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线性代数各章节内容重点难点(大一第一
学期)
教学难点：向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用，向量的内积和正交矩阵的性质的证明。
第一章：行列式
本章主要介绍了行列式的定义、性质和运算，以及克莱姆法则的应用。
学生需要了解行列式的基本概念和性质，掌握二、三、四阶行列式的计算方法，以及简单的n阶行列式的计算方法。
此外，学生还需要理解克莱姆法则的结论，并会应用于实际问题中。
本章教学难点在于行列式性质的证明。
第二章：矩阵
本章主要介绍了矩阵的概念和各种运算及其规律，包括单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等的性质，矩阵的线性运算、乘法、转置等，以及逆矩阵、伴随矩阵、初等变换、矩阵等价、矩阵秩等概念和方法。
学生需要掌握这些概念和方法，并能够灵活运用于实际问题中。
本章教学难点在于矩阵可
逆的充分必要条件的证明，初等矩阵及其性质，以及分块矩阵及其运算。
第三章：向量
本章主要介绍了向量的概念和相关性质，包括向量组的线性相关与线性无关的概念和性质，向量组的极大线性无关组的概念，向量组的等价和向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，以及向量空间、子空间、基、维数等概念和向量的内积、正交矩阵等性质。
学生需要掌握这些概念和方法，并能够灵活运用于实际问题中。
本章教学难点在于向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用，以及向量的内积和正交矩阵的性质的证明。
数学考研必备知识点线性代数的重点章节解析一、引言线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域的科学研究和工程实践中。
作为数学考研的一门必备知识，掌握线性代数的重点章节非常关键。
本文将对数学考研必备知识点线性代数的重点章节进行解析，帮助考生全面理解和掌握这些内容。
二、向量空间向量空间是线性代数的基础，包括向量的加法、数乘和向量空间的性质等。
重点章节有：1. 线性相关性与线性无关性：讨论向量组的线性相关性与线性无关性，以及线性相关性的判定方法。
2. 向量空间的维数：介绍向量空间的维数概念及其性质，以及维数的计算方法。
3. 基与坐标：介绍向量空间的一组基及其坐标表示方法，以及基的变换与坐标的变换关系。
三、线性映射与线性变换线性映射与线性变换是线性代数的重要内容，涉及到线性变换的性质、线性变换的表示矩阵和线性映射的核与像等。
重点章节有：1. 线性变换与矩阵：介绍线性变换的定义和性质，并探究线性变换的代数表示——矩阵。
2. 线性变换的核与像：讨论线性变换的核与像的概念，以及它们的性质和计算方法。
3. 线性变换的合成与逆变换：研究线性变换的合成和逆变换的概念与性质，以及相应的计算方法。
四、特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，用于研究线性变换的本质特性。
重点章节有：1. 特征值与特征向量的定义：介绍特征值与特征向量的定义及其性质。
2. 特征值与特征向量的计算：探究特征值与特征向量的计算方法和求解步骤。
3. 对角化与相似矩阵：讨论矩阵的对角化概念及其条件，以及相似矩阵的性质和计算方法。
五、内积空间与正交变换内积空间与正交变换是线性代数的重要分支，包括内积空间的定义与性质、正交变换的概念与性质等。
重点章节有：1. 内积空间的定义与性质：介绍内积空间的定义和性质，包括内积的性质和内积空间的几何解释。
2. 正交向量与正交子空间：研究正交向量和正交子空间的概念、性质及其计算方法。
3. 正交变换与正交矩阵：探究正交变换的定义和性质，以及正交变换的矩阵表示——正交矩阵。
线性代数重点难点一、重点内容及要求：1. 理解行列式的概念，能熟练运用行列式的基本性质以及行列式按行(列)展开定理计算行列式,会用Laplace定理和Cramer 法则解线性方程组。
2. 理解矩阵及其秩的概念，会用初等变换求其秩，掌握线性方程组有解、有唯一解以及无解的条件。
掌握用行的初等变换求方程组解的方法。
3. 会熟练运用矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算法则,会计算方阵乘积的行列式。
理解矩阵可求逆的概念，掌握利用伴随矩阵和初等变换求出矩阵逆的方法。
理解矩阵的初等变换和初等矩阵的关系, 理解初等变换和矩阵乘法的关系，掌握矩阵可逆的充要条件。
掌握分块矩阵的运算法则。
4. 理解线性空间、向量的线性组合和线性表示、向量组等价、向量组的线性相关线性无关以及向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的性质，能判断向量组的线性相关和无关性，会求出向量组的极大线性无关组、确定向量组的秩。
掌握子空间的判断条件，会求出线性空间的基、维数以及向量在一组基下的坐标。
理解基变换的概念，会求过渡矩阵、会用坐标变换公式。
掌握理解向量组的秩与矩阵秩的关系。
理解非齐次线性方程组的解与其导出的齐次线性方程组的解之间的关系、掌握齐次线性方程组基础解系的求法以及写出非齐次线性方程组的通解。
5. 理解内积和欧氏空间的概念，掌握Schmidt正交化方法，理解标准正交基、正交矩阵的概念及其相关性质。
6. 了解线性变换的概念，会写出在基下的矩阵。
理解线性变化和矩阵特定的一一对应关系。
理解并能熟练计算矩阵的特征值和特征向量，掌握矩阵的特征值和特征向量的相关性质。
理解相似矩阵的概念和性质。
掌握矩阵可相似对角阵的充要条件，能熟练地利用之化矩阵为对角阵。
理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，能熟练地用整交矩阵化实对称矩阵化为对角阵。
7. 理解二次型及其秩的概念，理解对称矩阵和二次型的一一对应关系，理解二次型的标准形、规范形概念以及惯性定理，熟练利用配方法和正交矩阵化二次型为标准形。
线性代数重点总结线性代数是现代数学领域的重要分支，它研究线性方程组、向量空间、线性映射等代数结构和它们之间的关系。
在应用数学、工程学、计算机科学等领域中，线性代数起着举足轻重的作用。
本文将以1500字左右的篇幅，对线性代数的重点内容进行总结，旨在为读者提供一份简明扼要、重点突出的学习指南。
