广东省深圳市圆梦教育2017届高三上学期10月月考数学试卷(b卷)

广东省广州市广东实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}A xx a =<∣，{21}B x x =-<<∣，且R R A B ⋃=ð，则a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,∞+ C ．[]2,1- D ．()2,-+∞2．如图，O A B '''V 是水平放置的OAB △用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与x '轴和y '轴平行），26O B O D '=''='，8O C ''=，则OAB △的面积为（ ）A．B．C ．24 D ．483．设满足一元线性回归模型的两个变量的n 对样本数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，下列统计量中不能．．刻画数据与直线y bx a =+的“整体接近程度”的是（ ） A ．()1ni i i y bx a =-+∑B．1ni =C ．()()21ni i i y bx a =-+∑D ．1ni y bx a =-+4．已知a ､b 为异面直线，则下列命题正确的是（ ）A ．过直线a ､b 外一点P 一定可以作一条与a ､b 都平行的直线B ．过直线a ､b 外一点P 一定可以作一个与a ､b 都平行的平面C ．过直线a 一定可以作一个与直线b 平行的平面D ．过直线a 一定可以作一个与直线b 垂直的平面 5．已知π33π5πsin ,4544x x ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则sin 1tan x x =-（ ） A ．21100 B ．21100-CD ．6．已知椭圆C 的方程为()222210+=>>x y a b a b ，焦距为2c ，直线y=与椭圆交于A ，B两点，2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．34BCD7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则21a a 的取值范围是（ ） A ．67,78⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．613,715⎛⎫⎪⎝⎭C ．67,,78⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．613,,715⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U8．我国古代数学家李冶在其著作《测圆海镜》中系统地介绍了天元术，即利用未知数列方程的一般方法，与现代数学中列方程的方法基本一致.先“立天元一为……”，相当于“设x 为……”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，最后通过合并同类项得到方程 10110n n n n a x a x a x a --++++=L .设1011()n n n n f x a x a x a x a --=++++L若1(2)5238n f n +=⋅--，则(1)f =（ ） A ．2342n n+B ．231142n n ++C ．23542n n ++D ．23742n n ++二、多选题9．设A ，B 为一个随机试验中的两个事件，且1()3P B =，5(|)6P B A =，1(|)2P B A =，则（ ）A ．()34P A B +=B ．()13P A =C ．3(|)4P A B =D ．()16P AB =10．已知等比数列 a n 的公比为q ，前n 项和为n S ，若11S =-且N n +∀∈，2n n a a +>，则（ ）A ．20a >B ．01q <<C ．1n n a a +>D ．11n S q <- 11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AC BC CC ===，E 为11B C 的中点，过AE 的截面与棱1BB 、11AC 分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是（ ）A ．存在点F ，使得1A F AE ⊥B ．线段1C G 长度的取值范围是 0,1C ．当点F 与点B 重合时，四棱锥C AFEG -的体积为2D ．设截面FEGA 、AEG △、AEF △的面积分别为1S 、2S 、3S ，则2123S S S的最小值为三、填空题12．二项式523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为．13．设直线l 与球O 有且只有一个公共点，从直线l 出发的两个半平面α，β截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角l αβ--的平面角为3π，则球O 的半径为. 14．已知函数()sin 1f x x x =-+，若关于x 的不等式()()e e 22x xf ax f a x +--+>的解集中有且仅有2个正整数，则实数a 的取值范围为.四、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()1tan 1tan 2A B --=，3b =，a (1)求C 的值；(2)延长AB 到D 点，使得CDB ACB ∠=∠，求BD 的长度 16．已知函数()()2f x x x c =-，R x ∈，c 是常数.(1)若()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，求c 的取值范围.(2)若函数()y f x =在2x =处有极大值，求c 的值.17．如图，三棱台1111,,ABC A B C AB BC AC BB -⊥⊥，平面11ABB A ⊥平面,6ABC AB =，114,2,BC BB AC ==与1AC 相交于点,2D AE EB =u u u r u u u r，且//DE 平面11BCC B ．(1)求三棱锥111C A B C -的体积；(2)平面11A B C 与平面ABC 所成角为1,CC α与平面11A B C 所成角为β，求αβ+的值． 18．已知抛物线2:4,,,W x y A B C =是W 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,A B C '''，则称三角形A B C '''为抛物线的外切三角形．(1)当点C 的坐标为()2,1,B 为坐标原点，且BA BC =时，求点B '的坐标；(2)设外切三角形A B C '''的垂心为H ，试判断H 是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；(3)证明：三角形ABC 与外切三角形A B C '''的面积之比为定值．19．给定正整数3N ≥，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ⋅⋅⋅满足如下三个性质：①{},1,2,,i i x y N ∈⋅⋅⋅，且()1,2,i i x y i m ≠=⋅⋅⋅；②()11,2,,1i i x y i m +==⋅⋅⋅-；③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.(1)当3N =，3m =时，写出所有满足11x =的数对序列A ；(2)当6N =时，证明：13m ≤；(3)当N 为奇数时，记m 的最大值为()T N ，求()T N .。

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π35. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 11291409112314037. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AA P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m⊥m αβ= l α∥l m∥10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体【正确答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．A 'BCCB ''A BCC B '''-故选：B2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 【正确答案】A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.1221141sin 604122S =⨯⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 【正确答案】C【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，,HE GF 可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长，1111,,,AA BB CC DD 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.1111,,,AA BB CC DD P分别为棱的中点，,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 延长，则的延长线必过点，,HE GF ,HE GF P 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点HE GF P 1BB P 1CC P；与直线是异面直线.BF 故选：C.4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π3【正确答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为， l h r 则且，故2ππS r ==底=π3πS r l ⨯⨯=侧1,3r l ==，h ∴===圆锥的体积为．∴21π13⨯⨯⨯=故选：D ．5. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）【正确答案】D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），1CD 1D E1D CE ∠然后在中用余弦定理即可解得.1D CE 【详解】连接，，如图：1CD 1D E因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线1111ABCD A B C D -11//CDBA 1D CE ∠与 所成角，1BA CE 设正方体的棱长为，，a1CD===，1,CE D E ======在中，，1D CE 2221111cos 2CD CE DE D CE CD CE +-∠=⋅⋅==所以异面直线与 .1BA CE故选：D.6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 1129140911231403【正确答案】A【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.1A 1A E AC ⊥【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，11,AC A C 1A 1A E AC ⊥E 易知为正四棱台的高，1A E 1111ABCD A B C D - 因为，1124,ABA B ==所以由勾股定理得，11AC A C==又，11CC AA ==则在等腰梯形中，，11ACCA AE =所以，143A E ===所以所求体积为.11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=故选.A7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺【正确答案】C【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛2120藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），207321⨯=（尺）.29=故选：C.8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AAP 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ【正确答案】C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF 是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P 点11EGC D 1C G 1D E 1C H CF 的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF则∥，，且∥，，11A B EG 11A B EG =11A B 11C D 1111A B C D =可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，EG 11C D 11EG C D =11EGC D 1C G 1D E 且平面，平面，可得∥平面，1C G ⊄1CD EF 1D E ⊄1CD EF 1C G 1CD EF 同理可得：∥平面，1C H 1CD EF 且，平面，可知平面∥平面，111C H C G C = 11,C H C G ⊂1C GH 1C GH 1CD EF 又因为P 点是正方形内的动点，平面，11ABB A 1C P ∥1CD EF 所以点在线段上，M GH由题意可知：，可得，1111,22GH A B EF A B ==GH EF ==所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m ⊥m αβ= l α∥l m∥【正确答案】BC【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥l β⊥l α∥l α⊂对于B ，若，，则，而，故，故B 正确；m β⊥l m ∥l β⊥l α⊂αβ⊥对于C ，若，，则，而，故，故C 正确；αβ∥m α⊥m β⊥l β⊂l m ⊥对于D ，若，，则或异面，故D 错误，m αβ= l α∥l m ∥,l m 故选：BC10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为【正确答案】ABD【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算可判断C ；利用基EFGH S 本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于，，所以，且不在水面所在平面11A D BC ∥BC FG ∥11A D FG ∥11A D 内，所以棱与水面所在平面平行，选项B 正确；11A D 对于选项C ，在图（1）中，，在图（2）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，选项C 错误；4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=对于选项D ，，所以．12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅△4BE BF ⋅=，当且仅当时，等号成立，22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=2BE BF ==所以EF 的最小值为，选项D正确．故选：ABD ．11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN【正确答案】BD【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即平面，于是，BF ⊥EAB BF AB ⊥，但六边形为正六边形，，矛盾，90ABF ∠=︒ABFPQH 120ABF ∠=︒所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=所以B 对；对于C ，取正方形对角线交点，ACPM O即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C 错误；R =24π8πR =对于D ，因为在平面内射影为，PN EBFN NS 所以与平面所成角即为，PN EBFN PNS ∠其正弦值为，所以D 对．PS PN==故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.