数学分析3

3 数学分析试卷
11sin sin 01(),
0 0x y xy y x f x xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩
当、已知当()()
000000lim (,),lim lim (,)lim lim (,),x y x x y y f x y f x y f x y →→→→→→判断及是否存在，并说明理由。

2222
2,()1z z z x y x y h z x y ∂++=∂∂、已知=()是由确定的。

试求的值。

222
22231 x y z a b c
++=、求椭球体上任一点的切平面于坐标轴所围四面体体积的最大值。

22
22223/222 0()4(,)(,) 0 0x y x y x y f x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
当、已知，判断的连续性及可微性。

当22265,0
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩、已知曲线方程为求在点(1,-2,1)处的切线方程和法平面方程。

23D 36,D x dxdy y xy
+⎰⎰、求二重积分已知为如图的区域。

7I ().1x y z dxdydz x y z Ω=++Ω++=⎰⎰⎰、计算三重积分其中为平面，
与三个坐标平面围城的空间区域。

2228I cos .1
xdydz ydzdx dxdy x y z ∑++∑++=⎰⎰、求曲面积分=其中为所谓区域的外侧。

L
9I sin . L Pdx x ydy =+⎰、求曲线积分已知如图所示。

S 22I (). S 2xy yz zx dS z x y ax ++=+=⎰⎰10、求曲面积分=已知为柱面所截的曲面。

一、填空题(每空3分，共24分)1、 设z x u ytan =，则全微分=u d __________________________。

2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。

3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。

4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F xx⎰=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。

5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=Ls x yd _____________。

6、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。

7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。

二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

2、 设),(2xy y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。

3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。

4、 求x x x e x xd sin e2⎰∞+---。

提示：C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22。

5、 利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。

一、单项选择题： 1.1220lim 1dxx αααα+→=++⎰.( B )A.2π B. 4π C. e D. +∞2.()Lx y ds +=⎰ 其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 （ A ）A. 1+B. 1C. D. 03.()Ly x dy -=⎰ .，其中L 为直线,AB(1,1),(2,3)A B （ A ）A. 1B. 2C.12D. 3 4 Syzdxdy =⎰⎰ ,其中S 是球面2221x y z ++=的上半部分并取外侧为正向。

( D )A. 2πB. πC. 1D. 05.Lydx xdy +=⎰. , 其中22:1L x y += （ A ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：1. 22()Dx y dxdy +=⎰⎰2π, 其中22:1D x y +≤　2.Vxyzdxdydz =⎰⎰⎰18. 其中:01,0V x y z ≤≤≤≤≤≤3. 将(,)DI f x y d σ=⎰⎰ 化成先对x 后对y 的累次积分为24422(,)y y dy f x y dx +-⎰⎰其中D 由24,2y x y x =-=围成。

4. 设L 是半圆周,0,sin ,cos :π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x L则第一型曲线积分()22Lxy ds +=⎰ 3a π5. 格林公式建立了区域D 上二重积分与D 的边界曲线L的第二型曲线积分之间的联系。

设函数(,),(,)P x y Q x y 在闭区域D 上连续，且有一阶连续的偏导数，则格林公式可表示为LPdx Qdy +=⎰()DQ Pdxdy x y∂∂-∂∂⎰⎰。

三、计算题 1．计算22y DI x e dxdy -=⎰⎰，其中D 由0,1x y y x ===及围成。

解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如下图。

先对x 后对y 积分：2120yy I dy x edx -=⎰⎰213001[]3y yx e dy -=⎰ 2130111363y y e dy e-==-⎰2. 计算xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω 是三个坐标面与平面 x+ y + z =1所围成的区域解 画出区域 D ：0101y xx ≤≤-≤≤x d x d y d zΩ⎰⎰⎰ 11100x yxdxdy xdz ---=⎰⎰⎰110(1)x dxx x y dy -=--⎰⎰12011(1)224x x dx =-=⎰3计算⎰⎰d d Sxyz x y其中S 是球 面++=2221x y z 在≥≥0,0x y 部分并取球面的外侧。

