常见的数学思想方法——转化思想

我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化、归类，就会使问题变得简单，这类问题的解决方法就是转化与化归思想，它在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归.转化与化归思想,指的是在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题得到解决的一种思想。

利用化归与转化的思想可以实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧来解决问题.数学解题过程，就是不断转化的过程，不断把问题由陌生转化成熟悉的来解决，几乎所有问题的解决都离不开转化与化归。

在其他的数学思想中明显体现了转化与化归的思想,比如，数形结合思想体现了数与形的相互转化,函数与方程思想体现了函数、方程、不等式等问题之间的相互转化,分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化.一、常见的转化与化归的形式常见的有：陌生问题向熟悉问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，不同数学问题之间的互相转化,实际问题向数学问题转化等。

二、常见的转化策略常见的有：正与反的转化、数与形的转化、整体与局部的转化、常量与变量的转化、相等与不等的转化、空间与平面的转化、数学语言之间的转化等。

三、常见的实现转化与化归的方法:1.直接转化法：把原问题直接转化为学过的基本定理、基本公式或基本图形问题.2.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

3。

数形结合法，即数与形的转化。

将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.例如在函数与图象的联系中可以体现出，把繁琐的代数问题转化为直观的几何图形来解决4。

特殊化方法:即特殊与一般的转化，把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。

5。

补集法，即正与反的相互转化.当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，正难则反，设法从问题的反面去探讨,使问题获解.6.等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，即原问题的充要条件，达到化归的目的.7。

a ab b 图图 整式乘法中的数学思想数学思想方法是数学问题的灵魂，求解决数学问题的金钥匙，整式的乘法运算也不例外. 整式的乘法运算运算中常见的数学思想方法有以下几种：一、转化思想在整式运算中，多项式乘法是化归为多项式乘以单项式来完成的，多项式乘以单项式又化归为单项式乘以单项式来完成的，而单项式乘以单项式又化归为同底数幂的运算来完成的.例1 化简：(3x +2)(x －1)+3(x －1)(x +1).分析： 根据多项式乘以多项式的法则，将原式展开后化归为单项式乘以单项式，最后化归到同底数幂相乘，从而获解.解： (3x +2)(x －1)－3(x －1)(x +1)＝3x 2－3x +2x －2－3x 2－3x +3x +3＝－x +1.评注： 本题在运用化归思想运算的过程中省略了一些步骤，不过一定要注意避免因为“－”号可能给化简带来的错误.二、整体思想例2 以知3a+2b=2，ab=5，求32 a b [（3a+2b ）2+a 2b 2]的值． 分析：此题没有告诉ab 的具体值，所以必须把原式化为 只含3a+2b 和ab 的式子，即把3a+2b 和ab 分别看作一个整体．解：原式=32a b ·（3a+2b ）2+32（ab ）3把3a+2b=2，ab=5代入，则原式=340+3250=9632． 评注：本题既运用了整体思想进行化简，又运用了整体代入求值.三、数形结合思想例3、如下图1，边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图1的阴影部分拼成了一个长方形，如图2．这一过程用下式表示正确的是( )A 、a 2+b 2-2ab =(a -b )2B 、a 2+b 2+2ab =(a +b )2C 、2a 2-3ab +b 2=(2a -b )(a -b )D 、a 2-b 2=(a +b ) (a -b ) 分析：关键是计算出两个图形中的阴影部分的面积，根据面积相等就可得到正确结果．解：图1中阴影部分的面积是一个边长为a 的正方形和边长为b 的正方形的面积之差，即阴影部分的面积为a 2-b 2，图2中阴影部分是一个以分别以(a +b )， (a -b )为边长的长方形，面积为(a +b ) (a -b )，所以选D ．评注：本题通过简单的几何拼图渗透数形结合思想，考查了同学们的观察能力、分析研究的能力．四、分类讨论思想例4、在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是----． 分析：对于任意两个一次二项式相乘，最多可以有四项，如（a+b ）（c+d ）；还可以是三项，如（x+1）（x+3）；还可以是两项，如（x-2）（x+2）．解：两项或三项或四项．评注：本题是一道开放型探究题，结论有多个，需要进行分类讨论．。

转化思想谈“转化思想”在初中数学解题中的应⽤布卢姆在《教育⽬标分类学》明确指出：数学转化思想是“把问题元素从⼀种形式向另⼀种形式转化的能⼒”。

如果学⽣在掌握双基的同时，接受了数学思想，学会了数学⽅法，就能激发学习数学兴趣，提⾼分析问题和解决问题的能⼒，并为以后的学习数学打下坚实的基础。

数学解题的本质就是转化，即把⽣疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把⼀般问题转化为特殊问题，把⾼次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把⼀个综合问题转化为⼏个基本问题；因此学⽣学会数学转化，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，也包含了⼼理达标的转换。