【正确答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，ABC V 2,2BC OA ==所以三角形的面积.ABC 12222S =⨯⨯=故答案为:2.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π【正确答案】29π【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，h R 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，10π2π10πh =5h =由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此.R ==24π29πS R ==故29π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB【正确答案】)61π+【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交DOC ∠C CE AB ⊥于点，过点作交于点，即可求出，将扇AB E D DF AB ⊥AB F ,,,,,CE OE AE OF BF DF 形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部DOC AB R 分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，ππ,63AOC BOD ∠∠==π2DOC ∠=R 又，解得（负值舍去），2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形2R =过点作交于点，过点作交于点，C CE AB ⊥AB ED DF AB ⊥AB F 则，ππsin1,cos 66CE OC OE OC ====所以，同理可得，2AE R OE =-=-1DF OF ==将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球COD AB 2R =缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，12h =-11r=1h ='下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，21h =2r =21h ='则上面球冠的表面积，(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-下面球冠的表面积，球的表面积，222π2π214πs Rh ==⨯⨯=24π16πS R ==球上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，222ππ2S r l ==='所以几何体的表面积.())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=+球故答案为.)61π+关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出，得到四点共面；//GH BC （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.1//A E BG //GH EF 【小问1详解】∵，分别是，的中点，G H 11A B 11A C ∴是的中位线，∴，GH 111A B C △11//GH B C又在三棱柱中，，∴，111ABC A B C -11//B C BC //GH BC ∴，，，四点共面.B C H G 【小问2详解】∵在三棱柱中，，，111ABC A B C -11//A B AB 11A B AB =∴，，1//A G EB 1111122A G A B AB EB ===∴四边形是平行四边形，∴，1A EBG 1//A E BG ∵平面，平面，∴平面.1A E ⊂1A EF BG ⊂/1A EF //BG 1A EF 又，是，的中点，所以，又.E F AB AC //EF BC //GH BC 所以，//GH EF ∵平面，平面，∴平面.EF ⊂1A EF GH ⊂/1A EF //GH 1A EF 又，平面，BG GH G = ,BG GH ⊂BCHG 所以平面平面.//BCHG 1A EF 16. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【正确答案】（1）23（2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）先得到，根据Q 为PB 的中点，故1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ；1223Q ABM P AMB V V --==（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以⊥，AM BM 又，故，2AM BM ==122AMB S AM BM =⋅= 又PA 垂直于⊙O 所在的平面，，2PA =故，11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= 因为Q 为PB 的中点，所以.11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，⊂∴PA ⊥BM .又∵，PA ，AM 平面PAM ，PA AM A = ⊂∴BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，∴BM ⊥AN .⊂又AN ⊥PM ，且，BM ，PM 平面PBM ，BM PM M = ⊂∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ 平面ANQ ，⊂∴PB ⊥NQ .17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD ⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵，BC CD ⊥∴为直角三角形，BCD △∵平面，且平面，平面，平面，AB ⊥BCD BD ⊂BCD ⊂BC BCD CD ⊂BCD∴，，，AB BC ⊥AB BD ⊥AB CD ⊥∴和为直角三角形，ABC V ABD △∵，平面，平面，BC AB B ⋂=BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴平面，CD ⊥ABC 又∵平面，AC ⊂ABC ∴，CD AD ⊥∴为直角三角形，ACD ∴三棱锥为鳖曘.A BCD -【小问2详解】①连接，∵点分别为的中点，CE ,P Q ,BC BE ∴，//PQ CE 且平面，平面，PQ ⊄ACD CE ⊂ACD 所以直线平面，//PQ ACD ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，//PQ ACD PQ ⊂DPQ DPQ ⋂ACD l 所以.//PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；,ED EB （2（3【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取的中点，取的对SA S C E ABCD 称中心,连接,证明即得截面；O OE //SA OE BDE （2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；BDE （3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.C BDE 【小问1详解】如图，取的中点，连接,则即为要画的线.S C E ,,ED EB ,ED EB理由如下：连接与交于点，连接.BD AC O OE 因四边形ABCD 为平行四边形，则点为的中点，故,O AC //SA OE 又因平面,平面,故有平面；SA ⊄BDE OE ⊂BDE SA ∥BDE 【小问2详解】如图中，过点作于点，连接,E EF DC ⊥FBF 因平面,平面，则,SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD SD CD ⊥故,平面,,//EF SD ⊥EF ABCD 112EF SD ==12DE SC ===因，则,12,60,22CFDC DCB BC ==∠== 2BF =因平面，则，故,BF ⊂ABCD EF FB ⊥BE ==又由余弦定理，，故得.22224224cos6012BD =+-⨯⨯=BD =又，O 为BD 中点，则，DE DB =OE BD ⊥于是截面的面积为；12BDE S =⨯= 【小问3详解】过点作平面，交平面于点,连接,C CH ⊥BDE BDE H EH则即直线与截面所成的角.CEH ∠S C BDE 由可得，,E BCD C BED V V --=1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯即得：，则BCD BED S EF CH S ⨯===sin CH CEH EC ∠===即直线SC 与平面BDE 思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析ABC V （2（3）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，1AA AC ⊥1AA AB ⊥（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，1AA ⊥ABC ,AC AB ⊂ABC 所以，，1AA AC ⊥1AA AB ⊥所以点A 的曲率为，得，π2ππ2232BAC -⨯-∠=π3BAC ∠=因为，所以为等边三角形.AB AC =ABC V【小问2详解】取中点D ，连接、，BC AD AM 因为D 为的中点，所以，BC AD BC ⊥因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥因为，平面，所以平面；1BB BC B = 1,AA AB ⊂11ABB A AD ⊥11BB C C 所以是三棱锥的高.AD 1A BB M -设点到平面的距离为，则有，即.B 1AB M h 11B AB M A BB M V V --=11AB M BB M S h S AD =⋅在中有，同理计算得，11Rt AA B△1AB ==1AM B M BM ===.AD =所以，，112AB M S =⨯=114242BB M S =⨯⨯=所以.h ==【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，1,2,,M ⋅⋅⋅设第号多边形有条边，i ()1i M ≤≤i L 则多面体共有条棱，122ML L L L ++⋅⋅⋅+=由题意，多面体共有个顶点，12222ML L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+号多边形的内角之和为，i π2πi L -所以所有多边形的内角之和为，()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦.()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭所以简单多面体的总曲率为.4π。

广东省深圳市光明区2024-2025学年高三上学期10月英语测试一、阅读理解VOLUNTEERING IN SRI LANKAExplore International V olunteer Headquarters’ exciting Sri Lanka volunteer abroad program. With affordable fees and top-rated projects trusted by over 142,000 travelers, IVHQ is the best volunteer organization in Sri Lanka.HIGHLIGHTS• Airport pick-up, welcome session,meals and 24/7 in-country support;• Accommodation in volunteer houses in many regions;• A special Cultural Introduction Week available as an add-on.PROJECTSIMPORTANT THINGS TO NOTEAll programs attract a Registration Fee of $299 in addition to the Program Fee.Recommended spending money: V olunteers typically need $50 per week for expenses.1．What will IVHQ volunteers enjoy?A．Travel guidance.B．Welcome gifts.C．Free accommodation.D．Considerate services.2．Which project may attract wildlife enthusiasts?A．Childcare in Kandy.B．Women’s Education in Kandy.C．Elephant Welfare in Randeniya.D．Construction and Repair in Kandy. 3．What is the cost for two applicants for the Women’s Education project?A．$1,378.B．$780.C．$1,079.D．$689.“For a species dependent on plants for food, we give plants curiously little respect,” said biologist David George Haskell in Scientific American. But as Zoe Schlanger’s “breathtaking” book The Light Eaters makes clear, plants do more than just provide the oxygen-rich atmosphere and turn light and air into usable energy; their significance is more than that. Plants appear to sense touch, communicate, remember, and make decisions, and her survey of the current science “will transform how you see not only plants but the nature of all life.”“In places, Schlanger’s assumptions are likely to displease researchers,” said Dr. Beronda L. Montgomery in Nature. Botanists (植物学家) are debating whether to credit intelligence to plants, but that doesn’t mean the field is in chaos. Schlanger sometimes rushes to generalize from a single researcher’s work, but The Light Eaters “overflows with her enthusiasm,” and as Schlanger visits researchers and shares their discoveries, she provides “a rare and welcome insight into the humanity and devotion of botanists.” Among her discoveries, some tomato plants release a distasteful chemical when caterpillars (毛毛虫) feed on them. Similarly, corn plants use caterpillar saliva (唾液) to attract bees that hunt caterpillars.Laura Miller, in her Slate review, appreciates Schlanger’s The Light Eaters for showing the plant kingdom’s wonders. But she finds the book’s focus on proving plant intelligence to be a minor imperfection. Schlanger seems to believe that humans need reasons to identify with plants to respect them, an opinion Miller challenges. She assumes that it’s the great differences between plants and humans, like the calming strangeness of nature, that we find appealing. Miller puts forward that plants might be driven by forces beyond our comprehension, making them exciting to study not for their intelligence, but for their secrets.4．