第二类曲面积分ppt

L
b
a
P(
x,
y(
x),
z
(
x))
Q(
x,
y(x), z(x)) y(x) R(x, y(x), z(x))z(x)dx
。
如果 L 为 xy 平面上光滑曲线，其方程为
x x(t), y y(t) ， t : a b 。
则
P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
b a
P(
x(t
),
y(t
))
x(t
)
Q(
L
部分，方向为逆时针方向；（2）从点 M(R,0) 到点 N(R,0) 的直线段。
解（1）这时 L 的参数方程为 x R cost, y Rsin t, t : 0 π ，
因此
y2dx x2dy
π 0
R2
sin
2
t
(
R
sin
t
)
R
2
cos
2
t
(R
cos
t
)
dt
L
R3
π 0
(1
cos2
AB
曲面的侧
如果放一只蚂蚁在一张白纸上，无论它怎样爬，只要它不越过白 纸的边界，当它再爬回到原来的位置时，还是在纸的上方，不会到下 面去。这就像在白纸上的一点处选择一个指向上方的单位法向量，然 后沿任何一条不越过边界的闭曲线连续地移动它，使它与所过之点处 的一个单位法向量相合，并保持这种相合的连续性，那么当它又回到 原来的位置时，它还是原来的那个单位法向量，而不会变成指向白纸 下方的那个单位法向量。
线 L 上的第二类曲线积分存在，则对于任何常数, ， f g 在 L 上

求和 流过有向曲面Σ (从负侧流向正侧)的总 流量Φ的近似值为 n n Φ ΔΦ v ( M i ) n( M i ) ΔSi .
i 1 i 1
取极限 当各小块ΔSi的最大直径 0时, 取极限得到流量Φ的精确值为 n lim v ( M i ) n( M i ) ΔSi . 0 i 1 除了流量以外, 电流强度 E ( M ) 通过有向曲面 的电通量Φ也可表示同一类型的极限 n lim E ( M i ) n( M i ) ΔSi .


第一类曲面积分 两类曲面积分的转化公式
14
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
四、第二类曲面积分的计算法
若光滑有向曲面Σ 由方程 z = z(x, y)给出, Σ在xOy面上的投影区 域为Dxy , 函数 z(x, y)在 Dxy上具有一阶连续偏 导数, 则由
x
z
n
dS
z z( x , y )

如曲面Σ为封闭曲面: F ndS .
12
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
2.性质
(1) 线性性质 (k1F1 k2 F2 ) ndS



(k1, k2为常数)
k1 F1 ndS k2 F2 ndS ,
(2) 可加性 若Σ由Σ1和Σ2组成, 则 F ndS F ndS F ndS ,

1
2
(3) 有向性 F ndS F ndS .


13
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
三、两类曲面积分之间的联系
设 F ( x, y, z ) { P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )}, n( x , y , z ) {cos , cos , cos },

P( x, y, z)cos α dS Q( x, y, z)cos β dS
F(
x,
y,
z)
R (Px(,xy,,yz,)zc)oisγdQS(
x,
y,
z)
j
R(
x,
y,
z)k
通常把上式三项分别记作
PQR((xx,y,y,z,z))在在上上对对坐坐 标标yzx,,,zxy的的曲曲面面积积分分
P( x, y, z)dy dz P( x, y, z)cosα dS
Q( x, y, z)dz dx Q( x, y, z)cos β dS
R( x, y, z)dx dy R( x, y, z)cos γ dS
因此第二类曲面积分又记为
(2) F ( x, y, z) dS
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdy
F(x, y, z) P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
在Σ上有界, e n( x, y, z)是有向曲面上点( x, y, z)处
的单位法向量, 如果积分
[F (
x,
y,
z)
e
n
(
x
,
y,
z
)]dS
存在, 则称此积分为 向量值函数 F ( x, y, z)在有向
当cos γ 0 时 当cos γ 0 时 当cos γ 0 时
其中(σ )xy 表示投影区域的面积, γ为法向量与 z轴正向
的夹角. 注意: 投影有正负之分.
类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影.
4. 引例 流向曲面一侧的流量
设稳定流动的不可压缩流体的速度场为

其 中 Σ 是 以 原 点 为 中 心 ,边 长 为a的 轴 向 正 方 体 的 整 个
表 面 的 外 侧 .
2. 合一投影法
如 S 由 果 z= z(x ,y )给 ,则 出有
P(x, y,z)dydzQ(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy
P(x, y,z(x, y))zx(x, y)
xyzd =xxdyyzd xxdyyzdxdy
S
S2
S1
= x 1 y x 2 y 2 dx d x ( y y1 x 2 y 2 )dx
D xy
D xy
=2xy1x2y2dxdy Dxy
=2D xr y2sin co s1r2rdr=d 1 2.5
例2计 算(xy)dyd(zyz)dzd(xzx)dx,dy
注意:
1. 对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
2. 如果S是垂直于xoy面的柱面时,其单位法向量 的第三分量cos=0,故
R(x,y,z)dxdy=R(x,y,z)cosdS=0dS=0
类似地 ,
当S垂直于 yo面 z 时,P(x, y,z)dydz=0
当S垂直于 zox面时,P(x, y,z)dzdx=0
被积函数
积分曲面
类似可定义
n
SP (x ,y ,z)dy = ld i0i= m z 1P (i,i,i) (S i)yz
n
SQ (x ,y ,z)dz= l d i0i= x m 1Q (i,i, i) (S i)zx
存在条件:
当 P(x,y,z)Q ,(x,y,z)R ,(x,y,z)在 有 向 光 滑 曲
n={z, z, 1}
n关于oz
x y

