严而有度 宽而有界

市纪委书记在市管干部任前廉政谈话会上的讲话同志们：按照市委要求，今天我和XX部长一起，对新提拔任用的市管干部进行集体谈话，在同志们即将走上新的领导岗位、在更加重要平台上干事创业的时候，与同志们谈谈心、提提醒，这是市委履行全面从严治党主体责任的具体举措，更是市委关心爱护干部的实际行动。

下面，我从四个方面与大家谈谈心，希望对大家今后成长和工作有所帮助。

一、做政治上的“明白人”讲政治关乎党的前途命运，是我们管党治党的根本保证，任何时候都不能含糊和动摇。

对党员领导干部来说，讲政治是第一位的要求。

2018年11月，习近平总书记在中央政治局第十次集体学习时强调，选人用人必须把好政治关，把是否忠诚于党和人民，是否具有坚定理想信念，是否增强“四个意识”、坚定“四个自信”，是否维护党中央权威和集中统一领导，作为衡量干部的第一标准。

党员领导干部要认真贯彻落实《中共中央关于加强党的政治建设的意见》，推进全面从严治党向纵深发展。

一要坚定理想信念。

结合即将开展的“不忘初心、牢记使命”主题教育，持续深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想，推动学习往深里走、往实里走、往心里走，把学习成果转化为提升党性修养、思想境界、道德水平的精神营养，筑牢信仰之基、补足精神之钙、把稳思想之舵，始终明大德、严公德、守私德，坚守共产党人的精神家园。

二要强化党性观念。

党员领导干部要牢记自己的第一身份是共产党员，第一责任是为党工作，始终保持清醒头脑，坚定正确政治方向，忠于党、忠于人民、忠于事业，言行一致、表里如一，始终把自己的一言一行与党的形象联系起来，把“两个维护”体现到工作生活的方方面面，做一名合格的共产党员。

三要弘扬斗争精神。

作为一名党员干部，必须保持斗争精神、增强斗争勇气，在大是大非面前旗帜鲜明，在风浪考验面前无所畏惧，在各种诱惑面前立场坚定，坚决反对和抵制各种违纪违法行为，切实以在党爱党、在党言党、在党忧党、在党为党的实际行动，彰显绝对忠诚的品格，体现政治坚定的操守。

第一章 随机序列前言：这一章是本书的预备知识. 我们借助于实例，用较通俗的语言引入平稳随机序列的概念. 然后介绍平稳随机序列的描述方法，并且对平稳序列中的“频谱分析方法”、“相关分析方法”及“参数化方法”之间的关系给予简要说明. 另外，还将介绍两种常用的估计方法，以备后用.讨论描述随机过程的方法必须注意①随机过程表面上杂乱无章（如Brownian Motion ）但是，它既然是客观事物和数量表征，必然有其内在的规律；②为了掌握和利用这些随机过程所表现出来的规律，需要一定的数学工具，这就是随机过程理论.这章主要讨论随机序列的概率分布、参数表征、平稳随机序列（定义、谱分解、白噪声序列、线性运算、有理谱密度的平稳序列、随机差分方程、遍历性）、多维随机序列、两种估计和参数估计的优效性概念。