What makes Schlanger’s work so amazing?A．Its clear explanation.B．Its revolutionary view.C．Its widespread survey.D．Its scientific foundation.5．What is Beronda’s attitude towards The Light Eaters?A．Favorable.B．Dismissive.C．Doubtful.D．Unclear.6．What does Laura suggest we do?A．Embrace plant diversity.B．Appreciate plant mystery.C．Label plants as intelligent.D．Build reactions with plants.7．What is the purpose of the text?A．To praise a botanist.B．To remember a writer.C．To recommend a book.D．To introduce a phenomenon.The rock group Counting Crows were onto something when they chose their band name. Crows (乌鸦) can indeed count, according to research published this week in Science.The results show that crows have counting capacities near those of human babies, says lead study author Diana Liao, a researcher at the University of Tübingen in Germany. “We think this is the first time this has been shown for any animal species,” she adds.Crows do not appear to be capable of symbolic counting, where numbers serve as an exact representation. Instead, the birds count by controlling the number of vocalizations (发声) they produce to correspond to associated hints. This is similar to how young children count before learning symbolic numbers, Liao says. For example, a baby who is asked how many apples are on a tree may answer, “One, one, one”. The baby produces the number of speech sounds which agree with that of the apples, rather than just saying, “Three.”In the study, Liao and her colleagues presented the crows with randomly ordered hints, four of which were visual-colored numbers that appeared on a touch screen. And four of them were auditory (听觉的), including sounds made by guitars and drums. Through trial and error, the birds had to figure out the correct number of calls to pair with each hint. If they got it right, they received a worm reward.After receiving about 180 training sessions, all of the crows were able to produce the correct number of vocalizations associated with the hints — a “pretty cool” finding, Liao says.She suspects, too, that the crows could have mastered numbers higher than four if they were given the opportunity.Onur Güntürkün, a biopsychologist at Ruhr University Bochum in Germany, who was not involved in the research, says the new paper is “excellent” even if the findings are “not unexpected” given all that scientists already know about crows’ intelligence.8．What is the new research about?A．Crows’ ability to count.B．Crows’ skill of solving problems.C．A comparison between crows and babies.D．An investigation into a famous rock group.9．Why does the author mention a baby counting apples in paragraph 3?A．To clarify how crows count.B．To explain how babies think.C．To illustrae the wisdom of crows.D．To display baby learning progress.10．How did the crows get the worm rewards?A．By counting objects on the screen.B．By picking colors from the touch screen.C．By choosing between sounds and images.D．By matching sounds to visual and audio hints.11．What can be inferred from the last paragraph?A．The research is poorly recognized.B．The results fit with previous findings.C．The study needs further confirmation.D．The biopsychologist is critical of the study.A new study has found that a person’s face tends to evolve to suit their name. The researchers sought to determine how parents choose baby names. Do they pick a name that fits the baby’s appearance? Or does the person’s face change over time to match the name they were given?In the study, children and adults were asked to match faces to names. The findings revealed that both the children and the adults correctly matched adult faces to their corresponding names, significantly above the chance level. However, when it came to children’s faces and names, the participants were unable to make accurate associations.In another part of the study, a machine learning system was fed a large database of human face images. The computer recognized patterns in the faces of adults and found that those with the same name had more similar facial features. These faces were more alike than those of adults with different names. However, no significant similarity was found among children with the same name compared to those with different names.The researchers concluded that the similarity between a person’s face and their name results from a self-fulfilling(自我应验的)prediction. The facial appearance changes over a long period of time to align with social stereotypes(刻板印象)associated with the name. Stereotypes can develop in various ways, such as when a name is linked to a celebrity or a cultural figure. For example, individuals named “Rose” might be regarded as more attractive or gentle, leading them to adopt softer facial expressions over time.Dr. Yonat Zwebner from Reichman University says, “Our research highlights the broader importance of this surprising effect-the intense influence of social expectations. We have demonstrated that social constructs, or structuring, do exist-something that until now has been almost impossible to test experimentally.“Social structuring is so strong that it can affect a person’s appearance. These findings may imply the extent to which other personal factors that are even more significant than names, such as gender or cultural background, may shape who people grow up to be.” Dr. Yonat added. 12．What did the researchers focus on?A．A name-appearance link.B．Reasons for face changes.C．A name-selection process.D．Benefits of name matching.13．What did the machine learning system suggest?A．Grown-ups generally look alike.B．Adults’ names tend to lack diversity.C．Names may affect certain face features over time.D．Machine testing is more reliable than human testing.14．What does the underlined phrase “align with” in paragraph 4 probably mean?A．Depart from.B．Depend on.C．Result in.D．Correspond to. 15．What does Dr. Yonat’s comment stress?A．The importance of facial appearance.B．The impact of social factors on identity.C．The concern of choosing proper names.D．The difficulty of testing social structuring.How to Reconnect with Nature Through WritingWhether you’re in the wilderness or a city park, being present with other beings can be deeply rewarding. The wild is calling, and writing offers a powerful tool for re-connection. Through keen observation and warm language, we can develop a deeper connection with our environment. 16The first step is raising a keen awareness of your surroundings. By sharpening your senses, you’ll capture the essence of a plant or place in vivid detail. Imagine describing a forest after a summer rain: What can you see? Maybe sunlight passing through the leaves? 17 Sensory details create an experience that brings both you and the reader into the heart of the forest.Limiting your focus to one single being. This limitation creates a deeper connection between you and your fellow creature, whether a sunflower pushing through a crack (裂缝) in the sidewalk, or a strange-looking mushroom. 