2021-2022年高三10月月考理科数学试题

沈阳二中2022——2021学年度上学期10月份小班化学习成果 阶段验收高三（ 15 届）数学（理科）试题命题人：高三数学组 审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.） 1．已知集合A ＝{x|0<log 4x<1}，B ＝{x|x≤2}，则A∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2] 2．有关下列命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D ．命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题3．已知函数()()2531m f x m m x--=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．-1C ．-1或2D ．04．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 5．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππB ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππ D ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值（ ）A ．2413- B. 2213-C. 2313-D. 231-7．已知函数2()ln(193)1f x x x =++，则1(lg 2)(lg )2f f +等于（ ）A ．-1 B.0 C. 1 D. 28．tan70°cos10°(1－3tan20°)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．29．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.3210．.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，1)D ．(0，＋∞)11. 设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则 （ ） A ． 32παβ-=B.32παβ+=C.22παβ-=D.22παβ+=12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=， 若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[-第Ⅱ卷 （90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13.计算定积分=+⎰-dx x x 112)sin (__________14..设()f x R 是上的奇函数，且2'(1)0,0(1)()2()0f x x f x xf x -=>+-<当时，，则不等 式()0f x >的解集为15.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数②当且仅当()x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最小值是-1 ③该函数的图象关于直线52()4x k k Z ππ=+∈对称。

山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4}2．（5分）设x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．103．（5分）在△ABC中，设命题p ：==，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．36．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．27．（5分）函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴可以是直线（）A．x =B．x =πC．x=﹣πD．x=8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b ，则=（）A．2B．C．D．19．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D ．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）在数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n﹣2（n∈N+），则该数列中相邻两项的乘积是负数的为．12．（5分）向量=（1，sinθ），=（1，cosθ），若•=，则sin2θ=．13．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．14．（5分）设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=，则sin2A的值是．15．（5分）给出下列命题：①函数y=cos（2x ﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为（写出全部正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．（12分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．17．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，假如p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求P，Q的坐标并求sin（α+β）的值．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积，且b＞c，求b，c．20．（13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：直接求出集合B，然后求出A∩B即可．解答：解：由于集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}={x|2＜x＜4}，所以A∩B={x|2＜x＜3}．故选B．点评：本题考查对数函数的基本性质，集合的基本运算，考查计算力量．2．（5分）设x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．10考点：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．解答：解：由于x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．点评：本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算力量．3．（5分）在△ABC中，设命题p ：==，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：依据正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行推断即可得到结论．解答：解：由正弦定理可知，若===t，则，即a=tc，b=ta，c=bt，即abc=t3abc，即t=1，则a=b=c，即△ABC是等边三角形，若△ABC是等边三角形，则A=B=C=，则===1成立，即命题p是命题q的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，利用正弦定理是解决本题的关键．4．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较；不等式比较大小．分析：依据指数函数和对数函数的单调性推断出abc的范围即可得到答案．解答：解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故选A．点评：本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．5．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：计算题．分析：依据f（x）在区间[1，+∞）上单调递减，可得f'（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，建立等量关系，求出参数a最大值即可．解答：解：∵f（x）=ax﹣x3∴f′（x）=a﹣3x2∵函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，∴f′（x）=a﹣3x2≤0在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤3x2在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤3．