第一部分：线性方程组与矩阵1.1 线性方程组的定义及解的存在唯一性线性方程组由多个线性方程组成，它的解是使得方程组中所有方程都成立的解集。
如果线性方程组有解，且解是唯一的，那么称线性方程组是可解且解唯一的。
1.2 线性方程组的矩阵形式将线性方程组用矩阵和向量表示可以简化计算过程。
线性方程组的系数矩阵A、未知数向量X和常数向量B之间满足AX=B的关系。
1.3 线性方程组的消元法高斯消元法和高斯-约当消元法是求解线性方程组的常用方法。
通过对矩阵进行初等行变换，将线性方程组转化为更简化的形式，从而求出解。
1.4 矩阵的运算矩阵的加法、减法和数乘是常见的矩阵运算。
此外，还有矩阵的乘法、转置和逆矩阵等运算。
1.5 矩阵的特征值与特征向量特征值和特征向量描述了矩阵的特征性质。
特征值是方程Ax=λx 的解，其中A是方阵，λ是特征值，x是非零向量。
特征向量则是对应于特征值的非零向量。
第二部分：向量空间与线性映射2.1 向量空间的定义与性质向量空间是具有线性结构的集合。
它满足加法封闭性、数乘封闭性、零向量存在性、加法逆元存在性等性质。
2.2 线性独立与线性相关向量空间中的向量集合线性相关指存在非零向量使得线性组合等于零向量。
线性独立则是指不存在非零向量使得线性组合等于零向量。
2.3 矩阵的秩与行列式矩阵的秩是指矩阵的极大线性无关行（列）数。
行列式是一个与矩阵相关的数值。
2.4 线性变换和线性映射线性变换是定义在向量空间上的函数，它保持向量空间的线性结构。
线性映射是指保持向量空间的线性结构和运算的函数。
第三部分：特殊的矩阵3.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是指矩阵的转置与自身相等。
线性代数中常见的难题,易错题目解析
1、代数精度：在数值分析中，精度指的是数值计算中所得结果的可靠性，也就是说计算结果是否正确取决于数值计算的精度。
此题目可能会难以回答，要求学生根据自身的数学定义和知识框架来理解和作答，其中的考点是数值计算的精度与数值计算成果的可靠性之间的关系。
2、矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵的数学定义，它表示某个矩阵的列数减去它的0行的数目，考察学生对该数学概念的理解程度。
因此，求解矩阵的秩需要对矩阵中的元素进行运算，并判断结果来计算矩阵的秩。
3、线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是一个线性方程组的重要概念，表示该线性方程组的解的性质。
系数矩阵的求解主要是根据矩阵操作的行列式计算方法、决定系统的可解性来确定系数矩阵的结构。
4、矩阵乘法：矩阵乘法是线性代数最重要的基本概念之一，它以秩、矩阵维数和矩阵中元素的乘法计算来表示两个矩阵的乘积结果。
矩阵乘法可以有效地解决实际问题，是解决线性方程组最常用的工具之一。
5、矩阵求逆：矩阵求逆是线性代数中常见的概念，它表示将矩阵转换成单位矩阵的变换。
考生在面对本题时，除了熟悉矩阵求逆的基本概念外，还需要掌握大量的乘法和除法运算，以及应用消元法计算矩阵求逆的过程。
6、行列式：行列式是一种矩阵形式的数形式，它由矩阵中各元素的行列式代数计算所构成的一种数字的结果。
通过行列式可以判断矩阵的可逆性、行列式的值与矩阵元素有关。
学生在解答本题时，要掌握行列式的基本概念和行列式的计算方法，以及应用行列式来确定矩阵的可逆性的过程。
浙江省考研数学复习资料线性代数重难点剖析线性代数是数学的一个重要分支，也是考研数学中的一门重要课程。
在浙江省考研数学中，线性代数占据着相当大的比重，因此熟练掌握线性代数的知识点和解题方法对于考生来说至关重要。
本文将针对浙江省考研数学复习资料中的线性代数部分，对其中的重难点进行剖析，帮助考生加深理解和掌握。
1. 向量空间与线性变换向量空间是线性代数的基础概念之一，在考研数学中经常遇到。
首先，我们需要掌握向量空间的定义、性质和相关定理。
例如，零向量的唯一性、向量加法与标量乘法的满足的条件、子空间的定义和判定等。
此外，还需熟练掌握线性变换的概念、矩阵表示和性质。
特别是线性变换的零空间和像空间的计算方法，在解线性方程组和矩阵的运算中具有重要作用。
2. 矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中不可或缺的内容。
在浙江省考研数学复习资料中，矩阵与行列式的相关知识点经常被考察。
矩阵的运算规则、特殊矩阵的性质、矩阵的转置和逆等都是需要重点掌握的内容。
同时，行列式的计算方法、行列式的性质和应用也需要我们深入了解。
尤其是逆矩阵的计算和行列式的性质在解线性方程组和计算矩阵的特征值等方面具有重要作用。
3. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，也是浙江省考研数学中的难点。
我们需要熟练掌握特征值和特征向量的定义、求解特征值和特征向量的方法，并且了解它们在不同领域的应用。
尤其是对于对角化矩阵的理解和运用，可以在矩阵运算和线性变换中简化计算。
4. 线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一大难点，也是浙江省考研数学中常常遇到的题型。
我们需要掌握常数项的齐次和非齐次线性方程组的解法，包括行阶梯形矩阵的求解、高斯消元法和矩阵求逆法等。
此外，还需要了解线性方程组解的存在唯一性和解的结构等相关概念。
5. 内积空间与正交变换内积空间和正交变换是线性代数中的高级内容，也是浙江省考研数学中的高级难点。
我们需要掌握内积的定义和性质，理解正交向量和正交子空间的概念，了解正交矩阵和正交变换的特点。
绪论从高科技本质上就是数学技术到CT 技术到数学应用到数学建模到黑客帝国2的矩阵母。
工程数学之线性代数《线性代数》主要讲述矩阵的初步理论及其应用，包括矩阵的代数运算；矩阵的秩与初等变换；矩阵的特征值、特征向量与相似，以及线性方程组和二次型。
n 维向量空间相关性理论则是本课程的难点所在。
全书各部分以线性空间与线性变换为主线，逐渐阐述欧氏空间的理论，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，一方面为学生学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，另一方面培养学生建立数学模型解决实际问题的能力。
第一章 行列式内容概述：行列式是线性代数中的一个重要概念。
本章从二、三元方程组的解的公式出发，引出二阶、三阶行列式的概念，然后推广到n 阶行列式，并导出行列式的一些基本性质及行列式按行（列）展开的定理，最后讲用行列式解n 元方程组的克拉默法则。