1．随机序列的概率分布：随机序列由无穷多个随机变量构成的，我们说给定了一个随机序列(1,2,)t x t =L 的概率分布，是指对于任意有穷多个时刻12,,,m t t t L ，相应的随机变量12,,,mt t t x x x L 的联合分布函数1212(,,,)mt t t m F x x x L L 都是被给定的，而且它们之间不能矛盾，即是说由高维联合分布推出的低维联合分布与原给定的低维分布相同. 有时我们也说给定了序列t x 的任意有穷维分布. t x 为独立的随机序列：若对于∀有穷个不相同时刻12,,,m t t t L 相应12,,,mt t t x x x L 是相互独立的random variable 即12121212(,,,)()()()mmt t t m t t t m F x x x F x F x F x =L L LExp ：电话中的热噪声常常近似于这种独立序列.由于分布函数完整地描述了随机变量的统计特性，故严平稳随机过程的所有统计特性均不随时间的平移而变化. 故这一要求相当严格. 称之为严平稳（狭义平稳）.而宽平稳过程对时间推移的不变性表现在统计平均的一、二阶矩上. 显然，严平稳过程比宽平稳过程之条件要求更“严”. t x 为狭义平稳序列（严平稳序列）：若一个随机序列t x 的任意有穷维分布满足：Z τ∀∈（整数集），,(1,)i m t i m τ+=121212,,,12(,,,)(,,,)m m t t t m t t t m F x x x F x x x τττ+++=L L L L即1,,mt t x x L 和12,,,m t t t x x x τττ+++L 有相同的分布，无论对怎样的m 和时刻12,,,m t t t L 以及τ都如此.2．随机序列的参数表征：①均值函数：对每个t 而言，若把随机变量t x 的均值记为t t Ex μ=. 则随机序列t x 的均值函数就是(1,2,3,)t t μ=L ；若t x 的分布为()t F x ，若t x 具有密度()t f x ，则()()t t t t Ex xdF x xf x dx μ≡≡=⎰⎰. Remark ：t μ可取常数（§1例4且电负荷量）；可取周期函数（§1例2某点平均水温）；或取其它形式，为方便计，称t t Ex μ=为t x 的均值.②自协方差函数：易知随机序列的均值只和随机序列的一维分布有关，为了分析随机序列t x 在不同时刻取值的统计关系，须要考虑t x 与s x 的协方差值，令()()()()(,)ts t t s s t s ts r E x Ex x Ex x y f x y dxdy μμ≡--≡--⎰⎰ts r 作为(,)t s 的二元函数，称为随机序列t x 的自协方差函数，特别称2()tt t t r E x Ex =-为t x 的方差函数，简称方差. 若一个随机序列t x 的任意有穷维分布都是正态分布，则称t x 为正态随机序列.若以f 表示相应于F 的分布密度，此时1212121(,,,)(2||)exp ()()(,)2m m t t t m m m m m m m m m f x x x x x N τπμμμ--⎧⎫=Γ⋅--Γ-≡Γ⎨⎬⎩⎭L L其中),,(1mt t m x x x Λ=τ；12(,,,)mm t t t τμμμμ≡L1112112m m m m m t t t t t t m t t t t t t r r r r r r ⎛⎫ ⎪Γ= ⎪ ⎪⎝⎭LL L很多实际应用的随机序列可近似当做正态序列，正态序列在数学处理上有很多方便之处.③自相关函数：序列的自相关函数ts ρ定义为ts r ρ≡它刻划了序列t x 在不同时刻取值的线性相关程度.Remark ：随机序列的参数表征还有很多，与本书关系密切的就是以上三种量. 从上述表述易见，,t ts r μ和ts ρ被t x 的分布唯一确定. 但是，反之由,t ts r μ和ts ρ一般并不能唯一确定t x 的分布，即具有不同分布的随机序列可以有相同的均值、自协方差和自相关函数.3．平稳随机序列：为便于读者掌握，我们把本书的讨论几乎完全限于正态序列范围之内，这不会影响时序分析方法的介绍，且会使很多数学概念和性质有较为简单的形式，只是在某些个别情形下，我们指出对于非正态序列的类似结果. 特别，本书所介绍的各种方法的基础是广义平稳序列（宽平稳序列）.（1）广义平稳序列的定义：若随机序列t x 的二阶矩有穷2()t Ex <∞且对任意时刻t 和s 满足： t Ex μ=2t s ts t s Ex x r r μ--== 为方便计，通常不妨设0μ=. 则称它为广义平稳序列（宽平稳序列），即μ与t 无关，ts r 只与t s -有关. “广义”是相对于“狭义”而言的，简称平稳过程.Remark ：①若狭义平稳过程（序列）t x 的一、二阶都有穷2(,)t t Ex Ex <∞则它一定也是广义平稳的.112212,1212,012()()(,)(,)()t t t R R t t t t Ex xdF x xdF x a t Ex x x x dF x x x x dF x x f τττττ+++⎫⎛==≡⎪ ⎪ === ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰　与无关 ②若t x 是正态随机序列，t x 的狭义平稳性t x ⇔的广义平稳性. （()()t s E x x μμ--Q ，复旦大学《随机过程》第三册P 183特征函数） Proof ：“⇒”若{},t x t T ∈是狭义平稳的（严平稳的），又正态过程有二阶矩，∴由①知{},t x t T ∈为宽平稳的. “⇐”若正态过程是宽平稳的，则,t Ex a t T ≡∈()()()()()ijt t i j i j E x a x a r t t r t t ττ--=-=+-+()(),,1,2,,i jt t i E x a x a t T i n ττ++=--∈=L表明12(,,,)nt t t x x x L 和12(,,,)nt t t x x x τττ+++L 具有相同的协方差矩阵和均值向量，而正态（多维）分布仅由它们确定（特征函数知识）因而11,,1,,1(,,)(,,)nnt t n t t n F x x F x x ττ++=L L L L{},t x t T ∈是严平稳（狭义平稳）过程.③Theorem. 设{},0,1,t x t =±L 为平稳列，则t x 要表为()i t t x x e dz πλπλ-=⎰其中{}(),[,]x z λλππ∈-是标准化的具有正交增量的，左2()L 连续的随机过程，且121212(()())(),,([,])x x x E z z F ππ∆∆=∆∆∆∆∈-I B 这样的正交增量过程唯一地由t x 所确定.（证明略）④实际应用中，平稳序列仅仅是对于真实随机序列的一种近似描述手段. 例：电路中的热噪声，陀螺仪的漂移速率及其它精密仪表的漂移误差，金融中的收益率序列等，第三章将给出一种粗略判别平稳序列手法.（2）自协方差函数与谱分布（t x 为实列）对于正态平稳序列t x ，其均值和自协方差函数s t r -唯一决定了它的分布（（1.2.6）式知），从而也就决定了它的全部统计性质，故讨论自协方差函数s t r -的性质十分重要，也是首要任务. s t r -满足：①对称性：()t t t t r r r Ex x Ex x r ττττττ----====Q ②非负定性：对{}1,2,m z +∀∈=L ，方阵11102120m m m m m r r r r r r rr r ----⎛⎫⎪⎪Γ= ⎪⎪⎪⎝⎭LL L L L L L 是非负定的.（Q 对m ∀维实值非零向量011(,,,)m τξξξξ-=L 都有：11,0,0()()m m m i j ij i jiji j i j rE x xτξξξξξξμμ---==Γ==--∑∑120[()]0m i i i E x ξμ-==-≥∑）有时称满足上述性质1和性质2的实数列01,,,,m r r r L L 称为非负定列. 