什么结论呢? 对于这个结论,你能通过画Venn
图得到体验吗?
总结反思:。