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大学高数课件——极限存在准则两个重要极限连续复利

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极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式

极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式

x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 I和准则 I'称为夹逼准则.
注 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn ,
并且 yn与zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x
2 n
1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
t t 1
t 1
lim(1 1 )x e
x
x
令t 1, x
lim(1
1
x)x
lim(1
1)t
e.
x0
t
t
1
lim(1 x) x e
x0
三、连续复利
设本金为 A0 ，年利率为 r ，则
一年末的本利和 A1 A（0 1 r)
二年末的本利和 A2 A（1 1 r) A0 (1 r)2
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x 0
)
(或

高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件

高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件
2023
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03

大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利

大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利

两个重要极限的应用
总结词
两个重要极限在微积分、概率论和统计 学等领域有广泛应用。
VS
详细描述
第一个重要极限常用于解决一些微积分问 题，例如求不定积分和定积分；第二个重 要极限则常用于解决一些概率论和统计学 问题，例如计算概率和期望值等。两个重 要极限都是微积分和概率论中非常重要的 概念，对于理解这些学科的基本原理和解 决问题具有重要意义。
在一些特定的金融产品中，如指数基金、期权等，连续复利的应用尤为重 要。
连续复利还可以用于评估企业的价值，如市盈率、市净率等指标的计算中 ，连续复利的应用也是不可忽视的。
CHAPTER 04
极限存在准则与连续复利的 关系
极限存在准则对连续复利的影响
01
极限存在准则为连续复利的计算提供了理论基础， 确保了复利计算的正确性和可靠性。
CHAPTER 03
连续复利
连续复利的概念
连续复利
是一种计算利息的方式，它假设本金在每个时间点上都获得利息 ，而不是在固定的时间段内获得利息。
与离散复利的区别
离散复利假设本金在固定的时间段内获得利息，而连续复利则假设 本金在每个时间点上都获得利息。
连续复利的计算公式
A=P*e^rt，其中A是未来的总金额，P是本金，r是年利率，t是时 间。
详细描述
柯西收敛准则是一个非常强大的工具，用于证明数列的收敛性。这个准则表明，如果一个数列的任意 两项之间的差的绝对值可以任意小，那么这个数列就是收敛的。柯西收敛准则可以用来证明许多复杂 的数列的收敛性，尤其是在处理无穷级数时非常有用。
极限存在准则三
总结词
极限存在准则三是闭区间套定理，它指出如果一个数列的项构成一个闭区间套， 即每个区间端点的极限相等且等于该数列的项，则该数列收敛于这个极限。

《高等数学B》 第二章 极限与连续 第5节 极限存在准则、两个重要极限、连续复利

《高等数学B》 第二章 极限与连续 第5节 极限存在准则、两个重要极限、连续复利
p2 = p(1 + r )2 ， 第二年后存款额为
n 那么第n 那么第 年后存款额变为 pn = p(1 + r ) .
在第二种情况下, 即当每月结算一次时, 在第二种情况下, 即当每月结算一次时, 利率为 r 12 , n 年后存款额为 r 12n pn = p(1 + ) . 12 当每年结算m次时 次时, 当每年结算 次时, 利率为 r m , n年间共结算次 nm , 年间共结算次 m pn , 则有 则 n 年后的总存款额记为 r mn m pn = p(1 + ) . m 即为上述两种情况。 显然 m = 1 与 m = 12 即为上述两种情况。
二、单调有界收敛准则
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
我们不作证明, 只给出几何解释。 对准则Ⅱ我们不作证明 只给出几何解释。 几何解释: 几何解释:
x1 x 2 x 3x n x n + 1
A
M
x
例3 证明数列 xn = 3 + 3 + ⋯ + 3 ( n 重根式 ) 的极限存在 . 证 显然 xn+1 > xn , ∴ { xn }是单调递增的 ;
1 1 )+⋯ 2! n+1 1 1 2 n−1 )(1 − )⋯(1 − ) + (1 − n+1 n! n+1 n+2 n 1 1 2 (1 − )(1 − )⋯(1 − ). + n+1 n+2 n+1 ( n + 1)!
显然 xn+1 > xn ,
∴ {xn }是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + ⋯ + < 1 + 1 + + ⋯ + n −1 2! n! 2 2 1 ∴ { xn }是有界的 ; = 3 − n −1 < 3 , 2 1n ∴ lim xn 存在 . ) 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828⋯ n→ ∞ n→∞ n

极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式

极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式

即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn

a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x

U
0
(
x 2
)2

1 2

12
2
2
1. 2
2. lim(1 1 )n e
n
n
定义 lim(1 1)n e
n
n
设
xn

(1

1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2)(1 n 1).
C
B
1. lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x , OAB的高为 BD ,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOC的面积
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
注
lim cos x 1, 又lim1 1,
lim sin x 1.