转化的⽬的是不断发现问题、分析问题，最终解决问题。

下⾯结合⾃⼰多年的教学实践，谈谈在数学解题中常见的基本转化类型和转化⽅法。

⼀、运⽤数与形之间的“转化”，化抽象为直观。

初中数学是以“数”与“形”这两个基本概念为基础⽽展开的。

《初中数学新课程标准》（以下简称《新课标》）在学习内容中要求：“能运⽤图形形象地描述问题，利⽤直观来进⾏思考。

”如运⽤平⾯直⾓坐标系来解决有关函数⽅⾯的问题，可以通过图形将复杂或抽象的数量关系，直观形象地翻译出来。

探索出⼀条合理⽽乘势的解题途径；达到解决学⽣⼼中存在的困惑，培养学⽣的数学解题能⼒⽬的。

例：(2009 ⼴东肇庆中考)如图,已知⼀次函数y1=x+m(m为常数)的图象与反⽐例函数y2= (k≠0)的图象相交于点A(1,3)。

(1)求这两个函数的解析式及其图象的另⼀个交B的坐标。

（2）观察图象，写出使函数值y1＞y2的⾃变量的取值范围。

分析：(1)本题要求函数解析式，只要把点A(1,3)代⼊函数关系式（点转化为数），即解得m=2，k=3。

(2)要求两图象的另⼀交点B，只要解两个函数联⽴成的⽅程组，解得的另⼀组解（数转化为点），即得点B(-3,-1)，此解题就是将数转化为形过程（使学⽣直接感受到抽象的⽅程组解，就是在平⾯直⾓坐标系中两个图象的交点的坐标）。

3.数学转化的思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题等，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。

一：【要点梳理】将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思想的过程，选择运用的数学方法进行交换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题思想叫做转化与化归的思想，转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化。

除简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的，化归月转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化，无限向有限的转化等，都是转化思想的体现。

熟练，扎实的掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想，机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识的去发现事物之间的本质联系。

“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。

二：【例题与练习】1.已知实数x 满足22110xx xx +++=,那么1x x+的值是( )A.1或-2；B. -1或2；C. 1 ；D.-22.如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则不难证明S 1=S 2=S 3(1)如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，那么S 1，S 2，S 3之间有什么关系（不求证明）？(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为S 1，S 2，S 3表示，请你确定S 1，S 2，S 3之间的关系，并加以证明。

数学的转化思想方法数学的转化思想方法导语：数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。

以下是店铺为大家整理分享的数学的转化思想方法，欢迎阅读参考。

数学的转化思想方法特殊与一般的数学思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。

常见情形为：用字母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等。

整体的数学思想：所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。

用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在结构，要敏锐地洞察问题的本质，有时也不要放弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。

常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。

分类讨论的数学思想：也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。

将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。

分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。

运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类的标准。

分类讨论的原则是：（1）完全性原则，就是说分类后各子类别涵盖的范围之和，应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不能遗漏；（2）互斥性原则，就是说分类后各子类别涵盖的范围之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一性原则，就是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。

