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第2章2.6 Z变换

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第二章 z变换

第二章 z变换


n
,
Rx z Rx
n 0,1,2,
1 x ( n) X ( z ) z n1dz , 2j c
围线积分路径
2.2 逆Z变换
一、围线积分法(留数法)
留数定理求逆Z变换：如果函数
F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有
K个极点用zk，在c以外有M个极点用zm， 则有，
n


x ( n) z n M
使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。 不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。
2.2 Z变换的定义与收敛域
二、z变换的收敛域
1. 有限长序列
x ( n) x ( n) 0
n2
n1 n n2 其它
其Z变换为
X ( z ) x(n) z n
第二章 Z变换

2.1
引言


2.2
2.3
Z变换的定义与收敛域
Z反变换
2.4
2.5 2.6 2.7 2.8
Z变换的基本性质和定理
序列的z变换与连续信号的相关变换的关系 序列的傅立叶变换 傅里叶变换的一些对称性质 离散系统的系统函数，系统的频率响应
第二章 Z变换
2.2 Z变换的定义与收敛域
a u ( n) z
n

n
a z
n 0

n n
az
n 0


1 n
1 , 1 1 az
za
z=a为极点 收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。 一般说来，右边序列的z变换的收敛 域一定在模最大的有限极点所在圆之
外，对因果序列，包含z=。

第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣

数字信号处理第2章 Z变换综述

数字信号处理第2章 Z变换综述

例4：求序列 x(n) a u (n)的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
n n n n 1 n a u ( n ) z a z ( az ) n 0 n 0



1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
1 — 64
Z -
-2
-3 1 —— Z 256
1 -3 —— Z 256
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
例：
z 1 z z X ( z) 2 1 2 1 z z z z 1 ( z 1 )2 ( 3 j)2 2 2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
§2.3
z变换性质1
一、线性: Z[a x (n)+a x (n)]=a Z[x (n)]+a Z[x (n)]
1 1 2 2 1 1 2 2
二、时移： Z[x(n)]=X(z)
Z[x(n-m)]=z-m· X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
x(n) h(n) y(n)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ ( z 1) 2
作业2.1(2)(6)
z 2 sin z sin(0 ) sin(n0 )u (n) ~ z 2 2 z cos0 1 sin z 1 sin(0 ) 1 2 z 1 cos0 z 2
z z 1 z z X ( z) 2 z 4 z 3 ( z 1)(z 3) 2 z 1 z 3

第二章z变换

第二章z变换

ˆ ( s ) Lx (t ) L x(nT ) (t nT ) Xs s n
st ˆ s x t e st dt XS x(nT ) (t nT )e dt s n
解：
X 1 ( z ) Z x1[n] a n z n
n0

如果|z|>a, 则上面的级数收敛， 1 z n n X1 ( z) a z 1 za 1 az n0
X 2 ( z ) Z x2 [n]
n
z a
(a n ) z n

lim
n
an1 ρ an
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim n a n
n
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
例2.1
例已知两序列分别为x1[n]=anu[n]， x2[n]= -anu[-n-1]，分别 求它们的z变换，并确定它们的收敛域。

1
a z 1 (a 1 z ) n
n n n 1 n0
1 z 1 1 1 a z z a
za
两个不同的序列对应于相同的z变换，但它们的收敛域不同。
三 几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有限值， 此时，Z变换为： n2

n
b u ( n 1)z
n

n
= a z
n n 0


n

n
b
n 0
1
z
n
= a z

计算机控制技术-第2章 Z变换及Z传递函数

计算机控制技术-第2章 Z变换及Z传递函数

第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
Z af(t)aF(z) Z a1f1(t)a2f2(t)a1F 1(z)a2F 2(z)
第2章 Z变换及Z传递函数
s i n t 1 ( e j t e j t ) 2j
F
(z)
Z
1 2
j
(e
j
t
e
j
t
)
1 2j
Z e j t Z e j t
1 z 2 j z e j T
z
z e j T
1 2j
z2
e (e
j T j T
e j T e j T ) z 1
z sin T z2 2 z cos T 1
F (z) Z f(t) Z [f* (t)] f(k T )z k k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f* (t) f(k) T (t k)T k 0 f(0 )(t)f(T )(t T )f(2 T )(t 2 T ) f(k) T (t k)T 对上式取拉氏变换，得
1 1az1
z z a
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成
部分分式的形式为
n
F(s)
ai
i1 s si
因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出
n
F(z)
ai z