《重要极限》PPT课件 (2)

《重要极限》PPT课件 (2)

x
x
e
1
lim(1 x) x e
x0
lim(1
1
x) x
1
x0
e
lim(1 1)x e
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
00:02
感谢下 载
00:02
上式对于 x 0也成立. 2
当 0 x 时,
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2
2( x )2 2
x2 ,
2
lim x2 0, x0 2
lim(1 cos x) 0, x0
sin x
lim cos x 1, x0
又lim1 1, x0
x
00:02
二、两个重要极限
C
(1) lim sin x 1 x0 x
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
B
o
x
D
A
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
解 作变量替换
设 t 2x ，则 x t ，当x 0 ，t 0 ， 2
lim(1
2
x)
1 x
＝lim(1
t
)
2 t
x0
t0
＝
lim
t0
1 t
1 t
2
＝
ltim0 (1
t
1
)t
2
=
e2 ．
于是
00:02
⑤本重要极限的等价形式有：

大学高数课件重要极限

取 N ? max{ N 1 , N 2 }, 则 n ? N 时, 有
a ? ? ? yn ? xn ? zn ? a ? ? , 即 xn ? a ? ? 成立,
?
lim
n? ?
xn
? a.
2019/9/10
微积分--两个重要极限
6
注:1) 条件（1）可放宽为：
? N ? 0, 使得当 n ? N 时， yn ? x n ? zn
x? ?
x
解
原式 ?
lim[(1
? 1 )? x ]－1=e－1
一般地：
lim
x ??
???1
?
x ??
k x
x
? ??
?
?x
?
lim
x ??
?????1
?
k x
x
?k ??
k
? ? ?
=ek
(1? 型) ?
?
2019/9/10
微积分--两个重要极限
18
例12
求
lim( 3 ? x )2x x?? 2 ? x
?
.
8.
对于代数和中 的各无穷小不 能分别替换.
2019/9/10
微积分--两个重要极限
14
例7 求 lim tan x ? sin x .(0 型)
x? 0 sin 3 2 x
0
错解 当x ? 0时, tan x ~ x , sin x ~ x .
? 原式 ? lim x ? x ? 0. x? 0 (2x )3
2019/9/10
微积分--两个重要极限
3
又
un
?
1?
1?
1 (1 ? 2!
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x 0
又 lim 1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
作为准则Ⅰ´的应用，下面证明一个重要的极限 C
sin x lim 1 x 0 x
B
o
x
如右图， 设单位圆 O ,
圆心角AOB x(0 x

2
D
A
)
作单位圆的切线，得ACO .
扇形 OAB的圆心角为 x , OAB的高为 BD ,
上两式同时成立,
a z n a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim x n a .
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x 0 , )(或 x M )时,有
式)的极限存在.
证
显然 x n 1 x n ,
xn 是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 x k 3, x k 1 3 x k 3 3 3,
xn 是有界的 ;
lim x n 存在.
n
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n n
lim cos x 1,
x 0
C
B
o
x
D
A
又 lim 1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
1 cos x 例2 求 lim . 2 x0 x
解
x 2 x 2 sin sin 2 1 lim 2 原式 lim x0 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2 x sin 1 2 )2 1 2 lim( 1 x 0 x 2 2 2 1 . 2
第五节 极限存在准则
两个重要极限 连续复利
一、夹逼准则 二、单调有界收敛准则 三、连续复利 四、小结 思考题
一、夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
( 2) lim yn a , lim zn a ,
注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim(
n

1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
于是有 sin x BD ,
x 弧 AB ,
tan x AC ,
sin x x tan x , 即 cos x sin x 1,
x 上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时, 2 2 0 cos x 1 1 cos x x 2 x2 2 x 2 sin 2( ) , 2 2 2 2 x lim 0, lim(1 cos x ) 0, x 0 2 x 0
1 n 设 x n (1 ) 按牛顿二项式定理展开有 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)( n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n n! n
11
1 1 1 1 2 n1 (1 ) (1 )(1 )(1 ). 2! n n! n n n
lim n n 1
2
1 1 1 n
1
1,
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
n
lim
n
1,
由夹逼定理得
sin x x tan x ,
sin x 即 cos x 1, x
类似地,
显然 x n 1
1 1 xn1 1 1 (1 ) 2! n1 1 1 2 n1 (1 )(1 )(1 ) n! n1 n 2 n1 1 1 2 n (1 )(1 )(1 ). ( n 1)! n1 n 2 n1 xn , xn 是单调递增的;
上式对于 x 0也成立. 2
当 0 x 时, 2
2

x x 2 x2 0 cos x 1 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
x2 lim 0, x 0 2
lim cos x 1,
x 0
lim(1 cos x ) 0,
0
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) x x g ( x ) A, x x h( x ) A, lim lim
( x )
0
( x )
0
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x x0 ( x )
准则 I和准则 Iˊ称为夹逼准则.
2 x n1 3 x n , x n1 3 x n ,
1 13 1 13 解得 A , A (舍去) 2 2 1 13 lim x n . n 2
A 2 3 A,
作为准则Ⅱ的应用，可以证明一个重要的极限
1 x lim (1 ) e x x 1 n 定义 lim (1 ) e n n
2
二、单调有界收敛准则
如果数列 xn满足条件
x1 x 2 x n x n 1 , 单调增加 x1 x 2 x n x n 1 , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
单调数列
几何解释:
x1 x 2 x 3x n x n 1
A
M
x
例3 证明数列 x n 3 3 3 ( n重根
n
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
证 yn a ,
zn a ,
n
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 n N 1时恒有 y n a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N max{ N 1 , N 2 }, 即 a y n a ,