专题知识突破五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

中学数学中常见的数学思想有哪些答题内容：1、化归的思想方法：所谓化归思想方法又叫转换思想方法、也叫转换思想方法、也叫转化思想方法,是一种把未解决的问题或特解决的问题,通过某种方式的转化,归化到一类已经能解决或比较容易解决的问题,最终得原问题的解答的思想方法.化归思想方法的三要素：化归谁化归对象、化归到哪化归目标、怎样化归化归方法.常见的化归方式有：已知与未知的化归、特殊与一般的化归、动与静的化归、抽象与具体的化归等.化归思想方法的特点：是实际问题的规范化、简单化、熟悉化、模式化、直观化、正难侧反思化、以便应用已知的理论、方法和技巧到解决问题的目的.其形式如图所示：例如方程问题转化为不等式问题：已知关于,的方程组,的解满足,求的取值范围.解析：先解关于,的方程组,再把用表示的,的代数式代入不等式组中,解关于的不等式组.2、数形结合的思想方法所谓数形结合的思想方法是指把数学问题用数量关系与图形结合起来解答数学问题.数形结合的思想方法的特点：数→形→问题的解答；形→数→问题的解答；数形,问题的解答.例如：如图所示、在数轴上的位置,请化简+的结果是:3、分类讨论的思想方法所谓分类讨论的思想方法是指根据所研究的问题的某种相同性和差异性将它们分类来进行研究的思想方法.分类讨论的思想方法的特点：分类不能重复也不能遗漏；同一次分类时,标准须相同；分类须有一定的范围,不能超范围.例如：三角形按边分类方法：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形,等腰三角形又可分为等边三角形、底边和腰不相等的等腰三角形.三角形按角分类方法：三角形可分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形.4、类比与归纳的思想方法所谓类比与归纳的思想方法是包括类比思想方法和归纳思想方法.类比思想方法是指不同的研究对象在某些方面有相似或相同之处,来联想、推导、猜想这些研究对象在其它方面也可能相同或相似,并作出某种判断的推理的思想方法.其特点是从特殊到特殊的推理方式.例如：从分数性质到分式性质；从全等三角形到相似三角形等.归纳思想方法是指由个别的、特殊的事例来推出同一类事物一般性的方法.其特点是由特殊至一般的推理方式.例如：1个点分割直线为2个部分,2个点分割直线为3个部分,3个点分割直线为4个部分,4个点分割直线为5个部分,5个点分割直线为6个部分,┉,n个点分割直线为1个部分.类比与归纳的思想方法活动过程如下：研究对象形成命题证明5、数学建模的思想方法所谓数学建模的思想方法是根据所研究问题的一些属性、关系,用形式化的数学语言表示的一种数学结构,中学数学中常用的数学模型有：图形、图象、表格和数学表达式,具体讲有方程模型、函数模型、几何模型、三角模型、不等式模型和统计模型.数学建模的思想方法一般原则：简化原则、可推演原则、反映性原则,其一般形式如图所示：例如：某公司计划购买若干台电脑,现从两家协力商厂了解到同一型号的电脑报价均为5000元,并且多买都有一定的优惠,A协力商厂优惠条件：第一台按原报价收款,共余每台优惠30%；B协力商厂优惠条件：每台优惠20%.如果你是老板,你该怎么考虑,如何选择分析：什么情况下,两家协力商厂收费相同；什么情况下,A协力商厂优惠；什么情况下,B协力商厂优惠；列不等式解决实际问题的数学建模的思想方法.解：设购买台电脑,如果到A协力厂更优惠,则移项且合并得,不等式两边同除以-500得.所以购买大于3台时A协力厂更优惠；购买小于3台时B协力厂更优惠；购买3台时两家协力商厂收费相同.6、整体的思想方法所谓整体的思想方法是指将有共同特征的某一类问题看成一个完整的整体,通过对其全面深刻的观察,着眼于问题的整体结构上,从整体上把握问题的内容和解决的方向和策略的思想方法.例如：已知二元一次方程组为,求=,=.分析：通过观察可知两式相减得,则=；两式相加得,则+=15,即得.7、方程的思想方法所谓方程的思想方法是指在研究数学问题时,从问题中的已知量和未知量之间的数量关系中找出相等关系,运用数学语言将这种相等关系列出方程组,然后解方程组,从而使这个数学问题得解.其特点是将繁琐的过程简单化,殊殊的问题一般化.例如：把一长为30米的绳子做成一个长方形,已知宽：长=1：2,求这个长方形的宽和长各是多少解析：宽和长总和为30米,其比为1：2,所以设方程解答.解：设宽为米,长为米.解得：答：长方形的宽为5 米,长为10 米.8、符号化的思想方法所谓符号化的思想方法：指用符号及符号组成的数学语言来表达数学的概念、运算和命题等的思想方法,是方程思想方法的基础.例如：∥、∠、≤、≥、=、、、%、{}、≠、∴、∵、⊙、⊥、△、、、、等等.9、统计思想方法所谓统计思想方法：是通过样本来推断总体,是关于如何收集数据、整体数据、描述数据、分析数据,如何解释数据统计结果的思想方法.例如：为了了解某所初级中学学生对6月5日“世界环境日”是否知道,从该校全体学生1000名中,随机抽查了100名学生,结果显示有2名学生“不知道”．由此,估计该校全体学生中对“世界环境日”约有名学生“不知道”.10、公理化的思想方法所谓公理化的思想方法：指从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题即公理公设出发,按照逻辑规则推导出其他命题,建立起一个演绎科学理论系统的方法.例如：平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.11、函数的思想方法。

数学思想方法梳理（3）——化归与转化思想解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化,是具有较高思维能力要求的压轴题中重点考查的数学思想方法。

