离散双线性系统二次型最优控制的迭代算法

２００５中国控制与决策学术年会论文集８２４Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆ２００５ＣｈｉｎＰｓＰＣｏｎｔｒｏｌａｎｄＤｅｃｉ５ｉｏ＂Ｃｏｎ，；ｒＰ＂ｆＰ离散双线性动态系统二次型最优控制的迭代算法李俊民，孙云平，刘着（西安电子科技大学应用敷学系陕西西安７］００７１）摘要：研究离散时闻双线性动卷系统二次型最优控制的求解问题，构造出一种迭代算法，通过适次逼近方法．得到厚问题曲最优解・结出了该算法的收敛性充分紊件．该算法具有计算筒单．收敛速度快的优点．仿真例子说明了该算法的有效性．关键词：离散时阃厦线性采统｝造代算法，收敛性；最优性Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｉｔｅｒａｔｉｖｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒｄｉｓｃｒｅｔｅｂｉｌｉｎｅａｒ—ｑｕａｄｒａｔｉｃｐｒｏｂｌｅｍＬＩＪｕｎ—ｍｉｎ，ＳＵＮＹｕｎ—ｐｉｎｇ，Ｌ１ＵＹｕｎ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＸｉｄｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｘｉ’ａｎ７１００７１．Ｃｈｉｎａ．Ｅ—ｍａｉｌ；ｊｍｌｉ＠ｍａｉｌ．ｘｉｄｉａｎ．ｅｄｕ．ｏｎ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒｄｉｓｃｒｅｔｅ—ｔｉｍｅｂｉｌｉｎｅａｒｄｙｎｍｉｅａｌｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｑｕａｄｒａｔｉｃｃｏｓｔｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ａｎｏｖｅｌｉｔｅｒａｔｉｖｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｉｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ，ｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｔｈｅｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｄｕｒｅ．Ａｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｆｏｒｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓａｌｓｏｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙａｎｄｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｑｕｉｃｋｌｙ．Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｅｘａｍｐｌｅｓｈｏｗｓｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｓｃｒｅｔｅ—ｔｉｍｅｂｉｌｉｎｅａｒｄｙｎａｍｉｃａｌｓｙｓｔｅｍ；ｉｔｅｒａｔｉｖｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅＩｏｐｔｉｍｉｌｉｔｙ１引言某些复杂的工业过程用线性近似动态模型是不适宜的，而且许多对象如工业生产、生态、生物和社会经济等过程可以用双线性模型自然描述，能够在稳态工作点的一个较大领域内描述一大类严重非线性系统的动态特性，描述精度优于传统的线性模型的近似．特别在化工生产过程中，许多控制对象经常用物料流量作为控制变量．这样依据物料和能量平衡原理，描述对象的动态特性的数学模型就出现状态变量（如温度，湿度）为控制变量的乘积项口］．在最优化方面，Ｍｏｈｌｅｒ等人已经证明，双线性系统最优控制比线性情况下有更好的性能［‘］．非线性最优控制问题一直是控制理论与应用中很重要的问题之一口１”，人们已经研究出许多算法，其中在实际中比较有效的算法有梯度法、极值变分法、拟线性化方法和微分动态规划法等，但这些算法都有局部局限性［９ｊ．双线性系统本质是非线性系统，而且与线性系统有一定的联系．因此对双线性系统的分析与控制一直是研究热点问题之一口“’】。

线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题如果所研究系统为线性，所取性能指标为状态变量与控制变 量的二次型函数，称这种动态系统最优化问题为线性二次型最概念优控制问题.问题的提法 设线性时变系统的状态方程为：x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B( t )u( t ) y( t ) = C ( t ) x ( t )假设控制向量u(t)不受约束 ，用yr(t)表示期望输出，则误差向量为e( t ) = yr ( t ) − y( t )求最优控制u*(t) ，使下列二次型性能指标极小。