易知000,||r r r τ≥≤，反之，任意一个非负定列必为某平稳序列的自协方差函数（[3]，E.lukacs, Characteristic Functions, London, 1960）. Theorem1. 设k r 为一平稳序列的自协方差函数，则存在一有界非降函数()G λ，使得1/221/2()i k k r e dG πλλ=⎰（相关函数的谱表示Th ）()G λ称为平稳序列t x 的谱分布，若()G λ可微，并记()()dG g d λλλ≡则 1/221/2()i k k r e g d πλλλ-=⎰()g λ称为平稳序列t x 的谱密度.当||kk r∞=-∞<∞∑时，()g λ一定存在且2()i k kk g r eπλλ∞-=-∞=∑. 有的工程书上，称()g λ为序列的功率谱密度.（3）白噪声序列若平稳序列t a 的均值为0，自协方差函数20k a k r σδ=，我们称这样的t a 为白噪声序列，或简称白噪声，它的谱密度：2220()i k a a k a k g e πλλσδσ∞-=-∞=≡∑可见()a g λ为一常数，即序列t a 的谱密度在各个频率上具有相同的分量（正象白光一样，等量地包含了各种有色光的光频分量）.Remark ：很多随机序列可以近似地符合白噪声的性质. 虽纯粹的白噪声很难遇到（自然界）.（4）平稳序列的线性运算随机变量可以进行加减等运算，随机序列也是如此.①设t x 是一平稳序列，,αβ是两个实数，τ是某一固定时刻，则t t t y x x ταβ-=+，还是平稳序列（令2t Ey μ=验证22()t t Ey y f τμτ--=）. ①′假定k α是实数列，且2||k k α∞=-∞<∞∑，那么易验证t k t kk y xα∞-=-∞=∑也是平稳序列，其中k t k k x α∞-=-∞∑，作为当,M N →∞时Nk t kk Mxα-=-∑的均方极限. （Remark ：设{}k x 为平稳序列，若2||0k k E x x →∞-→，称{}k x 均方收敛于x ，又称x 为{}k x 的均方极限）.Remark ：（A ）取t t x a =为白噪声，当0k <时0k α=，这时平稳序列0t k t k k y a α∞-==∑称为t a 的滑动和；特别若再有0k α=，当k q >时（0k <时0k α=），则0qt k t k k y a α-==∑称为t a 的q 阶滑动平均.上两式所给出的平稳序列，其自协方差函数和谱密度可利用t a 的性质很方便求出，约定0k <时0k α=，0t k t k k y a α∞-==∑则0,0()ys tk t k j s j kjt ks j k j k j rE a a Eaa αααα∞∞∞-----=====∑∑∑22(),0,0,0,0akjs j t k akjs t k j k j k j σααδσααδ∞∞----+-====∑∑022,0s t k j ak k s tak k s tj s k t k j k σαασαα-+-=∞∞+-+-⇔=+-====∑∑2||||akk t s k t s σαα∞--=-=∑讨论：①当s t ≥时2()k s t my s tamm s t m s trσαα∞+-=---=-====∑.②当s t ≤时，由于0k <时0k α=，222()y s ta k k s takk s takk t s k t sk t sk t srσαασαασαα∞∞-+-+---=-=-=-===∑∑∑从而总有2||||y s takk t s k t s r σαα∞---=-=∑W .2220()y i i y akk k g r e e πτλπτλττττλσαα∞∞∞--+=-∞=-∞===∑∑∑22222()00i i k i k akk akk k kk keee πτλπλπτλττττσαασαα∞∞∞∞--+++==-==-==∑∑∑∑222()0i k i k akk k k ee πλπτλττσαα∞∞-++==-=∑∑22200m ki k i m a k mk m ee τπλπλσαα∞∞=+-====∑∑222222000||i k i k i k akkak k k k eee πλπλπλσαασα∞∞∞--=====∑∑∑若令 0()k k k A ωαω∞==∑则上式可表为： 222()|()|i y a g A e πλλσ-=.例下面介绍有理谱密度. 它比白噪声t a 的常值谱密度更具一般性，t y 具有较复杂连续谱密度.（5）具有有理谱的平稳序列：对于正态平稳序列，只要知道了它的自协方差函数k r ，或知道了它的谱分布()G λ，就等于掌握了它的统计性质. 主要利用k r 去分析时间序列时，称为“相关分析法”或“时域分析法”；利用后者时，称为“频谱分析法”. 怎样求得一个正态平稳序列t x 的k r 或()G λ呢？主要利用t x 的样本值12,,,N x x x L 对k r 或()G λ进行估计，这是时序分析要解决的主要问题之一，这有两个难点：①(0,1,2,)k r k =L 是由无穷多个值构成的，谱密度()G λ为在11[,]22-内取值的函数，用有穷个t x 的样本值对所有k r 或()G λ的所有取值进行估计，难点之一.②即使能对k r 或()G λ的所有取值做出估计，由于01,,r r L 或()G λ的形状复杂，也不利于在预报、控制或模拟等应用中使用. 于是为克服这两个困难，我们采取绪论中提到的“参数化”方法，即将()G λ局限在一个较窄的函数范围内讨论，我们只讨论这样一类正态平稳序列，它们的谱分布()G λ不仅可微，而且它的导函数（谱密度）()()dG g x d λλ≡为2i e πλ-的有理函数： 2222()()||()i a i e g e πλπλθλσϕ--= （I ）其中()θω和()ϕω为ω的实系数多项式：212212()1()1q q pp θωθωθωθωϕωϕωϕωϕω=----=----L L （II ）两者无公共因子，且限定()θω和()ϕω的根全在复平面的单位圆外. 这样一来，为了估计()G λ，只要估计2,,a p q σ和（II ）中诸系数1,,q θθL 和1,,p ϕϕL 即可，这些只是有限个系数而已. 有了这些参数的估计值，利用（I ）式即可得到()g λ在)21,21[-上的各处取值的估计. 在用于预报、控制和模拟等目的时，由于()g λ拥有（I ）之形式，解决问题就方便多了. Remark ：①谱密度有（I ）这种形式的t x ，称为具有有理谱的平稳序列； ②对于()g λ为连续的情形，它可用有理谱来逼近真实的谱，这是较有效的一种方法.（6）随机差分方程：据前所述，具有有理谱的平稳序列的自协方差函数k r 也是被以上诸参数所决定.Q 由Th1知 21/222221/2()|| 0,1,2,()i i k k ai e r e d k e πλπλπλθσλϕ--==⎰L（III ）反之，若k r 能表成（III ）之形式，则随机序列也一定具有（I ）形式的有理谱密度.