第一节 行列式的定义和性质教学目的：复习二阶、三阶行列式的概念，了解逆序概念，掌握到n 阶行列式定义和性质。
重点难点：n 阶行列式定义和性质 教学过程：一、 复习二阶、三阶行列式的概念 1．二阶行列式我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。
在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为（1）， 用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当112212210a a a a -≠时，有 （2）：（1） （2）这就是二元方程组的解的公式。
但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。
我们称记号（3）为二阶行列式，它表示两项的代数和：11221221a a a a -（3）即定义（4）二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，这条连线为主对角线；从右上角到左下角两个元素相乘取负号，这条连线为副对角线（或次对角线），即：由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D 表示；如果将D 中第一列的元素a 11，a 21 换成常数项b 1，b 2 ，则可得到另一个行列式，用字母D 1表示，按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x 1 的表达式的分子。
第三部 线性代数 第1章 行列式1．了解或理解一些基本概念（1）了解n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念； （2）了解n 阶行列式性质，尤其是：性质1 行列式D 和其转置行列式T D 相等；性质2 若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号； 性质3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号的外面；性质5 若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上，则行列式的值不变．例1 设行列式211201231--=D ，则D 中元素223=a 的代数余子式23A = 。
解 由代数余子式的定义ij A ij ji M +-=)1(，其中ij M 为ij a 的余子式，可知 23A =11311131)1(32-=-+。
应该填写 1131-。
例2 下列等式成立的是（ ） ，其中d c b a ,,,为常数。
A ．acb d dc ba -= B ．111111c bd a d c b a +=++C ．d c b a d c ba 22222= D ．111111c b d a d c b a ⋅=⋅⋅ 解 因为 dc ba d cb acd a b a b c d a c b d ≠-==-=-，所以选项A 是错误的。
由行列式性质4可知，111111c b d a d c b a +=++，所以选项B 是正确的。
因为d c ba d cb a dc b a 242222≠=，所以选项C 是错误的。
因为1111,11c b d a cd ab d c b a ⋅-=⋅⋅=))((c b d a --，111111c b d a d c b a ⋅≠⋅⋅，所以选项D 是错误的。
例3 行列式4321100001000010=D = 。
解 按第1列展开行列式，得6300020001)1(432130000200001014-=-==+D故应该填写 –6。
2．掌握行列式的计算方法化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。
经济数学基础线性代数部分重难点解析第三部 线性代数 第1章 行列式1．了解或理解一些基本概念（1）了解n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念；（2）了解n 阶行列式性质，尤其是： 性质1 行列式D 与其转置行列式TD 相等； 性质2 若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号；性质3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号的外面；性质5 若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上，则行列式的值不变．例1 设行列式21121231--=D ，则D 中元素223=a的代数余子式23A = 。
解 由代数余子式的定义ijA ijj i M +-=)1(，其中ijM 为ija 的余子式，可知23A =11311131)1(32-=-+。
应该填写1131-。
例 2 下列等式成立的是（ ） ，其中d c b a ,,,为常数。
A ．ac bd d c b a -= B ．111111c b d a dcba +=++C ．d c b a dcb a22222= D ．111111c bd a d c ba ⋅=⋅⋅解 因为dc b ad c b a c d a b a b c d a cb d ≠-==-=-，所以选项A 是错误的。
由行列式性质4可知，111111cb d a d cba +=++，所以选项B 是正确的。
因为dc bad c b a d c b a 242222≠=，所以选项C 是错误的。
因为1111,11c bd a cd ab d c b a ⋅-=⋅⋅=))((c b d a --，111111c b d a d c b a ⋅≠⋅⋅，所以选项D 是错误的。
例3 行列式4321100001000010=D = 。
解 按第1列展开行列式，得6300020001)1(432130000200001014-=-==+D故应该填写 –6。
2．掌握行列式的计算方法 化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。
降阶法：利用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素，然后按这零元素最多的行（或列）化成低一阶行列式，直至降到三阶或二阶行列式，最后直接计算。