1 T 1 tf e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e T ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0 F —半正定 q × q常数矩阵 , Q ( t ) —半正定 q × q时变矩阵 J ( u) =R ( t ) —正定 p × p时变矩阵 t 0 及 t f 固定NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITYNWPU线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题各项指标物理意义1 T 1 tf T J ( u) = e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0(1) 第一积分过程项 0.5∫ttf0[e T ( t )Q ( t )e( t )]dt 是对动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量. t (2) 第二积分过程项 0.5∫t [u( t )T R( t )u( t )]dt 表示系统在控制过程中对系统加权f 0后的控制能量消耗的总度量. (3) 末值项 0.5eT (t f )Fe( t f ) 表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距 离加权平方和. 整个性能指标物理意义： 使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统 终端跟踪误差综合最优。

线性系统二次型最优控制律线性系统二次型最优控制定义使用二次型性能指标的线性系统最优控制。

它可得到状态线性反馈的最优控制规律，便于实现闭环最优控制，是应用广泛的最优控制方式。

性能指标线性系统状态方程及输出方程为x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (1)y(t)=C(t)x(t) (2)式中x(t)为n维状态向量;u(t)为p维控制向量;y(t)为q维输出向量。

设z(t)为理想输出向量，与y(t)同维数，并定义e(t)=z(t)-y(t) (3)误差向量。

线性二次型最优控制问题的性能指标这里，权函数F、Q(t)为正半定矩阵，R(t)为正定矩阵。

假设tf固定。

要求寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。

被积函数的第一项表明误差e(t)的大小，是非负的。

其第二项表明控制功率的大小，对应于u≠0它恒为正。

因此，对u(t)往往不需再加约束，而常设u(t)为自由的。

性能指标的第一项则表示终值误差。

状态调节器问题系统状态方程如式 (1)所示，u(t)不受约束，tf固定，性能指标为寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。

用极小值原理或动态规划法，可得下列矩阵黎卡提微分方程(一阶非线性微分方程)P(t)=-P(t)A(t)-AT(t)P(t)+P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)-Q(t) (6) 其边界条件为P(tf)=F (7)由式(6)解出P(t)后，可得最优控制规律为u*(t)=-R-1(t)BT(t)P(t)x*(t) (8)由式(8)可以看出，最优控制规律是一个状态线性反馈规律，控制向量u*(t)由状态向量x*(t)生成，构成状态反馈，并且呈线性关系。

这样，能方便地实现闭环最优控制，这一点在工程上具有十分重要的意义。

P(t)是一对称矩阵，一般都要由计算机求出方程(6)的数值解。

P(t)是时间函数，即使线性系统是定常的，为了实现最优控制，反馈增益应该是时变的，而不是常值反馈增益。

线性二次型最优控制
本文旨在探讨线性二次型最优控制的理论及其实际应用。

线性二次型控制是一种广泛使用的有效控制策略，用于解决复杂的系统问题。

本文以线性二次型的哲学和理论基础为主线，全面总结了线性二次型最优控制的哲学和原理，研究了它的实际应用，并介绍了理论与实践的关系。

首先，本文介绍了线性二次型最优控制的哲学和理论基础。

实践证明，线性二次型控制技术在它所面对的问题中具有优势。

线性二次型最优控制是一种基于目标的最优化控制技术，以有效地通过控制技术来实现有效的控制者。

其次，本文研究了线性二次型最优控制的实际应用。

实际应用中，线性二次型最优控制的最大特点在于它的非线性输入和输出行为。

基于该技术，可以构建一类实用性强的系统，以有效地满足实际应用中的复杂性及非线性性需求。

此外，线性二次型最优控制也可用于节能、飞行控制，机器人控制、智能汽车控制等领域的实际应用。

最后，本文介绍了线性二次型最优控制的理论与实践的关系。

在实践中，要求在有效消耗低的基础上实现有效控制，这要求模型与实践相结合。

只有通过深入理解和求解这种关系，才能有效地利用这种理论在实践中得到最优的控制效果。

总之，线性二次型最优控制作为一种有效的最优化控制策略，极大地促进了复杂系统的发展和应用，同时为更加高效和可靠的实践应用提供了有效的方案。

本文为线性二次型最优控制的哲学和理论研究
以及实际应用提供了一个全面的研究和探讨，以帮助更好地理解和应用这种控制策略。

离散双线性系统二次型最优控制的迭代算法
1 离散双线性系统二次型最优控制
离散双线性系统二次型最优控制是一项将控制学和运筹学技术结
合起来的复杂分析方法，主要用于解决离散二次型最优控制问题。

