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§9.7第一型曲面积分的计算

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第一型曲面积分

第一型曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 第二型曲面积分的概念与性质 三、第二型曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
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思考: 思考 若 ∑ 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
z
0
)
dS ∫∫Σ z = (
Σ
h
y
dS a ∫∫Σ z = ( 4 π a ln h )
x
−h
Σ
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结束
例2. 计算
其中∑ 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 Σ1, Σ2, Σ3, Σ4 分别表示∑ 在平面 上的部分, 则 原式 = ∫∫ +∫∫
i=1
∑[
+ Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )zx
n
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二类曲面积分. 记作
∫∫Σ Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy
积分曲面. 积分曲面 P, Q, R 叫做被积函数 Σ 叫做积分曲面 被积函数; 被积函数
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λ→0i=1
n
+ R(ξi ,ηi ,ζi ) cosγ i ] ∆Si
= lim ∑
λ→0
i=1
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第一型曲面积分【高等数学PPT课件】

第一型曲面积分【高等数学PPT课件】


a2 h2
0
思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则

dS z

(
0
)


dS z

(

4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h

例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3, 4分别表示 在平面 1
Σ
Σ
Ò x d S
x Σ
Ò d S
Σ

Dxz
一投： 将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz .
二代： f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三换：
dS
1
y
2 x
(
x,
z
)

yz2( x, z)
dxdz;
3. 若曲面 ： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
上的部分, 则 o
原式 =

Σ1 Σ2 Σ3 Σ4
xyz dS
1 x
1y
x yz d S
Σ4
4 : z 1 x y,
(x,
y)

Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x

1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
Σ
Σ1
• 线性性质.

第一型曲线曲面积分的计算

第一型曲线曲面积分的计算
y
A
o Bx
例 2．计算 L yds ，其中 L 为抛物线y x2 ，直线x1 及
x 轴所围成的曲边三角形的整个边界.
y
B
y x2 x1
o y0 A x
例 3．计算 ( x2 y2 z2 )ds ，其中 L 为曲线
L
x2 y2 z2 4 xz0
例 4．设 L 为椭圆 x2 y2 1 ，其周长为 a， 43
1
x 2
y
x z
2dydz;
D yz
３．设曲面的方程为：y h(z, x)
曲面面积公式为：A
1
y 2
z
y x
2dzdx.
Dzx
例1
求球面x2 y2 z2 a2在 z b(a b 0)部分 的面积。
例 2 求由曲面x2 y2 az 和z 2a x2 y2 (a 0)所围立体的表面积.
：
z f ( x,
(x, y) y) 0
，在柱面(x,
y)
0
上介于L与
之间的
曲面的面积就是L f (x, y)ds 。
z
o
x
f (x, y)ds
y
L
当f (x, y) 0 时, L f (x, y) ds 表示以 L 为准线,
母线平行于z轴,高为z f (x, y)的柱面面积。
例6
求圆柱面x2 y2 1位于平面z 0上方与z y 下方那部分的侧面积A.
2() 2()d
L
注： 对 L f ( x, y)ds 来说， f ( x, y) 是定义在 L 上的，
被积函数中的 x，y 应满足 L 的方程，故可利 用 L 的方程化简被积函数.
故有“代入法”或“整体代入”

第一型曲面积分

第一型曲面积分

|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解 曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2

第一型曲面积分

第一型曲面积分

二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则

S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
山西大同大学数计学院
例1 计算

S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截 得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解 曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
山西大同大学数计学院
例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割 下的部分 (图22-2). 解 对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
山西大同大学数计学院
I v 1 u dudv vdv
2 0 D