1.求函数y ax =可以设t 则原函数转化为关于t 的二次函数 ；2.若lg y u =的定义域为R ，其中()u f x =，则问题等价于不等式 恒成立；若lg ()y f x =的值域为R ，则问题等价于函数()u f x =在(0,)+∞能 ；3.对于[,]x a b ∀∈，总有()()f x g x <等价于函数()h x = 在[,]a b 上的最大值小于零；对于1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈总有12()()f x g x <等价于max min [()],[()]f x g x 之间满足 ；4.对于12,[,]x x a b ∈，1122()()()()f x g x f x g x -<-等价于函数()()y f x g x =-在[,]a b 上 ；实数,m n 分别满足320am bm cm d +++=，320an bn cn d +++=，可构造()f x = 且()()0f m f n ==．5. 当遇到四个变量1122,,,x y x y ，满足11220,0ax by c ax by c ++=++=时，则1122(,),(,)x y x y 可以可视为直线 上的两个的不同点的坐标，该直线也就是过两定点1122(,),(,)x y x y 的直线； 当遇到两个变量,x y ，满足22,(0)x y m x y n n +=+=>，则可理解为 有公共点；6. ()()()()f x g x f x g x ''+是 的导数； ()()()()0f x g x f x g x ''->（0)(≠x g ）说明函数 在定义域的某个区间上单调增；()()0xg x g x '+<说明函数 在定义域内单调减；7.已知实数[,]k m n ∈， 若210kx kx ++≥恒成立，构造关于k 的一次函数()f k = ，问题等价于不等式 在[,]k m n ∈上恒成立；已知210ax bx ++=，其中[,]x m n ∈，欲求22a b +的最小值，可以视方程为直线:l ，22a b +的最小值就等价于坐标原点到直线l 的的距离d = 的平方的最小值；8.如图（1），A 、B 在直线L 的异侧，在直线L 上任取一点M ，M A M B AB +≥，当且仅当点M与M '重合时有MA MB AB ''+=，所以MA+MB 的最小值是 ．简单地说，就是“异侧和最小”；9.如图（2），A ，B 在直线L 的同侧，在直线L 上任取一点M ，AB MB MA ≤-，当且仅当点M 在AB 的延长线与L 的交点处时有MA MB AB ''-=，此时MA-MB 的最大值是 ．简单地说，就是“同侧差最大”【例1】已知曲线2(),()21a f x g x ax b x+==++.（1）若1,1a b ==为常数，点(,)x y 为直线()y g x =的最小值；（2）若,,0a b a ∈≠R ，关于x 的方程()()f x g x =在[3,5]【解析】（1的最小值，等价于原点到直线30x y -+=的距离d ==2； （2）方程整理得2(21)20ax b x a ++--=，即2220x a xb a x +--+=，以aOb 建立平面坐标系，的最小值 ，设()x ϕ=，其中[3,5]x ∈.2221()51252x t x x t t t t ϕ-====+++++,2t x =-， 设5()2h t t t =++，[1,3]t ∈，225()t h t t-'=，当()0h t '>3t ≤，函数()h t 单调增； 当()0h t '<，1t ≤<()h t 单调减。

关于数学中最重要的思想--转化思想摘要在中学数学教学中，转化思想既是一种解题方法，也是一种思维策略。

转化就是把不常见的问题转化为常见的、熟悉的问题来考虑，通过转化，化一般为特殊，化非典型为典型，化复杂为简单，化未知为已知等。

本文通过分析数学转化思想的重要性以及理论基础，对其常见的基本形式和培养方法进行了探讨。

关键词中学数学教学转化思想理论依据运用策略所谓转化思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择恰当的数学方法进行变换，转化为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想。

布卢姆在《教育目标分类学》中指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”，它可以从语言描述向图形表示转化，或从语言表达向符号形式的转化，或是每一种情况反过的转化。

这种数学转化包含了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。

简而言之，数学转化思想就是通过数学内部的联系和矛盾运动，在转变中实现问题的规范化，将待解问题转化为规范问题从而使原问题得到解决的方法。

（一）数学转化思想的重要性转化思想贯穿在数学解题的始终，在解题过程中，常常需要把抽象的概念直观化、隐蔽的条件明显化、复杂的关系简单化，善用转化思想往往能使我们更深刻地领会问题的实质，有助于理解各知识体系间的相互联系，也更有利于各知识体系间的融合。