该
方法可以获得系统的理想动态行为，极大地改善系统的性能，从而实
现系统的良好性能控制。

2 迭代算法
迭代算法是一类基于迭代的解决方案。

它通过不断地重复处理一
系列操作，以满足某一条件终止或找到最佳解，以达到解决问题的目的。

在离散双线性系统二次型最优控制中，迭代算法是期望最小化控
制策略获得最佳控制效果的有效手段。

3 强化学习
强化学习是一种数学方法，用于寻找改善系统性能的动作序列。

通过评估和改善现有动作序列，强化学习能够获得最佳控制解决方案，从而极大地改善系统性能。

强化学习在离散双线性系统二次型最优控
制中发挥了重要作用，它可以让系统以最佳操作模式达到期望效果。

4 结论
离散双线性系统二次型最优控制是一项有效而复杂的分析方法，
它可以将控制学和运筹学技术结合起来，实现控制策略的优化，获得
系统最佳性能。

迭代算法和强化学习在离散双线性系统二次型最优控
制中担当了重要角色，在评估和优化控制策略的性能方面发挥了重要作用。

二次型最优控制问题标题：二次型最优控制问题在控制理论中，二次型最优控制问题是一个经典的研究领域。

它涉及到在最小化特定成本函数的同时，通过合适的控制策略来实现系统的最优性能。

本文将介绍二次型最优控制问题的基本概念、数学模型和解决方法。

首先，二次型最优控制问题的核心在于寻找一个最优的控制策略，使得系统的性能指标达到最小化。

这个性能指标通常由一个二次型成本函数来表示，其中包含了系统状态和控制输入之间的关系。

通过对该成本函数进行最小化，可以获得最优的控制策略。

其次，针对不同的系统，可以建立相应的数学模型来描述二次型最优控制问题。

这些模型通常采用微分方程或差分方程的形式，用于描述系统状态的动态演化规律。

在建立模型的过程中，需要考虑系统的物理特性以及所需达到的控制目标。

解决二次型最优控制问题的方法有多种，其中最常用的是最优控制理论中的动态规划方法。

动态规划方法基于贝尔曼方程，通过将问题分解为一系列子问题来求解最优控制策略。

此外，还有其他方法如最优化理论、线性二次调节器和广义预测控制等可以用于处理二次型最优控制问题。

需要注意的是，在实际应用中，二次型最优控制问题可能面临一些挑战和限制。

例如，系统模型可能存在不确定性，或者控制器的设计需要考虑到实时性和鲁棒性等因素。

因此，在解决问题时需要综合考虑这些因素，并根据具体情况选择合适的方法。

总结起来，二次型最优控制问题是一个重要的研究领域，它涉及到在最小化成本函数的同时实现系统最优性能的控制策略。

在解决该问题时，需要清晰的思路，流畅的表达，并避免包含任何会对阅读体验产生负面影响的元素。

文章的标题要与正文内容相符，不能包含广告信息或侵权争议。

文章正文要避免敏感词或其他不良信息，并确保语句完整，段落连贯。

一种离散系统线性二次型最优控制的算法设计姓名: 专业: 学号:一种离散系统线性二次型最优控制的算法设计一：背景意义对于许多的控制系统，为得到满意的控制效果，需根据建立的系统数学模型，选择一个容许的控制规律，在一定的条件下，使得控制系统在完成所要求的控制任务时，使给定的某一性能指标达到最优值，极小值或极大值，以使某一种性能指标为最小，实现最优控制.常用的性能指标有积分型性能指标如最小时间控制和最小能量控制；末值型性能指标如机床工作台移动准确停止控制和复合型性能指标等.线性二次型最优控制是一种常用的最优控制系统设计方法.这种方法中的性能指标是对象状态与控制输入的二次型函数，在线性系统的约束条件下，选择控制输入使得二次型函数达到最小。