故选D．点评：本小题主要考查运用导数争辩函数的单调性及恒成立等基础学问，考查综合分析和解决问题的力量．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数奇偶性的性质结合函数图象即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，故选：B点评：本题主要考查函数值的计算，依据函数的奇偶性以及函数图象进行转化时解决本题的关键．7．（5分）函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴可以是直线（）A．x =B．x =πC．x=﹣πD．x=考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数的对称性可求得其对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z），从而可得答案．解答：解：由x ﹣=kπ+（k∈Z）得：x=kπ+（k∈Z），∴函数y=sin（x ﹣）的对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z），当k=1时，x=π，∴方程为x=π的直线是函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴，故选：B．点评：本题考查正弦函数的对称性，求得其对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z）是关键，属于中档题．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b ，则=（）A．2B．C．D．1考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，进而利用两角和公式对等号左边进行化简求得sinA和sinB的关系，进而利用正弦定理求得a和b的关系．解答：解：∵bcosC+ccosB=2b，∴sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=2sinB，∴=2，由正弦定理知=，∴==2，故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了同学分析和运算力量．9．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜﹣1时，y＜0，故排解BCD，问题得以解决．解答：解：y=2x﹣x2，令y=0，则2x﹣x2=0，分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y=2x﹣x2的图象与x轴有3个交点，故排解BC，当x＜﹣1时，y＜0，故排解D故选：A．点评：本题主要考查了图象的识别和画法，关键是把握指数函数和幂函数的图象，属于基础题．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10考点：函数的零点；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而依据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=的图象得到交点为9个．解答：解：由于f（x﹣2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数．由于x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，利用函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，可作出y=f（x）在区间[﹣5，6]上的图象，如图所示：故函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为9，故选C．点评：本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，留意把握周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为a；若f（x+a）=﹣f（x），则周期为2a；若f（x+a）=，则周期为2a，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）在数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n﹣2（n∈N+），则该数列中相邻两项的乘积是负数的为a23•a24．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：把等式3a n+1=3a n﹣2变形后得到a n+1﹣a n等于常数，即此数列为首项为15，公差为﹣的等差数列，写出等差数列的通项公式，令通项公式小于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的最小正整数解，即可得到从这项开头，数列的各项为负，这些之前各项为正，得到该数列中相邻的两项乘积是负数的项．解答：解：由3a n+1=3a n﹣2，得到公差d=a n+1﹣a n=﹣，又a1=15，则数列{a n}是以15为首项，﹣为公差的等差数列，所以a n=15﹣（n﹣1）=﹣n+，令a n=﹣n+＜0，解得n ＞，即数列{a n}从24项开头变为负数，所以该数列中相邻的两项乘积是负数的项是a23a24．故答案为：a23•a24点评：此题考查同学机敏运用等差数列的通项公式化简求值，把握确定一个数列为等差数列的方法，是一道综合题．12．（5分）向量=（1，sinθ），=（1，cosθ），若•=，则sin2θ=．考点：平面对量的综合题．专题：计算题．分析：由==可求解答：解：∵==∴sin2θ=故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，三角函数的二倍角公式的应用，属于基础试题13．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．解答：解：∵二次函数f （x）=x2+mx ﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．（5分）设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=，则sin2A的值是．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由已知分别求出f2（x），f3（x），f4（x），f5（x），可得从第五项开头，f n（x）的解析式重复消灭，每4次一循环，结合f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=求出cosA，进一步得到sinA，则答案可求．解答：解：∵f1（x）=cosx，∴f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…从第五项开头，f n（x）的解析式重复消灭，每4次一循环．∴f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0．∴f2021（x）=f4×503+1（x）=f1（x）=cosx．∵f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=．∴cosA=．∵A为三角形的内角，∴sinA=．∴sin2A=2sinAcosA=．故答案为：．点评：本题考查了导数及其运算，关键是找到函数解析式规律性，是中档题．15．（5分）给出下列命题：①函数y=cos （2x﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为①②（写出全部正确命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：计算题；简易规律．分析：①由x=时，y=﹣1，可得结论；②利用函数图象，求解；③依据图象的平移规律可得结论；④依据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，可以推断．解答：解：①函数y=cos（2x ﹣），x=时，y=﹣1，所以函数y=cos（2x ﹣）图象的一条对称轴是x=，正确；②在同一坐标系中，画出函数y=sinx和y=lgx的图象，所以结合图象易知这两个函数的图象有3交点，正确；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin[2（x ﹣）+]，即y=sin（2x ﹣）的图象，故不正确；④sinx+cosx=sin（x+）≤＜，故不存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；故答案为：①②．点评：本题利用三角函数图象与性质，考查命题的真假推断与应用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．（12分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系推断及应用．