第三章一元函数微分学一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点微分学是数学分析的核心内容之一，导数是微分学的重要概念，用导数研究函数的性质是数学分析研究函数的一个特征.数学分析中的积分学、级数理论等也与导数有密切的联系.本章首先引入了函数导数与微分的概念；分析了可导性与连续性的联系；进而又讲述了导数的计算与高阶导数；最后介绍了几个比较重要的微分中值定理与导数的应用. 在学习过程中我们要注意导数与微分的概念及其实际意义；微分中值定理及其应用.本章的重点与难点主要有以下几个方面：● 函数导数的概念、可导性与连续性的关系；费马定理、导函数的介值定理；导数的运算（复合函数、反函数的求导法则）；掌握参变量方程所确定的函数的导数；高阶导数的概念及其求法.● 微分（含高阶微分）概念的理解及其运算法则；函数连续性、可导性、可微性之间的关系.● 拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理及它们定理的应用推广；极值的三个充分条件及其证明过程；对函数凸性概念的理解及相关命题的证明；函数图象性态的列表表示法.三、本章的基本知识要点（一）导数与微分1. 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限)()(lim00x x x f x f x x --→存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f ' 类似的，定义函数f 在点0x 处的左导数与右导数：x x f x x f x f x ∆-∆+='-→∆-)()(lim )(0000，)(0x f +'xx f x x f x ∆-∆+=+→∆)()(lim 000右导数和左导数统称为单侧导数．2. 设函数()x f y =定义在点0x 的某邻域()0x U 内．当给0x 一个增量x ∆，()00x U x x ∈∆+时，相应地得到函数的增量为()()00x f x x f y -∆+=∆.如果存在常数A ，使得y ∆能表示成()x x A y ∆+∆=∆则称函数f 在点0x 可微，并称()1式中的第一项x A ∆为f 在点0x 的微分，记作x A dy x x ∆==0或 ()x A x df x x ∆==0.由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x ∆的高阶无穷小量，由于dy 是x ∆的线性函数，所以当0≠A 时，也说微分dy 是增量y ∆的线性主部．容易看出，函数f 在点0x 可导和可微是等价的. 3. 导数与微分的基本性质.（1）（有限增量公式）若f 在点0x 可导，则()()x x x f y ∆+∆'=∆ 0（0→∆x ）；（2）（可导的充要条件）若函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，则)(0x f '存在⇔)(0x f +'与)(0x f -'都存在，且)(0x f +'=)(0x f -'； （3）（可导与可微的关系）函数f 在点0x 可导和可微是等价的；（4）（可微与连续性的关系）若f 在点0x 可微，则f 在点0x 必连续（反之不真）；（5）（导数的几何意义）导数的几何意义解释是曲线的斜率，即函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点)(0,0y x 的切线斜率若α表示这条切线与x 轴正向的夹角，则)(0x f '.tan α=从而0)(0>'x f 意味着切线与x 轴正向的夹角为锐角；0)(0<'x f 意味着切线与x 轴正向的夹角为钝角；0)(0='x f 示切线与x 轴平行；（6）（费马定理）设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导．若点0x 为f 的极值点，则必有.0)(0='x f我们称满足方程)(x f '的点为稳定点．（7）（达布定理）若函数f 在],[b a 上可导，且)()(b f a f -+'≠'，k 为介于)(a f +'，)(b f -'之间任一实数，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得k f =')(ξ.4.求导（微分）法则.（1）（线性法则）'')'(g f g f βαβα±=±（其中βα,为常数）； （2）（乘积法则）'')'(g f g f g f +=； （3）（商法则）22')'1(,'')'(g g g g fg g f g f -=-=（其中0≠g ）； （4）（复合函数求导法则）)())(()))(((x g x g f x g f ''='（也称链式法则）；（5）（反函数求导法则）dxdydx dy 1=； （6）（莱布尼茨法则）()(),)(0)(k k n kn nk n g f C g f -=∑= 其中)!(!!k n k n C k n -=是组合系数.5. 若函数f 的导函数'f ，在点0x 可导，则称'f ，在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数，记作()0''x f，即()()()0''00''0limx f x x x f x f x x =--→同时称f 在点0x 为二阶可导．利用数学归纳法可由f 的1-n 阶导函数定义f 的n 阶导函数(或简称n 阶导数)，二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数f 在点0x 处的n 阶导数记作 ()()()00||,0x x n n x x n n dxyd yx f==或 相应地，n 阶导函数记作: ()()n n n n dx y d y f或,.这里n n dx y d 亦写作为y dxd n n．6. 一阶微分形式不变性：不管u 是自变量还是中间量，f 的一阶微分始终具有()du u f u df '=)(的形式.7.基本初等函数的求导公式 （1）0)'(=c (c 为常数)； （2）1)'(-=αααxx (α为任意实数)；（3）x x x x sin )'(cos ,cos )'(sin -==； （4）x x x x 22csc )'(cot ,sec )'(tan -== x x x x x x c o t c s c )'(csc ,tan sec )'(sec -== （5）xxxxe e a a a ==)'(,ln )'(；（6）).1(ln ,ln 1)'(log xx a x x a == （二）微分中值定理1.罗尔中值定理 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续；(ii)f 在开区间()b a ,内可导；(iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线.注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.2. 拉格朗日(Lagrange )中值定理 若函数满足如下条件：()fi 在闭区间[]b a ,上连续；()f ii 在开区间()b a ,内可导， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()ab a f b f f --='ξ. 显然，特别当()()b f a f =时，本定理的结论即为罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形．拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点出的切线平行于曲线俩短点的连线，我们在证明中引入的辅助线函数)(x F ，正是曲线=y )(x f 与直线ab a f b f a f y AB --+=)()()(()(a x -)之差.定理的结论称为拉格朗日公式。

授课章节：第一章 实数集与函数---§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。

教学要求：（１）掌握邻域的概念；（２）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。

教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。

教学难点：确界的定义及其应用。

教学方法：讲授为主。

教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。

引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容。

下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。

而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。

提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。

本节主要内容： １．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。

一 区间与邻域１．区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <。

{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩２．邻域联想：“邻居”。

数学分析（三）的学习内容和学习方法概述一、基本概述数学分析（三）主要涉及数学分析的第三块内容：多元函数的微积分学。

这块内容与一元函数微积分学的相关内容对应，只是研究对象换成了多元函数，研究的内容相应换成了多元函数的三大动态性质（即连续性、可微性和可积性），而且研究时采用的核心思想和方法，相较于一元函数并没有实质的变化，仍然采用的是极限的思想和方法，许多量的具体计算方法就是沿用一元函数的相应方法（如多元函数的偏导数实质就是适当一元函数的导数，多元函数的各种积分的计算最终转化为的是一元函数定积分的计算等），但值得注意的是由于多元函数的定义域所处的空间由一维扩展成了高维，影响函数的要素不再是一元而是多元，因此采用的极限思想和方法的呈现方式在形式上会有一些细节上的差异（比如动点的变化方式会变得更多样、更复杂一些），这样也会导致由极限所延伸出的多元函数的动态性质在表现形式的细节方面较之一元函数会复杂一些（例如多元函数的连续性、可微性和可积性的呈现形式就要比一元函数要复杂一些，多元函数的微分中值公式、泰勒公式、多元函数积分的种类也是如此等），甚至有些动态性质在细节上的有关结果与一元函数的相应结果还会有一些差异（例如一元函数可导与可微的等价关系就不能平行移植到多元函数上等），这就要求学习者在学习时，既要善于与一元函数微积分学的内容和方法进行类比，更要有足够的耐心、更加的细致。

鉴于数学分析（三）的内容特点，建议学习者在学习课程内容时采用的方法：以“对照、类比学习”为主：由于数学分析（三）的内容是比照一元函数微积分学的内容产生的，“对照、类比学习”的方法既可以充分利用在数学分析（一、二）的学习中已形成的思维方式，已建立的内容结构，使数学分析（三）的内容接受起来相对轻松自然，还可在过程中复习巩固已学一元函数的相关内容和方法（这对数学分析（三）的学习是很重要的，实际上数学分析（三）中很多内容就是仿照一元函数的相关内容平行产生，很多量的具体计算最终就是一元函数中的相关方法、公式起作用），同时更利于学习者容易看清楚多元函数的某些性质与一元函数的相关性质的差异，便于区分。

数学分析3部分习题解析隐函数定理及其应用部分关注的要点：第1节部分习题1、方程cos sin xyx y e +=能否在原点的某邻域内确定隐函数()y f x =或()x g y =？：【做这题和下题之前要注意一点：回顾并熟记隐函数存在及可微性定理，注意理解定理的条件的作用。

】解首先将方程变为标准方程cos sin 0xyx y e+-=，记(,)cos sin xy F x y x y e =+-，显然(,)F x y 在2R 上连续，(,)sin xy x F x y x ye =--，(,)cos xy y F x y y xe =-也在2R 上连续，且(0,0)0F =，0(0,0)sin 000x F e =--=，0(0,0)cos 0010y F e =-=≠。