设 是有向曲面 . S 为 上一小块曲面 , 在 xoy 面上的 投影为 ( S ) xy , 其面积为 ( ) xy , 曲面上各点处法向 量与 z 轴夹角为
, 且 cos 不变号 , 则
cos 0 cos 0 ; cos 0
( S ) xy

vi
.
( i , i , i )

o
y
x
那么 S i内的流量近似值为

i
( M i ) n( M i ) Si
( P cos i Q cos i R cos i ) S i

P ( S i ) yz Q ( S i ) zx R ( S i ) xy
( 2 ) 当 R ( x , y , z ) R ( x , y , z )时 , R ( x , y , z ) dxdy 0

,
( yoz , zox ) 面上的投影为
( S i ) xy [( S i ) yz , ( S i ) zx ];
( 2 ) M i ( i , i , i ) S i , 有 n ( M i ) {cos i , cos i , cos i }, ( M i ) { P ( i , i , i ), Q ( i , i , i ), R ( i , i , i )};
cos 0 cos 0 . cos 0
二. 实例(流量问题)
设某流体以一定的速度 P ( x , y, z )i Q ( x , y, z ) j R ( x , y, z )k 从给定曲面的负侧流向 求单位时间内流经曲面 正侧 , P , Q , R 为连续函数 的总流量 . ,

n
存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲 面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
组合形式:
P ( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy

1
2.
P ( x , y, z )dydz P ( x , y, z )dydz

Q( x , y, z )dzdx Q( x , y, z )dzdx

R( x , y, z )dxdy R( x , y, z )dxdy

o
Dxy
y
x
(s) xy
R( x, y, z )dxdy lim R( i , i , i )( Si ) xy 0 i 1

n
取上侧, cos 0, 又 i z ( i , i )
n
( Si ) xy ( ) xy ,
lim R( i , i , i )( Si ) xy
解
x
1

把分成1和 2两部分
1 : z1 1 x 2 y 2 ; 2 : z2 1 x 2 y 2 ,
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2 1
xy 1 x y dxdy xy( 1 x y )dxdy
第六节 第二类曲面积分
• • • • • • 一、曲面的侧 二、概念的引入 三、概念及性质 四、计算法 五、两类曲面积分的联系 六、小结 思考题
一、曲面的侧
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)

积函数（如被积函数 P ( x,y,z)）中；
注意：对第二曲面积分，投影方向是固定的，不能 随意选定，积分曲面S向xoz坐标平面投影（投影的 区域可以是零区域，但对第一曲面积分来讲，投影 在坐标面上的区域不能为零区域； 三定号 ：由积分曲面S所选定的一侧，来确定面积元 素（如面积元素dxdy）前所带的符号是“+” 还是“-”，一般地，选定的积分曲面S的一侧为上、 右、前侧（即曲面S上的外法线向量向上、向右、向 前）时，取“+”，否则取“—”，
（如；计算± ∫∫ Px, y, z ( x, y) dxdy 时，若选定曲面的上
Dxy
侧时，取“+”，否则取“-”）； 四换域：改变积分区域，即积分区域S换为投影域 （如Dxy )，最后计算二重积分。
计算第二曲面积分（坐标曲面积分）的方法 ( 分面投影法) 以计算 ∫∫ P ( x, y, z )dxdy为例： S 一代：将积分的曲面S 的显式方程（如z=z( x,y)) 二投：将S投影到与面积元素( 如 dxdy)中两个变 量同名的坐标平面( 如xoy平面,得投影区域 Dxy ) 上， 转化为二重积分 （如∫∫ P ( x, y, z )dxdy = ± ∫∫ P x, y, z ( x, y ) dxdy,

一点M处的单位法向量, 其方向与曲面S侧的
选取一致.又设向量值函数
r F
x,
y,
z
P
x,
y,
z
r i
Q
x,
y,
z
r j
R
x,
y,
z
r
k
在曲面S上有界. 若数量值函数
rr F n0
在S上的第
一类曲面积分存在, 则称此积分值为向量值函数
r F
x,
y,
z
在有向曲面S上的第二类曲面积分,
记为
r F
r n0
'2 y
P x, y, zdydz Q x, y, zdzdx R x, y, z dxdy.
S
P cos Qcos Rcos dS
S
计算公式
[
P
x,
y,
z(
x,
y)
(
Z
' x
)
Q
x,
y,
z(
x,
y)
(
Z
' y
)
S
R( x, y, z( x, y)]dxdy
上侧取+, 下侧取-
1 r 2 dr
2
0
0
15
例4 计算I y2dzdx zdxdy, 其中S为柱面
S
x2 y2 2 y被平面z 0, z 1所截部分的外侧.
解 左侧S1的方程为: y 1
y'x
x ,
1 x2
yz' 0
右S1的方程: y 1 1 x2 ,
1 x2 ,
y'x
x ,
1 x2
S

