经济数学基础线性代数部分综合练习及答案

2、题型：综合题3、难度级别：34、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：10分钟7、试题关键字：矩阵的初等变换 8、试题内容：设,A B 为两个同型矩阵，试证：,A B 的秩满足()()R A R B =是A 与B 等价的充分必要条件.9、答案内容： 证明:()()()()()()()()12121122111221.,..,,,,.~~rr n r n r r n r n r r r n r n r r n r n r A B E F E B F P P Q Q P AQ P BQ A P P BQ Q ⨯--⨯-⨯-⨯--⨯-⨯---⇒⨯O ⎛⎫= ⎪O O ⎝⎭O ⎛⎫= ⎪O O ⎝⎭∴==rc r c 必要性与等价则存在可逆矩阵P,Q,使PAQ=B R(A)=R(B).充分性.设A,B 为m n 矩阵,R(A)=R(B)=r.则A 存在可逆矩阵使即.A B ⇒与等价10、评分细则：由题设()()PAQ B R A R B =⇒=(2分);将A 经初等变换化为标准形(2分) 将B 经初等变换化为标准形(2分);得出11221122,,,,P AQ P BQ P Q P Q =均可逆(2分);所以得出A 与B 等价(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：347 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，123,,ααα是其解，且()()12231,1,0,2,1,0,1,3T Tαααα+=+=，求方程组的通解.9、答案内容： 解:412231312231223.() 3.0.()0.()(0,1,1,1)0,(0,1,1,1)0.111115()(2,1,1,5)(,,,)442444.12141454s T T T T A x b R A Ax Ax Ax Ax b Ax b αααααααααααααα⨯===+-+=-=+-+=--≠∴--=+++===⎛ ∴=⎝设方程组为对于其基础解系含4-3=1个解.是的解可以作为的一个基础解系为的一个解的通解为01,.11c c ⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪⎭为任意数 10、评分细则：由题设说明0Ax =的基础解系含一个解向量(2分);()122313αααααα+-+=-是0Ax =的一个解(2分);说明13αα-可以作为0Ax = 的一个基础解系(2分);说明()123414αααα+++为Ax b =的一个解(2分);所以得出Ax b =的通解(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：348 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：106、所需时间：15分钟7、试题关键字：初等矩阵及矩阵的相似与合同 8、试题内容：设1111400011110000,1111000011110000A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭试判断A 与B 是否合同，是否相似.若是，则求出使它们合同的矩阵. 9、答案内容：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1234:4113112112113114112111010021131141100100001,211101000010000100,40143,T A B E E E E E E B P E E E P P AP BA E R A E R A A λλλλλ------=---⎛⎫ ⎪⎪=---= ⎪ ⎪⎝⎭=---⎛⎫ ⎪⎪∴ ⎪ ⎪⎝⎭-=⇒====-===-∴解与合同且相似.E 12E 12令E 12则可逆且使A 与B 合同的矩阵为且一定可以40000000,.00000000A B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对角化即与相似10、评分细则：判断出A 与B 合同且相似(2分);将A 进行初等行变换与列变换化为B 的过程以左乘及右乘初等矩阵的形式写出来(3分);因而写出使A 与B 合同的可逆矩阵P (2分);计算A 的特征值(2分);写出与A 相似的对角矩阵(1分)._____________________________________________________________________________1、试题序号：3492、题型：综合题3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：106、所需时间：15分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设向量组12:,,,r B b b b L 能由向量组12:,,,s A a a a L 线性表示为()()1212,,,,,,r s b b b a a a K =L L ，其中K 为s r ⨯矩阵，且A 组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是()R K r =. 9、答案内容：()()()()()()()()()1212122121212122.,...,,,0..0.,00.,,,.0,,00.,r r r r r r r s R K r R b b b R K r R b b b r R b b b r b b x xb b b x x xx Bx B AK AKx A Kx x a a a S Kx R K r Kx x b =≥=≤∴=⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪====⇒= ⎪⎪⎝⎭∴=∴==∴=⇒=∴L L LL LL Q L Q L 11证充分性则有同时，则b 线行无关.必要性.设令则则有线行无关,R A b ,,r b L 线行无关.10、评分细则：充分性,由题设推出()12,,,r R b b b L r =()R K r ⇒≥,且有()()R K r R K r ≤⇒=(4分).必要性,令()12r B b b b =L ,设0Bx =,则有0AKx =(2分),由题设推出0Kx =0x ⇒=(2分);所以12,,,r b b b K 线性无关(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：350 2、题型：综合题 3、难度级别：34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值：106、所需时间：8分钟7、试题关键字：可逆矩阵及分块运算 8、试题内容：已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足323A x Ax A x =-,且向量组2,,x Ax A x 线性无关.（1） 记()2,,P x Ax A x =，求3阶矩阵B ，使AP PB =；（2）问A 是否可逆，说明理由. 9、答案内容：2232222()()(3)000()103.011000103.011(2).,,,.0..A x AxA x Ax A xA x AxA xAx A x x Ax A x B AP PB A P P B x Ax Ax P A B A ⇒=-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭=⇒=∴==∴Q 解:(1)AP=PB =线性无关可逆则不可逆10、评分细则：由题设及矩阵的分块运算法,计算出B (6分);由AP PB A B =⇒=(2分);所以0A B A ==⇒不可逆(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：351 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：设4元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为3，123,,ηηη是它的3个解向量，且()()1232,3,4,5,1,2,3,4T Tηηη=+=，求该方程组的通解.9、答案内容：1312131131:.() 3.0,2()()0.34200.562334,.4556Ax b R A Ax Ax Ax Ax b c c ηηηηηηηηηη===+-=-+-=-⎛⎫ ⎪- ⎪+-=≠= ⎪- ⎪-⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪∴=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解设方程组为且对于其基础解系只含一个解.为的一个解而可以作为一个基础解系的通解为为任意常数 10、评分细则：由题设推出0Ax =的基础解系含一个解向量(2分);由题设得出0Ax =的一个非零解(2分);说明这非零解可以作为0Ax =的一个基础解系(2分);求出Ax b =的一个解(2分);得出Ax b =的通解(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：352 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：10分钟7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：设()()()123123123,,,,,,,,TTTa a ab b bc c c αβγ===，证明三直线11112222:0;0l a x b y c l a x b y c ++==++=；3333:0,l a x b y c ++=其中220,1,2,3i i a b i +≠=，相交于一点的充分必要条件为：向量组,αβ线性无关，而向量组,,αβγ线性相关. 9、答案内容：()()()()11122233333.2,,,2,,,2,;b b c R b R b c b b c R R R R αβαβγαβαβγαβα⎧⎪⇔⎨⎪⎩-⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⇔=-=⎨ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎩⎝⎭⎝⎭⇔=-=⇔==⇔1112223331111122222333证明:a x+b y+c =0三直线交于一点a x+b y+c =0有唯一解a x+b y+c =0a x+b y+c =0a a a x+b y+c =0有唯一解a a a x+b y+c =0a a 线性无关,,βγ线性相关.10、评分细则：由题设得出111222333000a xb yc a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解(2分)1111122222333332a b a b c R a b R a b c a b a b c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇔=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2分)()()()()22R R R R αβαβγαβαβγ⇔=-=⇔==(4分),αβ⇔线性无关,,,αβγ线性相关(2分)._____________________________________________________________________________1、试题序号：3532、题型：综合题3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：设矩阵()1234,,,A αααα=，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-.向量1234βαααα=-+-，求方程组Ax β=的通解.9、答案内容：()()()()12123412343412342341231234123412123434.11.11,,,2,,,,3,0x xx x x x Ax x x R R A Ax x x x x βααααααααββαααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=-⇒===⎛ ⎝Q Q 解：，且为的一个解又线性无关且线性相关则有所以，的基础解系只含一个非零解。