所以，由隐函数存在及可微性定理得，此方程在原点的邻域内可以确定唯一连续可微的隐函数()y f x =。

2、方程ln 1xz xy z y e ++=在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？。

解首先将方程变为标准方程ln 10xzxy z y e ++-=，记(,,)ln 1xzF x y z xy z y e =++-，显然(,)F x y 在{}(,)0x y y >（即上半平面）上连续，(,,)xzx F x y z y ze =+，(,,)y zF x y z x y=+，(,,)ln xz z F x y z y xe =+也在{}(,)0x y y >上连续，且(0,1,1)0F =，0(0,1,1)1120x F e =+=≠，(0,1,1)10y F =≠，(0,1,1)0z F =。

所以，由隐函数存在及可微性定理得，此方程在点(0,1,1)的邻域内既可以确定唯一连续可微的隐函数(,)x x y z =，也可以确定唯一连续可微的隐函数(,)y y z x =，但不能肯定是否确定隐函数(,)z z x y =。

《数学分析》（三）――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

1.求函数11(,)f x y y x =在点（0,0）处的二次极限与二重极限。

解:11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为0。

……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在. ……（9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx.解： 对两方程分别关于x 求偏导：， ……（4分）. 解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。

……(9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂. 设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续）。

解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====. ……（4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。

整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……(9分）4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ，则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表，()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。