有意识地运用数学变换方法，将有利于提高数学解题的应变能力和技巧。

一方面，通过转化能优化解题方法。

有些数学问题通过转化，不只是获得了解决，更重要是获得了解法的优化。

另一方面，通过转化能揭露问题的本质。

有不少数学问题，在原来提出这一问题的领域内很难解决，甚至无法解决，如果把问题转化到另一领域中，就可以迎刃而解了。

（二）数学转化思想的理论基础辩证唯物主义：辩证唯物主义认为任何事物内部均存在着矛盾，客观世界是充满矛盾的统一体，是具有普遍联系的，事物处于运动变化中而又在一定条件下互相转化，从而推动事物的发展。

数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC 于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．考点三：分类讨论思想。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．例3 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？对应训练3．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．四、中考真题演练一、选择题1．若a+b=3，a-b=7，则ab=（）A．-10 B．-40 C．10 D．402．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．54．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（）A．8 B．2 C．2或8 D．3或7 5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4C．2cm或4D．2cm或二、填空题6．若a2−b2＝16，a−b＝13，则a+b的值为．7如图，在Rt△AOB中，，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过12．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．13．（2013•三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求»AP的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．。

数学思想方法有哪七种
1、数形结合：是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。

“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。

2、转化思想：在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。

转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。

3、分类思想：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。

4、整体思想
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

5、类比思想
把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某
些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

6、配方法
将一个式子设法构成平方式，然后再进行所需要的转化。

当在求二次函数最值问题、解决实际问题最省钱、盈利最大化等问题时，经常要用到此方法。

7、待定系数法法
当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待定的字母的值就可以了，为此，需要把已知的条件代入到这个待定的式子中，往往会得到含待定字母的方程或者方程组，然后解这个方程或者方程组就可以使问题得到解决。

初中数学中的转化思想初中数学中的转化思想是指在解题过程中，将问题通过转化和改写的方式，转变为更简单或更易解决的形式。

转化思想是数学思维的重要组成部分，也是解题的关键方法之一。

下面将介绍一些常见的转化思想。

1. 数字的转化数字的转化指的是通过对数值进行适当的转化，使得问题更易解决。

常见的数字转化方法有：- 合并数字：将相邻的数字合并为一个数字，简化计算过程。

- 分解数字：将大的数字分解为几个较小的数字，便于计算或进行推理。

- 转化比例：将一个比例转化为等价的比例，便于解决问题。

2. 图形的转化图形的转化是指通过对图形进行转化，从而简化问题的解决。

常见的图形转化方法有：- 平移图形：将图形在平面上移动，使得问题更易理解。

- 旋转图形：将图形绕着一个点旋转，便于观察和解决问题。

- 放缩图形：将图形按照一定的比例进行放大或缩小，简化计算过程。

3. 方程的转化方程的转化是指通过对方程进行适当的转化，使得问题更易解决。

常见的方程转化方法有：- 合并同类项：将方程中的同类项合并，简化方程的形式。

- 移项变号：将方程中的项移到等号的另一侧，并改变其符号，使得方程更易求解。

- 求解代数方程：将复杂的代数方程转化为一元方程，便于求解。

4. 问题的转化问题的转化是指将原问题转化为与之等价但更易解决的问题。

常见的问题转化方法有：- 幼儿化问题：将复杂的问题转化为更简单的问题，便于理解和解决。

- 类比问题：将原问题与已知的类似问题进行比较，寻找相似之处，从而求解。

- 反证法：通过反证来解决问题，假设问题的反面是正确的，进而推导出矛盾，从而得出结论。

转化思想在初中数学中起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和解决问题。

通过掌握转化思想，学生可以在数学学习中培养出创新的思维方式，提高解决问题的能力。

2014年中考数学二轮复习精品资料数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2013•吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5= ．思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可．解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1．故答案是：1．点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．对应训练1．（2013•福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是．1．1000考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

数学常用的数学思想方法有哪些初中数学涉及到的思想方法很多,在此仅仅谈谈常见的八种思想方法:一、用字母表示数的思想这是基本的数学思想之一.在代数第一册第二章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。

例如: 设甲数为a，乙数为b，用代数式表示:(1)甲乙两数的和的2倍:2(a+b)(2)甲数的2倍与乙数的5倍差:2a-5b二、数形结合的思想“数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。

“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括.数学教材中下列内容体现了这种思想。

1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。

2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。

3、函数式与图像之间的关系。

4、线段(角)的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。

5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。

6、“圆”这一章中，圆的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。

7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。

实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。

实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。

三、转化思想(化归思想) 在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。

转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。

下列内容体现了这种思想: 1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解，体现了转化思想。

2、解直角三角形;把非直角三形问题化为直角三角形问题;把实际问题转化为数学问题。

3、证明四边形的内角和为360度.是把四边形转化成两个三角形的.同时探索多边形的内角和也是利用转化的思想的.四、分类思想有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。