例1 取 222()|,||1i k a g e πλλσϕϕ-=-< 则 1/222221/21|1|i k k a i r e d e πλπλσλϕ-=-⎰21/22221/2cos 2,0,1,2,12cos 21k a ak d k σπλσλϕϕπλϕϕ===-+-⎰L（Q21/2221/2cos 21cos 12cos 2212cos t k ktd dt t πλπππλλϕπλϕπϕϕ=--==-+-+⎰⎰当2||1ϕ<时221112cos 12cos m m mt t ϕϕϕϕ∞=-=+-+∑， 此级数对一切t 一致收敛，它的各项都乘以同一有界函数cos kt后仍然一致收敛，从而22cos (1)12cos ktdt t ππϕϕϕ---+⎰21cos 2cos cos 2cos m k m ktdt mt ktdt ktdt ππππππϕϕ∞---==+=∑⎰⎰⎰1cos 222kkkt dt ππϕπϕ-+==⎰从而 1/2221/21cos cos 2212cos 12cos 2kt k d dt t πππλλπϕϕϕπλϕ--=-+-+⎰⎰ 2(0,1,2,)1kk ϕϕ==-L若 21/222221/2()||()i i k k a i e r ed e πλπλπλθσλϕ---=⎰， 则随机序列{}t ω也一定有2222()()||()i a i e g e πλπλθλσϕ--=形式的有理谱密度. ( Theorem1 ()()()()n n a s P ξωξωξωξω⋅⇒u r u u u r令()(1,2,)n n ξω=L ，()ξω是r v ⋅，则{}111:lim ()():(|()()|)n n n m k n km ωξωξωωξωξω∞∞∞→∞===⎧⎫==-<⎨⎬⎩⎭I UI {}lim ()()n n ωξωξω→∞∈=⇔对∀一个m （正整数），∃一个正整数N ，使当n N >时均有()1|()|n mωξξω-<⇔对∀一正整数,m ω属于1(|()()|)n m ξωξω-<之下限事件. 111(|()()|)1n m k n kP m ξωξω∞∞∞===⎧⎫⇔-<=⎨⎬⎩⎭I UI or111(|()()|)0n m k n kP m ξωξω∞∞∞===⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭UI U0ε⇔∀>成立1(|()()|)0n k n k P ξωξωε∞∞==⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭I U{}lim (|()()|)n n n n P A A ξωξωε→∞==-≥)Theorem2 若()B ϕ没有模为1的因子（即2()0i e πλϕ-≠），若{}t ω为差分方程1111 ,1,0,1,t t p t p t t q t q x x x a a a t ϕϕθθ-------=---=-L L L L （IV ）的平稳解（即它是平稳序列且满足（IV ）），则{}t ω有有理谱密度2222()()||()i ai e g e πλπλθλσϕ--=. 反之，若平稳序列{}t ω有此谱密度，则{}t ω可表成（IV ）形式.Theorem3 （Wiener-X HHYH ）设{},0,1,t x t =±L 是平稳列，其相关函数(,0,1,)k r k =±L 满足||k k r ∞=-∞<+∞∑，则t x 必有非负谱密度函数()f λ，且()x r τ和()f λ是Fourier 变换的关系：()(),0,1,ik x r k e f d k πλπλλ-==±⎰L1()(), 2ik xk f r k eλλπλππ∞-=-∞=-≤≤∑W推论，若{},0,1,n x n =±L 是实平稳列，()x r τ绝对可和，则谱密度()f λ必存在，并且（a ）()(),f f λλπλπ=--≤≤（b ）101()(0)2()cos 2()2()cos x k xf R r k k r n f n d πλλπλλλ∞=⎧⎧⎫=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎨⎪=⎪⎩∑⎰ 这表明自协方差函数为一指数型数列，反之，若221k ak r σϕϕ=-形式，则相应的随机序列一定具有谱密度222()|1|i a g e πλλσϕ-=-，||1ϕ<. 虽然（III ）式反映了有理谱与其相应的自协方差函数之间的关系，但是，为了以后的时域分析，还要引进随机差分方程的概念. 上例中||k r <∞∑Q2222222()()1|1|i k i ka aki k k g r eee πλπλπσσλϕϕϕ∞∞---=-∞=-∞∴===--∑∑222() |1|ai g e πλσλϕ-∴=-W .]111[-1][-122222a 0122a πλπλπλϕϕϕϕσϕσi i i k k e e e ---∞=∞=-+-=+=∑∑ 设12,,,p ϕϕϕL 和12,,,q θθθL 分别是p 个和q 个实数，并设以它们为系数的两个多项式()ϕω和()θω无公共因子，且它们的根全在单位圆外（为了保证收敛性），若平稳序列t x 满足关系式：1111 ,1,0,1,t t p t p t t q t q x x x a a a t ϕϕθθ-------=---=-L L L L （IV ） 其中t a 是一白噪声，22t a Ea σ=，且当s t >时，0t s Ex a =，那么我们就说t x 是随机差分方程（IV ）的一个平稳解. Q 根据平稳序列的理论（[1]附录，§1Th1）知，具有有理谱密度()g λ（I ）的平稳序列，一定是随机差分方程（IV ）式的一个平稳解；反之，（IV ）式的平稳解一定具有（I ）()g λ的有理谱密度. 于是建立关系：具有有理谱的平稳序列11-←−→随机差分方程的平稳解.例1 （同前）具有谱密度222()|1|,||1i a g e πλλσϕϕ-=-<平稳序列t x ，它应满足差分方程：1t t t x x a ϕ--= （V ）于是有： 10 ()0t k t k t t k t k E x x x Ex a ϕ---->-== 1,0k k r r k ϕ-=>又由（V ）知：2222220100()(1)t t t a a r Ex E a x r r ϕσϕσϕ-==+=+⇒=-2212021kk ak k k r r r r σϕϕϕϕϕ--∴====⋅=-L W 这与前面解答完全一致，但计算方便. 另一方面，（V ）又可写为1t t t x x a ϕ-=+，表明了t x 的前后依赖关系（这很类似t t t x y a ϕ=+的回归方程，1t t y x -=自身滞后一步），1t t t x x a ϕ-∴-=又称()t x 的平稳解t x 为一阶自回归序列，而参数ϕ表明t x 前后的相关程度. 由（V ）推知：212121()t t t t t t t t x x a x a a x a alt ϕϕϕϕϕ-----=+=++=++1212n n n t n t n t n t x a a a ϕϕϕ----+-+==++++L L由于()1ϕωϕω=-的根在单位圆外（||1ϕ<Q ）∴对上式两边取极限得到：122220(lim)||||||0n j n n t t j t n t n j E x a E x E x ϕϕϕ----=-==→∑1lim()n nj j t t n t j t j n j j x x a a ϕϕϕ-∞+---→∞===+=∑∑ （均方意义下）（t Ex μ=Q 1/221/2())i t x e Z d πλλ-=⎰）这恰如平稳列的滑动和（t x 只是1,,t t a a -L 的滑动和，而t a 是白噪声，∴当t s <时，t x 与s a 独立，0t s t s Ex a Ex Ea ∴==）下面再从滑动和回到谱密度，||1ϕ<Q ，由222()|()|i y a g A e πλλσ-=知01(),||11j j j A ωϕωωϕω∞===≤-∑ 222222()|()||i i a a g A e e πλπλλσσϕ--==-22(12cos 2)a σϕϕπλ=+-从此后，我们所讨论的平稳随机序列，不仅限于正态序列，而且都有有理谱密度. 即它们必是（IV ）型的随机差分方程的平稳解，利用（IV ），下一章再详细分析相应k r 的各种性质.（7）遍历性：为了估计p ，q ，2a σ和()ϕω与()θω的系数等值，常用的统计方法显得不够用，应用新手段的一个重要前提：随机过程要具有遍历性.