……(3分） 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

数学分析3知识点整理●场论●数量场●定义●在区域上的一个点将对应一个数量●f:D\rightarrow \mathrm{R}●向量场●定义●在区域上的一个点将对应一个向量●f:D\rightarrow \mathrm{R}^3●梯度●向量场●\operatorname{grad}f(\pmb{p})=\left(\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partialx},\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partial y},\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partial z}\right)●Nabla 算子●定义●\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partialy},\frac{\partial}{\partial z}\right)●作用在数量场●\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partialf}{\partial z}\right)●性质●线性●\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f●\nabla (\varphi\circ f)=\varphi '\circ f\nabla f●作用在向量场数量积形式●\nabla \bullet F=\left(\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partialy},\frac{\partial R}{\partial z}\right)●性质●线性●\nabla\bullet\varphi F=\varphi\nabla\bullet F+F\bullet\nabla\varphi\varphi是数量场●向量积形式●定义●F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k●\nabla\times F=\begin{vmatrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partialx}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partialz}\\P&Q&R\end{vmatrix}●性质●线性●\nabla\times(\varphi\mathbf{F})=\varphi\nabla\times\mathbf{F}+\nabla\varphi\times\mathbf{F}\varphi为数量函数●\nabla\bullet(F_1\times\mathbf{F}_2)=(\nabla\times\mathbf{F}_1)\bullet\mathbf{F}_2-(\nabla\times\mathbf{F}_2)\bullet\mathbf{F}_1混合积●通量●定义●向量场通过正则曲面的流量●\iint\limits_{\Sigma}\pmb{F}\cdot \pmb{n}\mathrm{d}\sigma●正源区域通量为0●负源区域通量为负●无源区域通量为正●散度●定义●向量场\pmb{F}通过无限趋于一点M的闭曲面\Sigma的流量●(\mathrm{div} \pmb{F})_M=\lim\limits_{V\toM}\frac1{\mu(V)}\iint\limits_S\pmb{F}\cdot \pmb{n}\mathrm{d}\sigma●定理●散度计算●向量场F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k●P.Q,R存在连续偏导●\operatorname{div}F= \nabla · F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partialQ}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}●例子●静电场的Gauss 定理●不可压缩流体的连续性方程●Laplace 算子●定义●\Delta=\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partialx^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}●调和函数●定义●数量场u满足Laplace 方程●\Delta u =\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partialy^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0●u为区域上的调和函数●环量●定义●\Gamma圆周曲线中沿切线的变化速度●\int_\Gamma(F\cdot t)\mathrm{d}st为单位切向量●漩涡强度●确定一个平面上点的平均环量极限●\lim\limits_{\Gamma\to M}\left.\frac1A\right]_{\Gamma}(F\cdot t)\mathrm{d}s●旋度●定义●漩涡强度对应的最大方向，模为漩涡强度●\mathrm{rot~}F=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partialz})i+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})j+(\frac{\partialQ}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})k●不同形式●\text{rot}F=\begin{vmatrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partialx}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}●\operatorname{rot}F=\nabla\times F●例子●有心场●有势场●向量场F=(P,Q,R)●存在数量场\varphi满足\mathrm{grad} \:\varphi(p) = F(p)●\varphi为势函数●势函数（不计常数）唯一●保守场●曲线积分与路径无关●任意一条封闭曲线\int_\Gamma F\cdot \mathrm{d}p=0●无旋场●任意点旋度\operatorname{rot}F=0●空间单连通●区域中的任意封闭曲面包含在区域中●曲面单连通●对区域中任意逐段光滑曲线\Gamma,有逐段光滑曲面以\Gamma为边界●曲面单连通与空间单连通不相关●曲面单连通区域的等价场●F\in C^2(D)●F为有势场\Leftrightarrow无旋场\Leftrightarrow保守场●恰当微分形式●1次微分形式P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z●存在0形式微分\mathrm{d}\varphi=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z●隐函数\varphi(x,y)=c为恰当微分方程P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=0的通解●旋度场●存在F=\nabla\times G●F为旋度场●向量场G为向量势●可推出无源场●向量势不唯一，G_1=G+\nabla \varphi也是向量势●星形域●区域两点的线段仍在区域●星形域上旋度场\Leftrightarrow无源场●正交曲线坐标系●定义●参数域与积分区域间的连续可微双射且\mathrm{det} \:J f>0●u_0\in D,p_0=f(u_0)\in f(D)u_0=(u_1,u_2,u_3)为参数坐标●h_i=||\frac{\partial f}{\partial u_i}||,\quad h_i e_i=\frac{\partial f}{\partial u_i}●e_i为正交向量系（随点变化）●梯度表示●\nabla \Phi=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\Phi}{\partialu_{i}}e_{i}\nabla \Phi=(\frac{\partial\Phi}{\partial x_{1}},\frac{\partial\Phi}{\partialx_{2}},\frac{\partial\Phi}{\partial x_{3}})●引理●\begin{aligned}&(1)\nablau_{i}=\frac{e_{i}}{h_{i}}\left(i=1,2,3\right)\\&(2)\nabla\times\frac{e_i}{h_i}=0\left(i=1,2,3\right)\\&(3)\nabla\bullet\frac{e_1}{h_2h_3}=\nabla\bullet\frac{e_2}{h_1h_3}=\nabla\bullet\frac{e_3}{h_1h_2}=0\end{aligned}●散度表示●F=F_{1}e_{1}+F_{2}e_{2}+F_{3}e_{3}●\nabla\bulletF=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\Big(\frac{\partial(F_{1}h_{2}h_{3})}{\partialu_{1}}+\frac{\partial(F_{2}h_{1}h_{3})}{\partialu_{2}}+\frac{\partial(F_{3}h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}}\Big)●旋度表示●F=F_{1}e_{1}+F_{2}e_{2}+F_{3}e_{3}●\nabla\timesF=\frac1{h_1h_2h_3}\left|\begin{array}{ccc}h_1e_1&h_2e_2&h_3e_3\\\frac\partial{\partial u_1}&\frac\partial{\partial u_2}&\frac\partial{\partialu_3}\\F_1h_1&F_2h_2&F_3h_3\end{array}\right|●Laplace 算子●\Delta\Phi=\frac1{h_1h_2h_3}\sum\limits_{i=1}^3\frac\partial{\partialu_i}\Big(\frac{h_1h_2h_3}{h_i^2}\frac{\partial\Phi}{\partial u_i}\Big)●Fourier级数●简弦波●定义●x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)●周期T=2\pi/\omega●圆频率\omega●初相\varphi●振幅A●三角函数系1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots●正交性\delta_{mn}：克罗内克符号（Kronecker Symbol）●\int_{-\pi}^\pi \sin {mx}\sin {nx}=\pi \delta_{mn}●\int_{-\pi}^\pi \cos {mx}\cos{nx}=\pi \delta_{mn}●\int_{-\pi}^\pi \sin {nx}\cos {mx}=0●Fourier级数●定义●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)●Fourier系数●\begin{cases}a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cosnx\mathrm{d}x\quad(n=0,1,\cdots)\\ \\b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sinnx\mathrm{d}x\quad(n=1,2,\cdots)\end{cases}●Riemann-Lebesgue 引理●f(x)在[a,b](b可以是+\infty)可积且绝对可积●\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int_a^bf(x)\cos\lambda x\operatorname{d}x=0●\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int_a^bf(x)\sin\lambda x\operatorname{d}x=0●推论●[-\pi,\pi]可积且绝对可积的函数的Fourier系数●\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0●\int _0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}●Fourier 级数部分和●S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t))\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2\sin\frac{t}{2}}\mathrm{d}t●为Dirichlet 积分●\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2\sin\frac{t}{2}} 为Dirichlet 核●局部化定理●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi].Fourier级数在x_0处收敛的收敛情况仅与f在x_0附近的行为有关f是以2\pi为周期的函数●Dini 判别法●条件●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]，\varphi(t)=f(x_0+t)+f(x_0-t)-2sR[-\pi,\pi]是周期为2\pi的可积且绝对可积函数类●存在\delta>0,使得\varphi(t)/t在[0,\delta]上可积且绝对可积●则Fourier级数在x_0上收敛于s，即\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_n(x_0)=s ●Dini 