《经济数学基础》综合练习（线性代数）一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . TT T )(A B AB = C . 1T 11T)()(---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .TTT)(B A AB = C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B D .111)(---=A B AB4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）． A ．B AB = B ．BA AB = C ．I AA = D ．I A=-15．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --16．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立.A ．AB = AC ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BAD ．AB = 0，则有A = 0，或B = 08．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（ ）．A .kA -1B .11kA n- C . --kA 1D . 11k A - 9．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 11．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ ）．A . 无解B . 只有0解C . 有唯一解D . 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（）时线性方程组无解．A ．12B ．0C ．1D ．2 13． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（ ）.A . 有唯一解B . 可能无解C . 有无穷多解D . 无解14．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ ）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解15．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定二、填空题1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .2．计算矩阵乘积[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡10211000321= ．3．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B=．4．设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 ．5．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 时，A 是对称矩阵. 6．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆. 7．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X．8．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= ．9．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = ．10．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b．11．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ．12．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．13．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .14．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d A则当d 时，方程组AX b =有无穷多解.15．若线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，则AX =0 .三、计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I )2(T -．2．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T ．3．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613，求1-A ．4．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 5．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 6．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 7．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X ．8．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02115321X . 9．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+bax x x x x x x x 321321312022讨论当a ，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.10．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.11．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 12．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 13．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.14．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解.15．已知线性方程组b AX =的增广矩阵经初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→→300000331013611λ A问λ取何值时，方程组b AX =有解？当方程组有解时，求方程组b AX =的一般解.四、证明题1．试证：设A ，B ，AB 均为n 阶对称矩阵，则AB =BA ．2．试证：设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 3．已知矩阵 )(21I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B . 4. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，T AA I =，证明A 是对称矩阵.5．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．。

一、单项选择题1、已知3阶行列式D第1行的元素依次为1,2,-1，它们的余子式依次为2,-2,1，则D=A.-5B.-3C.3D.5D2、A.第1行的3倍加到第2行B.第2行的3倍加到第1行C.第1列的3倍加到第2列D.第2列的3倍加到第1列正确答案:C3、A.1B.2C.3D.4正确答案:B4、A.-2B.-1C.0D.1A5、A.-3B.-2C.2D.3正确答案:B6、已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则r(A)A.1B.2C.3D.4正确答案:C7、A.-1B.-2/3C.2/3D.1正确答案:A8、A.0B.1C.2D.3C 9、A.-108B.-12C.12D.108正确答案:D10、A.0B.1C.2D.-1正确答案:B11、A.2B.4C.8D.12正确答案:C12、A.-7B.-4C.4B13、A.1B.2C.3D.4正确答案:B14、A.13B.6C.5D.-5正确答案:D15、A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1,b=1正确答案:D16、A.-2C.1D.2A17、齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是矩阵A的A.列向量组线性相关B.列向量组线性无关C.行向量组线性相关D.行向量组线性无关B18、设非齐次线性方程组Ax=b,其中A为m*n阶矩阵，r(A)=r，则A.当r=n时，Ax=b有惟一解B.当r<n时，ax=b有无穷多解< p="" style="box-sizing: border-box;">C.当r=m时，Ax=b有解D.当m=n时，Ax=b有惟一解C19、设2阶矩阵A满足|2E+3A|=0,|E-A|=0,则|A+E|=A.-3/2B.-2/3C.2/3D.3/2C20、A.相似但不合同B.合同但不相似C.合同且相似D.不合同也不相似C21、A.相似且合同B.相似但不合同C.不相似但合同D.不相似且不合同正确答案:A22、A.1B.2C.3D.4正确答案:D 23、A.10B.2C.-10D.-2正确答案:A24、A.27B.243C.216D.81C25、A.3B.6C.9D.12正确答案:D26、若A,B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=A.5B.4C.3D.2正确答案:C27、A.6B.-6C.24D.-24正确答案:D28、A.m-nB.-m-nC.m+nD.-(m+n)正确答案:B29、A.-32B.-2C.2D.32正确答案:A30、A.1/2B.2C.4D.8正确答案:C31、A.8B.-8C.32D.-32正确答案:C32、A.a=4,b=0,c=1,d=4B.a=0,b=4,c=1,d=4C.a=4,b=0,c=4,d=1D.a=0,b=4,c=4,d=1正确答案:A33、设A,B,C均为n阶方阵，AB=BA，BC=CB,则BAC=A.ACBB.CABC.CBAD.BCA正确答案:A34、A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA正确答案:D35、A.4B.8C.12D.16正确答案:D36、A.-5B.-2C.2D.5正确答案:A37、A.1/nB.-1/nC.nD.-n正确答案:D 38、A.PAB.APC.QAD.AQ正确答案:B 39、A.(2,1,1)B.(0,-3,2)C.(1,1,0)D.(0,-1,0)B 40、A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1/2,b=2正确答案:D41、A.2B.-2C.4D.-4正确答案:B 42、A.1B.2C.3D.4正确答案:C 43、A.4B.3C.2D.1A 44、A.1B.2C.3D.4正确答案:D 45、A.3B.2C.1D.0正确答案:B 46、A.-2B.2C.-1D.1正确答案:A47、A.4B.3C.2D.1正确答案:B48、设A为5阶方阵，且r(A)=2，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是A.5B.4C.3D.2正确答案:C49、A.4B.3C.2D.1正确答案:C50、A.1B.2C.3D.4C。

经济数学基础线性代数综合练习题2016《线性代数》综合练习一、选择题1、若===),,(,3),,(,3),,,(3214324321ααααααααααr r r 则（）（A ）2；（B ）3；（C ）1或2或3；（D ）2或3 2、设A 、B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有（）。