第一型曲面积分(北工大)课件

第一型曲面积分(北工大)课件

曲面积分的微分定理
总结词
曲面积分的微分定理是指在进行第一型曲面 积分时，如果被积函数是某个标量场的梯度 函数，那么积分结果等于该标量场在积分区 域上的增量。
详细描述
微分定理的具体形式是：如果被积函数是某 个标量场u的梯度函数 grad u，那么第一型 曲面积分的结果等于该标量场在积分区域上 的增量。这个定理可以用于计算某些物理量 （如力、势能等）在某个区域上的分布情况 。
总结词
圆柱面是三维空间中以直线为轴线，以实数r为半径的曲面。
详细描述
圆柱面的一型曲面积分可以通过将圆柱面分割成若干个小曲面片，然后计算每个小曲面片的面积，最 后求和得到。具体计算过程中，需要利用圆柱面坐标系进行坐标变换，将圆柱面上的点映射到直角坐 标系中，以便进行积分计算。
圆锥面
总结词
圆锥面是三维空间中以点为中心，以直 线为轴线，以实数r为半径的曲面。
05
曲面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分的应用举例
曲面的面积计算
总结词
利用第一型曲面积分计算曲面的面积
详细描述
在几何学中，曲面面积的计算是一个常见的 问题。通过第一型曲面积分，我们可以将曲 面分成若干个小曲面元，然后计算这些小曲 面元的面积，最后求和得到整个曲面的面积
。
流体流速的计算
要点一
总结词
利用第一型曲面积分计算流体在曲面上的流速
参数方程的转换
在某些情况下，曲面可能已经给出了直角坐标方程，但为了 计算方便，我们需要将其转换为参数方程。转换的方法是通 过消去直角坐标方程中的平方项，将其化为参数方程的形式 。
面积元素的确定
面积元素的定义
面积元素是微小的曲面面积，用于计算曲面积分。在第一型曲面积分中，面积 元素与曲面的法向量有关。

第5讲 曲面积分的计算

第5讲 曲面积分的计算

第5讲 曲面积分一.第一型曲面积分的计算1(,,)lim (,,)niiiid i Sf x y z dS f Sξηζ→==∆∑⎰⎰1.曲面的面积设曲面S 的方程为：(,)z f x y = (,)xy x y D ∈.xyD S =⎰⎰若曲面方程为(,)x x y z =,将曲面投影到yOz 面上(投影域为yz D )yzD S =⎰⎰若曲面方程为(,)y y z x =,将曲面投影到zOx 面上(投影域为zx D )zxD S =例1 求球面2222x y z R ++=(0z ≥)介于平面(0)z h h R =<<和平面0z =之间部分的面积.2. 第一型曲面积分的计算设S 的方程为：(,)z z x y = (,)xy x y D ∈.(,,)(,,(,xySD f x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰若曲面方程为(,)x x y z =(,,)((,),,yzSD f x y z dS f x y z y z =⎰⎰⎰⎰若曲面方程为(,)y y z x =(,,)(,(,),zxSD f x y z dS f x y z x z =⎰⎰⎰⎰例1 计算SxzdS ⎰⎰,其中S 是锥面z =被圆柱面222(0)x y ax a +=>所截下部分.例2 计算SzdS ⎰⎰,其中S 是由圆柱面222x y R +=,平面0z =和z x R -=所围立体的表面.二、向量值函数在有向曲面上的积分 1、曲面的侧空间曲面方程：(,)(,)(,)(,,)0(,)(,)(,)(,)(,)(,)z z x y x y D x y F x y z y y z x z x D z x x x y z y z D y z =∈⎧⎪=⇔=∈⎨⎪=∈⎩任一点处的法向量(,,)x y z n F F F =在光滑曲面S 上取一定点0M ，则曲面S 在点0M 处的单位法向量有两个方向，选取其中的一个方向作为曲面S 在点0M 处的单位法向量，记为0n .双侧曲面：S 上的动点M 从点0M 出发,在曲面S 上连续移动而不超过S 的边界回到0M 时,其单位法向量与出发前的0n 相同。

§9.7第一型曲面积分的计算(1)

§9.7第一型曲面积分的计算(1)