判别法推论●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]满足下列条件之一\RightarrowDini 判别法条件成立●满足\alpha阶Lipschitz条件●存在\delta>0,L>0,\alpha\in(0,1]●\mid f(x_0+t)-f(x_0+0)\mid\leqslant Lt^\alpha,\quad\mid f(x_0-t)-f(x_0-0)\mid\leqslant Lt^\alpha\alpha\geqslant 1可推得有界●存在有限单侧导数●f_{+}^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{t\to0^{+}}\frac{f(x_{0}+t)-f(x_{0})}{t},\quad f_{-}^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{t\to0^{+}}\frac{f(x_{0}-t)-f(x_{0})}{-t}●仅有两个有限的广义单侧导数●\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}t,\quad\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(x_0-t)-f(x_0-0)}{-t}●分段可微●定义●存在[a,b]的分割a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b●g_i(x)=\begin{cases}f(t_{i-1}+0),&x=t_{i-1},\\f(x),&x\in(t_{i-1},t_i)\quadi=1,2,\cdots,n\\f(t_i-0),&x=t_i\end{cases}●g_i(x)都可微（端点处单侧可微）则函数f分段可微●分段可微的函数\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_n(x_0)=\frac{(f(x_0+0)+f(x_0-0))}{2}●延拓●对单侧函数\mathrm{def} \: f=(0,\pi)●偶性延拓●f(x)=f(-x)●展开为余弦级数f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos nx●奇性延拓●f(x)=-f(-x)●展开为正弦级数f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin nx●Cesàro和●Cesàro收敛●\sigma_n=\frac{S_1+\cdots+S_n}n\quad(n=1,2,\cdots)●\lim_{n\to\infty}\sigma_n=\sigma●称级数\sum\limits_{n=1}^\infty a_n在Cesàro意义下收敛到\sigma●记为\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\sigma(\mathrm{C})●Fejér 定理●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]●x_0左右极限存在●\sigma_n(x_0)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}S_k(x_0)●则\lim\limits_{n\to +\infty} S_n(x_0)=\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}(\mathrm{C})\sigma_n(x_0)\to \frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2},Cesàro和为左右极限的均值●若傅里叶级数收敛一定收敛到左右极限的均值●f是以2\pi为周期的连续函数●Fourier级数在Cesàro意义下在(-\infty,+\infty)上一致收敛于f●Weierstrass 逼近定理●f\in C[-\pi,\pi]且f(-\pi)=f(\pi)●f一定能用三角多项式一致逼近即\sigma_n(x)●平方平均逼近●\lim\limits_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x)-T_n(x))^2\mathrm{d}x=0●部分和T_n平方平均逼近(收敛于)f● \mathrm{\pmb{R}}^2[a,b]可积且平方可积空间●定义●线性空间●函数加法与数乘●内积●\langle f,g\rangle=\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x●范数●||f||=\sqrt{\langle f,f\rangle}●正交●当\langle f,g\rangle=0●正交系●函数间两两正交●范数不为0●规范正交系●范数为1的函数正交系●Fourier系数●\{\varphi_k\}为规范正交系●c_k=\langle f,\varphi_k\rangle为f关于正交系的Fourier系数●Fourier级数●f(x)\sim\sum\limits_{k=1}^\infty c_k\varphi_k(x)c_k为Fourier系数●规范正交性上的投影●\parallel f-\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k\varphi_k\parallel\geqslant\parallel f-\sum\limits_{k=0}^nc_k\varphi_k\parallel对任意a_k,n=1,2,\cdots●\parallel f-\sum\limits_{k=0}^nc_k\varphi_k\parallel^2=\parallel f\parallel^2-\sum\limits_{k=0}^nc_k^2●\sum\limits_{k=0}^\infty c_k^2\leqslant\|f\|^2Bessel不等式●Parseval 等式/封闭性方程●\sum\limits_{k=0}^\infty c_k^2=\|f\|^2Bessel不等式等号成立●完备正交系●对任意f，Paseval等式成立，即可用Fourier级数的部分和平方平均逼近●定理●三角函数系是完备的●与三角函数系中每个函数正交的连续函数为0●相同Fourier级数的连续函数唯一●函数内积计算●f的系数为a_n,b_n，g的系数为\alpha_n,\beta_n●\frac1\pi\int_{-x}^{\pi}f(x)g(x)\mathrm{d}x=\frac{a_0\alpha_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\alpha_n+b_n\beta_n)●逐项积分●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n\operatorname{=}1}^\infty(a_n\cosnx+b_n\sin nx)●则\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^b\frac{a_0}2\mathrm{d}x+\sum\limits_{n=1}^\infty\int_a^b(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\mathrm{d}x[a,b]\sub [-\pi,\pi]●\mathrm{\pmb R}[-l,l]●Fourier 级数●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{x}\left(a_n\cos\frac{n\pi}lx+b_n\sin\frac{n\pi}lx\right)●Fourier 系数●\begin{aligned}a_n&=&\frac1l\int_{-1}^lf(x)\cos\frac{n\pi}lx\mathrm{d}x&(n=0,1,\cdots)\\b_n&=&\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi}lx\mathrm{d}x&(n=1,2,\cdots)\end{aligned}●Fourier积分f \in \mathrm{\pmb R}(-\infty,+\infty)●定义●a\left(u\right)=\frac1\pi\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos ut\mathrm{d}t,\quadb\left(u\right)=\frac1\pi\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin ut\mathrm{d}t●f(x)\thicksim\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u●a(u),b(u)在(-\infty,+\infty)一致连续●有限积分●\begin{aligned}S(\lambda,x)& =\int_0^\lambda(a(u)\cos ux+b(u)\sinux)\mathrm{d}u &\quad &(定义)\\&=\frac1\pi\int_{0}^{\lambda}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos u(t-x)\mathrm{d}t)\mathrm{d}u&\quad &(代入a(u),b(u))\\&=\frac1\pi\int_{0}^{+\infty}\left(f(x+t)+f(x-t)\right)\frac{\sin\lambda t}t\mathrm{d}t &\quad &(有限次序交换再取极限)\end{aligned}●局部化定理●f在x的Fourier积分收敛情况仅与f在x附近的函数值有关●Dini 定理●\varphi(t)=f(x+t)+f(x-t)-2s●存在\delta>0,使得\varphi(t)/t在[0,\delta]上可积且绝对可积●Fourier积分在x点收敛于s●收敛定理Fourier积分在x点收敛于左右极限的平均值●有广义左右导数●\frac1\pi\int_0^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos u\left(t-x\right)\mathrm{d}t=\frac12(f(x+0)+f(x-0))●\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u=\frac12(f(x+0)+f(x-0))●连续●f(x)=\frac1\pi\int_0^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cosu\left(t-x\right)\mathrm{d}t●f(x)=\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u●Fourier 余弦公式f为偶函数●g(u)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}f(t)\cos ut\mathrm{d}tFourier余弦变换公式●f(x)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}g(u)\cos xu\mathrm{d}u反变换公式●Fourier 正弦公式f为奇函数●h(u)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}f(t)\sin ut\mathrm{d}tFourier正弦变换公式●f(x)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}h(u)\sin xu\mathrm{d}u反变换公式●Fourier 积分复数形式●f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}u(x-t)}\mathrm{d}t●Fourier变换●\hat{f}(u)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}tu}\mathrm{d}t●反变换公式●f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(u)\mathrm{e}^{\mathrm{i}ux}\mathrm{d}u●导数定理●\lim \limits_{t\to \infty}f(t)=0 \Rightarrow\hat{f}^{\prime}(x)=\mathrm{i}x\hat{f}(x)●\lim \limits_{t\to \infty}f^{(k)}(t)=0 (k=1,2\cdots ,n-1)\Rightarrow\hat{f}^{(n)}(x)=(\mathrm{i}x)^n\hat{f}(x)●卷积●(f* g)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-u)g(u)\mathrm{d}u●卷积定理●\hat{(f* g)(t)}=\hat{f(t)}\hat{g(t)}●Fourier级数复数形式满足收敛定理●离散的Fourier变换●f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty\hat{f}(n)\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}●\hat{f}(n)=\begin{cases}\frac12(a_n-\mathrm{i}b_n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x,&n=1,2,\cdots\\\frac{a_0}{2},&n=0\\\frac12(a_n+\mathrm{i}b_n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pif(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x，&n=-1,-2,\cdots\end{cases}●离散的Fourier 反变换●\hat{f}(n)=\frac1{2\pi}{\int_{-\pi}^{\pi}}f(x)\mathrm{e}^{-inx}\mathrm{d}x\quad(n=0,\pm1,\cdots)。