二：模型描述离散线性定常系统：，x(k+1) =Ax(k) +Bu(k)y(k) =Cx(k) Du(k) ( 1)式中，x(k)为n维状态向量；u(k)为p维控制向量;A为n x n 非奇异阵；B为n x p矩阵，当其可控性矩阵的秩为n,选择完全可控线性离散系统的性能指标为：1 1 N 4「]J =2x T(N)Sx(N) + 2瓦x T(k)Qx(k)+u T(k)R u(k)] (2)2 2 K =0Q为n x n维正定或半正定实对称矩阵；R为p x p维正定实对称矩阵;S为n x n维正定或半正定实对称矩阵若选择最优反馈距阵为K(k)二R」B T(A T)」P(k) —Ql (3)则其对应的最优控制序列和最优性能指标分别表示为公式(4)和(5)：u (k)二-K(k)x(K)二-R—1B T(A T)—1〔P(k)- QX(k)(4) (k 二0,1,2.…N -1)J = 1 x T(0)P(0)x(0)2/ ( 5)其中P(k)二Q A T P」(k 1) BR_1B T ]J A3、最优控制序列的确定令N—► 8卡则桌统最优控制[Q解为稳态解,系统性能指标变人：八当£ P⑷创約+/⑷也⑷]Z k-QK(k)变为常数増益矩阵：K=IR+B'PR\'B WP(M变为常数矩阵；P^Q±A J[P l对应的最优控制用列为：u\k) = -Kx(k) = -{R + B T PBY[ B7PAx(k)闭环系统的状态方程为:x(k-1) = Ax(k) + Bu(k)= ( / + fi/? 'B7 P) 1Ax(k)(9)其戢优性能指标仍为公式(5)氣实例仿真与结论某伺服系统动态结构图如图1所/J <・X(A 4^1) = »(*) + *«(*)Xi) = cx(A)⑹(7)(8)(10)山图1,可得(u(k) = kyV^k) - k 2x(k)I v(A) = rx(k) 一 y ⑻ + 咻一 1)(11)山公式(10)和(11),有v(t + 1) = -cax(k) + v(k) 一 cbu(k) + r(k + 1) (12)山公式(11)和(12),可得跆阵:令 Xc(k)=x(k 卜 x(8), v e (k)=v(k)- W 00), u c (k)=u(k> 11(°°)III 公式(11),有：叫⑷=広叫伙)-S")(15)令鬲⑷=兀⑷,2仏)=V e (*),W(i)=叫⑹=X”)兀2伙)对于单位阶跃给宦输入，冇:图I •何服系统动态结构芷x(k +1) 咻+1) _a -caOTx(i) 1咻)h -ca"伙)十卜伙十1)(13)兀伙+ 1)a -ca：］［常 檢)04)一伙2為伙+1) 勺伙+1)a -ca(16)100选择0=1 , R 二|】]・三：程序及仿真图clear;a=2;b=0.5;c=1;d=0;Q=[100 0;0 1];R=[1]; A=[a 0;-c*a 1];B=[b;-c*b];KX=dlqr(A,B,Q,R);k 仁-KX(2);k2=KX(1);axc=[(a-b*k2) b*k1;(c* a+c*b*k2)(1-c*b*k1)]; bxc=[0;1];cxc=[1 0];dxc=[0];dstep(axc,bxc,cxc, dxc,1,100) 计算出的稳态最优反馈增益矩阵为 K=[3.8785-0.1743]工仏十1) 咻+1) \-cbky/i y(k)= cx(k)= [c ojXi k)吨)选择性能* f 标为；J =(k)Qx(k) + w*(k)Rw ⑹]图2。