18 By exploring this nature-being, you gain a richer understanding and appreciation for its existence.19 It can also be about experiencing the natural world from a different angle. Try writing a letter to your wild friend: Choose a plant, animal, or natural element. Imagine how the world might appear through the eyes and ears of them. They also have stories to tell.Nature writing is a journey of continuous discovery. 20 Keep writing, keep exploring your local environment, and keep rewilding yourself. Share your experiences and remember, even the smallest backyard can be a place for wonder and inspiration.A．Or do you smell the natural smell of wet soil in the air?B．Nature writing isn’t just about humans observing nature.C．How does a plant sense the surroundings compared to you?D．Let’s explore some tips to set off on your wild writing journey.E．Use all your senses to capture the unique details of one creature.F．The following are some techniques to unlock your creative potential.G．The practice of it can awaken a new appreciation for the world around you.二、完形填空I will always cherish the memories of my trip to Goa, especially that unforgettable night on the train.I went on this trip with my school friends to 21 our minds and escape from our 9-to-5 lives. As an Indian, 22 Goa is a dream for everyone. Our group traveled from Mumbai to Goa, enjoying ourselves by singing and making 23 inside the train. After a while, a young man approached us and politely 24 , “Please go to sleep and let everyone 25 ”Despite his request, we were still in high 26 and paid little attention to his words.A little while later, he returned, visibly 27 this time. I can still recall his words clearly: “You guys are heading to Goa, which is fine. I 28 that you’ll hit the beach in the morning, but I have a 29 court case to prepare for tomorrow!” He explained that 30 this case required him to rest so he could 31 defending an innocent person. We were shocked by the realization that the train accommodated such a 32 range of passengers-some traveling for enjoyment like us, while others, like the lawyer, had important33 .So, 34 our enjoyment with respect for fellow travelers is necessary. We should acknowledge that quiet and rest might be crucial for some, even in a setting typically associated with 35 and fun like a train trip to Goa.21．A．refresh B．challenge C．limit D．guide 22．A．surveying B．improving C．visiting D．protecting 23．A．complaints B．music C．memories D．noise 24．A．begged B．requested C．declared D．apologized 25．A．rest B．eat C．play D．walk 26．A．demand B．pressure C．risks D．spirits 27．A．amused B．tired C．annoyed D．surprised 28．A．understand B．ensure C．plan D．recall29．A．strange B．critical C．basic D．boring 30．A．investigating B．reviewing C．deciding D．winning 31．A．learn about B．dream of C．focus on D．feel like 32．A．small B．diverse C．specific D．common 33．A．proof B．knowledge C．insights D．responsibilities 34．A．replacing B．mixing C．balancing D．comparing 35．A．leisure B．romance C．business D．education三、语法填空阅读下面短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。

河南省部分名校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知命题():,ln 210xp x ∀∈+>R ，命题:1q x ∃>，sin20253x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题2．已知全集U =R ，集合{}50,2x A x B x x x ⎧⎫-=<=>⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}25x x <<B ．{}25x x ≤<C ．{}02x x <<D ．{}02x x <≤3．已知点(),27a 在幂函数()()()2,mf x a x a m =-∈R 的图象上，则a m +=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知1012y x <<<<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．122x y <+< B ．11y yx x+>+C >D ．104xy <<5．已知函数()3124e ,1,32,1x x x f x x ax a x -⎧+<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．24,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．24,35⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6．对数螺线在自然界中广泛存在，比如鹦鹉螺的外壳就是精度很高的对数螺线，向日葵种子的排列方式、松子在松果上的排列方式都和对数螺线高度吻合.已知某种对数螺线的解析式可以用2πe x xρα=表示，其中[)0,0,x α>∈+∞，则（ ）A ．0.055πln1.5e sin 24ρρρ>>B ．0.05ln1.55πe sin 24ρρρ>>C ．0.055πln1.5e sin 24ρρρ>>D ．0.05ln1.55πe sin 24ρρρ>>7．“102a ≤<”是“函数()()23log f x ax x a =++的值域为R ”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()f x 及其导函数f ′ x 的定义域均为R ，若()()()2,f x f x x f x =-+的图象关于直线1x =对称，且()20f =，则201(20)()i f f i ='-=∑（ ）A ．10B ．20C ．10-D ．20-二、多选题9．已知集合{}22350A x x x =∈--<N ，则下列说法正确的是（ ）A ．0A ∈B ．1A -∉C ．集合A 有15个真子集D ．{}0,1,2A ⊆10．已知函数()11ln f x x=+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象无对称中心 B ．()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()f x 的图象与()()11ln g x x =---的图象关于原点对称D ．()f x 的图象与()1e x h x -=的图象关于直线y x =对称11．记函数()1e xf x x=-的零点为0x ，则下列说法正确的是（ ）A ．00ln 0x x -=B ．013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．当32x >时，()1f x x >+ D ．0x 为函数()1e ln 1xx x g x x +=+的极值点三、填空题 12．函数()()3log 32x f x x +=+的定义域为.13．已知0a b >>，则222a b ab b +-的最小值为.14．若函数()sin f x x ax =+的图象上存在,A B 两点使得()f x 在A 处的切线与在B 处的切线的夹角为π4，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．根据指数函数的相关性质解决下面两个问题： (1)已知2332abab⋅>⋅，证明：1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)若关于x 的方程24x x t +=有两个不相等的实数根，求实数t 的取值范围. 16．已知正数,a b 满足2(3)102a b ab +-=. (1)求3a b +的取值范围； (2)证明：2296a b +≥.17．已知函数()e sin 1xf x x =--.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当π,4x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，比较()f x 与0的大小关系，并说明理由.18．一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，其活力越高.Q 市基于大数据测算城市活力，发现该市一工作日中活力度()M t 与一日中时间t 的关系可以用函数()()()()126,06,56,612,12e ,1224n t M t M t mt m t M t --⎧<<⎪=+-≤≤⎨⎪⋅<≤⎩来刻画，其中(]()()0,24,624t M M ∈=，正午12点时，该市的活力度为20，是该工作日内活力度的最高值.(1)求实数,m n 的值；(2)求Q 市该工作日内活力度不大于10的时长；(3)证明：Q 市该工作日内活力度升高时所对应瞬时变化率的绝对值恒大于活力度降低时所对应瞬时变化率的绝对值（附：ln20.69≈）.19．有一种美，叫做对称美，数学中的“对称”体现了数学美，对称性是数学美的最重要的特征.若函数()f x 的图象在其定义域内连续，0x 在()f x 的定义域内且函数()f x 的图象上存在关于直线0x x =对称的两点，则称直线0x x =为函数()f x 图象的一条“准对称轴”.(1)已知二次函数()()20,,f x ax bx c a b c =++≠∈R ，直线0x x =为函数()f x 图象的“准对称轴”，请直接写出0x 的取值；(2)已知三次函数()3(0)g x x mx m =->，证明：当且仅当0x <0x x =为函数()g x 图象的一条“准对称轴”；(3)已知x '为函数()e 2xh x x =-的极值点，判断直线x x '=是否是函数()h x 图象的一条“准对称轴”，并说明理由.。

深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试数 学（本试卷共3页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

） 2024.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．已知集合，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．，是平面内不共线两向量，已知，，，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是（ ）A ．B ．2C ．D ．33．若是第三象限角，且，则的值为（ ）A ．B ．5C ．D ．4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数在上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．6．已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（）A ．B ．C ．D ．7．已知关于x 不等式的解集为，则（）A ．B ．点在第二象限C ．的最大值为D ．关于x 的不等式的解集为{}2,1,0,1,2,3U =--{}1,2A ={}1,0,1B =-()U A B = ð{}2,3-{}2,2,3-{}2,1,0,3--{}2,1,0,2,3--1e 2e 12AB e ke =- 122CB e e =+ 123CD e e =-2-3-α()()5sin cos cos sin 13αββαββ+-+=-tan 2α5-513-513()f x []2,2-()()1f x F x x+=[]1,3-[]3,1-[)(]1,00,3- [)(]3,00,1- ()()22ln 3f x x ax a=--+[)1,+∞(],1-∞-(),1-∞-(],2-∞()2,+∞1e 2e 2122e e ==2e 1e 1e - 1e 2e 212e -12-214e -2e - ()()20x ax b x c-+≥-(](],21,2-∞- 2c =(),a b 22y ax bx a =+-3a20ax ax b +-≥[]2,1-8．已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。