《数学分析（3）》复习资料第十三章 函数列与函数项级数（5%）1．（1）函数列收敛域为(),1,2,nn f x x n == (1,1]-，极限函数为0,1,()1, 1.x f x x ⎧<⎪=⎨=⎪⎩．（2）函数列sin (),1,2,n nxf x n n == 收敛域为(,)-∞+∞，极限函数为()0f x =． 2．（1）函数列在(02(),1,2,nx n f x nxe n -== ,)+∞上不．一致收敛． （2）函数列()1,2,n f x n == 在(1,1)-上一致收敛． （3）函数列22(),1,2,1n xf x n n x ==+ 在(,上一致收敛．)-∞+∞（4）函数列(),1,2,n xf x n n== 在[0上不．一致收敛． ,)+∞（5）函数列()sin,1,2,n xf x n n== 在上不．一致收敛． (,-∞+∞)3．（1）函数项级数nn x∞=∑在(1上不．一致收敛． ,1)-（2）函数项级数2sin nx n ∑，2cos nxn ∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（3）函数项级数(1)!nx n -∑在上一致收敛． [,]r r -（4）函数项级数122(1)(1)n nx x --+∑在(,上一致收敛． )-∞+∞（5）函数项级数n n x ∑在11r x r r ∙>⎧⎪>⎨=⎪⎩上一致收敛上不一致收敛．（6）函数项级数2nx n ∑在上一致收敛．[0,1]（7）函数项级数12(1)n x n --+∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（8）函数项级数221(1)n x x -+∑在(,上不．一致收敛． )-∞+∞第十四章 幂级数（10%）1．对于幂级数，若0n n n a x ∞=∑lim n ρ=（1limn n na a ρ+→∞=） 则（i ）当0ρ=时，收敛半径R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞；（ii ）当ρ=+∞时，收敛半径，仅在0R =0x =处收敛； （iii ）当0ρ<=+∞时，收敛半径1R ρ=，收敛域为(,)R R -，还要进一步讨论区间端点x R =±处的敛散性．2．幂级数展开式： （1）()2(0)(0)(0)()(0)1!2!!n nf f f f x f x x x n '''=+++++（2）011nn x x ∞==-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑ (1x )<． （3）2(1)(1)(1))12!!m n m m m m m n x mx x x n ---++=+++++ (11)x -<<111]，．1110101m m m ≤--⎧⎪-<<-⎨⎪>-⎩时，收敛域为（，）时，收敛域为（，]时，收敛域为[，(1（4）1110(1)(1)ln(1)(11)1n n n n n n x x x x n n -∞∞+==--+==-<≤+∑∑，1ln(1)nn x x n∞=--=∑ (11)x -≤<． （5）210(1)sin (21)!n n n x x n ∞+=-=+∑，20(1)cos (sin )(2)!n nn x x n ∞=-'==∑ ()x -∞<<+∞．（6）10(1)arctan (11)21n n n x x n ∞+=-=-≤+∑≤（7）0)!nxn x n ∞==-∞<<+∞∑e x3．幂级数的和函数（1）1)(0,1,2,k 1knn kx x x x ∞==<-)∑ = ． （2）()(1)1)1knnn kx x x x ∞=--=<+)∑ ． (0,1,2,k = （3）1ln(1)nn x x n∞==--∑ ．(11)x -≤<（4）121111()1(1)n nn n n n x nxx x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x )<． （5）223)21111(1)()1(1)(1n n n n n n x n n x x x x x x ∞∞∞-==='''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-===== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x <)． 第十五章 傅里叶级数（10%）()f x 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数： 1．01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，01()a f x πππ-=⎰dx ，1()cos n a f x nx πππ-=⎰dx ，1()sin nbf x nx πππ-=⎰dx 1,2,n ，= ．2．01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，01()ll a f x l -=⎰dx ， 1()cos l n l n x a f x dx πl l -=⎰，1()sin l n l n xb f x dx πl l-=⎰，1,2,n = ．3．（1）偶函数的傅里叶级数：01()cos2n n a n x f x a l π∞==+∑，012()cos ()cos l l n l n x n xa f x dx f x dx πl l l l π-==⎰⎰，． 1,2,n = 01()cos 2n n a f x a nx ∞==+∑，012()cos ()cos n a f x nxdx f x nxd πππππ-==⎰⎰x ，1,2,n = ．（2）奇函数的傅里叶级数：1()sinn n n x f x b lπ∞==∑，012()sin ()sin l l n l n x n xf x dx f x dx l l l l πb π-==⎰⎰1,2,，n = ．1()sin n n f x b ∞==∑nx ，012()sin ()sin n b ，f x nxdx f x nxdx πππππ-==⎰⎰1,2,n = ．第十六章 多元函数的极限与连续（5%）1．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→，00lim lim (,)y y x x f x y →→和重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →都存在，则三者相等．2．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→存在但不相等，则重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →必不存在．3．2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+，2222(,)(0,0)1lim x y x y x y →++=+∞+，22(,)lim 2x y →=，22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y →+=+，2222(,)(0,0)sin()lim 1x y x y x y →+=+． 第十七章 多元函数微分学（20%）1．全微分：z zdz dx dy x y ∂∂=+∂∂． 2．zzz x y x yx x y yt t∂∂s t s sts∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z x z y s y t∂∂∂∂∂=+s x s y z z x z t x t y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂． 3．若函数f 在点可微，则0P f 在点沿任一方向的方向导数都存在，且0P 000(,,)l x y z 0000()()cos ()cos ()cos l x y z f P f P f P f P αβγ=++，其中cos α，cos β，cos γ为方向l x 的方向余弦，000(,,)y z即cos α=cos β=，cos γ=4．若(,,)f x y z 在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量0000(,,)P x y z 000((),(),())x y z f P f P f P 为函数f 在点的梯度，记作0P 000(),()ad )z ((),x y gr f P f =P f P f ．向量grad f 的长度（或模）为gra d f =．5．设，(,z f x y xy =+)f 有二阶连续偏导数，则有1211z 212()z f yf z x x y y y ∂⎛⎫∂ ⎪''∂+∂∂⎝⎭==∂∂∂∂2f f y f yf x∂'''=⋅+⋅=+∂'，11122212221112221(1)()f f x f y f f x f f x y f xyf ''''''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅=++++．6．设，令00()()0x y f P f P ==0()xx f P A =，0()xy f P B =，0()yy f P C =，则（i ）当，时，20AC B ->0A >f 在点取得极小值； 0P （ii ）当，20AC B ->0A <时，f 在点取得极大值； 0P （iii ）当时，20AC B -<f 在点不能取得极值； 0P （iv ）当时，不能肯定20AC B -=f 在点是否取得极值．0P 第十八章 隐函数定理及其应用（10%）1．隐函数，则有(,)0F x y =x yF dydx F =-． 2．隐函数，则有(,,)0F x y z =x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v ． =⎧⎨3．隐函数方程组：=⎩，有x yu v xyuv F F F F F F F F x y u v G G G G GG G G x yuv ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 则uv uv uv F F J G G =，xv xv xv F F J G G =，uxux u x F F J G G =，y v yv y v F F J G G =，uyuy uyF F JG G =， xv uv J u x J ∂=-∂　，ux uv J vx J ∂=-∂，yv uv J u y J ∂=-∂，uy uvJ v y J ∂=-∂． 