数字信号处理简明教程 第2章 离散时间信号与系统的变换域分析方法

数字信号处理简明教程 第2章 离散时间信号与系统的变换域分析方法
2.2 离散时间傅里叶变换的性质
类似于连续时间的傅里叶变换,离散时间傅里叶变换也 存在如下性质。
1. 周期性 离散时间傅里叶变换 X（ejω）是 ω 的周期函数,周期为 2π。
X (e j ) x(e j2 )
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法
2. 对称性 对于实值x（n），X（ejω）是共轭对称的,即
频谱和相位频谱,以及X（ejω） 的实部和虚部。 解 序列x（n）是绝对可加的,因此其离散时间傅里叶变
换存在。 根据定义,有
x（n）的幅度频谱和相位频谱以及 X （ejω）的实部和虚部 如图2-1所示。
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法
图2-1例2-1 的结果（ω 的单位是 π）
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法
图2-7 双边序列的收敛域
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法
综合以上讨论,关于Z变换的收敛域有以下结论： （1） 对于右边（因果）序列的Z变换,其收敛域为Z平 面上以原点为圆心的一个圆外区域,圆的半径与序列x（n） 有关。 （2） 对于左边（非因果）序列的Z变换,其收敛域为Z 平面上以原点为圆心的圆内区域,圆的半径取决于序列x （n）。 （3） 对于双边序列的Z变换,其收敛域为Z平面上以原 点为圆心的圆环区域,内外半径同样取决于序列x（n）。 最后,为便于查阅,将常用序列的Z变换列于表2-2中。
这里,H（ejω）是复变量,一般用｜H（ejω）｜表示幅度频 谱,arg［H（ejω）］表示相位频谱。
第2章离散时间信号与系统的变换域分析方法 例2-3 已知系统的单位脉冲响应h（n）= RN（n）,求该
系统的频率响应,并画出幅度频谱与相位频谱曲线。 解

第二章Z变换

第二章Z变换

n
n
n1 (2-7)
等式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为有限Z平面；第一项
是正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径Rx+，级数在以原点 为中心，以Rx+为半径的圆内任何点都绝对收敛。如果Rx+为收敛 域的最大半径，则综合以上两项，左边序列Z变换的收敛域为
0 | z | Rx
如果n2≤0，则式（2-7）右端不存在第二项，故收敛域应包括z=0， 即|z|<Rx+。
nn1
设x(n)为有界序列，由于X(z)是有限项级数之和，除0与∞两
点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。如果 n1<0，则收敛域不包括∞点；如果n2>0，则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列，收敛域包括∞点。具体有限长序列的收敛域表
示如下： n1 0, n2 0时 0 | z | n1 0, n2 0时 0 | z | n1 0, n2 0时 0 | z |
阿贝尔（N.Abel）定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在 以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。因此， 综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛。所以，如果Rx-是 收敛域的最小半径，则右边序列Z变换的收敛域为
Rx-<|z|<∞ 右边序列及其收敛域如图1-23所示。
第2章 z变换
2j c
c (Rx , Rx )
(2-12)
jIm[z]
c o
第2章 z变换
|z|＝Rx＋ |z|＝Rx－
Re[z]
图2-11 围线积分路径
第2章 z变换
证
1
2j
X (z)zn1dz 1
c
2j
c
mx(m)