2023-2024学年广东省深圳市校联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M （2，3，﹣1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣2，3，﹣1） B ．（2，﹣3，﹣1）C ．（2，3，1）D ．（﹣2，﹣3，1）2．直线2x ﹣y ﹣4＝0的一个方向向量为（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．（3，﹣1）D ．（1，2）3．已知直线l 的方向向量e →=(1，−2，−2)，平面α的法向量n →=(2，λ，−1)，若l ∥α，则λ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣24．已知a ，b ∈R ，则“直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知空间三点A （1，﹣1，2），B （3，0，﹣1），C （2，3，﹣3），则向量AB →与CB →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，经过点P （x 0，y 0，z 0），且法向量为m →=(A ，B ，C)的平面方程为A （x ﹣x 0）+B （y ﹣y 0）+C （z ﹣z 0）＝0，经过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为n →=(a ，b ，c)(abc ≠0)的直线l 的方程为x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面α的方程为2x ﹣7y +z ﹣4＝0，经过（0，0，0）的直线l 的方程为x2=y 3=z−1，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．√217B ．√219C ．√2114D ．√2167．已知直线y ＝2x +m 与曲线y =√4x −x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围为（ ） A ．[0，2√5−4)B ．[0，2√5−4]C ．[−2√5−4，0)D ．[−2√5−4，0]8．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），点P 在平面ABC 内，且OP ⊥平面ABC ，则|BP |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．√263D ．√423二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于直线l ：√3x ﹣y ﹣1＝0，下列说法正确的有（ ） A ．过点（√3，﹣2） B ．斜率为√3 C ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为110．若平面α⊥β，平面α的法向量为n →=(2，1，−4)，则平面β的一个法向量可以是（ ） A ．（2，0，1）B ．（﹣2，﹣1，4）C ．（1，2，1）D ．(1，12，−2)11．已知圆心为C 的圆x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0与点A （0，﹣5），则（ ） A ．圆C 的半径为2 B ．点A 在圆C 外C ．点A 与圆C 上任一点距离的最大值为3√2D ．点A 与圆C 上任一点距离的最小值为√212．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其中以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．AC 1=√6B ．BD 1与AC 所成角的余弦值为√66C ．AC 1⊥平面A 1BDD ．AA 1与平面ABCD 所成角的余弦值为√34三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l 1：2x +ay ﹣4＝0与直线l 2：（a ﹣1）x +3y ﹣4＝0平行，则实数a 的值为 ．14．已知直线l 的方向向量为（﹣3，m ，2），平面α的法向量为（n ，3，4），且l ⊥α，则2m +n ＝ ． 15．已知圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36与圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4只有一条公切线，则a 2+b 2＝ ． 16．四面体ABCD 各顶点坐标为（2，2，1），（2，1，0），（0，1，1），（0，2，0），则它的外接球的表面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝120°，F 为CD 的中点，PB ＝2，以B 为坐标原点，BA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出B ，D ，P ，F 四点的坐标；（2）求cos〈PD →，BF →〉．18．（12分）已知△ABC 的三个顶点是A （2，3），B （1，2），C （4，﹣4）． （1）求BC 边上的高所在直线l 1的方程；（2）若直线l 2过点C ，且点A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程． 19．（12分）已知圆C 经过A （0，2），B （1，1），且圆心在直线l 1：2x +y ﹣4＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）若从点M （3，5）发出的光线经过直线l 2：x +y ﹣1＝0反射后恰好平分圆C 的圆周，求反射光线所在直线的方程．20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面三角形ABC 是边长为4的正三角形，侧面ACC 1A 1是菱形，且平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱A 1C 1，BC 的中点，C 1G →=2GC →． （1）证明：EF ∥平面ABB 1A 1；（2）若①三棱锥C 1﹣ABC 的体积为8；②C 1C 与底面ABC 所成角为60°；③异面直线B 1B 与AE 所成的角的大小为30°．请选择一个条件求平面EFG 与平面ABB 1A 1所成角（锐角）的余弦值．21．（12分）直线l ：（m +1）x +（2m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣4y ﹣3＝0． （1）证明：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标； （2）当直线l 被圆C 截得的弦最短时，求此时l 的方程；（3）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当△ABC 的面积最大时，求直线l 方程．22．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为直角梯形，平面ABCD ⊥平面P AB ，AB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝CD ＝2AB ＝2，PD ＝2P A ．（1）若△ABP 与△DCP 相似，三棱锥A ﹣PBC 的外接球的球心恰为PC 中点，求AB 与平面PCA 所成角的正弦值；（2）求四棱锥P﹣ABCD体积的最大值．2023-2024学年广东省深圳市校联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M （2，3，﹣1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣2，3，﹣1） B ．（2，﹣3，﹣1）C ．（2，3，1）D ．（﹣2，﹣3，1）解：根据空间直角坐标系中点的对称的性质，M （2，3，﹣1）关于平面yOz 对称的点的坐标为M ′（﹣2，3，﹣1）． 故选：A ．2．直线2x ﹣y ﹣4＝0的一个方向向量为（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．（3，﹣1）D ．（1，2）解：2x ﹣y ﹣4＝0变形为y ＝2x ﹣4， 故2x ﹣y ﹣4＝0的方向向量是m →=（1，2）， 只有选项D 符合，其他选项均不合要求． 故选：D ．3．已知直线l 的方向向量e →=(1，−2，−2)，平面α的法向量n →=(2，λ，−1)，若l ∥α，则λ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：因为l ∥α，故e →=(1，−2，−2)与n →=(2，λ，−1)垂直， 故e →⋅n →=(1，−2，−2)⋅(2，λ，−1)=2−2λ+2=0，解得λ＝2． 故选：C ．4．已知a ，b ∈R ，则“直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直， 则a （a ﹣1）+3（a ﹣1）＝0， 解得a ＝﹣3或1，故“直线（a ﹣1）x ﹣3y ﹣1＝0与直线ax ﹣（a ﹣1）y +2＝0垂直”是“a ＝1”的必要不充分条件． 故选：B ．5．已知空间三点A （1，﹣1，2），B （3，0，﹣1），C （2，3，﹣3），则向量AB →与CB →的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：因为AB →=(2，1，−3)，CB →=(1，−3，2)， 所以cos〈AB →，CB →〉=−714×14=−12，又＜AB →，CB →＞∈（0，π），所以 〈AB →.CB →〉=2π3． 故选：C ．6．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，经过点P （x 0，y 0，z 0），且法向量为m →=(A ，B ，C)的平面方程为A （x ﹣x 0）+B （y ﹣y 0）+C （z ﹣z 0）＝0，经过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为n →=(a ，b ，c)(abc ≠0)的直线l 的方程为x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面α的方程为2x ﹣7y +z ﹣4＝0，经过（0，0，0）的直线l 的方程为x2=y 3=z−1，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．√217B ．√219C ．√2114D ．√216解：由题意得，直线l 的方向向量为n 1→=(2，3，−1)，平面α的法向量为m 1→=(2，−7，1)， 设直线l 与平面α所成角的大小为θ， 则sinθ=|cos〈n 1→，m 1→〉|=√4+9+1×√4+49+1=|4−21−1|√14×√54=√217．故选：A ．7．已知直线y ＝2x +m 与曲线y =√4x −x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围为（ ） A ．[0，2√5−4)B ．[0，2√5−4]C ．[−2√5−4，0)D ．[−2√5−4，0]解：曲线y =√4x −x 2表示圆（x ﹣2）2+y 2＝4在x 轴的上半部分，当直线y ＝2x +m 与圆（x ﹣2）2+y 2＝4相切时，√5=2，解得m =±2√5−4，当点（0，0）在直线y ＝2x +m 上时，m ＝0， 可得m ∈[0，2√5−4)，所以实数取值范围为[0，2√5−4)．故选：A ．8．空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），点P 在平面ABC 内，且OP ⊥平面ABC ，则|BP |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．√263D ．√423解：由A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），得AB →=(−1，−1，2)，AC →=(0，−2，2)， 设平面ABC 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=−x −y +2z =0n →⋅AC →=−2y +2z =0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝1， 故n →=(1，1，1)，又OB →=(0，1，2)，OP ⊥平面ABC ，所以OP →=|OB →⋅n →||n →|=√3，又|OB →|=√02+12+22=√5，所以|BP|=√|OB →|2−|OP →|2=√5−3=√2． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于直线l ：√3x ﹣y ﹣1＝0，下列说法正确的有（ ） A ．过点（√3，﹣2） B ．斜率为√3 C ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为1解：对于直线l ：√3x ﹣y ﹣1＝0，取x =√3时，y ＝2，故A 错误； 取x ＝0时，y ＝﹣1，即直线在y 轴上的截距为﹣1，故D 错误； 化直线方程为斜截式：y =√3x −1，可得直线的斜率为√3，故B 正确； 设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ=√3，θ＝60°，故C 正确． 故选：BC ．10．若平面α⊥β，平面α的法向量为n →=(2，1，−4)，则平面β的一个法向量可以是（ ） A ．（2，0，1）B ．（﹣2，﹣1，4）C ．（1，2，1）D ．(1，12，−2)解：根据题意，n →=(2，1，−4)与平面β的法向量数量积为零，对A ：因为（2，1，﹣4）•（2，0，1）＝4﹣4＝0，满足题意，故A 正确； 对B ：因为（2，1，﹣4）•（﹣2，﹣1，4）＝﹣4﹣1﹣16＝﹣21≠0，故B 错误； 对C ：因为（2，1，﹣4）•（1，2，1）＝2+2﹣4＝0，满足题意，故C 正确； 对D ：因为(2，1，−4)⋅(1，12，−2)=2+12+8=212≠0，故D 错误． 故选：AC ．11．已知圆心为C 的圆x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0与点A （0，﹣5），则（ ） A ．圆C 的半径为2 B ．点A 在圆C 外C ．点A 与圆C 上任一点距离的最大值为3√2D ．点A 与圆C 上任一点距离的最小值为√2解：由圆x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0得（x ﹣2）2+（y +3）2＝2，知半径为√2，故A 错误；把点A （0，﹣5）代入圆的方程x 2+y 2﹣4x +6y +11＝0的左边代数式有02+（﹣5）2﹣4×0+6×（﹣5）+11＝6＞0，所以点A 在圆C 外，故B 正确；圆心C 到A 的距离为|⬚|=√(2−0)2+(−3+5)2=2√2，所以圆C 上任一点到A 的距离的最大值为2√2+√2=3√2，最小距离为2√2−√2=√2；故CD 正确； 故选：BCD ．12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其中以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．AC 1=√6B ．BD 1与AC 所成角的余弦值为√66C ．AC 1⊥平面A 1BDD ．AA 1与平面ABCD 所成角的余弦值为√34解：由题可得：|AB →|=|AD →|=|AA 1→|=1，AB →⋅AD →=AB →⋅AA 1→=AD →⋅AA 1→=12， 对于A ，因为AC 1→=AB →+BC →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→， 所以|AC 1→|=√(AB →+AD →+AA 1→)2=√AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA 1→+2AD →⋅AA →1=√1+1+1+2×12+2×12+212=√6，故A 正确；对于B ，因为BD 1→=AD 1→−AB →=AD →+AA 1→−AB →，AC →=AD →+AB →，所以BD 1→⋅AC →=(AD →+AA 1→−AB →)⋅(AD →+AB →)=1，|BD 1→|=√2，|AC →|=√3， 所以|cos ＜BD 1→，AC →＞|=|BD 1→⋅AC →||BD 1→|⋅|AC →|=√66，故B 正确；对于C ，因为BD →=AD →−AB →，BA 1→=AA 1→−AB →，所以AC 1→⋅BD →=(AB →+AD →+AA 1→)⋅(AD →−AB →)=0，AC 1→⋅BA 1→=(AB →+AD →+AA 1→)⋅(AA 1→−AB →)=0， 又因为BD ∩BA 1＝B ，所以AC 1⊥平面A 1BD ，故C 正确； 对于D ，由题意知，AA 1在平面ABCD 上的射影为AC ，所以AA 1与AC 的夹角即为所求，因为AA 1→⋅AC →=AA 1→⋅(AB →+AD →)=AA 1→⋅AB →+AA 1→⋅AD →=1， 所以|cos ＜AA 1→，AC →＞|=|AA 1→⋅AC →||AA 1→||AC →|=11×√3=√33，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l 1：2x +ay ﹣4＝0与直线l 2：（a ﹣1）x +3y ﹣4＝0平行，则实数a 的值为 ﹣2 ． 解：由于直线l 1：2x +ay ﹣4＝0与直线l 2：（a ﹣1）x +3y ﹣4＝0平行， 故2×3﹣a （a ﹣1）＝0，解得a ＝3或﹣2； 当a ＝3时，两直线重合， 故a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．已知直线l 的方向向量为（﹣3，m ，2），平面α的法向量为（n ，3，4），且l ⊥α，则2m +n ＝ ﹣3 ． 解：设平面的法向量（n ，3，4）为m →， 因为l ⊥α， 所以m →∥l →，所以有−3n=m 3=24⇒{m =32n =−6⇒2m +n =2×32−6=−3．