遍历性定义：设t x 为一随机序列，()t v x 是t x 的函数（如2||,,,etc t t t t x x x x τ+），若对任何使()t Ev x 存在的函数v ，概率为一地有（or 依概率1）11()lim()Nt t jN j Ev x v xN+→∞==∑则称t x 为具有遍历性的随机序列. Remark ：①（[5]（U.Grenander and M. Rosenblatt ）平稳时间序列的统计分析，郑绍谦译（1962））知：正态有理谱平稳序列一定具有遍历性. ②遍历性物理意义：随机序列t x 的函数（连续）()t v x 也是一个随机变量，其均值为()t Ev x ，可称之为()t v x 的总体平均（即依()t v x 的分布所求出的均值，或称相平均. ）又当t 固定，而将(),1,2,3,t j v x j +=L视为一个随机序列时，11lim ()Nt jNj v xN+→∞=∑称为()t v x 的时域平均. 所谓t x 的遍历性，简而言之，就是对任何函数v ，()t v x 的总体平均等于它的时域平均. 粗略说：意味着t j x +的任何一个样本随j 的变化所能取的值，依随机变量t x 的概率分布，历经它所能取的各种值，11()lim()Nt t jN j Ev x v xN+→∞==∑.③若t x 具有遍历性，它的线性运算也具有此性质. 例1 遍历性用途取1()t t t v x x x +=，则由遍历性11111limNt t t j t jN j r Ex x xxN++++→∞===∑这说明当N 很大时上式右边平均值可作为1r 的近似估计值.4．多维随机序列：t y 为r -维随机序列：对每个固定的整数值时刻t 而言，t y 是-r 维随机向量，常记做2(1)(2)()(,,,)r t t t t y y y =L Y ，时刻(,)t ∈-∞+∞. 这r 个随机序列(1)(),,r t t y y L 相互之间有一定的统计联系.（1）t y 的均值函数（均值）：(1)(2)()(,,,)r t t t t E Ey Ey Ey τ≡L Y对t Y 而言，固定t 时t E Y 为一个r 维向量（非随机的）.（2）方差阵、自协方差阵与互协方差函数： 方差阵函数：(1)()(,,)r t t t y y τ=L Y()()t t t t E E E τ--Y Y Y Y这是一个r 阶非负定矩阵，其主对角线上的元恰是()(1,)k t y k r =的方差，而i 行j 列的元，则为()i t y 与()j t y 的互协方差. 为掌握t Y 在不同时刻取值的统计关系，定义()()ts t t s s E E E τ≡--¡Y Y Y Y为t Y 的自协方差阵函数；其主对角元素是()(1,)k t y k r =的自协方差函数，而i 行j 列的元()()()()()()i i j j t t s s E y Ey y Ey --称为()i t y 与()j s y 的互协方差函数. 当t s =时，tt ¡为t Y 的方差阵函数.ts ∴¡更进一步揭示了t Y 的各分量间及前后之间的相互联系.（3）多维平稳序列：设t Y 为r 维随机序列，若它还满足;()()t ts t t s s t s E u E E E R τ-==--=¡Y Y Y Y Y则称t Y 为r 维平稳随机序列. （略）5．两种估计及参数估计的优效性概念：（1）最小二乘法（Least Square简称LS 法）线性参数的最小二乘法是常用的估计方法之一，这里主要介绍非线性参数的最小二乘法（第四章将用之）.考虑模型121(;,,,),1,2,k k k k y f y y y e k β-=+=L L ; （I ） 其中k e 仍表示残差，12(,,,)r τββββ=L 为未知参数矢量，k f 是11(,,,)k y y β-L 的函数，对β非线性，若获得了测量值12,,,n y y y L ，那么，使得残差平方和21211()[(;,,,)]nk k k k S y f y y y ββ-=≡-∑L达到极小的解µβ，即称为β的最小二乘估计，以后简称LS 估计（LeastSquare Estimation ）. Remark ：①一般说来，对非线参数而言，µβ的求解比线性情形要麻烦得多，且只能给出数值解法，无法得到线性参数明显解. 此外，k f 还可能是用迭代方式给出，而不必有明显的函数形式；②为了分析估计µβ的误差情况，应当引入k e 和k y 的统计特征. 假定k e 为白噪声，而且k e 与11,,k y y -L 独立；作为1,,n y y L 的函数的最小二乘估计µβ和真值β之间的接近程度可用下面介绍的几种估计量优效性来衡量. 可见附录§5关于最小二乘估计量各种优效性质.（2）最小方差估计（Least Mean Square or 简记LMS 估计）（第IV 、VII 、IX 等章常用之）设(11,,k M k N N M ω-<<+为整数 or 正、负无穷)是一组正态随机变量，且它们的均值都是0. 又设正态随机变量z 的均值亦为0，且z 与k ω的联合分布也是正态分布. 所谓根据(11)k M k N ω-<<+对z做的（或z 关于k ω的）LMS 估计z$是指存在如下的量：Nkkk Mz wβ==∑$其中系数k β使误差方差2()E z z-$达到极小，即 22()inf ()kNk k k ME z z E z ααω=-=-∑$我们把这种估计记为(|,11)kz E z M k N ω≡-<<+$最有用的情况是：每一k ω可以表成白噪声k)j 1-M (a j ≤<的和kk kjj j Ma ωξ==∑（I ），同时每一j a 也能表成(1)l M l j ω-<≤之和，即jj jl l l Ma ηω==∑（II ）.且其中系数满足如下条件：22()()11||,||g k j g j l kj jl g e g e ξη----≤≤ （III ）此处12,g g 表示与,,k j l 无关的正实数.（上述条件①当,M N 为有穷整数时易满足（E.P.Box 时序分析：预测与控制P 138-149）②当M =-∞时，由P 49~52和附录中将会有，若k ω是()()t t B x B a ϕθ=的平稳解，则上述条件满足（LMS 估计））对于这样的k ω，随机变量Z 的最小方差估计形式简便，易于讨论它们的性质.令≡A {|,Nj j j j My y a ββ==∑为实数，2Nj j Mβ=<∞∑}≡W {|,N l l l l My y w αα==∑为实数，2Nl l Mα=<∞∑}从A 与W 出发讨论LMS 估计的性质. 1．=A W当,M N 都为有穷时，显然. 我们只对,M N =-∞=+∞情形给予证明. 若y ∈A ，则∃-串j β使得2jl β∞=-∞<∞∑且jjj y aβ∞=-∞=∑，由上述讨论知：()jj jll jjll llj l l j ll y w w w βηβηα∞∞∞∞=-∞=-∞=-∞==-∞===∑∑∑∑∑其中l j jl j lαβη∞==∑，由（III ）及Schwarz 不等式知：2()21,,||g j l k l z ljkjlklj kl l j k l l j k lg e αββηηββ∞∞∞∞∞--+-=-∞=-∞==-∞==≤∑∑∑∑∑ 22()22211,0(||)()()1m j l g m n m l n l l g n k lm n l l g g e eβββ∞∞∞=--+++-=-==-∞=-∞=≤<∞-∑∑∑ 21/221/2(||||()()m l n l m ln l l l l ββββ∞∞∞++++=-∞=-∞=-∞≤∑∑∑222211,)11g mg n g g m n ee ee∞∞----====--∑∑ 因此y ∈W ，y Q 是A 的任意元. ∴⊃W A ，同理⊂W A ，∴=A W . 利用泛函分析知识：=A W 是Hilbert 空间（估计量ˆ(|,11)k zE z w M k N =-<<+是z 在W 上的投影，∴也是在A 上投影，ˆ(|)(|)zE z E z ∴≡=W A ） 2．