第2章 线性离散系统的Z变换分析法-2

第2章 线性离散系统的Z变换分析法-2
求得该系统的闭环Z特征方程为：
( z 1)(z 0.368) 0.158kz 0
对应的W特征方程为：
0.158kw2 1.264w (2.736 0.158k ) 0 Routh表为
w2 w1 w0
0.158k
10.158k)
第2章线性离散系统的Z变换分析法
jIm
j [ Z]
jω
[W]
-1
0 -j
1 Re 0 δ
图2.12 Z平面与W平面的映射关系
这种变换称为W变换，它将Z特征方程变成W特征方程， 这样就可以用Routh准则来判断W特征方程的根是否在W平面 的左半面，即系统是否稳定。
第2章线性离散系统的Z变换分析法
例2.13 某离散系统如图2.13所示，试用Routh准则确定使 该系统稳定k值范围，设T=0.25s。
当δ<0时， |z|<1，即 S平面的左半面映射到 Z平面上的是 以原点为圆心单位圆的内部。
当 δ>0时， |z|>1，即 S平面的右半面映射到 Z平面上的是 以原点为圆心单位圆的外部。 S平面与Z平面的映射关系如图2.11所示。
第2章线性离散系统的Z变换分析法 jω [S] jIm j [ Z]
2.6.3 Routh稳定性准则在离散系统的应用
连续系统的Routh稳定性准则不能直接应用到离散系 统中，这是因为Routh稳定性准则只能用来判断复变量代 数方程的根是否位于S平面的左半面。如果把Z平面再映 射到S平面，则采样系统的特征方程又将变成S的超越方 程。因此，使用双线性变换，将Z平面变换到W平面，使 得Z平面的单位圆内映射到W平面的左半面。 设 z w1 （或 z 1w ）则 w z 1 （或 w z 1 ） z 1 z 1 w 1 1 w 其中z，w均为复变量，即构成W变换，如图2.12所示。

计算机控制技术第2章 Z变换及Z传递函数(3)

计算机控制技术第2章 Z变换及Z传递函数(3)

第2章 Z变换及Z传递函数
闭环Z传递函数 设闭环系统输出信号的Z变换为Y(z)，输入信 号的Z变换为R(z)，误差信号的Z变换为E(z)，则 有如下定义： Y (z) 闭环Z传递函数： W ( z )
R(z)
W 闭环误差Z传递函数：
e
(z)
E (z) R(z)
R(z)
E(z)
G(s)
Y(z)
因此，求解y*(t)的问题就转换为求系统的 Z传递函数，这就表明Z传递函数G(z)可以表征 线性离散系统的性能。
第2章 Z变换及Z传递函数
Z传递函数与脉冲响应函数的关系
G(z) u(t)
T
u*(t) U(z)
G(s) T
y(t) y*(t) Y(z)
脉冲响应函数
设G(s)的输入为理想的脉冲信号 u t t 则输出 y t g t L G s
G1 (s) Y1(s) Y(s) U(s) T
G1 (s)
Y1(s)
Y(s) Y(z)
U(s)
T
Y(z)
G2 (s)
G2 (s) Y2(s)
Y2(s)
T
(a) 采样开关在各个环节输入端
(b) 采样开关在总输入端
第2章 Z变换及Z传递函数
根据上图可知，总的Z传递函数等于两个环 节Z传递函数之和，即
第2章 Z变换及Z传递函数
若设G(z)的一般表达式为
Y (z) G (z) U (z) b0 z z
n m
b1 z
m 1
bm
a1 z
n 1
an
不失一般性，假定其中的系统m≥0，n≥0， 其余系数为任意给定值，则