故答案为：﹣3．15．已知圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36与圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4只有一条公切线，则a 2+b 2＝ 16 ． 解：圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36，则圆心C 1（a ，0），半径r 1＝6， 圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4， 则圆心C 2（a ，0），半径r 2＝2，圆C 1：（x ﹣a ）2+y 2＝36与圆C 2：x 2+（y ﹣b ）2＝4只有一条公切线， 则两圆内切，即|C 1C 2|＝r 1﹣r 2， 故√a 2+(−b)2=4，即a 2+b 2＝16． 故答案为：16．16．四面体ABCD 各顶点坐标为（2，2，1），（2，1，0），（0，1，1），（0，2，0），则它的外接球的表面积为 6π ．解：设四面体ABCD 外接球的球心为（x ，y ，z ），则（x ﹣2）2+（y ﹣2）2+（z ﹣1）2＝（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+z 2＝x 2+（y ﹣1）2+（z ﹣1）2＝x 2+（y ﹣2）2+z 2，解得{ x =1y =32z =12， 即四面体ABCD 外接球的球心为（1，32，12），则外接球的半径为√12+(32−2)2+(12)2=√62，即它的外接球的表面积为4π×(√62)2=6π．故答案为：6π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝120°，F 为CD 的中点，PB ＝2，以B 为坐标原点，BA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出B ，D ，P ，F 四点的坐标； （2）求cos〈PD →，BF →〉．解：（1）由题意知，△BCD 是等边三角形，∠ABD ＝60°，BD ＝2，所以BF =√3，所以B （0，0，0），D （1，√3，0），P （0，0，2），F （0，√3，0）；（2）PD →=（1，√3，﹣2），BF →=（0，√3，0），所以cos ＜PD →，BF →＞=PD →⋅BF→|PD →||BF →|=0+3+01+3+4×3=√64． 18．（12分）已知△ABC 的三个顶点是A （2，3），B （1，2），C （4，﹣4）．（1）求BC 边上的高所在直线l 1的方程；（2）若直线l 2过点C ，且点A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：（1）由B （1，2），C （4，﹣4）．所以k BC =−4−24−1=−63=−2， 所以BC 边上的高所在直线l 1的斜率为k =12，则BC 边上的高所在直线l 1的方程y −3=12(x −2)，即x ﹣2y +4＝0．（2）因为点A ，B 到直线l 2的距离相等，所以直线l 2与AB 平行或通过AB 的中点，①当直线l 2与AB 平行，因为k AB =3−22−1=1=k l 2，且l 2过点C ， 所以l 2方程为y +4＝x ﹣4，即x ﹣y ﹣8＝0．②当直线l 2通过AB 的中点D(32，52)， 所以k CD =−4−524−32=−135， 所以l 2的方程为y +4=−135(x −4)，即13x +5y ﹣32＝0．综上：直线l 2的方程为x ﹣y ﹣8＝0或13x +5y ﹣32＝0．19．（12分）已知圆C 经过A （0，2），B （1，1），且圆心在直线l 1：2x +y ﹣4＝0上．（1）求圆C 的方程；（2）若从点M （3，5）发出的光线经过直线l 2：x +y ﹣1＝0反射后恰好平分圆C 的圆周，求反射光线所在直线的方程．解：（1）由题知AB 中点为(12，32)，k AB =2−10−1=−1， 所以AB 的垂直平分线方程为y −32=x −12，即x ﹣y +1＝0，联立{x −y +1=02x +y −4=0，解得{x =1y =2，即圆心为（1，2）， 所以圆C 的半径为r =√(1−0)2+(2−2)2=1，故圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1．（2）设M 关于l 2的对称点为N （x ，y ），则直线MN 与l 2垂直，且MN 的中点(x+32，y+52)在直线l 2上，则{x+32+y+52−1=0y−5x−3=1，解得N （﹣4，﹣2）， 由题意知反射光线过圆心，故y−2−4=x−1−5，即4x ﹣5y +6＝0． 20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面三角形ABC 是边长为4的正三角形，侧面ACC 1A 1是菱形，且平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱A 1C 1，BC 的中点，C 1G →=2GC →．（1）证明：EF ∥平面ABB 1A 1；（2）若①三棱锥C 1﹣ABC 的体积为8；②C 1C 与底面ABC 所成角为60°；③异面直线B 1B 与AE 所成的角的大小为30°．请选择一个条件求平面EFG 与平面ABB 1A 1所成角（锐角）的余弦值．（1）证明：取A 1B 1的中点M ，连接ME ，MB ，则ME ∥B 1C 1∥BF ，ME =12B 1C 1=12BC ＝BF ，∴四边形MEFB 为平行四边形，∴EF ∥MB ，∵EF ⊄平面ABB 1A 1，MB ⊂平面ABB 1A 1，∴EF ∥平面ABB 1A 1．（2）解：过点C 1作C 1O ⊥AC 于O ，连接OB ，∵平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ，∴C 1O ⊥平面ABC ，选择条件①：三棱锥C 1﹣ABC 的体积V =13•C 1O •S △ABC =13•C 1O •12×4×2√3=8，∴C 1O ＝2√3， 在Rt △C 1OC 中，OC =√CC 12−C 1O 2=2， ∴点O 为AC 的中点，∴OB ⊥AC ，故以O 为原点，OB 、OC 、OC 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B （2√3，0，0），E （0，﹣2，2√3），F （√3，1，0），G （0，43，2√33），A （0，﹣2，0），C （0，2，0），C 1（0，0，2√3）， ∴EF →=（√3，3，﹣2√3），EG →=（0，103，4√33）， AB →=（2√3，2，0），BB 1→=CC 1→=（0，﹣2，2√3），设平面ABB 1A 1的一个法向量为m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅AB →=0m →⋅BB 1→=0，即{2√3a +2b =0−2b +2√3c =0，令a ＝1，则b =−√3，c ＝﹣1， ∴平面ABB 1A 1的一个法向量为m →=（1，−√3，﹣1），设平面EFG 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EF →=0n →⋅EG →=0，即{√3x +3y −2√3z =0103y −4√33z =0， 令y ＝1，则x =2√33，z =5√36，∴n →=（2√33，1，5√36）， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2√33−√3−5√36√5×√43+1+2512=−7√265265， 故平面EFG 与平面ACC 1A 1所成的二面角（锐角）的余弦值为7√265265．选择条件②：∵C 1C 与底面所成的角为60°，∴∠C 1CO ＝60°，∴OC ＝2，∴点O 为AC 的中点，∴OB ⊥AC ，下面的过程同条件①中的步骤．选择条件③：∵BB 1∥AA 1，∴∠A 1AE 即为异面直线BB 1与AE 所成的角，即∠A 1AE ＝30°，∵AA 1＝4，A 1E ＝2，∴∠AA 1E ＝60°，即∠C 1CO ＝60°，下面的过程同条件②中的步骤．21．（12分）直线l ：（m +1）x +（2m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣4y ﹣3＝0．（1）证明：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标；（2）当直线l 被圆C 截得的弦最短时，求此时l 的方程；（3）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当△ABC 的面积最大时，求直线l 方程．解：（1）证明：由题意知l 可化为m （x +2y ﹣7）+（x +y ﹣4）＝0，故{x +2y −7=0x +y −4=0，解得P （1，3）， ∴直线l 恒过定点P （1，3）．（2）∵C ：x 2+y 2﹣6x ﹣4y ﹣3＝0，∴圆C 的圆心为（3，2），半径r ＝4，如图所示：k PC =2−33−1=−12，当直线l 被圆截得的弦长最短时，l 与PC 垂直，k 1＝2，∴y ﹣3＝2（x ﹣1），即2x ﹣y +1＝0．（3）S △ABC =12r 2sin ∠ACB ，且∠ACB 为钝角，∴当CP ⊥I 时sin ∠ACB 有最大值，即面积有最大值，此时同（2），即l ：2x ﹣y +1＝0．22．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为直角梯形，平面ABCD ⊥平面P AB ，AB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝CD ＝2AB ＝2，PD ＝2P A ．（1）若△ABP 与△DCP 相似，三棱锥A ﹣PBC 的外接球的球心恰为PC 中点，求AB 与平面PCA 所成角的正弦值；（2）求四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值．解：（1）由题意知BP ：PC ＝1：2，∵平面ABCD ⊥平面P AB ，平面ABCD ∩平面P AB ＝AB ，且BC ⊥AB ，BC ⊂平面APB ，∴BC ⊥平面APB ，∴BC ⊥BP ，又∵BC ＝2，BP =2√3，PC =4√3， 又∵三棱锥A ﹣PBC 外接球的球心恰为PC 中点，∴P A ⊥AC ，AC =√AB 2+BC 2=√5，∴PA 2=163−5=13，即PA =1√3， ∵P A 2+AB 2＝PB 2，∴P A ⊥AB ，又∵V C ﹣ABP ＝V B ﹣P AC ，∴13×2×12×1×√3=13×12×√3×√5×ℎ，∴ℎ=25， 设AB 与平面PCA 所成角的正弦值为θ，∴sinθ=2√51=2√55． 即AB 与平面PCA 所成角的正弦值为2√55．（2）易知四边形ABCD 的面积为3，如图以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，易知点P 在平面yOz 内，设P （0，y ，z ），A （0，1，0），D （2，2，0），由PD ＝2P A 得4+（y ﹣2）2+z 2＝4（y ﹣1）2+4z 2，即3y 2+3z 2﹣4y ﹣4＝0，即(y −23)2+z 2=169， ∴P 轨迹是在面yOz 上，以(0，23，0)为圆心，43为半径的圆，∴要使四棱锥P ﹣ABCD 体积最大，即P 到平面ABCD 距离最大，且最大值为43， ∴四棱锥P ﹣ABCD 体积最大值V =13×43×12(1+2)×2=43．。

2024-2025学年福建省高二上学期10月月考模拟数学试卷注 意 事 项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(0,3,3)a =是直线l 的方向向量，(1,1,0)b − 是平面m 的一个法向量，则直线l与平面m 所成的角为（ ） A ．π6B ．π4C．π3D ．π2【答案】A【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合线面角的公式即可得到结果. 【详解】设直线l 与平面m 所成的角为θ，由题意可得，1sin cos ,2a θ=< ，即π6θ=.故选：A 2．已知()2,1,3a =−，()1,4,2b =−− ，(),2,4c λ= ，若a ，b ，c共面，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由a，b，c 三向量共面，我们可以用向量a，b作基底表示向量c，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．【详解】 ()2,1,3a =− ，()1,4,2b =−−，∴a与b不平行，又 a，b，c三向量共面，则存在实数x ，y 使c xa yb =+，即242324x y x y x y λ−= −+=−= ，解得213x y λ== =． 故选：C3．如图，在棱长均相等的四面体O ABC −中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设,,OA a OB b OC c === ，则OE =（ ）A ．111663a b c ++B ．111333a b c ++C ．111663a b c +−D ．112663a b c ++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】由于12CE ED =， 所以()11113332CE CD CA AD CA AB==+=+ 1136CA AB +, 所以1136OE OC CE OC CA AB =+=++()()1136OC OA OC OB OA =+−+−112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D4．设,R x y ∈，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y =，()2,4,2c =− 且,//a c b c ⊥，则a b += （ ）A．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得,x y 的值，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量(),1,1,a x = ()1,,1,= b y ()2,4,2,=−c 且,//a c b c ⊥，可得2420124x y−+== − ，解得1,2x y ==−，所以()1,1,1a = ，()1,2,1b =− ，则()2,1,2a b +− ，所以3a b +=. 故选：C.5．已知三棱锥O ABC −，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a = ，OB b =，OC c = ，用a ，b ，c表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12b c a +− B ．()12a b c +− C ．()12a b c −+ D ．()12c a b −− 【答案】A【分析】由向量对应线段的空间关系，应用向量加法法则用OA ，OB ，OC 表示出MN即可.【详解】由图知：1111()2222MN MO OC CN OA OC CB OA OC OB OC =++=−++=−++− 1111()2222OA OB OC b c a =−++=+−.故选：A6．已知正三棱柱111ABC A B C −的各棱长都为2，以下选项正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1BC 垂直B ．1BC 与平面11AA B BC ．平面1ABC 与平面ABCD ．点C 到直线1AB【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,由空间向量法求空间角、距离，判断垂直． 【详解】如图，以AB 为x 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B，C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B，1C ，11(2,0,2),(2)AB BC −，112420AB BC ⋅=−+=≠ ，1AB 与1BC不垂直，A 错；平面11AA B B 的一个法向量为(0,1,0)m =，111cos ,BC m BC mBC m ⋅==所以1BC 与平面11AA B BB 正确； 设平面1ABC 的一个法向量是(,,)n x y z = ，又(2,0,0)AB =，由100n AB n BC ⋅= ⋅=得2020x x z = −+= ，令2y =得(0,2,n = ，平面ABC 的一个法向量是(0,0,1)p =，cos ,n p =所以平面1ABC 与平面ABCC 错；AC =，12AB AC ⋅=，d 所以点C 到直线1AB的距离为h ===，D 错； 故选：B ．