（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关；（C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。

3、设A 为3阶方阵，将A 的第2行加到第3行后得到矩阵B ，则AB -1=（）。

（A ）??101001010；（ B ）100101010；（C ）110001010；（D ）-110010001。

4、下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（）。

（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量；（B ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（C ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。

5、已知=y x A 6364221，B 为三阶矩阵，且AB =O ，则有( )（A ）当y =3x 时，r(B )=1 （B ）当y =3x 时，r(B ) ≠2 （C ）当y ≠3x时，r(B )=1 （D ）当y ≠3x 时，r(B ) ≠26、设A 的伴随矩阵A *≠O ，若α1，α2，α3，α4是非齐次线性方程组β=AX 的互不相等的解，则齐次线性方程组AX =O 的基础解系（）（A ）不存在（B ）仅含一个非零解向量, (C) 含有两个线性无关的解向量(D) 含有三个线性无关的解向量7、设非奇异矩阵A 的各行元素之和为2，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（）。

《线性代数》综合练习题一、选择题1. 设A ，B 都是n 阶方阵，且AB=0，则必有（ ）.A.0=A 或0=BB.0=+B AC. 0||=A 或0||=BD. 0||||=+B A2. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且ABC=E,其中E 为n 阶单位方阵，则必有（ ）.A. ACB=EB. BC A =EC. CBA=ED. BAC=E3. 设A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 等价，则( ).A. R(A)=R(B)B. )det()det(B A =C. )det()det(B E A E -=-λλD. 存在可逆矩阵P,使B AP P =-14. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A （ ）. A.A A )det(1 B. 1)det(1-A A C.*)det(1A A D. A A *)det(1 5. 设方阵A 满足A 2-A -2E=0, 则必有（ ）.A.E A -=B. E A 2=C. A 可逆D. A 不可逆6. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=⋅|*|||A A （ ）.A. 1B. n A ||C. 1||-n AD. 1||+n A7. 设A,B 为n 阶方阵,则必有（ ）.A. AB=BAB. │A+B│=│A│+│B│C. │A -B│=│A│-│B│D. │AB│=│A││B│8.设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）.A. B A +一定可逆B. AB 一定可逆C . 11--B A 一定可逆 D. TT B A 一定可逆.9.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011可交换的是（ ）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2011 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2032 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121110.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 为非奇异矩阵的充要条件是（ ）. A. 0=-bc ad B. 0=-cd abC. 0≠-bc adD. 0≠-cd ab11.设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则必有（ ）.A. ||||A kA =B. ||||A k kA =C. ||||1A k kA n -=D. ||||A k kA n =12.下列说法正确的是（ ）.A. 设A 为n 阶方阵,且A 2=A ，则A=E 或A=0.B. 设A,B,C 为n 阶方阵, AB=AC 且A≠0，则B=C.C. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且AB=E ，CA=E ，则B=C.D. 设A 为n 阶方阵,且A 2=0，则A=0.13.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5321的逆矩阵是（ ）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1325 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5231 14.设A 为3阶方阵,|A|=3,则|3A -1|= ( ).A. 1B. -1C. 9D. -915. 设C B A ,,都是n 阶可逆矩阵，则=-1)(ABC ( ). A. 111---C B A B. 111---A C BC. 111---B A CD. 111---A B C16. 设A 是一个3阶的反对称矩阵，则|A|= ( ).A. -1B. 0C. 1D. 无法确定17.设α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321a a a ,β],,[321b b b =,)3,2,1(0,0=≠≠i b a i i ,则方阵A=αβ的秩为( ).A. 0B. 1C. 2D. 318.如果向量组线性相关，那么( ).A. 这个向量组中至少有一个零向量.B. 这个向量组中至少有两个向量成比例.C. 这个向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.D. 这个向量组中所有向量都可以由其余向量线性表示.19.下列说法正确的是( ).A. 等价的向量组含有相同的向量个数.B. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有一个零向量.C. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有两个向量成比例.D. n 维单位向量组是线性无关的.20.设向量组α1],0,0,1[=α2],1,0,0[=则β=( )时,它是α1, α2的线性组合.A. ]2,1,0[B. ]0,2,1[C. ]2,0,1[D. ]0,1,2[21.向量组α1，α2，… ，αm 的秩不为0的充要条件是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个非零向量.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中至多有一个非零向量.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中全部是非零向量.D. 向量组α1，α2，… ，αm 线性无关.22.设向量组α1，α2，… ，αm 的秩为)2(-≤m r r ,则下列说法错误的是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个含r 个向量的部分组线性无关.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中含r 个向量的部分组都线性无关.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中含1+r 个向量的部分组都线性相关.D. 向量组α1，α2，… ，αm 中含2+r 个向量的部分组都线性相关.23.设α1，α2，α3为3阶方阵A 的列向量组,则α1，α2，α3线性无关的充要条件是( ).A. │A│0≠B. A 的秩3)(<A RC. 方阵A 不可逆D. 方阵A 是奇异的24. 下列说法错误的是( ).A.1+n 个n 维向量必相关.B. 等价的向量组有相同的秩.C. 任一n 维向量一定可由n 维单位向量组线性表示.D. 零向量不可以由n 维单位向量组线性表示.25. 若R （A ）=2，则5元齐次线性方程组A x =0的基础解系中有( )个向量。