ˆzW ∈为z 的最小方差估计（LMS 估计）⇔对y ∀∈W ，必有ˆ()0E z zy -=. 首先注意，由性质1，y ∀∈W 可表为Njjj My aβ==∑，且2Njj Mβ=<∞∑，222Najj MEy σβ=∴=<∞∑“⇒”（反证法）设ˆz是Z 的LMS 估计，而且y ∃∈W 使ˆ()0E z zy -≠. 那么显然成立20(0)Ey y <<∞≠. 由最小方差性质，对R β∀∈有22222()()()2()E z zE z z y E z z Ey E z z y βββ-≤--=-+--$$$$ 由此有：222()Ey E z z y ββ≥-$. 取2()0E z z y Ey β-≠$@. 便导致21≥. 这与实数理论相矛盾，y ∴∀∈W 必有()0E z zy -=$这与z W ∈$为z 之最小方差估计矛盾.另证：令2(,)(),0z zy E z z y Ey α=-=-<<+∞$$则 222222222222(())()2()()()()E z z y E z z Ey E z z y E z z E z z Ey Ey Ey Eyαααα-+=-+--=--<-$$$$$ “⇐”设zW ∈$满足条件：()0E z z y -=$，对y ∀∈W 成立. 则对**,z zz ∀∈-∈$Q W W （H 氏空间）∴有0))(ˆ(=--*z z z z E ，于是 *2*22*2*2()()()()2()()()E z z E z zz z E z z E z z E z z z z E z z -=-+-=-+-+--≥-$$$$$$$ 这就证明了z$是LMS 估计. 又可注意，上式不等号当且仅当*z z =$时才取等号，z∴$中唯一的. 3．z 的的最小方差估计（LMS 估计）z$存在且唯一. 唯一性已在性质2的充分性证明过程得到. 现证存在性：令21()Njjj Maz Eza aσ==∑$，j a 为白噪声. 易算出：2220()2E z zEz Ezz Ez ≤-=-+$$$ 222()/Nj a j MEz Eza σ==-∑2222(/)/Nj a a j MEza Ez σσ=∴≤<∞∑“（利用上述不等式且z Q 为正态随机变量）从而$2()NN j j j j j M j MaEza za a ασ=====∑∑$中2Njj Mα=<∞∑. 由性质1，z ∈=$A W ，又对任意N j j j My a β==∈∑W221()()()N Nj j j j j j Mj M aE z zy Eza Eza Ea ββσ==-=-∑∑$()()0N Nj j j j j Mj MEza Eza ββ===-=∑∑因此由性质2，z$即为z 的最小方差估计. 4．若1112z z z ββ=+，其中12,ββ是实数，则1212z z z ββ=+$$$；若z ∈W ，则z z =$；若z 与W 的元都独立，则0z =$；若(11)kw M k N -<<+是相互独立的随机序列，则任意z 的最小方差估计为2(/)Njj j j MzEzwEw w ==∑$它们由性质2得到验证：0, ()0 (0)zy E z z y Ezy EzEy Ez =∀∈-====$$W ,Nj j j M y y w β=∀∈=∑W ，利用独立性易知()0N Njjjjj Mj ME z zy Ezw Ezwββ==-=-=∑∑$.5．若¢是r 维随机向量，且,M N 有穷，则¢的最小方差估计µ¢（µ¢的各分量为¢的对应分量的最小方差估计）可表为µ1()()E E ττ-=ⅱW WW W其中1(,,,)M M N w w w τ+=L W ，这也易由性质2得到.（3）参数估计的优效性概念：LS 估计与LMS 估计在概念上有本质的差别：LMS 估计是用随机变量或序列的样本的对另一随机变量做出估计，它们之间的概率分布是已知的（常为正态分布）（用于解决随机序列预报VII 章）.LS 估计则是用随机变量或序列的样本去估计某些未知参数（参数化非线性估计问题IV 章）.其它方未能：极大似然法或近似极大似然法来解决参数估计问题.从数理统计的角度怎样衡量参数估计的优劣程度，是另一个很重要的问题，我们在这里引进几个有关的定义. 参数估计：根据某种原则，将随机序列的样本（即测量值）12,,,N y y y L 进行各种运算，从而对于未知参数向量β作出估计与判断. 因此，一般可以把β的估计量µβ表成样本的函数形式，即µµ12(,,,)Ny y y =L ββ，为了衡量µβ与真值β的近似程度，需一些概念：1．无偏性与渐近无偏性：若估计量µβ满足µE =ββ，则称µβ为β无偏性. 若µlim NE →∞=ββ，则称µβ为β的渐近无偏估计量. 无偏估计比渐近无偏估计量难于寻找.2．相容性：若样本长度N →∞时，估计量µβ依概率收敛于β，即对任意小的0ε>，µ{}lim 0N P ε→∞->=ββ，其中{}12max ||,||,,||r βββ≡L β是β的范数（或称模量），这时我们称µβ为β的相容估计.3．优效性与渐近优效性：在相当一般的条件限制下，特别当限于讨论正态随机序列时，经典统计中的Cram ér-Rao 不等式仍成立，即有µµ11log log ()(()()()Np p E J E ττ--∂∂--≥≡⋅∂∂βββββββ 其中p 12,,,N y y y L 的联合概率密度，1()NJ -β称为Cram ér-Rao 下界，这一公式我们将在附录§4中证明（P 308-327）.若估计量µβ能使上式等号成立，即 µµ1()()()NE J τ---=βββββ 则称µβ为优效估计，若估计量µβ只能成立极限关系式 µµ1122lim ()()()()N NN J E J I τ→∞--=ββββββ 其中I 表示单位矩阵，则称µβ为渐近优效估计. 4．渐近正态性：若存在一个矩阵列N B ，当N →∞时，N N B B τ的主对角线都无限地增大，而且使得µ()N B -ββ的联合分布NF 收敛于正态分布(0,)N I ，则称µβ具有渐近正态性，简单地用µ()~(0,)N B N I -ββ表示.5．优效渐近正态性，若µβ具有渐近正态性，而且其中的NB 满足 1lim ()N N N N B J B I τ-→∞=β 则称µβ具有优效渐近正态性，即µ12()()~(0,)NJ N I -βββ. 例 正态(,0)AR p 序列参数140()02pNa M J σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭β 01110221120 p p p a p p p p r r r r r r M r r r σ-----⎛⎫ ⎪ ⎪=ΓΓ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L 2log log log ()N p p pJ E E βττ∂∂∂≡⋅=-∂∂∂∂ββββP 是t y 的似然函数.Remark ：①随机序列的参数估计与经典统计有一点本质性的差别，经典统计中，样本12,,,N y y y L 常是相互独立同分布的随机变量，而参数β只是这一相同的分布中所含的未知参数（如正态分布的均值方差）. 在这里，12,,,N y y y L 是随机序列的一段样本，它们一般不是相互独立的，而参数β是这些随机变量的联合分布中的未知参数（如自回归序列的系数）.②估计量的渐近优效性和优效渐近正态性的渐近法则是不相同的，前者要求µµ()()E τ--ββββ与1()NJ -β渐近相同，由于1()N J -β是估计误差µ()-ββ的方差阵的下界，因此，渐近优效性又可以叫做渐近最小方差性. 而后者只要要求µ12()NJ -ββ的分布NF 与正态分布(0,)N I 渐近相等或说µ()-ββ的分布与1(0,())NN J -β渐近相等，这里并不要求µ()-ββ的方差阵的收敛性. （H.Cramer 曾弄错二者之间关系）③具体使用参数估计方法时，我们总希望估计量能具有上述的各种优效性质，即这些性质是检验估计优劣的重要标准.。