数字信号处理第2章Z变换

数字信号处理第2章Z变换

s=jΩ X(S)
z=esT
X(z) z=ejω
模拟：x(t)
X(j) =T
X(ejω)
t=nT
s
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应
一、离散系统的系统函数
1、差分方程和系统函数的关系
系统的差分方程为：
对方程两边做z变换，得：
整理得系统函数为：
2、 H(z)和单位抽样响应h(n) 的关系
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→， 所以在一个周期内：为–/T→/T
=0，S平面的实轴，
=0，z平面正实轴；
=0(常数)， S：平行实轴的直线，
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
①极点zk，为D(z)=0的根 ②计算系数Ak时，要写成：
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法： 例2-4-1：
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
求系数Ak
例2-4-2：
利用z变换的时移性质： 令： 则：
长除法-原理
即D(z)除以N(z)的商为z的多项式，多项式的系数即为序列x(n) 左边序列对应z的正次幂的系数，右边序列对应z的负次幂的系数

数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换

数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换

• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面

）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换

Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n

x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az

(优选)z变换的基本性质和定理

(优选)z变换的基本性质和定理

X (z)H(z)
两者交集 序列的卷积和
1
2j
c
X
(v)H ( z v
)v 1dv
上下限对应相乘
序列相乘
x(n)为因果序列
且X(z)的极点落在单 位圆内部，最多在
z=1处有一极点
初值定理 终值定理
ax(n) by(n) aX (z) bY(z)
x(n m)
zm X (z)
两者交集 不变
线性性质 移位性质
an x(n)
X (z a) 上下限放大|a| 乘以指数序列
序列
nx(n) x* (n)
Z变换 z d X (z)
dz
X *(z*)
收敛域 不变 不变
说明 线性加权
共轭
x(n)
X (1 z)
部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：
Ck
(r
1 d rk
k
)!
dz
r
k
[(z
zi )r
x(z zk
)
z
zi
,
k 1,2r
3、长除法 将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应
一个因果序列或一个反因果序列。
对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除；
对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。
3、乘以指数序列（z域尺度变换） 如果 则有： 证明：根据z变换的定义证明
4、序列的线性加权（z域求导数） 如果 则有：
证明： （见下页，怎样证明？）从右至左证明。
5、共轭序列 如果 则有：
证明：
6、翻褶序列 如果 则有：
证明： （见下页）
证明：
7、初值定理 证明： （怎样证明？） 显然： lim X (z) x(0)

第2章--Z变换及Z传递函数

第2章--Z变换及Z传递函数
sin t cost
F(z)
z za
z z eaT
z sin T z2 2z cosT 1
z(z cosT ) z2 2z cosT 1
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
则：
fi (kT )
1
ai z z zi
i 1, 2, , n
n
f * (t) fi (kT) (t kT) k 0 i1
第2章 Z变换及Z传递函数
3．留数法
设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换 f(kT)值，可由下式计算
f (kT ) 1 F (z)
1
i0
则
G(z)
F(z) 1 z 1
7．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F(z) z
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (t)eat F(z eaT )
9．微分定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
G1 (z) G2 (z)
第2章 Z变换及Z传递函数
由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的 Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。
在一般情况下，很容易证明：
G1G2 (z) G1 (z) G2 (z)
在进行计算时，应引起注意。
第2章 Z变换及Z传递函数
pi )F (z)zk1
n
f
(kT )

第2章 序列的傅里叶变换和z变换

第2章 序列的傅里叶变换和z变换

X (e j ) X *(e j )d 1
2
X (e j ) d
2
2
❖ 帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能
量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域
总能量是指|X(ejω)|2在一个周期中的积分再乘以
1/(2π)。最后，表2-1综合了FT的性质，这些性
质在分析问题和实际应用中是很重要的。
2020/3/22
k
m
H (e j ) X (e j )
2020/3/22
西安建筑科技大学信息与控制学院
12
❖ 5. 频域卷积定理
❖ 设y(n)=x(n)·h(n)
2-11
证明
Y (e j ) 1 X (e j ) * H (e j ) 1 X (e j )H (e j( ) )d
2
2
Y (e j )
j
2 N
kn
n0
❖ (2.22)式就是利用冲激函数，以及周期序列的离散傅 里叶级数表示周期序列的傅里叶变换的表达式。
2020/3/22
西安建筑科技大学信息与控制学院
23
❖ 例 2-2 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期 延拓得到的序列(如图2-4(a)所示)，求序列的FT。
❖ 解： 按照(2-18)有
❖
xe(n)=x*e(-n)
2-23
❖ 则称xe(n)为共轭对称序列。对于实序列来说，这一 条件变成xe(n)＝xe(-n)，即xe(n)为偶对称序列。对于 一般的复序列可表示为
❖
xe(n)=xer(n)+jxei(n)
2-24
❖ 即实部与虚部和的形式。上式中用-n代替n，并取共
轭，得