专题：集合．分析：（I）解指数不等式求出A，解二次不等式求出B，进而可得集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B ，则，解不等式组可得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由2x＜8，得2x＜23，x＜3．（3分）解不等式x2﹣2x﹣8＜0，得（x﹣4）（x+2）＜0，所以﹣2＜x＜4．（6分）所以A={x|x＜3}，B={x|﹣2＜x＜4}，所以A∩B={x|﹣2＜x＜3}．（9分）（Ⅱ）由于C⊆B，所以（11分）解得﹣2≤a≤3．所以，实数a的取值范围是[﹣2，3]．（13分）点评：本题考查的学问点是集合的包含关系推断及应用，集合的交集运算，解不等式，难度不大，属于基础题．17．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，假如p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：易得p：k＞0，q ：或，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，可得p，q一真一假，分别可得k的不等式组，解之可得．解答：解：∵函数y=kx+1在R上是增函数，∴k＞0，又∵曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，∴△=（2k﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q 假，则，∴；②若p假q 真，则，解得k≤0，综上可得k的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]点评：本题考查复合命题的真假，涉及不等式组的解法和分类争辩的思想，属基础题．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求P，Q的坐标并求sin（α+β）的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面对量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）利用向量数量积运算得出sin2θ﹣2cos2θ=﹣1，再利用二倍角余弦公式求出cos2θ．（2）由（1）可以求出P，Q的坐标，再利用任意角三角函数的定义求出α，β的正、余弦值．代入两角和的正弦公式计算．解答：解（1）=（1，2cos2θ），=（sin2θ，﹣1），∵，∴sin2θ﹣2cos2θ=﹣1，∴，∴．（2）由（1）得：，∴，∴∴，，由任意角三角函数的定义，，同样地求出，，∴点评：本题考查向量的数量积运算、任意角三角函数的定义、利用三角函数公式进行恒等变形以及求解运算力量．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积，且b＞c，求b，c．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）由3（b2+c2）=3a2+2bc，利用余弦定理，可得cosA ，依据，即可求tanC的大小；（Ⅱ）利用面积及余弦定理，可得b、c的两个方程，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）∵3（b2+c2）=3a2+2bc，∴=∴cosA=，∴sinA=∵，∴∴∴∴tanC=；（Ⅱ）∵ABC 的面积，∴，∴bc=①∵a=2，∴由余弦定理可得4=b2+c2﹣2bc ×∴b2+c2=5②∵b＞c，∴联立①②可得b=，c=．点评：本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查同学的计算力量，属于中档题．20．（13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求切线方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题．解答：解：（1）∵f（x）=x2+x∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，∴f′（1）=3，∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，当3＜x＜4时，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=，h（4）=m ﹣，∵m+，∴，即m．点评：导数再函数应用中，求切线方程就是求某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．21．（14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的周期，从而可求ω，进而可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x ）恒成立，等价于，由此可求实数m的取值范围．解答：解：（1）角φ的终边经过点，∴，…（2分）∵，∴．…（3分）由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3…..（5分）∴…（6分）（2）由，可得，…（8分）∴函数f（x ）的单调递增区间为k∈z…（9分）（3 ）当时，，…（11分）于是，2+f（x）＞0，∴mf（x）+2m≥f（x ）等价于…（12分）由，得的最大值为…（13分）∴实数m 的取值范围是．…（14分）点评：本题考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，考查分别参数法的运用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．。

2023届高三10月测试数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|22}A x x =-<，{|11}B x x =-< ，则（）A.A B A= B.B ⊆R Að C.R A B =∅ð D.R A B ⋃=Rð2.若复数()i 1i z =+，则2z =（）A.2- B.2C.2i- D.2i3.在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A.15B.15- C.30D.30-4.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（）A.等腰梯形B.非矩形的平行四边形C.正五边形D.正六边形5.已知半径为1的圆经过点()3,4，则其圆心到点()3,4--的距离的最大值为（）A.9B.10C.11D.126.已知函数()()πsin 0,2f x x ωθωθ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，π6x =是()f x 的一个极值点，π6x =-是与其相邻的一个零点，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A.0B.1C.1-D.227.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x >的解集是（）A.()0,1 B.()()1,22,⋃+∞ C.()1,2 D.()2,+∞8.过抛物线C ：26y x =的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E ：()22210xy a a-=>所截得线段长度为，则双曲线的离心率为（）A.B.512+ C.72D.9.已知数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4n n n n a n N n λλ+--+≤⎧=∈⎨-+>⎩，则λ的取值范围是（）A.()1,2 B.51,4⎛⎫⎪⎝⎭ C.51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭10.如图，已知1OA OB == ，OC = 4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOB =+，则mn等于A.57 B.75C.37D.73第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.12.若函数()()cos sin f x x x ϕ=++的最大值为2，则ϕ的一个可能的取值为___________.13.若直线y x a =+和直线y x b =+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，则a b -=__________．14.若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N，则2021a的值为__________．15.甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛，至少包含数学和物理，在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x ，另一个学生的分数为y ，第三个学生的分数为z ，其中x ，y ，z 是三个互不相等的正整数．在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分．（1）甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数为________；（用x ，y ，z 表示）；（2）若在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则下列正确的序号为________．①甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛②x ，y ，z 这三个数中的最大值可以取到21③在甲乙丙这三个学生中，甲学生的物理竞赛成绩可能排名第二④在甲乙丙这三个学生中，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，1cos 7C =，8c =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）b 的值；（2）角A 的大小和ABC 的面积.条件①：7a =；条件②：11cos 14B =.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面,1ABCD PO =．在底面ABCD 中，//,,1,2BC AD CD AD BC CD AD ⊥===．（1）求证：//AB 平面POC ；（2）求二面角B AP D --的余弦值．18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点(，且离心率为12．设A ，B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AP ，BP 分别与直线:4l x =相交于M ，N 两点，且直线MB 与椭圆C 交于另一点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线AP 与BP 的斜率之积为定值；（3）判断三点A ，H ，N 是否共线：并证明你的结论．20.已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.21.设m 为正整数，若无穷数列{}n a 满足(1,2,,;1,2,)ik i ik a a i i m k +=+== ，则称{}n a 为m P 数列.（1）数列{}n 是否为1P 数列？说明理由；（2）已知,,,,n s n a t n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中,s t 为常数.若数列{}n a 为2P 数列，求,s t ；（3）已知3P 数列{}n a 满足10a <，82a =，666(1,2,)k k a a k +<= ，求n a .2023届高三10月测试数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|22}A x x =-<，{|11}B x x =-< ，则（）A.A B A =B.B ⊆R A ðC.R A B =∅ð D.R A B ⋃=RðD【分析】根据集合的运算法则判断各选项．【详解】由题意1{|1}A B x x =-<≤ ，A 错；{|2R A x x =≤-ð或2}x >，B 错；{|1B x x =≤-R ð或1}x >，{|21R A B x x =-<≤- ð或12}x <≤，C 错；R A B R ⋃=ð，D 正确．故选：D ．2.若复数()i 1i z =+，则2z =（）A.2-B.2C.2i- D.2iC【分析】结合复数乘法公式直接求解.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，所以22i z =-.故选：C3.在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A.15B.15- C.30D.30-A【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解.【详解】()663166211rr rr r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令630r -=，得2r =，所以常数项是()2236115T C =-=.故选：A4.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（）A.等腰梯形B.非矩形的平行四边形C.正五边形D.正六边形C【分析】在正方体中依次分析，经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，其他情况都可构造例子.【详解】画出截面图形如图：可以画出等腰梯形，故A 正确；在正方体1111ABCD A B C D 中，作截面EFGH （如图所示）交11C D ，11AB ，AB ，CD 分别于点E ，F ，G ，H ，根据平面平行的性质定理可得四边形EFGH 中，//EF HG ，且//EH FG ，故四边形EFGH 是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B 正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C 错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D 正确．故选：C5.已知半径为1的圆经过点()3,4，则其圆心到点()3,4--的距离的最大值为（）A.9 B.10C.11D.12C【分析】根据圆的性质，求得轨迹方程，由点与圆的位置关系，可得答案.【详解】由题意，圆心的轨迹方程为()()22341x x -+-=，则其圆心到点()3,4--的距离的最大值为111=.故选：C.6.已知函数()()πsin 0,2f x x ωθωθ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，π6x =是()f x 的一个极值点，π6x =-是与其相邻的一个零点，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A.0B.1C.1-D.22D【分析】根据题中条件求出ω的值，结合θ的取值范围可求得θ的值，可得出函数()f x 的解析式，然后代值计算可得π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期为π4π4263T =⨯⨯=，2π32T ω∴==，()3sin 2x f x θ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，因为π6x =是()f x 的一个极值点，则()3πππZ 262k k θ⨯+=+∈，则()ππZ 4k k θ=+∈，因为π2θ<，π4θ∴=，则()3πsin 24x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因此，ππππsin cos 32442f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.7.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x >的解集是（）A.()0,1B.()()1,22,⋃+∞C.()1,2 D.()2,+∞C【分析】利用导数可求得()f x 单调性，结合()()120f f ==可得不等式的解集.【详解】()f x 定义域为()0,∞+，()11ln 21ln 2ln 2x f x x x -'=-=，∴当10,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当1,ln 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()f x \在10,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；又()()120f f ==，且112ln 2<<，()0f x ∴>的解集为()1,2.故选：C8.过抛物线C ：26y x =的焦点且垂直于x 轴的直线被双曲线E ：()22210xy a a-=>所截得线段长度为，则双曲线的离心率为（）A.B.512+C.2D.213D【分析】根据题意，代入32x =，求得弦长=即可求得a ，再由基本量的计算即可得解.【详解】抛物线C ：26y x =的焦点为3(,0)2，令32x =，可得y =所以=，32a =，由1b =，所以2c ==，所以7212332c e a ===.故选：D9.已知数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4n n n n a n N n λλ+--+≤⎧=∈⎨-+>⎩，则λ的取值范围是（）A.