被柱面x2 y2 2ax 所截得的有限部分。 z
x2 y2
解：∵ 关于xoz 而对称，而
y z 2 x 2 ，被积函数
y
中 xy, yz 都是y 的 奇函数，
∴ xydS yzdS 0 ，
∴ (xy yz zx)dS zxdS 。
o
x
∵z
x2 y2 ，zx
x x2 y2
，zy
i1
1 i n
如果当 d 0 时，这和式的极限总存在，则称此极限为
f (x, y, z) 在曲面上 的第一型曲面积分或对面积的曲面
积分，记作 f (x, y,z)dS ，即
n
f (x, y, z)ds lim f (i ,i ,i )si
d 0 i1
其中 f (x, y, z) 称为被积函数， 称为 积分曲面。 注：
y， x2 y2
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
2dxdy ，
∴ (xy yz zx)dS zxdS 2 zxdxdy
2
2
d
2acos3 cosd
0
2
4
2a4
2
cos5
d
8
2a4 2 cos5 d
0
2
8 2a4 4 2 1 64 2 a4. 5 3 15
作业
习 题 六 （P196）
4
x 0 ， y 0 ， z 0 及x y z 1 所围
成的四面体的整个边界曲面。 解： 整个边界曲面在平面x 0 ，
1
o 2 3
y
y 0 ， z 0 及x y z 1 上的部 x
分依次记为1 ，2 ，3 ，4 。

第一类曲面积分换元

第一类曲面积分换元

第一类曲面积分换元
曲面积分是一种对于曲面上矢量场的积分运算。

第一类曲面积分也被称为标量场的曲面积分，它是对于一个标量函数在曲面上的积分。

换元是一种数学中的技巧，它可以将一个积分转化为另一个形式的积分。

在第一类曲面积分中，换元有两种情况：参数替换和函数替换。

参数替换是指将曲面上的参数用另一组参数表示，这个方法通常用于简化曲面积分的计算。

例如，如果曲面被参数化为(u,v)，可以将(u,v)用(x,y,z)表示，然后通过链式法则计算出新的积分表达式。

函数替换是指将被积函数通过一些代数或者函数变换转化为新的函数，这个方法通常用于简化积分的计算。

例如，如果被积函数可以被表示为f(x,y,z)，可以将它替换为g(u,v,w)，然后通过链式法则计算出新的积分表达式。

在进行第一类曲面积分换元时，需要注意保持积分区域的不变性，并且要确保新的积分表达式与原表达式等价。

第一型曲面积分

第一型曲面积分

解1: : z
x2

y2， D :
x2

y2

2x
z 0

dS= 1 zx2 zy2dxdy 2dxdy,
原式 ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy o
D1
Dxy
x

2

2
d
2cos ( 2 sin cos 2 sin 2 cos )d
A）
0
y2
0
y
1
y
1
y
(C) 0 dy y f ( x, y)dx. (D) 0 dy y f ( x, y)dx;
o
x
3.I
1
dy
2y
f (x, y)dx
3
dy
3 y f (x, y)dx,则交换积分次序后为( C )
0
0
1
0
4
A. dx
x 2
0
5!! 15 5 31
例3. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,

Dxy
简述为：一代、二换、三投影
代：将曲面的方程代入被积函数
换：换面积元 dS
投影：将曲面投影到坐标面得投影区域
例1
计算

S
1 z
dS
,
其中 S
z h

第一型曲面积分

第一型曲面积分


类似地，第一型曲面积分：
dS 投影d
转化为二重积分
重积分的应用一节已给出：当曲面z=z(x,y)向xOy平面上 的投影时有 d 2 2 dS 1 z x z y d cos γ 将曲面积分中的dS用dσ 表示,将z用x,y表示，得

D xy
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z z dx f ( x , y , z ) dS d ; x y
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知：
xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS0,

由坐标的轮换对称性知：
1 2 2 2 x dS y dS z dS 3 ( x y z )dS ,
, ΔS ,…, ΔS ΔS n n
1 2 n
( i ,i , i )Si 取极限:求质量的精确值M= lim 0
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值
i 1
n
一、第一型曲面积分的定义
设曲面是光滑的, 函数 f (x, y, z)在上有界, 把分成n小块Si (Si同时也表示第i小块曲面的面积), 设点(i , i , i )为Si上任意