第二章Z变换

第二章Z变换

左边序列的n Z 变 换的收敛域n 一 定位于最内n 部 1 极点的内部，
其收敛域为：
0 z Rx
左边序列 的收敛域
4.双边序列
双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：
1
X (z ) x (n )z nx (n )z n x (n )z n
n
n 0
n
双边序列 的收敛域
X(ej)1a1ej
za
此时，ROC包括了单位圆。
例2: x(n)anu(n1)
1
X(z) anzn anzn
n
n1
1aa1z1z 11az1
za
例3. x(n)(1)nu(n)2nu(n1)
2
X (z) (1)n zn 1 2n zn
n0 2
n
1
1 1
z 1
1
1 2 z 1
2
ROC: 1 z 2 2
定包括 z 点。
因果序列的收敛域为： Rx z
例1．考虑一系统，其中 H(z)11 1z112 1z1
判断其是否为因果系统？
2
z2
解： 因为H(z)的ROC是最外边极点的圆的外边，所以它的 单位脉冲响应h(n)是右边序列。为了确定是否是因果的， 我们可以利用因果性所要求的其它条件来检验。
把H(z)表示成两个多项式之比
数形式 的反变X换( z。)
3. 留数法：
由留数定理有：
x (n )1 2j
cX (z)zn 1 d zR e s[X (z)zn 1 ,zi] i
x ( n ) 等 于 X ( z ) Z n 1 在 围 线 积 分 C 内 所 有 极 点 Z i 上 的 留 数 的 总 和

02-第二章 序列的Z变换与傅里叶变换

02-第二章 序列的Z变换与傅里叶变换

信号用序列表示 系统用差分方程描述
3
时域与频域分析

连续时间信 号与系统 时间域
傅里叶变换 推 广 拉普拉斯变换
频率域
(复频域 )

离散时间信 号与系统
傅里叶变换 推 广 Z变换
4
时间域
频率域
(复频域 )
本章主要内容

序列的Z变换 Z变换的主要性质 序列的傅里叶变换 傅里叶变换的主要性质
解： X ( z )

n


x ( n) z
n

n
b z a n z n
n n n 0
1

z z z (2 z a b) z a z b ( z a)( z b)
讨论： 极点为z1= a和z2= b 零点为z1= 0和z2= (a+b)/2
变换收敛的所有z值的集合组成的区域。

根据级数理论，式(2.1)收敛 的充分必要条件是满足绝对 可和条件，即
n
| x(n)z

n
|＜

根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域

收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞
收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域
10
2.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域
解：利用ln(1+ x)，且|x|＜1的幂级数公式
1 2 1 3 (1)n1 n (1)n1 n ln(1 x) x x x x x 2 3 n n n 1
(1＜x ≤1)
展开X(z)得
(1)n1 n n X ( z ) ln(1 az ) a z n n 1