第一章绪论填空1、在八进制中（M=8），已知码元速率为1200B，则信息速率为 3600b/s 。

2、在四进制中（M=4），已知信息速率为2400b/s，则码元速率为 1200B 。

3、数字通信与模拟通信相比较其最大特点是_占用频带宽和__噪声不积累_。

4、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量，可靠性用差错率衡量。

5、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号，数字信号是指信号的参量可离散取值的信号。

消息：指通信系统传输的对象，它是信息的载体。

是信息的物理形式信息：是消息中所包含的有效内容。

信号：是消息的传输载体！信息源的作用就是把各种消息转换成原始信号。

发送设备：产生适合在信道中传输的信号，使发送信号的特性和信道特性相匹配，具有抗信道干扰的能力，可能包含变换、放大、滤波、编码、调制等过程。

简答1、码元速率与信息速率的关系？R b=R B log2M R b信息传输速率 R B码元速率 M是进制 T B码元长度 R B=1/T B2、按传输信号的复用方式，通信系统如何分类？答：按传输信号的复用方式，通信系统有三种复用方式，即频分复用、时分复用和码分复用。

频分复用是用频谱搬移的方法使不同信号占据不同的频率范围；时分复用是用抽样或脉冲调制方法使不同信号占据不同的时间区间；码分复用则是用一组包含正交的码字的码组携带多路信号。

3、解释半双工通信和全双工通信，并用实际通信系统举例说明？半双工，双向不同时通信，如：对讲机；双工，双向同时通信，如：移动通信系统4、简述数字通信系统的基本组成以及各部分功能，画出系统框图。

信源：把各种消息转换成原始信号。

信道：用来将来自发送设备的信号传送到发送端。

信宿：传送消息的目的地。

信源编码/译码：提高信息传输的有效性，二是完成模/数转换。

信道编码/译码：作用是进行差错控制。

加密解密：为了保证所传信息的安全。

数字调制解调：把数字基带信号的频谱搬移到高频处，形成适合在信道传输的带通信号。

书信通信方式篇一：通信原理课后简答题第一章绪论以无线广播和电视为例，说明图1-1模型中的信息源，受信者及信道包含的具体内容是什么在无线电广播中，信息源包括的具体内容为从声音转换而成的原始电信号，收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换乘的声音；在电视系统中，信息源的具体内容为从影像转换而成的电信号。