是 球 面： x 2 y 2 z 2 R 2 。
解： I ( ax by cz d ) 2 dS

(a x b y c z d 2abxy 2bcyz 2acxz
2 2 2 2 2 2 2
2adx 2bdy 2cdz)dS
称性。 设Σ对称于xoy （或yoz,或zox ）坐标面. 若 f（x,y,z )关于z（或 x，或 y)是奇函 则 f ( x , y , z )dS 0 数 若 f（x,y,z )关于z（或x，或y）是偶函数 ,Σ1是Σ位于对称坐标面一侧的部分，则 f ( x, y, z )dS 2 f ( x, y, z )dS

曲面积分的计算

曲面积分的计算

曲面积分的计算计算曲面积分是微积分中的一个重要概念，它用于求解曲面上某个标量或向量场的总量。

本文将介绍曲面积分的概念、计算方法以及相关的应用。

一、曲面积分的概念曲面积分是对曲面上某个标量或向量场进行积分的过程。

在三维空间中，一个曲面可以表示为参数方程形式：S：{x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)}, 其中(u,v)为某个参数域。

对于一个标量场f(x,y,z)而言，曲面积分的定义可以表示为：∬S f(x,y,z) dS在这个式子中，dS表示曲面元素，它是曲面上某点的面积和法向量的乘积。

曲面积分实际上就是将标量场在整个曲面上的取值进行加总。

对于一个向量场F(x,y,z)而言，曲面积分的定义为：∬S F·n dS其中F·n表示向量场F与曲面的法向量n的点积，dS表示曲面元素。

曲面积分实际上就是将向量场在整个曲面上的投影进行加总。

二、曲面积分的计算方法曲面积分的计算方法有多种，下面将介绍常用的两种方法：参数化和面积微元法。

1. 参数化法参数化法是根据曲面的参数方程对曲面上的点进行参数化，然后将曲面积分转化为参数域上的二重积分。

具体步骤如下：1.1 确定参数域D：确定参数方程中参数u和v的取值范围，得到参数域D。

1.2 求曲面元素和法向量：通过计算参数方程的偏导数得到曲面元素dS和法向量n。

1.3 转化为二重积分：将曲面积分的积分区域由曲面上转化为参数域上，得到在参数域上的积分表达式。

1.4 计算二重积分：利用二重积分的计算方法，计算积分的结果。

2. 面积微元法面积微元法是根据面积微元的性质对曲面进行离散化，将整个曲面分割为许多微小的面元，然后通过面积微元的近似求和来逼近曲面积分的值。

具体步骤如下：2.1 分割曲面：将曲面分割为许多微小的面元，可以采用三角形、四边形等形状进行分割。

2.2 计算面元面积：根据面元的几何形状计算面元的面积。

2.3 计算面元的法向量：对于每个面元，计算其法向量。

曲面积分的计算方法

曲面积分的计算方法

曲面积分的计算方法近年来，由于计算机科学和数学发展的飞快发展，曲面积分计算方法成为重要课题。

曲面积分是一种在任意区域内求物理量的空间分布和总量。

它是利用空间几何关系来计算曲面积分的实用方法。

它也被用来衡量物质在复杂背景中的变化，预测物质性质的变化和分布，以及物理和化学反应的发展状态等。

曲面积分的计算方法主要有三种：傅里叶变换方法、积分变换方法和VIETE-GRAMERCY-LORENTZ方法。

1、傅里叶变换法：傅里叶变换法是一种基于空间几何关系的曲面积分计算方法，它把曲面上的曲线物理量变换成抛物线物理量，进而转化为傅里叶变换的形式，最后得到积分值。

它主要用于处理一维或多维曲线物理量的曲面积分计算。

2、积分变换法：积分变换法是指用空间几何关系把曲面上的曲线物理量转换为直线物理量，然后把积分问题转换为求直线积分的问题，最后得到曲面积分值。

这种方法主要用于求解直线和曲面上的曲线物理量的空间分布和总量，也可以应用于多维空间的曲面积分。

3、VIETE-GRAMERCY-LORENTZ方法：VIETE-GRAMERCY-LORENTZ方法，也被称为三维曲面积分法，是一种采用空间几何关系把任意三维曲面积分计算转化成把一维问题转化成二维问题的方法。