(完整版)数字信号处理(程佩青) 第二章 Z变换PPT文档

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27
1.围线积分法（留数法）
X(z)zn-1在任意一极点zr处的留数
（1） zr 是X(z)zn-1的单（一阶）极点
R e s X z z n 1 z z r z z r X z z n 1 z z r
（2） zr 是X(z)zn-1的多重（l 阶）极点
R e s X zzn 1 z z r l 1 1 !d d z ll 1 1 z z rlX zzn 1 z z r
其中zi是X(z)的一个r阶极点 ，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是 整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0 项；M<N时Bn =0）。
33
各系数的求法:
(1)Bn可用长除法求得。
(2) A k 1 z k z 1X z |z z k z z k X z z z z k R e s X z z z z k
式中C是X(z)收敛域内的环绕原点的一条反时针方向的闭合
围线。
25
1.围线积分法（留数法）
比较z变换的定义式 X(z) x(n)zn
和（2.5）式
n
Xz Cnzn n
可以发现，x(n)就是罗朗级数的系数，即：
xn21j
Xzzn1dz
C
CRx,Rx
这就是用围线积分的z反变换公式：
26
1.围线积分法（留数法）
{Z：X(z)存在}＝收敛区域。
注意：z变换收敛域的概念很重要，不同的 序列可能有相同的z变换表达式，但是收敛域却 不同。所以应该特别注意，只有当z变换的表达
式与收敛域都相同时，才能判定两个序列相等。
10
2. z变换的收敛域
收敛条件：按照级数理论， X(z) x(n)zn

第2章z变换

第2章z变换
的z反变换。
解：
X(z)(12z1)11(0.5z1)
z2
(z2)(z0.5)
X(z)
z
A1 A2
z (z2)(z0.5) z2 z0.5
A1
[( z 2)
X
(z) z
]z2
4 3
A2
[( z
0.5)
X (z)
z
] z 0.5
1 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
故其和为X
(z)
b1z 1 b1z
j Im[z]
z z b
收敛域： z b
Re[ z ] b
*收敛域在模最小的极（左边序列极点）点所在的圆内。
一个结论
• 由上面两个例子来看，Z变换表达式一样， 不代表序列相同，还得看他们的收敛域 是否一致。
绝对收敛。即0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收敛。
|z+|为最大收敛半径。
j Im[z]
Re[ z ]
z
同样,对于级数 x(n) z n，存在 z z n0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[z]
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x(n) .
x(n)0x,(n),其 n1 他 nnn2
§2-1 引言
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，经典时域分析法，卷
积积分等。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
二.变换域分析法
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外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z
变换为
X ( z ) x (n ) z n
n n1
n2
设x(n)为有界序列，由于是有限项求和， 除0与∞点 是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛。
如果n1<0， 则收敛域不包括∞点； 如n2>0， 则收敛域
不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=∞点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：
也可作为
边界)，收敛域内不包含任何极点，但可以包含零点，这才能保证Z变换的
图2.43 极－零点分布相同而收敛域不同的4个可能的z变换
24
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 逆Z变换 已知序列的Z变换及其收敛域， 求序列称为逆Z变 换。 序列的Z变换及共逆Z变换表示如下：
X ( z) x ( n)
到FT和ZT之间的关系， 用下式表示：
X (e ) X ( z )
j
(2.6.4)
z e j
8
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
式中z=e jω表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位
圆。 (2.6.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶
变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(2.6.4)式， 很方 便的求出序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。
12
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 n1<0， n2≤0时， 0≤ |z|＜∞
n1<0， n2>0时， 0< |z| ＜∞ n1≥0， n2>0时， 0< |z| ≤∞ n1= n2=0时， 0≤ |z| ≤∞ 例 3. 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：
X ( z)
n
4
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为
X ( z)
n


x(n) z n
(2.6.1)
式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中， 对n求和是在±∞之间求和， 可以称为 双边Z变换。 还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式
X ( z)
n
a u(n 1) z
n

n

n
a z
1
n n
a n z n
n 1
X(z)存在要求|a－1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
a 1 z 1 X ( z) , 1 1 1 a z 1 az
z a
17
例 1. x(n)=u(n)， 求其Z变换。
解：
X ( z)
n


u( n ) z
n
z n
n 0

X(z)存在的条件是
<1， 因此收敛域为|z|>1， |z|>1
1 X ( z) 1 z 1
9
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
4. 双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列 之和， 其Z变换表示为