4．平面曲线在点的切线．．方程为(,)0F x y =000(,)P x y 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=， 法线．．方程为000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y -+-=． 5．空间曲线：在点处的L (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩0000(,,)P x y z切线．．方程为00z x yz x y z x y z x y 0x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---==⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎭00000()()()0x y z F x x F y y F z z ， 法线．．方程为． 00()()()yz xy zx yz xy zx F F F F F F x x y y z z G G G G G G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．曲面在点处的切平面．．．方程为(,,)0F x y z =0000(,,)P x y z -+-+-=， 法线．．方程为00x y 0zx x y y z z F F F ---==． 7．条件极值例题：求函数在约束条件22u x y z =++222z x y =+与4x y z ++=下的最大值和最小值．解：令，22222(,,,,)()(4)L x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++-则由，得稳定点22220222040x yz L x x L y y L z L z x y L x y z λμλμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪=++-=⎪⎩00112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩及228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故当1x y ==，时函数在约束条件下取得最小值， 2z =22u x y z =++28z =26当，时函数在约束条件下取得最大值．2x y ==-22u x y z =++72第十九章 含参量积分（5%）1．，；10()s xs x e +∞--Γ=⎰dx 0s >(1)(s s )s Γ+=Γ；1(2Γ=；1()2n Γ+=，1()2n Γ-=． 2．1110(,)(1)p q p q x x ---⎰)dx (0,0p q >>B =；(,)(,)p q q p B =B ；1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+- ；(0,1p q >>)1(,)(1,)1p p q p q -p q B =B -+-) ；(1,0p q >>(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)p q p q p q p q p q --B =B --+-+- ．(1,1p q >>)3．()()(,)()p q p q p q ΓΓB =Γ+ ．(0,0p q >>)第二十章 曲线积分（5%）1．设有光滑曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),(Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰；当曲线由方程L ()y x ψ=，[,]x a b ∈表示时，(,)(,(bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰．2．设平面曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，其中()t ϕ，在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且((),())A ϕαψα，((),())B ϕβψβ． 又设与为上的连续函数，则沿L 从A 到(,)P x y (,)Q x y L B 的第二型曲线积分(,)(,)[((),())()((),())()]LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰．第二十一章 重积分（20%）1．若(,)f x y 在平面点集}{12(,)()(),D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤（x 型区域）上连续，其中1()y x ，2()y x 在[,上连续，则]a b 21()()(,)(,)b y x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．若}{12(,)()(),D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤，其中1()x y ，2()x y 在]上连续，则二重积分可化为先对[,c d x ，后对y 的累次积分21()()(,)(,dx y cx y D)f x y d dy f x y σ=⎰⎰⎰⎰dx ．在二重积分中，每次积分的上、下限一定要遵循“上限大，下限小”的原则，且一般来说，第一次（先）积分的上、下限一般为第二次（后）积分的积分变量的函数或常数，而第二次（后）积分的上、下限均为常数． 2．格林公式：若函数，在闭区域上连续，且有一阶偏导数，则有(,)P x y (,)Q x y D ()L DQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ （或L Dx y d Pdx Q +dy P Qσ∂∂∂∂=⎰⎰⎰ D ），这里为区域的边界曲线，并取正方向． L 3．设是单连通闭区域．若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：D (,)P x y (,)Q x y D （i ）沿内任一按段光滑封闭曲线，有D L 0LPdx Qdy +=⎰；（ii ）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；D L LPdx Qdy +⎰L （iii ）是内某一函数的全微分，即在内有Pdx Qdy +D (,)u x y D du Pdx Qdy =+；（iv ）在内处处成立D P Qy x∂∂=∂∂． (,)4．设f x y 在极坐标变换cos ,:sin ,x r T y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域与D r θ平面上区域∆对应，则成立(,D)(cos ,sin )f x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰．通常积分区域为圆形、扇形、环形或为其一部分，或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单，且被积函数为22()f x y +，(y f x ，(xf y，()f x y +等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分．5（1）柱面坐标变换cos ,0,:sin ,02,.x r r T y rz z z θ,θθπ=≤⎧⎪=≤⎨⎪=-∞<<⎩<+∞≤+∞(,,)V 三重积分的柱面坐标换元公式为f x y z dxdydz ⎰⎰⎰(cos ,sin ,)V f r r z rdrd dz θθθ'=⎰⎰⎰，这里V '为V 在柱面坐标变换下的原象．（2）球坐标变换T y sin cos ,0,:sin sin ,0,cos ,02.x r r r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩三重积分的球坐标换元公式(,,)Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰2(sin cos ,sin sin ,cos )sin V f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕ'=⎰⎰⎰θ，这里V '为V 在球坐标变换下的原象．DS ∆=．6．曲面面积计算公式：第二十二章 曲面积分（10%）1．设有光滑曲面)，(,:(,S z z x y =)x y D ∈，(,,)f x y z 为上的连续函数，则S (,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰． 2．设R 是定义在光滑曲面:(,S z z x y )=，(,)xy x y D ∈上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有S S z (,,),))(,,(xySD R x y z dxdy x y dxdy =⎰⎰R x y z ⎰⎰．3．高斯公式：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面围成．若函数，，S P Q R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则(VSP Q Rdxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ，其中取外侧． S 4．斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线．若函数，Q ，S L P R 在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则S L ()(()L P =⎰ S P R Q P dydz dzdx dxdy d Q z x x y ∂∂∂∂-+-∂∂∂∂⎰⎰R Q y z ∂∂∂∂x dy +Rd +z （或-+Sdz dzdx dxdydy x y z P Q R∂∂∂∂∂∂⎰⎰ LPdx Qdy Rdz =++⎰ ），其中的侧与的方向按右手法则确定． S L。