例4 计算行列式121212121121121。
解 此行列式的特点是每一行或每一列的元素之和相等，利用这个特点将行列式的第二、三列都加到第一列相应的元素上，再化为三角形行列式求值。
121212121121121=1212212122112=212100212112--=21002102112-=21- 例5 计算行列式9213100161313121-----------解 用降阶法求之。
1221513412122130001513141219213100161313121--------=----------=-----------1520511205101412=---=------= 例6 计算行列式466353331---+---x x x解 用降阶法求之。
466353331---+---x x x =416313301)2(426323301------+=-+--+---x x x x x x x=]9)1)[(2(1331)2(103313301)2(2--+=----+=------+x x x x x x x x=)10)(8)(2(--+x x x 。
3．知道克拉默法则．第2章 矩阵1．了解或理解一些基本概念（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；（2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质；（3）理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；（4）了解矩阵秩的概念；（5）理解矩阵初等行变换的概念。
例1 若A ，B 是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（ ）。
A ．000＝或＝，则＝若B A AB B ．2222)+(B B A A B A +⋅+＝C. 若秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 则秩0)(≠ABD. 若秩,)(n A = 秩,)(n B =则秩n AB =)(解 A ： 00＝或＝B A 只是0＝AB 的充分条件，而不是必要条件，故A 错误；B ：222)+(B A B B A A B A +⋅+⋅+＝，矩阵乘法一般不满足交换律，即A B B A ⋅≠⋅，故B 错误；C ：由秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 说明A ，B 两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能是0矩阵，故秩0)(≠AB 不一定成立，即C 错误；D ：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D 正确。
例2 矩阵13210011000010001000-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩是( )A. 1B. 2C. 3D. 4解 化成阶梯形矩阵后，可知有3个非0行，故该矩阵的秩为3。
例3 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--913210063，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=801962B则矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 。
解 根据乘法法则可知，矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 3×2＋（－1）×9＋9×0＝－3 应该填写-3例4 设A 是m ⨯n 矩阵,B 是s ⨯n 矩阵, 则运算有意义的是 。
A ．TAB B ．AB C ．A T B D ．A T B T解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，它们的乘积才有意义，故矩阵TAB 有意义。
正确的选项是A 。
例5 设方程XA －B =X ，如果A －I 可逆，则X = 。
解 由XA －B =X ，得XA －X =B ，X (A －I )=B ，故X = B (A －I )－1。
应该填写B (A －I )－12． 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质； 3．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。
例6 设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210321B ，计算TBA I -．解：因为 TBA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2435所以T BA I -⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=24351001⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1436例7 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡367601012b b a a ，求常数a ，b 。