经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷10(总分52, 做题时间90分钟)计算题1.设|A|为4阶行列式，αi(i=1，2，3，4)为其列向量，则下列行列式与2|A|等值的是( )．SSS_SINGLE_SELA|α4，α3，α2，α1|+|α3，α4，α1，α2|B|2α1，α2，α3，α3C|α1，α2，α3，α4|+|α1，α4，α3，α2|D|α1，α2，α3+α1，α4| 分值: 2答案:A解析：通过两列之间对换，将选项中行列式各列排列的顺序恢复到原行列式的结构形式．选项A，|α4，α3，α2，α1|需要对换的次数等于其列标排列的逆序数，即τ(4321)=6(次)，因此，由行列式对换行(列)位置，行列式变号的性质，有|α4，α3，α2，α1|=(－1) τ(4321) |A|=|A|，类似地，|α3，α4，α1，α2|=(－1) τ(3412) |A|=|A|，|α4，α3，α2，α1|+|α3，α4，α1，α2|=2|A|，故选A．选项B，式中有两列相同，故|2α1，α2，α3，α3|=0．选项C，|α1，α2，α3，α4|+|α1，α4，α3，α2|=|α1，α2，α3，α4|+(－1)τ(1432)|α1，α2，α3，α4|=|A|－|A|=0．选项D，|α1，α2，α3+α1，α4|=|α1，α2，α3，α4|+|α1，α2，α1，α4|=|α1，α2，α3，α4|=|A|．2.设D= ，Aij 为D中元素aij的代数余子式，则A13+2A23+3A33=( )．SSS_SINGLE_SEL ABCD分值: 2答案:C解析：选项C，本题计算的是行列式中第三列代数余子式的代数和，其值等于将组合系数1，2，3分别置换行列式中的第三列元素a13，a23，a33得到的行列式，即 A13 +2A23+3A33故选C．类似地，选项A，=A31+2A32 +3A33．=A31－2A32+3A33．=A13－2A23+3A33．求行列式某行(列)的代数余子式的代数和的定值问题是常见题型，一般地，一个n阶行列式的第k行(列)的代数余子式的代数和a1 Ak1+a2Ak2+…+anAkn(b1 A1k+b2A2k+…+bnAnk)等于将线性组合系数a1，a2，…，a2(b1，b2，…，bn)置换第k行(列)对应位置上的元素后得到的行列式．3.已知A为3阶矩阵，且|A|=－2，则|2(A * ) －1 +(A * ) * |=( )．SSS_SINGLE_SELA 6B －6C 54D －54分值: 2答案:C解析：由|A|=－2知A可逆，且A * |A|A －1 =－2A －1，从而有 (A * ) －1=(－2A －1 ) －1 =－1／2A，(A * ) * =|A * |(A * ) －1 =|A| 3－1 (－1／2A)=－2A，因此得|2×(－1／2A)+(－2A)||－3A|=(－3) 3×(－2)=54，故选C．4.设A为n阶可逆方阵，k为非零常数，则有( )．SSS_SINGLE_SELA(kA) －1 =kA －1B(kA) T =k(A) TC |kA|=k|A|D(kA) * =kA *分值: 2答案:B解析：选项B，由kA=(kaij )，(kA) T =(kaij) T =(kaji)=k(aji)=kA T，正确，故选B．选项A，由kA －1 kA=k 2 A －1 =k 2 E，知(kA) －1≠kA －1．正确的结论是(kA) －1 =k －1 A －1．选项C，由|kA|=I(kaij)I=k n |A|，知|kA|≠k|A|．选项D，由伴随矩阵的性质，应有kA(kA) * =|kA|E=k n|A|E，但若(kA) * =kA *成立，则有kA(kA) * =kAkA * =k 2 AA * =k 2 |A|E，显然不等于k n |A|E，正确的结论是(kA) * =k n－1 A *．5.若n阶矩阵A满足方程A 2－2A+E=O，则下列结论不正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA A非奇异B A－2E非奇异C A+E非奇异D A=E分值: 2答案:D解析：将矩阵方程整理为A(2E－A)=E，两边取行列式 |A||2E－A|=|E|=1≠0，从而有|A|≠0，{2E－A}≠0，知A，A－2E非奇异．类似地，将矩阵方程整理为(A+E)(A－3E)=－4E，两边取行列式 |A+E||A－3E|=|－4E|=(－4) n≠0，从而有|A+E|≠0，|A－3E|≠0，知A+E，A－3E非奇异．综上，知选项A，B，C 均正确．由排除法，故选D．6.设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为( )．SSS_SINGLE_SELABCD分值: 2答案:D解析：依题设，AE(1，2)=B，BE(23(1))=C，即有AE(1，2)E(23(1))=C，记Q=E(1，2)E(23(1))由于初等矩阵可逆，因此，Q可逆，且AQ=C，故选D．7.设A为4阶方阵，且|A|=0，则( )．SSS_SINGLE_SELA A中至少有两个行(列)向量线性相关B A中任意一行(列)向量都可以表为其余向量的线性组合C A必有一行(列)向量可以表为其余向量的线性组合D A的行(列)向量组不存在部分无关向量组分值: 2答案:C解析：选项C，|A|=0，表示其行(列)向量组线性相关，其充分必要条件是必有一行(列)向量可以表为其余向量的线性组合，故选C．选项A和D，4阶矩阵中所有向量两两线性无关仍然可能整个向量组线性相关，如取列向量组α1=(－1，0，0，1) T，α2 =(1，－1，0，0) T，α3=(0，1，－1，0) T，α4 =(0，0，1，－1) T，它们两两线性无关，但α1，α2，α3，α4线性相关，且|α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 |=0． 选项B ，A 中任意一行(列)向量都可以表为其余向量的线性组合是其向量组线性相关的充分而非必要条件． 8.设α 1 =(1，1，－2) T ，α 2 =(2，1，－1) T ，α 3 =(0，a ，6) T ，若向量组α 1 ，α 2 ，α 3 的秩为2，则a=( )．SSS_SINGLE_SELA －2B －1C 1D 2分值: 2 答案:A解析：若向量组α 1 ，α 2 ，α 3 的秩为2，则 |α 1 ，α 2 ，α 3 | =－3a －6=0， 解得a=－2．故选A ． 9.设α 1 ，α 2 ，…，α s 与β 1 ，β 2 ，…，β t 是n 维列向量组，秩分别为r 1 ，r 2 ，于是( )．SSS_SINGLE_SELA若α 1 ，α 2 ，…，α s 可以被β 1 ，β 2 ，…，β t 线性表示，则s≥tB若α 1 ，α 2 ，…，α s 可以被β 1 ，β 2 ，…，β t 线性表示，则s≤tC若α 1 ，α 2 ，…，α s 可以被β 1 ，β 2 ，…，β t 线性表示，则r 1 ≥r 2D若α 1 ，α 2 ，…，α s 可以被β 1 ，β 2 ，…，β t 线性表示，则r 1 ≤r 2分值: 2 答案:D解析：选项C ，D ，不妨设α 1 ，α 2 ，…， ；β 1 ，β 2 ，…， 分别为α 1 ，α 2 ，…，α s 与β 1 ，β 2 ，…，β t 的最大无关组，若α 1 ，α 2 ，…，α s 可以被β 1 ，β 2 ，…，β t 线性表示，也即α1，α 2 ，…， 可以被β 1 ，β 2 ，…， 线性表示，则r 1 ≤r 2，若不然，个数多的向量组α 1 ，α 2 ，…，可被个数少的向量组β1，β 2 ，…， 线性表示，必线性相关，与α 1 ，α 2 ，…， 是最大无关组矛盾，C 不正确．