它可以计算任何曲面上的积分值，还可以应用于曲面物理量和流场的分析。

以上就是曲面积分的计算方法，它们都是基于空间几何关系来解决曲面积分问题的方法，为物理科学和工程应用提供了有效的计算方法。

更为重要的是，曲面积分的计算方法为工程设计和工程计算提供了便利。

在计算中，需要根据实际情况选择不同的曲面积分计算方法，以便更好地利用曲面积分的特性。

总之，曲面积分的计算方法是基于空间几何关系，是解决曲面积分问题的一种有效方法。

在科学和工程领域，不同的曲面积分计算方法为实际工作和现实应用提供了很大的帮助。

第一类曲面积分

第一类曲面积分

性 1
D
xdS x 1 1dxdy 0
O
x
y
2
D
14
3 : x2 y2 1 将投影域选在 xOz面上 z
注 y 1 x2 分成左、右两片
(左右两片投影相同)
对 称 性
xdS xdS xdS
3
31
32
2 xdS 2 x
在曲面上 对面积的曲面积分 或
第一类曲面积分.记为 f ( x, y, z)dS. 即

n

f ( x, y, z)dS

lim
0
i 1
f (i ,i , i )Si
积分曲面 被积函数 曲面元素
如曲面是 闭曲面,则积分为 M ( x, y, z)d S
z
h o
y x h

23
例3. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3 , 4 分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式 =


1
2
3
4
x yz dS
1 x
1y
x yz d S 4 4 : z 1 x y,
a dxdy Dxy a2 x2 y2
a 2 d 0
a2 h2 rd r
0
a2 r2

2
a

1 ln(a2 2

r2)

a2 h2
0
22
思考: 若 是球面 出的上下两部分, 则


dS z

曲面积分的定义和计算方法

曲面积分的定义和计算方法

曲面积分的定义和计算方法曲面积分是多变量微积分中的重要概念，用于计算曲面上的物理量或表示某一场量穿过曲面的总量。

它在物理学、工程学、计算机图形学等领域具有广泛的应用。

本文将介绍曲面积分的定义和计算方法。

一、曲面积分的定义曲面积分可以理解为将一个二元函数在曲面上的各个点上的取值进行累积的过程。

设曲面S是一个光滑曲面，可以表示为z=f(x,y)，其中f(x,y)是定义在S上的连续函数。

曲面积分的定义如下：∬F·dS = ∬f(x,y)·dS其中，F=(P,Q,R)是定义在曲面S上的向量场，dS表示曲面元素的面积。

曲面积分的结果是一个标量，表示向量场F穿过曲面S的总量。

二、曲面积分的计算方法1. 参数化方法参数化方法是计算曲面积分的常用方法之一。

当曲面S可以由参数方程表示时，可以通过将参数方程代入曲面积分的定义进行计算。

设曲面S由参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，(u,v)∈D表示，其中D为(u,v)平面上的闭区域。

曲面元素dS的面积可以表示为：dS = ∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥ dudv其中，∂r/∂u和∂r/∂v分别为参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)对u和v的偏导数，×表示向量的叉乘，∥∥表示向量的模。

根据曲面积分的定义，曲面积分可以表示为：∬F·dS = ∬f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) · (∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥ dudv)2. 投影法投影法是一种简化计算的方法，适用于曲面S与坐标平面之间存在投影关系的情况。