数学分析三习题答案数学分析三习题答案数学分析是数学的一门重要分支，它研究的是函数、极限、连续等概念和性质。

在学习数学分析的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固和加深对知识的理解。

下面是一些数学分析三的习题答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 求极限lim (x→0) (sinx/x)解：这是一个常见的极限问题。

我们可以利用泰勒展开公式来求解。

根据泰勒展开公式，sinx的泰勒展开式为x-x^3/3!+x^5/5!-...，当x趋近于0时，我们只需要保留到x^3这一项，即sinx≈x。

所以，lim (x→0) (sinx/x) = lim (x→0) 1 = 1。

2. 求函数的导数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x解：要求函数f(x)的导数，我们可以使用导数的定义。

根据导数的定义，f'(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x))/h。

将函数f(x)带入导数的定义中，得到f'(x) = lim (h→0) ((x+h)^3 - 3(x+h)^2 + 2(x+h) - (x^3 - 3x^2 + 2x))/h。

化简后可得f'(x) = lim(h→0) (3x^2 - 6xh + 3h^2 + 2h)/h。

继续化简，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 3。

3. 求不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解：要求不定积分，我们可以使用不定积分的基本公式。

根据不定积分的基本公式，∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。

将函数x^2 + 2x + 1带入不定积分的基本公式中，得到∫(x^2 + 2x + 1) dx = (x^3)/3 + x^2 + x + C。

4. 求定积分∫[0, 1] (x^2 + 2x + 1) dx解：要求定积分，我们可以使用定积分的基本公式。

根据定积分的基本公式，∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。

数学分析讲义目录第一册第1章集合与映射1.1 集合1.2 集合运算及几个逻辑符号1.3 映射1.4 映射的乘积(或复合)1.5 可数集1.6 习题1.7 补充教材一：关于自然数集合N1.8 补充教材二：基数的比较1.9 补充习题进一步阅读的参考文献第2章实数与复数2.1 实数的四则运算2.2 实数的大小次序2.3 实数域的完备性2.4 复数2.5 习题2.6 补充教材一：整数环z与有理数域Q的构筑2.7 补充教材二：实数域R的构筑进一步阅读的参考文献第3章极限3.1 序列的极限3.2 序列极限的存在条件3.3 级数3.4 正项级数收敛性的判别法3.5 幂级数3.6 函数的极限3.7 习题进一步阅读的参考文献第4章连续函数类和其他函数类4.1 连续函数的定义及其局部性质4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质4.3 单调连续函数及其反函数4.4 函数列的一致收敛性4.5 习题4.6 补充教材：半连续函数及阶梯函数进一步阅读的参考文献第5章一元微分学5.1 导数和微分5.2 导数与微分的运算规则5.3 可微函数的整体性质及其应用5.4 高阶导数，高阶微分及Taylor公式5.5 Taylor级数5.6 凸函数5.7 几个常用的不等式5.8 习题5.9 补充教材一：关于可微函数的整体性质5.10 补充教材二：一维线性振动的数学表述5.10.1 谐振子5.10.2 阻尼振动5.10.3 强迫振动进一步阅读的参考文献第6章一元函数的Riemann积分6.1 Riemann积分的定义6.2 Riemann积分的简单性质6.3 微积分学基本定理6.4 积分的计算6.5 有理函数的积分6.6 可以化为有理函数积分的积分6.6.1 R(x,根号(αx+β)/(γx+δ))的积分6.6.2 R(x,根号ax2+bx+c)的积分6.6.3 R(sinx,cosx)的积分6.7 反常积分6.8 积分在几何学，力学与物理学中的应用6.8.1 定向区间的可加函数6.8.2 曲线的弧长6.8.3 功6.9 习题6.10 补充教材一：关于Newton—Leibniz公式成立的条件6.11 补充教材二：Stieltje8积分6.12 补充教材三：单摆的平面运动和椭圆函数6.12.1 一维的非线性振动的例：单摆的平面运动6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数6.13 补充教材四：上、下积分的定义进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第二册第7章点集拓扑初步7.1 拓扑空间7.2 连续映射7.3 度量空间7.4 拓扑子空间，拓扑空间的积和拓扑空间的商7.5 完备度量空间7.6 紧空间7.7 Stone-Weierstrass逼近定理7.8 连通空间7.9 习题7.10 补充教材：Urysohn引理进一步阅读的参考文献第8章多元微分学8.1 微分和导数8.2 中值定理8.3 方向导数和偏导数8.4 高阶偏导数与T aylor公式8.5 反函数定理与隐函数定理8.6 单位分解8.7 一次微分形式与线积分8.7.1 一次微分形式与它的回拉8.7.2 一次微分形式的线积分8.8 习题8.9 补充教材一：线性赋范空间上的微分学及变分法初步8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射8.9.2 连续重线性映射空间8.9.3 映射的微分8.9.4 有限增量定理8.9.5 映射的偏导数8.9.6 高阶导数8.9.7 Taylor公式8.9.8 变分法初步8.9.9 无限维空间的隐函数定理8.10 补充教材二：经典力学中的Hamilton原理8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理8.10.2 Hamilton方程组和Hamiltom原理进一步阅读的参考文献第9章测度9.1 可加集函数9.2 集函数的可数可加性9.3 外测度9.4 构造测度9.5 度量外测度9.6 Lebesgue不可测集的存在性9.7 习题进一步阅读的参考文献第10章积分10.1 可测函数10.2 积分的定义及其初等性质10.3 积分号与极限号的交换10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较10.5 Futfini-ronelli定理10.6 Jacobi矩阵与换元公式10.7 Lebesgue函数空间10.7.1 LP空间的定义10.7.2 LP空间的完备性10.7.3 Hanner不等式10.7.4 LP的对偶空间10.7.5 Radon-Nikodym定理10.7.6 Hilbert空间10.7.7 关于微积分学基本定理10.8 二次微分形式的面积分10.8.1 一次微分形式的外微分10.8.2 二次微分形式和平面的定向10.8.3 二次微分形式的回拉和积分10.8.4 三维空间的二次微分形式10.8.5 平面上的Green公式10.9 习题进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第三册第11章调和分析初步和相关课题11.1 Fourier级数11.2 Fourier变换的L1-理论11.3 Hermite函数11.4 Fourier变换的L2-理论11.5 习题11.6 补充教材一：局部紧度量空间上的积分理论11.6.1 C0(M)上的正线性泛函11.6.2 可积列空间L111.6.3 局部紧度量空间上的外测度11.6.4 列空间L1中的元素的实现11.6.5 l-可积集11.6.6 积分与正线性泛函的关系11.6.7 Radon泛函与Jordan分解定理11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理11.6.9 概率分布的特征函数11.7 补充教材二：广义函数的初步介绍11.7.1 广义函数的定义和例11.7.2 广义函数的运算11.7.3 广义函数的局部性质11.7.4 广义函数的Fourier变换11.7.5 广义函数在偏微分方程理论上的应用11.8 补充习题进一步阅读的参考文献第12章复分析初步12.1 两个微分算子和两个复值的一次微分形式12.2 全纯函数12.3 留数与Cauchy积分公式12.4 Taylor公式和奇点的性质12.5 多值映射和用回路积分计算定积分12.6 复平面上的Taylor级数和Laurent级数12.7 全纯函数与二元调和函数12.8 复平面上的Г函数12.9 习题进一步阅读的参考文献第13章欧氏空间中的微分流形13.1 欧氏空间中微分流形的定义13.2 构筑流形的两个方法13.3 切空间13.4 定向13.5 约束条件下的极值问题13.6 习题进一步阅读的参考文献第14章重线性代数14.1 向量与张量14.2 交替张量14.3 外积14.4 坐标变换14.5 习题进一步阅读的参考文献第15章微分形式15.1 Rn上的张量场与微分形式15.2 外微分算子15.3 外微分算子与经典场论中的三个微分算子15.4 回拉15.5 Poincare引理15.6 流形上的张量场15.7 Rn的开集上微分形式的积分15.8 习题进一步阅读的参考文献第16章欧氏空间中的流形上的积分16.1 流形的可定向与微分形式16.2 流形上微分形式的积分16.3 流形上函数的积分16.4 Gauss散度定理及它的应用16.5 调和函数16.6 习题16.7 补充教材一：Maxwell电磁理论初步介绍16.8 补充教材二：Hodge星算子16.9 补充教材三：Maxwell电磁理论的微分形式表示进一步阅读的参考文献结束语进一步阅读的参考文献参考文献关于以上所列参考文献的说明名词索引。