7．在正方体1111ABCD A B C D −中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠.【详解】正方体1111ABCD A B C D −中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥ 可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上 此时PC 取得最小值.则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角设正方体的边长为2,则1PC EC EP =−−,2BC =所以tan BC BPC PC ∠=【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.8．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍薨”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍薨，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，且二面角E AD B −−与F BC A −−相等，则EF长度的取值范围为（ ）A ．()2,14B ．()2,8C ．()0,12D ．()2,12【答案】A【分析】由题意找到二面角E AD B −−与F BC A −−的两个极端位置，即二面角的平面角为0 和180 时，求得相应EF 的长，集合题意即可得答案.【详解】由题意可知AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，故ADE 与BCF 的底边,AD BC 上的高为3=， 因为二面角E AD B −−与F BC A −−相等，故当该二面角的平面角为0 时，此时EF 落在四边形ABCD 内，长度为8232−×=，当该二面角的平面角为180 时，此时EF 落在平面ABCD 上，长度为82314+×=，由于该几何体ABCDEF 为五面体，故二面角E AD B −−与F BC A −−的平面角大于0 小于180 ，故EF 长度的取值范围为()2,14，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 10x y --=A ．B ．C ．D ．4π3π2π34π【答案】A【解析】由直线方程为，可得斜率，设倾斜角，再根据即可10x y --=1k =θtan θk =得解.【详解】由直线方程为， 10x y --=可得斜率，1k =设倾斜角，由可得：θtan θk =，又因为，tan 1θ=0θπ≤<可得：，=4πθ故选：A.【点睛】本题考查了斜率和倾斜角的关系，考查了利用斜率求倾斜角，计算量不大，属于基础题.2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） (2,1,2)a =- (1,2,1)b =- b aA ．B ．C ．D ．424(,,333-(2,1,2)-242(,,333-(1,2,1)-【答案】A【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案． b a ||cos ,||a b a b a <>【详解】解：向量，(2,1,2)a =-(1,2,1)b =-则，，||3a =||b =()()2112126a b =⨯+-⨯-+⨯=A所以向量在向量上的投影向量为b a．()2,1,2424cos ,,,3333a a b a b a b b a aa b -⋅⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭故选：．A 3．“”是“直线和直线平行”的 1a =-60x ay ++=(2)320a x y a -++=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【详解】根据题意，若l 1∥l 2，则有1×3=a×（a-2），解得a=-1或3，当a=-1时，直线l 1：x-y+6=0，其斜率为1，直线l 2：-3x+3y-2=0，其斜率为1，即l 1与l 2不重合，则l 1∥l 2，当a=3时，直线l 1：x+3y+6=0，直线l 2：x+3y+6=0，l 1与l 2重合，此时l 1与l 2不平行，所以l 1∥l 2，即“”是“直线和直线平行”1a ⇔=-1a =-60x ay ++=(2)320a x y a -++=的充要条件 故选：C ．4．如图所示，在平行六面体中，设，，，N 是1111ABCD A B C D -1AA a = AB b = AD c =u u ur r BC 的中点，用，，表示为（ ）a b c1A NA ．B ． 12a b c -++ a b c -++C ．D ．12a b c --+ 12a b c -+ 【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算求解．【详解】由题意．1111122A N A A AB BN AA AB AD a b c =++=-++=-++故选：A ．5．设、，则线段的垂直平分线的方程是（ ） ()1,2A ()3,1B AB A ． B ．C ．D ．425x y -=421x y +=421x y -=25x y +=【答案】A【分析】先求出线段中点坐标，再求出直线斜率，利用垂直得中垂线斜率，从AB AB 而得直线方程．【详解】由已知中点坐标为，即， AB 1321,22++⎛⎫⎪⎝⎭32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴中垂线斜率为，直线方程为，即211132AB k -==--AB 2k =32(2)2y x -=-．4250x y --=故选：A ．【点睛】本题考查求直线方程，考查中点坐标公式，解题关键是掌握两直线垂直的条件，属于基础题．6．下列说法错误的是（ ）A ．设，是两个空间向量，则， 一定共面a b ab B ．设，是两个空间向量，则 a b ··a b b a = C ．设，，是三个空间向量，则 ，，一定不共面a b c a b cD ．设，，是三个空间向量，则a b c()···a b c a b a c +=+ 【答案】C【解析】由向量的平移可判断，；由向量数量积满足交换律､分配律可判断，A C B D .【详解】，设，是两个空间向量，则，一定共面，正确，因为向量可以平A a b a b移；，设，是两个空间向量，则，正确，因为向量的数量积满足交换律；B ab··a b b a =，设，，是三个空间向量，则，，可能共面，可能不共面，故C 错误； C a b c a b c，设，，是三个空间向量，则，正确，D a b c ·()··a b c a b a c +=+因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律. 故选：.C 7．已知平面，其中点，2，，法向量，1，，则下列0{|0}P P n P α=⋅=0(1P 3)(1n = 1)各点中不在平面内的是（ ） αA ．，2， B ．，5， (31)(2-4)C ．，4， D ．，，(3-5)(24-8)【答案】B【解析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论.0P P 0P P n ⋅【详解】对于，，0，，，故选项在平A 0(2P P = 2)-012101(2)0P P n ⋅=⨯+⨯+⨯-=A 面内；α对于，，3，，，故选项不在平面B 0(3P P =- 1)01(3)131110P n P ⋅=⨯-+⨯+⨯=≠ B α内；对于，，2，，，故选项在平面内； C 0(4P P =- 2)01(4)12120P n P ⋅=⨯-+⨯+⨯=C α对于，，，，，故选项在平面内.D 0(1P P = 6-5)0111(6)150P P n ⋅=⨯+⨯-+⨯=D α故选：B8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是1111ABCD A B C D -AC 1BC （ ）A B C ．D ．1213【答案】B【分析】在上任取点，作，设， ，根据AC M 1MN BC ⊥AM AC λ=1BN BC μ= 得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函1MN BC ⊥ λμ||MNμ)λ数的最小值即可.【详解】设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线M AC M 1MN BC ⊥N M 距离最短1BC 设，，AM AC AB AD λλλ==+ 11BN BC AD AA μμμ==+则， 1(1)()MN AN AM AB BN AM AB AD AA λμλμ=-=+-=-+-+ ，11BC AA AD =+ ，，1MN BC ⊥ ∴1·0MN BC =即，11[(1)()]()0AB AD AA AD AA λμλμ-+-+⋅+=，即， 221()0AD AA μλμ∴-+= 0μλμ-+=，2λμ∴=，∴1(12)MN AB AD AA μμμ=--+，()112MN AB AD AA μμμ∴=--+==== 当时，∴13μ=||MN=故直线与AC 1BC 故选：B.二、多选题9．直线y ＝ax ＋可能是（ ）1aA ．B ．C ．D ．【答案】AB【分析】分类讨论和时，直线的位置． 0a >0a <【详解】因为a ≠0，所以C 错；当a ＞0时，＞0，不过第四象限，故A 对； 1a当a ＜0时，＜0，不过第一象限，故D 错，B 对． 1a 故选：AB10．如图，在正方体中，，点M ，N 分别在棱AB 和上运1111ABCD A B C D -13AA =1BB 动（不含端点），若，下列命题正确的是（ ）1D M MN ⊥A ．B ．平面1MN A M ⊥MN ⊥1D MC C ．线段BN 长度的最大值为D ．三棱锥体积不变34111C A D M -【答案】ACD【分析】以点D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立坐标系，设出动点M ，N 的坐标，利用空间向量运算判断选项A ，B ，C ，利用等体积法的思想判断选项D 即可得解.【详解】在正方体中，以点D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为1111ABCD A B C D -x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：A 1(3,0,3)，D 1(0,0,3)，C (0,3,0)，B (3,3,0)，设M (3,y ,0)，N (3,3,z )，，,(0,3)y z ∈，而1(3,,3),(0,3,)D M y MN y z =-=-1D M MN ⊥则， 11(3)30(3)3D M MN y y z z y y ⋅=--=⇒=- 对于A 选项：，则，1(0,,3)A M y =-11(3)30A M MN y y z A M MN ⋅=--=⇒⊥ ，A 正确；1MN A M ⊥对于B 选项：，，即CM 与MN(3,3,0)CM y =- 2(3)(3)(3)0CM MN y y y ⋅=--=--<不垂直，从而MN 与平面D 1MC 不垂直，B 不正确；对于C 选项：，则线段BN 长度，当且仅当(0,0,)BN z = 21393||[()]3244BN z y ==--+≤ 时取“=”，C 正确； 32y =对于D 选项：不论点M 如何移动，点M 到平面A 1D 1C 1的距离均为3，而，111111C A D M M A D C V V --=11119332A D C S =⋅⋅=A 三棱锥体积为定值，即D 正确. 111C A D M -故选：ACD11．已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ）{},,MA MB MC →→→A ．B ． 111234OM OA OB OC →→→→=++MA MB MC →→→=+C ．D ．OM OA OB OC →→→→=++623OM OA OB OC →→→→=++【答案】AC【分析】根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案.【详解】解：对于选项ACD ，由，可得M ，A ，()1y z x y z OM xOA OB OC →→→→=++++=B ，C 四点共面，即共面，所以选项A 中，不共面，可以构,,MA MB MC →→→,,MA MB MC →→→成基底，选项C 中，不共面，可以构成基底；选项D 中，因为,,MA MB MC →→→，所以,可得M ，A ，B ，C 四点共623OM OA OB OC →→→→=++111632OM OA OB OC →→→→=++面，即共面，无法构成基底，故选项D 错误；,,MA MB MC →→→对于选项B ，根据平面向量基本定理，选项B 中，因为，得MA MB MC →→→=+共面，无法构成基底，故选项B 错误. ,,MA MB MC →→→故选:AC.12．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（ ）． :10l x my m -+-=A ．直线的斜率可以等于0lB ．若直线与轴的夹角为30°，则或l y m =m =C ．直线恒过点l ()2,1D ．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或 l 1m =1m =-【答案】BD【分析】讨论和时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角0m =0m ≠和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为判断直线过定点，判断()()110x m y ---=C 的正误.【详解】当时，直线，斜率不存在， 0m =:1l x =当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A 选项错误； 0m ≠l 1m∵直线与轴的夹角角为30°，l y ∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为， l l 1m∴∴或B 选项正确；1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m =m =直线的方程可化为，所以直线过定点，故C 选项错误； l ()()110x m y ---=l ()1,1当时，直线，在轴上的截距不存在，0m =:1l x =y当时，令，得，令，得， 0m ≠0x =1m y m-=0y =1x m =-令，得，故D 选项正确． 11m m m-=-1m =±故选：BD ．三、填空题13．已知直线的一个方向向量，且过点，则直线的点斜式方程为l ()3,4d =()1,2-l ___________. 【答案】 ()4213y x -=+()4213y x ⎡⎤-=--⎣⎦【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，再写出点斜式方程即可. l 【详解】因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为 l ()3,4d =l 43所以直线方程为， ()4213y x -=+故答案为：. ()4213y x -=+14．已知直线l 的斜率，则其倾斜角的取值范围为_________． 1k ≥-α【答案】{或}090αα︒≤<︒135180α︒≤<︒【分析】对分类讨论，根据斜率与倾斜角的关系计算可得；k 【详解】解：当时，，又，∴； 10k -≤<1tan 0α-≤<0180α︒≤<︒135180α︒≤<︒当时，，又．∴．0k ≥tan 0α≥0180α︒≤<︒090α︒≤<︒综上所述，直线l 的倾斜角的取值范围是或． α{090αα︒≤<︒135180}α︒≤<︒故答案为：或{090αα︒≤<︒135180}α︒≤<︒15．已知在正方体中，棱长为2，E 为的中点.则点到直线1111ABCD A B C D -1BB E 1AD 的距离为____.【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，故，1(2,0,0),(0,0,2),(2,2,1)A D E 1(2,0,2),(0,2,1)AD AE →→=-=111cos ||||AD AE D AEAD AE →→→→⋅∴∠===⋅ 1sin D AE∴∠==点到直线的距离为.∴E 1AD 1||sinAE D AE →⋅∠==四、双空题16．定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数{}123,,a a a 123p xa ya za =++组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底， (),,x y z p{}123,,a a a {},,a b c 是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标{},,2a b a b a c +-+ p{},,2a b a b a c +-+ 为．