X ( z) X1 ( z)
n


x ( n) z n X 1 ( z ) X 2 ( z ) x ( n) z n , Z Rx Rx Z
1

14
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
第一项为有限长序列， 设n1≤－1， 其收敛域为
0≤|z|＜∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx-是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与， 其 收敛域为Rx- <|z|<∞。 如果是因果序列， 收敛域定为 Rx- <|z|≤∞。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6 序列的Z变换
1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
Z变换的提出背景(1)
数字信号处理的目标
由数字信号序列分析其内在特性 对数字信号序列进行处理
正交变换（如傅里叶变换）、Z变换是手段
2
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
Z变换的提出背景(2)
正交变换
点对消， X(z)在单位圆上仍存在， 求RN(n)的FT， 可
将z=ejω代入X(z)得到。
2. 右序列 右序列是在n≥n1 时， 序列值不全为零， 而其它
n<n1， 序列值全为零。
X ( z)
n


x(n) z
n
x(n) z x(n) z n
n n n1 n 0
15
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.6.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域
解：
X ( z)
n
a u ( n) z
n

n
a z
n 0

n n
1 1 az 1
在收敛域中必须满足|az－1|<1， 因此收敛域为∞≥ |z|>|a|。 3. 左序列 左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在 n>n12， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为
X ( z)
n


x(n)z n
X ( z ) ln(1 az 1 ), z a an n 1 n n (1) n 1 , n 1 (1) a z n X ( z) , x ( n) n n 1 0, n0
X ( z ) x(n ) z n
n 0
(2.6.2)
5
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
对因果序列来说,单边和双边Z变换相等. 用 z re j 代入
X (re )
j
n


x(n)r n e jn , 当r z 1时，
变成傅立叶变换， 要使级数收敛，则
az 1 X ( z) 1 az 1 az 1 1 a2 , 1 (1 az )(1 az )
|a|<|z|<|a|-1
如果|a|≥1， 则无公共收敛域， 因此X(z)不存在。
当0<a<1时， x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.6.2所示。
20
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
视序列为多维空间中一点 不同坐标系产生不同的坐标值(正交变换系数) 不同的坐标系可突出不同的特性
坐标变换 正交变换 Fourier变换
正交变 换相当 于不同 正交坐 标系之 间的变 换
直角坐标 方
极坐标
圆
三角函数， Harr , Walsh等 正交函数
用cos和sin 函数作为 正交基， 来描述振 动信号， 如语音等
X ( z)
n 1
a z n
n

n
an z n an z n
n0
an z n an z n
n 1频域分析
第一部分收敛域为|az|<1， 得|z|<|a|-1， 第二部分收
敛域为|az-1|<1， 得到|z|>|a|。 如果|a|<1， 两部分的公 共收敛域为|a|<|z|<|a|-1， 其Z变换如下式：
n


x ( n) z
n
，

x ( n) r n
n
要使FT变换存在，则收敛域包含 z 1, 有时FT 变换 不存在时，在一定的收敛域内，Z 变换存在,例如u (n). 要使Z 变换收敛，根据罗朗级数的性质有： Rx z Rx
6
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.2 例2.6.5图
21
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例2.12
求如图2．42(a)所示的序列
( a b)
a n， n 0 x ( n) n b ，n 0
的Z变换及其收敛域。
22
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
解 该序列为双边序列，其Z变换为
n


a u ( n 1) z
n
n

n 1
an z n

(az ) n az (1 az a 2 z 2 ...)
n 1

az 1 1 , az 1, z , 零点z=0,极点z= 1 az a a
10
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.6.1 Z变换的收敛域
7
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之
比表示
P( z ) X ( z) Q( z )
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式
Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在， 因
此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式， 很容易得
2.6.2 几种序列的Z变换及其收敛域
序列的特性决定其Z变换收敛域， 了解序列特性与 收敛的一般关系， 对使用Z变换是很有帮助的。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式：
x(n)
x(n)= 0
n1≤n≤n2
其它
11
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之
X ( z)
n


x ( n) z
n