n
积分曲面
被积函数
类似可定义
P ( x, y, z )dydz lim P ( i , i , i )( Si ) yz 0 i 1

n
Q( x, y, z )dzdx lim Q( i , i , i )( Si ) zx 0 i 1
§2 第二型曲面积分
教学内容： 1.曲面的侧 2.第二型曲面积分的概念 3.第二型曲面积分的计算 教学重点：1.第二型曲面积分的方向性
教学难点：第二型曲面积分的概念与计算
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类: 1.双侧曲面;
典 型 双 侧 曲 面
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2 1
xy 1 x y dxdy xy( 1 x y )dxdy
2 2 2 2 D xy D xy
2 xy 1 x 2 y 2 dxdy
D xy
2 2 r sin cos 1 r rdrd . 15 D
对面积的曲面积分为 R( x , y, z ) cos dS R[ x , y, z( x , y)]dxdy
Dxy
所以 R( x , y, z )dxdy R( x , y, z ) cos dS

(注意取曲面的两侧均成立)
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
通过si 流向指定侧的流量的近似值为
vi ni Si
( i 1, 2, , n).
(3). 求和 通过Σ 流向指定侧的流量

2 2 Dx y
极坐标
2
y
O
D xy
x
3 d r 1 4 r d r
2 0 0
2π
1 2 6 π 1 4 r 2 d( 1 4 r 2 ) 8 0
13 π
x y 例 设为椭球面 z 2 1的 上 半 部 分 , 2 2 点P( x, y, z ) , Π为 在点P处的切平面 d ( x , y, z ) ,
v ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
流体流向Σ指定侧的通（流）量Φ 为:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy

两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
( P cos Q cos R cos )dS

cos cos 其中 cos 、 、 是有向曲面Σ在点 ( x , y , z )
处的法向量的方向余弦.
Pdydz Qdzdx Rdxdy cos cos ( P Q R)dxdy cos cos
2 2
z z dS 1 dxdy x y
4 x2 y2 dxdy 2 2 x y 2 1 2 2
选xy为积分变量
z dS 所 以 d ( x, y, z )
4 x2 y2 dS dxdy 2 2 x y 2 1 2 2
1 2 2 (4 x y )dxdy 4 Dxy
极坐标
x2 y2 z 1 2 2

(3) F( x, y, z) dS F( x, y, z) dS .
(4) 若为定向封闭曲面, 记为 F( x, y, z) dS .
P cos dS, Q cos dS,
同时存在, 则称积分
Rcos dS
(P cos Q cos Rcos )dS
为向量值函数
F ( x, y, z)
在定向曲面
上的积分，
或称第二类曲面积分，记为
F ( x, y, z) d S [F ( x, y, z) en ( x, y, z)]dS .
Pdydz Qdzdx Rdxdy
化
曲
其中
d S : 定向曲面元素；
公 面
dxdy, dydz, dzdx :
d S 的坐标或的投影元素.
式 积
二、第二类曲面积分的性质
(1) 若 F( x, y, z) 在分片光滑定向曲面 上连续 , 则
F( x, y, z) d S 存在.
(2) 第二类曲面积分有线性性、定向曲面积分可加性.
(P cos Q积分的几个等价表达式：
F( x, y, z) d S [F ( x, y, z) en ( x, y, z)]dS
(P cos Q cos Rcos )dS
分
P
cos
dS
Q
cos
dS
R
cos
dS
两 互 类
第二类曲面积分的概念
一、第二类曲面积分的定义
定义：设 为一定向光滑曲面, 向量值函数
F( x, y, z) (P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z)) 在
上有界 , en ( x, y, z) (cos , cos , cos ) 是 上

1、 L为参数方程 定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
x (t ) t : , 则曲线积分 连续, L 的参数方程为 y (t ) 存在, 且有

P [ (t ), (t )] (t )

Q [ ( t ), ( t )] (t )d t
说明：定理中的计算公式相当于“换元法”： 换元： 将 L 的参数方程代入被积函数
dx ( t )dt
dy ( t )dt
上限——终点参数值
定限： 下限——起点参数值
2、 L为一般方程
y ( x ), x : a b, 则 dy ( x )dx

P [ x , ( x )] Q [ x , ( x )] ( x) dx a
n
y
B
则
W Wk
k 1
L
A
yk
M k 1 x k M2 M1
M k M n 1
2) “常代变”
有向小弧段 M k 1 M k 用有向线段
o
x
M k 1 M k
近似代替, 其中
sk
x k yk
2
2
是单位向量。
在
上任取一点
则有
Wk F ( k , k ) sk k
i 1 Li k
(2) （方向性）用－L 表示 L 的反向弧 , 则
P ( x , y )d x Q( x , y )d y
L
说明: • 对第二类曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
二、第二类曲线积分的计算法
L为参数方程