我们可以将曲面S在某一坐标平面上投影，然后计算投影面上的曲线积分。

设曲面S的投影在xy平面上的投影为D，f(x,y,z)为定义在曲面S 上的连续函数。

曲面积分可以表示为：∬F·dS = ∬f(x,y,z) · dS= ∬f(x,y,z) ·∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥ dudv= ∬[f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ·∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥] dudv= ∫∫[f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) · ∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥] du dv其中，[f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ·∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥]是曲线积分的被积函数。

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D
解：抛物线 y x 2 把 D 分为两个子区域：
D1 {( x , y ) x 1, x 2 y 2} ，
y
2
D2 {( x , y ) x 1, 0 y x 2 } 。
D1
y x2
D2
1
y x 2 , ( x, y )D 2 1 y x 2 x y , ( x, y )D2
作
业
总 习 题 （P196）
1（2）（5）（上凸曲线弧部分）；
2（3）；6 ；8 ； 10 ； 11 ； 14（1）
15 ；16 ； 17 ；19; 23 ； 25 。
习 题 六 （P196）
1 ；2 ；6 ；7 。
P170.1.6)．求 y x 2 dxdy，其中 D{( x, y ) x 1, 0 y 2} 。

二、第一型曲面积分的计算法
设有曲面 ： z z( x , y ) ， 在 xy 面上的投影区域为D xy ，
则曲面 的面积 S
D xy

2 1 z2 ( x , y ) z x y ( x , y )dxdy ，
面积元素
2 dS 1 z x ( x, y ) z 2 y ( x, y )dxdy ，
被柱面 x y 2 2ax 所截得的有限部分。
解： ∵
2
z x2 y2 ，
z
y
x y zx 2 2 ， z y 2 2 ， x y x y
2 dS 1 z x z 2 y dxdy 2dxdy ，
o
D xy
x
∵ 关于 xoz 面对称，而
y z 2 x 2 ，被积函数
设光滑曲面 的 方程为z z( x , y ) ， 在 xy 面上的 投影区域为 D xy ，函数z( x, y ) 在D xy 上有一阶连续偏 导数，若 f ( x , y , z ) 在 上连续，则有


f ( x , y , z )dS
D xy

2 f ( x , y , z( x , y )) 1 z x ( x, y) z 2 y ( x , y )dxdy
中 xy , yz 都是 y 的奇函数，
∴ xydS yzdS 0 ，∴ ( xy yz zx )dS zxdS 。


∴ ( xy yz zx )dS zxdS 2

D xy 2acos 3 2 2 d cosd 0 2 4 2 5 4 2 5 4 2a cos d 8 2a cos d 0 2
§9.7 第一型曲面积分的计算
一、第一型曲面积分的概念与性质
类似于第一类曲线积分中曲线形物件质量的讨论,
如果把曲线改成曲面,
把线密度f ( x, y) 改成面密度 f ( x, y, z )，
小曲线弧的长度 si 改为小块曲面的面积 Si ,
并把第i 小段曲线弧上的任一点 ( i , i ) 改为第i 小块曲面上的任一点 ( i , i , i ), 则得
曲面的质量 M lim
d 0
n
i 1
f ( i , i , i ) Si .
1.定义
设曲 面 是光滑的， f ( x , y , z ) 在上 有 界 。 把
任意分成 n 小块 S i （ S i 同时代表第 i 小块曲面的面积） ，
( i , i , i ) S i ( i 1, 2, , n) ，作和式 f ( i , i , i ) S i ，

xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS0,

由坐标的轮换对称性知：
1 2 2 2 x dS y dS z dS ( x y z )dS, 3
2 2 2
∴ I ( a b c ) x dS d
2 2 2 2
2
dS