故选D ． 选项A ，B ，α 1 ，α 2 ，…，α s 与β 1 ，β 2 ，…，β t 之间能否线性表示与向量个数无关．设A为m×n矩阵，且r(A)=r，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则有( )．SSS_SINGLE_SELA m＞nB m＜nC m＞rD r＜n分值: 2答案:D解析：选项D，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是r(A)＜n，故选D．选项A，m＞n，表示方程组Ax=0的方程个数大于未知量的个数，与该方程组解的状态没有直接关系．选项B，m＜n表示方程组Ax=0的方程个数小于未知量的个数，必定含有自由未知量，因此，该方程组必有非零解．但该方程组有非零解未必方程个数小于未知量的个数．选项C，m＞r，表示方程组Ax=0含有多余方程，在消元过程中必定会被消去，与该方程组解的状态没有直接关系．11.设A为n(n＞2)阶矩阵，A *为A的伴随矩阵，则方程组A * x=0的基础解系含无关解的个数不可能是( )．SSS_SINGLE_SELA nB n－1C 1D 0分值: 2答案:C解析：对于n阶矩阵A，当r(A)=n时，r(A * )=n；当r(A)=n－1时，r(A* )=1；当r(A)＜n－1时，r(A * )=0．即r(A * )所有可能取值为0，1，n，故齐次线性方程组A * x=0的基础解系所含无关解的个数为0，n－1和n．故选C．12.设A=，α是2维非零列向量，若r=r(A)，则线性方程组( )．SSS_SINGLE_SELA Ax=α必有无穷多解B Ax=α必有唯一解C =0仅有零解D =0必有非零解分值: 2解析：选项D，依题设，r=r(A)＜3，知方程组=0必有非零解，故选D．同时知选项C不正确．选项A，B，依题设，r=r(A)，又A和(A，α)分别是(A，α)和的子块，于是有r(A)≤r(A，α)≤r=r(A)，即有r(A，α)=r(A)．因此，非齐次方程组Ax=α有解，但不能确定Ax=0是否有非零解，故无法确定Ax=α解的个数，所以选项A，B不正确．13.设A为m×n矩阵，r(A)＜n，P为m阶可逆矩阵，则( )．SSS_SINGLE_SELA PAx=0与Ax=0的解之间没有关联B PAx=0的解一定是Ax=0的解，但反之不然C Ax=0的解一定是PAx=0的解，但反之不然D PAx=0与Ax=0为同解方程组分值: 2答案:D解析：关键在于两方程组非零解之间的关系，若η是方程组Ax=0的非零解，即有Aη=0，也必有PAη=0，因此，η也必定是方程组PAx=0的解．反之，若η是方程组PAx=0的非零解，即有PAη=0，因为P为可逆矩阵，也必有Aη=0，因此，η也必定是方程组Ax=0的解．从而知PAx=0与Ax=0为同解方程组，综上，知选项A，B，C均不正确，故选D．14.计算行列式SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：解法1 =x 2 y 2．解法2 =x(－y 2 +xy 2 )，所以原行列式=x 2 y 2．15.已知方程=0有二重根，求满足条件的常数a及方程的根．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：=(λ－2)(λ 2－6λ+5+a 2 )=0，知方程至少有一实根λ=2．于是，若λ=2为二重根，则将λ=2代入λ 2－6λ+5+a 2 =0应有a 2=3，得a=± ．此时另一根为λ=4．若不然，则λ 2－6λ+5+a 2 =0有两个相等实根，由△=0有a 2 =4，得a=±2．此时，方程有二重根λ=3，单重根λ=2．综上，当a=± 时，方程有二重根λ=2，单重根λ=4；当a=±2时，方程有二重根λ=3，单重根λ=2．16.设A，B为n阶矩阵，满足A T A=B T B=E，且|A|+|B|=0，计算|A+B|．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：由于A T A=B T B=E，也有AA T =E，|A T A|=|A| 2 =1，得|A|=±1，同理，有|B|=±1．又因|A|+|B|=0，知|A|，|B|异号，不妨设|A|=1，|B|=－1，从而有 |A+B|=|AB T B+AA T B|=|A||B T +A T ||B| =－|(A+B) T |=－|A+B|，即有等式2|A+B|=0，因此得 |A+B|=0．17.已知α=(1，2，3)，β=(1，1／2，1／3)，A=α T B，若A满足方程A 3－2λA－λ 2 A=O，求解λ的取值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：对于非零行向量α=(1，2，3)，β=(1，1／2，1／3)，根据矩阵乘法定义，A=α Tβ 而βα T =3，于是，利用矩阵乘法的结合律，对于正整数k，有A k=(βα T ) k－1α Tβ=3 k－1 A，从而有A 3 =3 2 A，A 2 =3A，因此得方程 9A－6λA－λ 2 A=(9－6λ－λ 2 )A=O，由于A≠O，因此，必有9－6λ－λ 2 =0，解得λ=－3±3 ．18.设A，P均为3阶矩阵，P T为P的转置矩阵，且P T AP= ，若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2－α3，α3)，求Q T AQ．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：由Q=(α1+α2，α2－α3，α3) 于是有Q T AQ19.设分块矩阵X= ，其中A1，A2为n×n的可逆矩阵，α1，α2为n×1的矩阵，β1，β2为1×n的矩阵，k为实数，求k的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：依题设知，XX －1 =E，即由②得k=1－β1α2，由①得α2=－kA1－1α1，所以k=1+kβ1A1－1α1，从而得 k=1／(1－β1A1－1α1)．设A=(α1，α2，α3)，α1，α2，α3为A的各列元素构成的子块．SSS_TEXT_QUSTI20.求B=A T A；分值: 2答案:正确答案：B=A T ASSS_TEXT_QUSTI21.若r(B)=3，求r(A)．分值: 2答案:正确答案：若r(B)=3，则B为满秩矩阵，即有 |B|=|A T A|=|A T ||A|=|A| 2≠0，从而知|A|≠0，因此r(A)=3．22.设向量组α1 =(1，1，0) T，α2=(1，0，1) T，α3=(2，1，1) T，α4=(0，－1，1) T，试求其中的一个部分向量组，使得该部分向量组与原向量组为等价向量组，且向量个数最少．满足条件的向量组是否唯一?SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：解法1从一个无关部分组出发，逐步添加向量．显然，向量α1，α2不成比例，为无关部分组，于是，从α1，α2出发，逐个添加向量，由|α1，α2，α3|= =0，|α1，α2，α4|= =0。