向量在基底下的坐标是_______________；模为___________．()1,2,3p{},,a b c 【答案】(6,1,6)-【分析】根据向量在基底下的坐标为，得出向量在基底p {}+,,+2a b a b a c -()1,2,3p 的坐标，然后计算模即可．{},,a b c【详解】解：向量在基底下的坐标为，p {}+,,+2a b a b a c -()1,2,3则=++2()+3(+2)p a b a b a c - ，=6+6a b c - （1）所以向量在基底下的坐标为，p{},,a bc (6,1,6)-（2）p=故答案为：(6,1,6)-五、解答题17．已知直线与直线． 1:(2)80l m x my ++-=2:40,l mx y m R +-=∈（1）若，求m 的值；12l l //（2）若点在直线上，直线过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直()1,P m 2l l 线的方程．l 【答案】（1），（2）或 1m =-10x y -+=2y x =【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m 的值； 0m ≠2814m m m +-=≠-（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m 的值，从而可得点的坐标，()1,P m 2l P 然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程 l 【详解】解：（1）因为，所以，且， 12l l //0m ≠2814m m m +-=≠-由，得，解得或（舍去） 21m mm +=220m m --=1m =-2m =所以，1m =-（2）因为点在直线上，()1,P m 2l 所以，得，所以点的坐标为， 40m m +-=2m =P (1,2)所以设直线的方程为（），l 2(1)y k x -=-0k ≠令，则，令，则，0x =2y k =-0y =21x k =-因为直线在两坐标轴上的截距之和为0， l 所以，解得或， 2120k k-+-=1k =2k =所以直线的方程为或l 10x y -+=2y x =18．已知空间向量 ，, ． ()2,4,2a =- ()1,0,2b =- (),2,1c x =-(1)若，求；//a cc (2)若 ，求 的值．b c ⊥()()2a c b c -⋅+【答案】 (2)-15【分析】（1）根据空间向量的共线，列出方程，解得答案；（2）利用向量垂直，数量积等于0，求得，再根据向量的坐标运算即可得答案. 2x =-【详解】(1)，,解得：， //a c21242x -∴==-1x =故 ．()1,2,1c =- =(2)由，可得 ，解得：，b c⊥20120x -+⨯-⨯=2x =- ，()2,2,1c ∴=--，，()4,2,1a c ∴-=-()24,2,3b c +=- ．()()2164315a c b c ∴-⋅+=-+-=-19．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱111ABCD A B C D -ABCD 的长度为2，且．1AA 11120A AB A AD ∠=∠=︒(1)求的长；1BD (2)直线与所成角的余弦值． 1BD AC【答案】【分析】（1）用表示出，然后平方转化为数量积的运算；1,,AA AB AD 1BD（2）用空间向量法求异面直线所成的角．【详解】(1)由题意，，0AB AD ⋅=u u u r u u u r1121cos1201AA AB AA AD ⋅=⋅=⨯⨯︒=- ，111BA AD DD AB AD AA BD =++=-++2222211111()222BD AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =-++=++-⋅-⋅+⋅ ，1140226=++-+-=BD(2)，AC AB AD =+，221111()()2BD AC AB AD AA AB AD AD AB AA AB AA AD ⋅=-++⋅+=-+⋅+⋅=-所以1cos ,BD AC <=所以直线与 1BD AC 20．如图，在长方体中，，．若在上存在点1111ABCD A B C D-2AB =11BC CC ==CD ，使得平面．E 1A E ⊥11AB D(1)求线段的长；CE (2)求直线与平面所成角的正弦值． 1B E 11AB D 【答案】(1) 32CE =【分析】（1）以为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间D DA DC 1DD x y z 直角坐标系，设，其中，由已知条件可得出关于的等式，求出的DE a =02a ≤≤a a 值，可求得线段的长；CE （2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.1B E 11AB D 【详解】(1)解：以为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空D DA DC 1DD x y z 间直角坐标系，如图所示：D xyz -设，其中，则、、、、DE a =02a ≤≤()0,,0E a ()1,0,0A ()11,0,1A ()11,2,1B ()10,0,1D ，，，， ()10,2,1AB =()111,2,0D B = ()11,,1A E a =-- 若平面，则，，1A E ⊥11AB D 11A E AB ⊥111A E D B ⊥则，解得，则.11111210210A E AB a A E D B a ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩12a =322CE CD DE a =-=-=(2)解：由（1）可知平面的一个法向量为，且11AB D ()122,1,2n A E==--131,,12EB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，111cos ,n EB n EB n EB ⋅<>===⋅因此，直线与平面1B E 11AB D 21．如图，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.ABC A ABD △AB 已知.2CD =（1）求证：平面平面；ABC ⊥ABD （2）求平面ACD 与平面BCD 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）17-【分析】（1）由是等腰直角三角形，可得DO 和DO 长度，再由是ABD △AB ⊥ABC A 边长为2的正三角形和勾股定理可证，最后由面面垂直的判定定理得证； DO CO ⊥（2）利用空间向量的方式求平面ACD 与平面BCD 的法向量，进而求二面角的余弦值.【详解】（1）取线段AB 中点为O ，链接CO 与DO ，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以DO ,且DO =, ABD △AB AB ⊥12AB=又因为是边长为2的正三角形，则， ABCA CO ==则在中有，则， CDO A 2224CD CO DO ==+DO CO ⊥又因为，则面ABC ，且面ABD ， CO AB O ⋂=DO ⊥DO ⊂故平面平面；ABC ⊥ABD（2）由（1）可建立以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OD 为z 轴的空间直角坐标系，则点A (1,0,0)，点B (-1,0,0),点C ,点D ，()()0,0,1则向量,()()(),,0,AC BC CD =-==设平面ACD 和平面BCD 的法向量分别为，()()111222,,,,,m x y z n x y z ==由，令，则，即，11110000x m AC m CD z ⎧-=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎩⎪⎩1y 113,3xz ==()m =同理可得，，()=-n 所以平面ACD 与平面BCD 所成角的余弦值，1cos 7m n m n θ⋅==⋅观察可知该二面角的平面角应为钝角，故余弦值为.17-【点睛】本题考查空间中面面垂直的证明方法，还考查了利用空间向量求二面角的余弦值，属于简单题.22．如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中PABCD ABCD Rt PAD △，，，，与相交于1AB BC ==BC AD ∥AB AD ⊥PA PD ==PA PD ⊥PC AD 点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．O AD P ABCD -(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；PAD ⊥ABCD B PCD (2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为PD Q Q AC D --若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．PQ QD【答案】(2)存在；12PQ QD =【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离. B PCD （2）设，求得点坐标，利用二面角的余弦值列方程，求得PQ PD λ=Q Q AC D --λ，进而求得. PQQD【详解】(1)∵，∴． PA PD ⊥PA PD ==2AD =如下图所示，连接，则, AC AC CD ==所以， 222,AC CD AD AC CD +=⊥所以，APD ACD ≅A A 结合折叠前后图形的关系可知，故四边形为正方形， ,PO AD CO AD ⊥⊥ABCO ∴，即为的中点，∴，∴． 1AO =O AD PO AD ⊥1PO =∵侧面底面，侧面底面， PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =∴平面，PO ⊥ABCD 易知，，两两垂直．PO AD OC 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， O OC x OD y OP z 建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，，，，()0,0,1P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,1,0D∴，，．()1,1,1PB =--()1,0,1CP =- ()0,1,1PD =- 设平面的法向量为，PCD (),,u x y z =r则，取，得，， 00u CP x z u PD y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩ 1z =1x =1y =则为平面的一个法向量， ()1,1,1u = PCD 则点到平面的距离B PCD d (2)假设存在满足题意的点，且（）．Q PQ PD λ=01λ≤<∵，∴， ()0,1,1PD =-()0,,PQ OQ OP λλ=-=- ∴， ()0,,1OQ λλ=-∴．()0,,1Q λλ-设平面的法向量为，CAQ ()111,,m x y z =又∵，， ()1,1,0AC =()0,1,1AQ λλ=+- ∴， ()()11110110m AC x y m AQ y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩取，则，，11z λ=+11y λ=-11x λ=-取为平面的一个法向量．()1,1,1m λλλ=--+CAQ 易知平面的一个法向量为，CAD ()0,0,1n =∵二面角 Q AC D --∴cos ,m = 化简，得， 231030λλ-+=解得或（舍去）．13λ=3λ=∴线段上存在满足题意的点，且． PD Q 12PQ QD =。

2023—2024学年广东省惠州市实验中学高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1. 已知复数，则（）A．B．C．D．2. 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（）平方米.A．B．C．D．3. 在中，已知，D为BC中点，则（）A．2B．C．D．4. 已知组数据，，…，的平均数为2,方差为5,则数据2 +1，2+1，…，2 +1的平均数与方差分别为A．=4,=10B．=5,=11C．=5,=20D．=5,=215. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A．B．C．D．6. 设，向量，，，且，，则（）A．B．C．4D．37. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（）A．B．C．D．8. 为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（）A．B．C．D．二、多选题9. 某长方体的长、宽、高分别为4，2，1，则（）A．该长方体的体积为8B．该长方体的体对角线长为C．该长方体的表面积为24D．该长方体外接球的表面积为21π10. 为提高生产效率，某汽车零件加工厂的甲乙两个车间进行比赛，下表是对甲乙两个车间某天生产零件个数的统计，根据表中数据分析得出的结论正确的是（）A．甲、乙两车间这一天生产零件个数的平均数相同B．甲车间这一天生产零件个数的波动比乙车间大C．乙车间优秀的人数多于甲车间优秀的人数（这一天生产零件个数个为优秀）D．甲车间这一天生产零件个数的众数小于乙车间零件个数的众数11. 不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件“两球同色”，事件“两球异色”，事件“至少有一红球”，则（）A．B．C．事件A与事件B是对立事件D．事件A与事件B是相互独立事件12. 如图，已知正方体的棱长为1，则下列结论中正确的是（）A．若E是直线AC上的动点，则平面B．若E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，则C．若E是内（包括边界）的动点，则直线与平面ABC所成角的正切值的取值范围是D．若E是平面内的动点，则三棱锥的体积为定值三、填空题13. 已知正四棱台的下底面边长为4，上底面边长和侧棱长均为2，则该四棱台的体积为 ______ ．14. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为 _________ ．15. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为 __________16. 某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为______ ．四、解答题17. 在中，、、分别是内角、、的对边，.(1)求角的大小；(2)若，，求.18. 如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，AB⊥BC，P A＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：P A⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面P AC；(3)当P A∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．19. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分布在，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．(1)估计这组数据的平均数；(2)某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？20. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的众数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．21. 某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．22. 如图，在正三棱柱中，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在线段上是否存在点？使得二面角的大小为60°，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.。