收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换成的影像；二者信道中包括的具体内容分别是载有声音和影像的无线电波何谓数字信号，何谓模拟信号，两者的根本区别是什么数字信号指电信号的参量仅可能取有限个值；模拟信号指电信号的参量可以取连续值。

他们的区别在于电信号参量的取值是连续的还是离散可数的何谓数字通信，数字通信有哪些优缺点传输数字信号的通信系统统称为数字通信系统；优缺点：数字通信系统的一般模型中的各组成部分的主要功能是什么数字通行系统的模型见图1-4所示。

其中信源编码与译码功能是提高信息传输的有效性和进行模数转换；信道编码和译码功能是增强数字信号的抗干扰能力；加密与解密的功能是保证传输信息的安全；数字调制和解调功能是把数字基带信号搬移到高频处以便在信道中传输；同步的功能是在首发双方时间上保持一致，保证数字通信系统的有序，准确和可靠的工作。

1-5按调制方式，通信系统分类？根据传输中的信道是否经过调制，可将通信系统分为基带传输系统和带通传输系统。

1-6按传输信号的特征，通信系统如何分类？按信号特征信道中传输的信号可分为模拟信号和数字信号，相应的系统分别为模拟通信系统和数字通信系统。

1-7按传输信号的复用方式，通信系统如何分类？频分复用，时分复用，码分复用。

1-8单工，半双工及全双工通信方式是按什么标准分类的？解释他们的工作方式并举例说明1-9通信系统的主要性能指标是什么？分为并行传输和串行传输。

并行传输是将代表信息的数字信号码元以组成的方式在两条或两条以上的并行信道上同时传输，其优势是传输速度快，无需附加设备就能实现收发双方字符同步，缺点是成本高，常用于短距离传输。

关于界限的议论文800字5篇关于界限的议论文800字篇1据报道，李宇春在北大讲堂只唱了一首歌，说了十几句话，就引起了学生为之疯狂和尖叫。

此事引发了争论，有人认为不该让娱乐节目融入大学讲堂，有人又认为文化不分高低贵贱。

我认为，文化是没有什么界限的，大学讲堂也是可以多资多彩的。

不可否认，大学讲坛一直以来给人们的印象都是教学和学术研究，但是它本身是没有规定一定都是传统的，严肃的。

这是一个分享不同文化，不同领域的平台，这是一个让大学生见识更广阔的平台，所以李宇春走进北大讲堂，既是宣传自已，又是向大学生们展示另一种音乐文化。

李宇春超女总冠军穿衣打扮十足中性化，是90后的青春记忆。

有人问为什么她会让如此多人为之尖叫和疯狂，她的粉丝回答因为他身上有种独特的魅力它代表着一种音乐风格，文化没有高低贵贱之分，大学，也不是只能停留在旧时的印象中，李宇春带着文化走进北大讲坛，不仅是把娱乐带进大学讲坛，也是把视野和经验带进大学讲堂，每件事都会有好的一面和坏的一面。

李宇春的出现引起了现场极度混乱，确实不好，但另一方面，它能让更多的人了解另一种音乐文化。

每一代人都有不同的文化和技艺，再惹的人的记忆里，大学讲堂是教学和学术研究的圣殿，但在有的人的记忆里，大学讲坛是文化传播的重要平台，同样，阔别北京56年的李熬也来到北大讲台，那么李宇春也一样可以来，各有各的看法，各有各的观点。

近年来也有许多明星进入大学讲堂演讲，他们有一个方面可能是为了提高知名度，但另一方面是想告诉这些将要踏入社会的大学生们，在社会生存的经验，比如演员，他要体验很多人的人生，不同的纪念，这些对大学生们来说，不仅是知识，更是道理，如果大学想谈真的只有教学和学术研究。

那么大学生们该少了多少人生经验和对人生道路的帮助。

大学讲坛不是神圣不可侵犯的，而是一个分享的平台，文化不分界限！关于界限的议论文800字篇2曾经，在一条宽阔的马路上，我亲眼看见一个生命的离去，看见一个躯体失去意义的瞬间。

通信原理课后总结范文复习题1.1已知英文字母e出现的概率为0.105。

某出现的概率为0.002，试求e和某的信息量。

解：I(E)log2P(E)log20.1053.25（bit）I(某)log2P(某)log20.0028.97（bit）1.3设有四个符号，其中前三个符号的出现概率分别为1/4,1/8,1/8,且各符号的出现是相互独立的。

试计算该符号集的平均信息量。

解：H(某)P(某i)log2P(某i)i144.6若上题中的四个符号分别用二进制00,01,10,11表示，每个二进制码元用宽度为5m的脉冲传输，试求出该信道的容量等于多少b/？解：r=1/(2某5m)=100符号/=Cr=1.967某100=196.7b/4.7设一副黑白数字相片有400万个像素，每个像素有16个亮度等级。

若用3kHz带宽的信道传输它，且信号噪声功率比等于10dB，试问需要传输多少时间？解：每个像素的信息量为：Iplog2(1/16)4bit每幅相片的信息量为:IP400000041.610bit711111111log2log2log2log21.75（bit/符44888822号）1.4，一个由字母A.B.C.D组成的字，对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00，01,10,11分别代替A.B.C.D，每个脉冲宽度为5m，（1），不同的字母是等可能出现时，使计算传输的平均信息速率。

（2），若四个字母出现的概率分别为1/5,1/4,1/4,3/10，试计算传输的平均信息速率。

解：（1）因一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2某5m，传送字母的符号速率为等概率时，平均信息速率为（2）每个符号的平均信息量为：CtBlog2(1S/N)3000log2(110)1.038104bit/tIP/Ct(1.6107)/(1.038104)1541=25.68min5.2，根据图示的调制信号波形，试画出DSB及AM信号的波形图，并比较他们分别通过包络检波后的波形差别。