经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）-试卷3(总分74, 做题时间90分钟)2. 逻辑推理单项选择题1.设n阶方阵A，B，C满足ABC=I，I表示相应的单位矩阵，则下列各式中必成立的是( )。

SSS_SINGLE_SELA ACB=IB CBA=IC BAC=ID BCA=I该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：由ABC=I，则(A)(BC)=I，即BCA=I，即应选择D。

2.设A为N阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A 3 =O，则( )。

SSS_SINGLE_SELA E—A不可逆，E+A可逆B E—A不可逆，E+A也不可逆C E—A可逆，E+A可逆D E—A可逆，E+A不可逆该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C3.设A，B，A+B，A -1 +B -1均为n阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =( )。

SSS_SINGLE_SELA A+BBA -1 +B -1CA(A+B) -1 BD(A+B) -1该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C4.SSS_SINGLE_SELAAP1 P2BAP1 P3CAP3 P1DAP2 P3该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B5.设A，B为n阶矩阵，A*，B*分别为A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵，则C的伴随矩阵C*=( )。

SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：由于所以当A可逆时，A*=|A|A -1。

答案应选择D。

6.设矩阵B=已知矩阵A相似与矩阵B，则r(A一2E)+r(A—E)=( )。

SSS_SINGLE_SELA 2B 3C 4D 5该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：因为矩阵A相似与矩阵B，所以存在可逆矩阵P，使得 B=P -1 AP，从而B一2E=P -1 (A一2E)P，B—E=P -1 (A—E)P 即B一2E与A一2E相似，B—E与A—E相似，由于相似矩阵具有相同的秩，即r(A一2E)+r(A—E)=4 故本题应选择C。

经济数学基础 线性代数部分综合练习（霍长荣）一、单项选择题1．设A 为23´矩阵，B 为32´矩阵，则下列运算中（矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）A . TTT)(B A AB = B . TTT)(A B AB =C . 1T 11T )()(---=B A AB D . T111T )()(---=B A AB3．以下结论或等式正确的是（．以下结论或等式正确的是（ ）． A ．若B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若AC AB =，且O A ¹，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵．对角矩阵是对称矩阵 D ．若O B O A ¹¹,，则O AB ¹ 4．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --15．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（＝（）． A ．úûùêëé--6231 B ．úûùêëé--6321 C ．úûùêëé--5322 D ．úûùêëé--5232 6．设úúúûùêêêëé----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）．A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为úúúúûùêêêêëé--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．线性方程组îíì=+=+012121x x x x 解的情况是（解的情况是（ ）． A . 无解无解 B . 只有0解 C . 有唯一解有唯一解 D . 有无穷多解有无穷多解B=．．件是 . 件是)= ．b． ．未知量的个数等于 ．未知量的个数等于．11．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为úúúûùêêêëé--=000020103211A 则此方程组的一般解为的一般解为 .12．设线性方程组b AX =，且úúúûùêêêëé+-®010********1t A ，则__________t 时，方程组有唯一解. 三、计算题1．设矩阵A =úúúûùêêêëé-012411210，求逆矩阵1-A ． 2．设矩阵A =úúúûùêêêëé----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ． 3．设矩阵．设矩阵 A =úúúûùêêêëé-022011，B =úûùêëé--210321，计算(BA )-1． 4．设矩阵úûùêëé=úûùêëé=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =． 5．设线性方程组．设线性方程组 ïîïíì=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况判断其解的情况..6．求线性方程组ïîïíì=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．的一般解．7．求线性方程组ïîïíì=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解．的一般解． 8．设齐次线性方程组．设齐次线性方程组ïîïíì=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x l 问l 取何值时方程组有非零解，并求一般解取何值时方程组有非零解，并求一般解. .9．当l 取何值时，线性方程组ïîïíì=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x l 有解？并求一般解有解？并求一般解..参考解答参考解答一、单项选择题 1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．A 8．A 9．B 10．D 11．B 12．C二、填空题 1．úûùêëé---264132 2．úûùêëé--2240 3．B A ,交是可交换矩换矩阵阵 4．0 5．A B I 1)(-- 6．n 7解．无解 8．-1 9．n – r 10. 3 11．îíì=--=4243122x x x x x (其中43,x x 是自由未知量) 12．1-¹三、计算题1．解：因为．解：因为(A I ) =úúúûùêêêëé---®úúúûùêêêëé-120001010830210411100010001012411210 úúúûùêêêëé----®úúúûùêêêëé---®123124112200010001123001011200210201 úúúûùêêêëé----®2112312411210001001 所以所以 A -1=úúúûùêêêëé----211231241122．解：因为．解：因为 úúûùêêëé-=+021501310A I且 úúúûùêêêëé---®úúúûùêêêëé-110520001310010501100021010501001310 úúúûùêêêëé-®112100001310010501úúúûùêêêëé-----®1121003350105610001所以所以 úúúûùêêêëé-----=+-1123355610)(1A I 3．解：因为．解：因为BA =úûùêëé--210321úúúûùêêêëé-022011=úûùêëé--2435 (BA I )=úûùêëé--®úûùêëé--1024111110240135 úûùêëé---®54201111úúûùêêëé--®2521023101 所以所以 (BA )-1=úúûùêêëé--252231 4．解：因为．解：因为úûùêëé10530121úûùêëé--®13100121 úûùêëé--®13102501 即úûùêëé--=úûùêëé-132553211所以，X =153213221-úûùêëéúûùêëé=úûùêëé--úûùêëé13253221= úûùêëé-1101 5．解：因为．解：因为=9491==491úúúûùêêêëé---®úúúûùêêêëé--=26102610111115014121111l l Aúúúûùêêêëé--®l 00026101501 所以当l =0时，线性方程组有无穷多解，时，线性方程组有无穷多解， 且一般解为：îíì+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕是自由未知量〕。