解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡3676010122a ab b a ab b b a a由 6,7,32==+=ab b a a ，得a = 3，b = 2例8 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =．解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1301102110015321)(I A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13251001所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-13251A且1-=BA X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=13253221⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1101．例9 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011120A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=110012B ，计算1T )(-AB .解 因为 T AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011120⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1112且 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10110112][TI AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→10112130⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→3231101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→323110313101所以1T )(-AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32313131例10 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，求逆矩阵1)(--A I ．解：因为)(A I -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---201101011，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I AI⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→11010012101012001110100011110010101所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I例11 设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．证 因为 B B A A ==TT，，且 TTT)()()(BA AB BA AB +=+TT T T B A A B += AB BA +=BA AB += 所以 AB ＋BA 是对称矩阵．例12 设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．证 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2。
所以 A 为可逆矩阵．第3章 线性方程组1．了解线性方程组的有关概念：n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解。
2．理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。
例1 线性方程组⎩⎨⎧=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( )。
A ．2×3矩阵B ． 3×2矩阵C ．3阶矩阵D ．2阶矩阵解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵。
正确的选项是A 。
例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( )。
A ．可能有非零解B ．有无穷多解C ．无解D ．有唯一解 解 线性方程组AX =B 有唯一解，说明秩(A ) = n ，故AX = 0只有唯一解（零解）。
正确的选项是D 。
例3 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解。
A ．1B ．4C ．2D ．12解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ→021021此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝12，即正确的选项是D 。
例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解，那么有 ( )。
A ．秩(A ，B )＝n B ．秩(A )＝nC ．秩(A )＝秩（A ，B ）D ．秩(A ）＝秩(A ，B )＝n解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知D 正确。
例5 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3.又因为r (A ) ≠ r (A )，所以方程组无解. 例6 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++-=++032038204214321321x x x x x x x x x x 的一般解．解： 因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000012101301121036300111103238120111A所以，一般解为：⎩⎨⎧+=--=43243123x x x x x x ， 其中3x ，4x 是自由未知量．例7 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-+-=++-1232122023432143214321x x x x x x x x x x x x解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=13 1101311001231123211212101231A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→001001301038001002001311001231因为 秩(⎺A ) = 秩(A ) = 3， 所以 方程组有解。