1 2 2 2 2 2 2 2 (a b c )( x y z )dS d dS 3

1 2 2 2 2 2 [ R (a b c ) d ]dS 3 2 1 2 2 4R [ R (a b 2 c 2 ) d 2 ]. 3
1
dS 1 z x 2 z y 2 dxdy 1 ( 2 x )2 ( 2 y )2 dxdy
∴ M xyz dS 4 xyzdS
Σ Σ1
4
D xy 1 2 2 4 d ρ cossin ρ2
2 2 2 2 xy ( x y ) 1 ( 2 x ) ( 2 y ) dxdy
记忆口诀：“一代二换三投影”。
注： （1）计算第一型曲面积分 f ( x , y , z )dS 时，只要将

dS 换 成 被积函数 f ( x , y , z ) 中的 z 换 成 z( x , y ) ，面积元素
2 曲 面 换成投影区域 D xy 即可。 1z x ( x, y ) z 2 y ( x , y )dxdy，
i 1 n
{ S i的直径} ，如果当d 0时 ，这和式的极限 设 d 1max in
总存在，则称此极限为
f ( x , y , z )在 上 的
第一型曲面积分
或对面积的曲面积分，记作 f ( x , y, z )dS ，即

被积函数
n
积分和式
f ( i , i , i ) S i f ( x, y, z ) dS dlim 0
2 2 2 ∵ 1 z x z 2 1 ( 1 ) ( 1 ) 3， y
2
o 3
1
y
∴ xyzdS xyzdS
4
3 xdx
0
1
1
1 x
0
y 2 y 3 1 x y(1 x y)dy 3 x[(1 x ) ] dx 0 2 3 0
f ( x , y, z )dS

D xz
2 2 f ( x , y ( x , z ), z ) 1 y ( x , z ) y x z ( x , z )dxdz 。
（4） f ( x , y , z ) 1 时， dS 曲面 的面积 。

例 1．计算 xyzdS ，其中 是 由平面
0
1
x2
D2
0
x 2 y dy
3 0

z
h
1
dS
2
dS x y z
2 2 2
4
1 x
y z
2
2
o
其中 1是 位于第一卦限的部分，
a y
x
把 1 投影到 yoz 平面，得 D yz {( y , z ) 0 y a , 0 z h} ，
1 的方程为 x a 2 y 2 ，
z
h
（2）若曲面 的 方程为 x x( y , z ) ， ( y , z ) D yz ，则
f ( x, y, z )dS

D yz
2 2 f ( x ( y , z ), y , z ) 1 x ( y , z ) x y z ( y , z )dydz，
（3）若曲面 的 方程为 y y( x , z ) ， ( x , z ) D xz ，则
a2 y2
4a
a
1 a y
2 2
0
dy
h
0 a z
dz
y a 1 z h 1 h h 4a(arcsin ) ( arctan ) 4a arctan 2arctan . a 0 a a 0 2 a a a
例 4．求密度为 xyz 的抛物面壳 z x 2 y 2 (0 z 1) 的质量。
o 3
1
y
x
1

xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS xyzds
4
2 ， 3 上，xyz0 ， ∵在 1 ，
∴ xyzdS xyzdS xyzdS 0 。
1 2 3
z
1
1 4
在 4 上 ， z 1 x y ，
i 1
积分曲面
面积元素
注：
第一型曲面积分具有与第一型曲线积分相类似的性质。
例如: 若 1 2 , 则
f ( x , y , z )dS f ( x , y , z )dS f ( x , y , z )dS .
1 2
2. 用曲面积分表示与物质曲面有关的物理量
1
D xy

3 xy(1 x y )dxdy
x 1
(1 x )3 3 1 3 2 3 4 3 x dx ( x 3 x 3 x x )dx . 0 6 6 0 120
例 2．计算 ( xy yz zx )dS ， 其 中 是由锥面 z x 2 y 2

x 2 y 2 xdxdy




64 2 4 8 2a 1 a . 5 3 15
44 2
例 3．计算
dS
2 2 2 x y z
，其中 ： x 2 y 2 a 2 ，
0 z h ， (a 0,h 0) 。
解：∵曲面关于 yoz 平面和xoz 平面对称， ∴
0 0
0
1 4 ρ2 ρdρ
2
π 1 5 2 sin 2d ρ
0
1 4 ρ2 dρ
5 2
令u 1 4 ρ
2
1 125 5 1 2 u 1 u du . 420 21 4