经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷8(总分54, 做题时间90分钟)计算题1.设多项式f(x)= ，则f(x)的4阶导数f (4) (x)=( )．SSS_SINGLE_SELA 72B 18C －18D －72该问题分值: 2答案:A解析：根据行列式的各项由不同行不同列的元素组成的规则及行列式中含有变量x的各元素的位置，可知该行列式为四次多项式，因此，求解的关键是找出含x 4的项，显然，该项在行列式副对角线的元素乘积中产生，即为3x 4，从而得到f (4) (x)=72，故选A．2.设函数f(x)=，则方程f'(x)=0( )．SSS_SINGLE_SELA 有一个大于1的根B 有小于1的正根C 有一个负根D 无实根该问题分值: 2答案:B解析：根据行列式的一般项由不同行不同列元素组成的规则，函数f(x)为二次多项式，存在唯一驻点．又f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且由罗尔定理可知，存在一点ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=0，即方程f'(x)=0有小于1的正根．故选B．3.设A，B均为n阶矩阵，且A可逆，下列结论正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 若A=2B，则|A|=2|B|B|B|=|A －1 BA|C |A－B|=|B－A|D |AB|=－|BA|该问题分值: 2答案:B解析：选项B，由矩阵和行列式的关系，|A －1 BA|=|A －1 ||B||A|=|B|，其中|A －1 ||A|=1，故选B．选项A，由|A|=|2B|=2 n |B|，知|A|≠2|B|．选项C，由|A－B|=|－(B－A)|=(－1) n |B－A|，知|A－B|≠|B－A|．选项D，由|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|，知|AB|≠－|BA|．4.设A为m×n矩阵，E为m阶单位矩阵，则下列结论不正确的是( )．SSS_SINGLE_SELAA T A是对称矩阵BAA T是对称矩阵CA T A+AA T是对称矩阵DE+AA T是对称矩阵该问题分值: 2答案:C解析：选项C，由题设，A T A是n阶方阵，AA T是m阶方阵，两者加法运算不成立，故选C．选项A，由(A T A) T =A T (A T ) T =A T A，知A T A是对称矩阵．选项B，由(AA T ) T =(A T ) T A T =AA T，知AA T是对称矩阵．选项D，两个m阶对称矩阵AA T和E构成的矩阵仍是对称矩阵．5.设A为可逆矩阵，则[(A －1 ) T ] －1 =( )．SSS_SINGLE_SELA ABA －1CA TD(A －1 ) T该问题分值: 2答案:C解析：由(A －1 ) T (A T )=(AA －1 ) T =E，知[(A －1 ) T ] －1 =A T．故选C．6.设A为3阶非零方阵，Aij 为aij的代数余子式，且aij=Aij(i，j=1，2，3)，则( )．SSS_SINGLE_SELA |A|=0B |A|=1C |A|＜0D A=E该问题分值: 2答案:B解析：选项B，由A≠O，知至少有一个元素非零，不妨设a11≠0，于是有|A|=a11 A11+a12A12+a13A13=a112 +a122 +a132＞0，又由A=(aij )=(Aij)=(A * ) T，A T =A *，即有|A－=|A * |=|A| 2，从而得|A|=1．因此，选项A和C均不正确，故选B．选项D，见反例：取A= ，同样满足条件aij =Aij(i，j=1，2，3)，但A≠E．7.设α1 = ，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组一定线性相关的为( )．SSS_SINGLE_SEL Aα1，α2，α3Bα1，α2，α4Cα1，α3，α4Dα2，α3，α4该问题分值: 2答案:C解析：本题主要考查数值向量组的线性相关性．在维数与向量组向量个数相同时，应采用行列式的值是否为零判别最简便，由|α1，α3，α4|=0．知α1，α3，α4线性相关．另外，由观察可知(c3+c4)α1=c1(α3+α4)，从而知α1，α3，α4线性相关，故选C．8.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．SSS_SINGLE_SELAα1－α2，α2－α3，α3－α1Bα1+α2，α2+α3，α3+α1Cα1－α3，α3－α2，α2+α1Dα1，α2－α3，α2+α3答案:A解析：选项A，两向量组的关系可表示为(α1－α2，α2－α3，α3－α1 ) 其中转换矩阵为A1且由|A1|=0，知该向量组线性相关．故选A．选项B，由(α1+α2，α2+α3，α3+α1) 其中转换矩阵为A2且由|A2|=2≠0，知该向量组线性无关．选项C，由(α1－α3，α3－α2，α2+α1) 其中转换矩阵为A3且由|A3|=－2≠0，知该向量组线性无关．选项D，由(α1，α2－α3，α2+α3 ) 其中转换矩阵为A4且由|A4|=2≠0，知该向量组线性无关．讨论由线性无关向量组α1，α2，…，αs的线性组合生成的向量组β1，β2，…，βs的线性相关性，应该引入转换矩阵A，化为(β1，β2，…，βs)=(α1，α2，…，αs)A．于是，β1，β2，…，βs线性相关(线性无关)的充分必要条件是|A|=0(|A|≠0)．找对转换矩阵A就找到了解决问题的关键．9.设A为m×n矩阵，若方程组Ax=b有唯一解，则A的( )．SSS_SINGLE_SELA 行向量组线性无关B 行向量组线性相关C 列向量组线性无关D 列向量组线性相关该问题分值: 2答案:C解析：非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，其充分必要条件是r(A)=r(Ab)=n，从而知A的列向量组线性无关．故选C．10.设A为3阶矩阵，A *为A的伴随矩阵，β1，β2，β3；e1，e2，e3分别是矩阵A *和E的列向量，若|A|=1，则下列结论不正确的是( )．SSS_SINGLE_SELAβ1是方程组Ax=e1的解Bβ2是方程组Ax=e2的解Cβ3是方程组Ax=e3的解D方程组Ax=ei(i=1，2，3)未必有解答案:D解析：选项D，依题设，|A|=1≠0，则方程组Ax=ei(i=1，2，3)必定有解，且有唯一解，故结论不正确．选之．由于A可逆，因此，A *也可逆，且AA *=|A|E=E，即有A(β1，β2，β3)=(e1，e2，e3)，Aβi=ei(i=1，2，3)，所以选项A，B，C均正确．11.设Ax=b为三元非齐次线性方程组，r(A)=2，且ξ1，ξ2是方程组的两个不同的特解，C，C1，C2为任意常数，则该方程组的全部解为( )．SSS_SINGLE_SEL AC(ξ1－ξ2)+BC(ξ1+ξ2)+CC(ξ1－ξ2)+ξ1+ξ2DC1ξ1+C2ξ2该问题分值: 2答案:A解析：选项A，依题设，该方程组导出组Ax=0的基础解系由一个无关解构成，具体可用原方程组的两个不等解的差ξ1－ξ2表示，又1／2A(ξ1+ξ2 )=1／2(b+b)=b，知是原方程组的一个特解，从而确定C(ξ1－ξ2)+是Ax=b的通解．故选A选项B，由于ξ1+ξ2并非方程组导出组Ax=0的解，也非方程组Ax=b的解，因此，C(ξ1+ξ2)+ 不符合方程组Ax=b解的结构形式．选项C，虽然ξ1－ξ2为方程组导出组Ax=0的基础解系，但ξ1+ξ2非方程组Ax=b的解，因此，C(ξ1－ξ2)+ξ1+ξ2不符合方程组Ax=b解的结构形式．选项D，由于A(C1ξ1+C2ξ2)=C1Aξ1 +C2Aξ2=(C1+C2)b不一定等于b，因此，C1ξ1+C2ξ2不一定是方程组Ax=b的解．12.设方程组(Ⅰ) (Ⅱ)－x1 +x2－x3=0，则( )．SSS_SINGLE_SELA 当a=2时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组B 当a=1时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组C 当a=0时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组D 无论a取何值，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)均不是同解方程组答案:D解析：两个方程组为同解方程组的必要条件是系数矩阵的秩相等，无论a取何值，方程组(Ⅰ)中的两个方程的系数均不成比例，因此，其系数矩阵的秩为2，而方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩为1，所以，这两个方程组不可能为同解方程组．故选D．13.计算行列式其中a0 a1…an≠0．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：由于a0 a1…an≠0，于是将第j(j=2，3，…，n+1)列的－1／aj－1倍加至第1列，即得=(a－)a1a2…an．设A，P为4阶方阵，且P可逆．SSS_TEXT_QUSTI14.证明|E－A|=|E－P －1 AP|；该问题分值: 2答案:正确答案：由P －1 (E－A)P=P －1 EP－P －1 AP=E－P －1 AP，两边取行列式，有 |P －1 (E－A)P|=|P －1 ||E－A||P|=|E－A|=|E－P －1 AP|，证得|E－A|=|E －P －1 AP|．SSS_TEXT_QUSTI15.若P －1 AP=kE，计算|E－A 2 |．该问题分值: 2答案:正确答案：若P －1 AP=kE，则(P －1 AP) 2 =P －1 A 2 P=k 2 E，于是，由(1)，得 |E－A 2 |=|E－P －1 A 2 P|=|E－k 2 E|=|(1－k 2 )E|=(1－k 2 ) 4．16.求与A=可交换的一切矩阵．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2正确答案：若A，B可交换，则有AB=BA，而从而有 x11 +x21=x11，x12+x22=x11+x12，x13+x23=x12+x13， x21+x31=x21，x22+x32 =x21+x22，x23+x33=x22+x23， x31=x31，x32=x31+x32，x33=x32 +x33，解得x21=0，x31=0，x32=0，x11=x22=x33，x12=x23，令x11 =x22=x33=a，x12=x23=b，x13=c，其中a，b，c为任意常数．则所求矩阵为17.设A，B均为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，已知AB=2A+2B，B=，求A－E．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：已知AB=2A+2B，整理得 (A－E)(B－2E)=2E+B，其中B－2E= ，由|B－2E|=1≠0，知B－2E可逆．解法1先求逆矩阵，再求解A－E．得 (B－2E) －1因此，解得 A－E=(2E+B)(B－2E) －1解法2直接利用初等列变换，由18.设A，B为3阶方阵，且满足方程A －1 BA=6A+BA，A= ，求B．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：方程两边同时左乘矩阵A和右乘矩阵A －1，整理为(E－A)B=6A，由于可知E－A可逆，故有 B=6(E－A) －1 A19.设A=，矩阵C满足．AC=B，求C．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：由题设，C为3×2的矩阵，设C由AC=B，有其中a，b为任意常数．设向量组α1 =(1，0，2，3) T，α2=(2，－1，0，1) T，α3=(－1，2，a，5) T，α4 =(3，－1，7，a+5) T．问a取何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关；a取何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：设一组数k1，k2，k3，k4，使得 k1α1+k2α2+k3α3 +k4α4=0．有方程组其系数行列式=－(a－1)(a－4)，可知当a=1或a=4时，方程组有非零解，即向量组α1，α2，α3，α4线性相关；当a≠1且a≠4时，方程组仅有零解，即向量组α1，α2，α3，α4线性无关．21.已知向量组α1，α2，α3和向量组β1，β2，β3，且若α1，α2，α3线性无关，试求向量组β1，β2，β3的秩．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：由(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3) ，其转换矩阵为A= ，由于α1，α2，α3线性无关，则有r(β1，β2，β3)=r(A)．于是，由=(m+4)(m－2) 2，知当m≠－4且m≠2时，|A|≠0，即r(A)=3；当m=－4时，有知r(A)=2；当m=2时．有知r(A)=1．所以r(β1，β2，β3)解析：当一个向量组β1，β2，β3被一个线性无关向量组α1，α2，α3线性表示时，在找到两向量组转换关系(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)A的前提下，有结论：r(β1，β2，β3)=r(A)．22.设向量β可以被向量组α1，α2，…，αm线性表示但不可以被向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αm－1线性表示，若记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm－1，β．试讨论αm能否被向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)线性表示?SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2正确答案：依题设，β可以被向量组α1，α2，…，αm表示，即存在一组数k1，k2，…，km，使得β=k1α1+k2α2+…+km－1αm－1+kmαm ，(*) 其中km≠0，否则β可以被向量组(Ⅰ)表示，与题设矛盾．因此有αm =－1／km(k1α1+k2α2+…+km－1αm－1－β)，即αm能被向量组(Ⅱ)线性表示．由(*)可以判断αm不能被向量组(Ⅰ)表示，否则，若αm 可被向量组(Ⅰ)表示，则必存在一组数l1，l2，…，lm－1，使得αm =l1α1+l2α2+…+lm－1αm－1，将其代入等式(*)，由此β可表为(Ⅰ)的线性组合，与题设矛盾．综上讨论，αm能被向量组(Ⅱ)表示，但不能被向量组(Ⅰ)表示．23.设A为4阶方阵，且各行元素之和均为零，若r(A)=3，试求齐次线性方程组Ax=0的通解．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：依题设，r(A)=3，知齐次线性方程组Ax=0有非零解，且基础解系由4－r(A)=1个解向量构成．又A的各行元素之和为零，即等价于因此，ξ=(1，1，1，1) T是方程组Ax=0的一个非零解向量，并构成一个基础解系．于是方程组Ax=0的通解为x=Cξ，C为任意常数．24.已知非齐次线性方程组有解，试确定常数k的值，并求解方程组．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：方程组增广矩阵为已知方程组有解，即有r( )=r(A)≤2，因此，=(－3－1)(－3－k)(k－1)=0，得k=1或k=－3，于是，当k=1时，由知原方程组无解．当k=－3时，由知原方程组有唯一解．其解为x1 =0，x2=1．已知方程组有3个线性无关解向量．SSS_TEXT_QUSTI25.证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；该问题分值: 2正确答案：由题设，方程组有3个线性无关解，则有4－r(A)+1≥3，即r(A)≤2，又由≠0，即系数矩阵中至少有一个2阶子式非零，则r(A)≥2．综上，r(A)=2．SSS_TEXT_QUSTI26.求a的值及方程组的通解．该问题分值: 2答案:正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有由于r(A)=2，有a=2．此时解得方程组的通解为 C1，C2为任意常数．27.设线性方程组求方程组的全部解，并用对应齐次线性方程组的基础解系表示全部解．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：初等变换法求解．即有于是，当λ≠1／2时，=3＜4，知方程组有无穷多解，且基础解系有一个无关解，记为ξ=(－1，1／2，－1／2，1) T，通解为x=Cξ+(1，－1，1，－1) T，C为任意常数．当λ=1／2时，=2＜4，知方程组有无穷多解，且基础解系有两个无关解，记为ξ1=(－1／2，－1，0，1) T，ξ2 =(1，－3，1，0) T，通解为 x=C1ξ1+C2ξ2 +(1，－1，1，－1) T，C1，C2为任意常数．1。