()1,2 B.51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D【分析】根据数列{}n a 是递增数列，列出符合条件的不等式组，求出λ的取值范围即可.【详解】数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4n n n n a n N n λλ+--+≤⎧=∈⎨-+>⎩，则5410314(1)5(3)5λλλλ-->⎧⎪->⎨⎪-+≤-+⎩，解得715λ<<，故λ的取值范围是71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D10.如图，已知1OA OB ==，OC = 4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOB =+，则mn等于A.57 B.75C.37D.73A【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C 的坐标，利用向量相等建立关于m、n 的方程，求解即可．【详解】以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB == ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，，∴A（1，0），B（3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tanθ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cosθ=210，sin θ=7210,又OC =，∴C（1755，），∵OC mOA nOB =+ ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ）即15=m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =，故选A ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x=，则f (-8)的值是____.4-【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.12.若函数()()cos sin f x x x ϕ=++的最大值为2，则ϕ的一个可能的取值为___________.2π-（答案不唯一）【分析】化简可得出()()cos cos 1sin sin f x x x ϕϕ=+-，可得出()max2f x ==，求出sin ϕ的值，即可得解.【详解】因为()()cos cos sin sin sin cos cos 1sin sin f x x x x x x ϕϕϕϕ=-+=+-，故()max 2f x ===，可得sin 1ϕ=-.故()2Z 2k k πϕπ=-∈.故答案为：2π-（答案不唯一）.13.若直线y x a =+和直线y x b =+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，则a b -=__________．2【分析】由条件可得直线y x a =+和直线y x b =+间的距离为，由此可求a b -的值.【详解】设直线y x a =+和圆()()22111x y -+-=相交与点,A B ，直线y x b =+与圆()()22111x y -+-=相交于点,M N ，圆心为C ，因为直线y x a =+和直线y x b =+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，且2ACB MCN π∠=∠=,所以ACB △为等腰直角三角形，所以圆心为C 到直线y x a =+的距离为22，同理可得圆心为C 到直线y x b =+的距离为2，故直线y x a =+和直线y x b =+间的距离为，=，所以2a b -=，故答案为：2.14.若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N ，则2021a 的值为__________．3-【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定2021a .【详解】解：132a a a +=，则3211a a a =-=，243a a a +=，则4322a a a =-=-，354a a a +=，则5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=，8763a a a =-=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴数列{}n a 为周期数列，且周期6T =，又202163365=⨯+，∴202153a a ==-．故答案为：-3.15.甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛，至少包含数学和物理，在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x ，另一个学生的分数为y ，第三个学生的分数为z ，其中x ，y ，z 是三个互不相等的正整数．在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分．（1）甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数为________；（用x ，y ，z 表示）；（2）若在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则下列正确的序号为________．①甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛②x ，y ，z 这三个数中的最大值可以取到21③在甲乙丙这三个学生中，甲学生的物理竞赛成绩可能排名第二④在甲乙丙这三个学生中，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二①.87x y z ++②.④【分析】（1）甲乙丙三人总分为87，即可求得甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数；（2）不妨设x y z >>，由472416293x y z ++++==，利用排除法即可判断①；再由甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，依次判断②③④.【详解】（1）甲乙丙三人总分为47241687++=，又每科竞赛中，甲乙丙三人中都有学生的分数为x ，y ，z ，故甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数为87x y z++（2）不妨设x y z >>，由题意可得472416293x y z ++++==，对于①，假设甲乙丙只参加了三门竞赛，当20,7,2x y z ===时，若甲：2020747++=，乙：202224++=，丙：77216++=，此时符合题意，故①错误；对于②，若21x =，有8y z +=，丙的分数无法满足；因为2116>，且x ，y ，z 是正整数，16不能整除3，必有216y z +=，但由于8y z +=，则2()16y z +=与216y z +=矛盾，故②错误；对于③④，当20,7,2x y z ===时，对于甲有2020747++=，对于乙有202224++=，对于丙有77216++=，由于甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，所以甲乙丙的数学成绩分为7,20,2，物理成绩分别为20,2,7，所以甲学生的物理竞赛成绩是第一，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二，故③错误，④正确；故答案为：87x y z++，④【点睛】关键点点睛：本题考查了合情推理的应用，主要考查了逻辑推理能力，正确理解题意是解题的关键，属于较难题.三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，1cos 7C =，8c =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）b 的值；（2）角A 的大小和ABC 的面积.条件①：7a =；条件②：11cos 14B =.（1）5b =（2）3A π=，ABC S = 【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得b ，若选②，先由同角三角函数的关系求出sin ,sin B C ，然后由正弦定理可求出b ，（2）若选①，先求出sin C ，再利用正弦定理可求出角A ，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于cos cos()A B C =-+，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角A ，利用面积公式可求出其面积，【小问1详解】选择条件①因为1cos 7C =，8c =，7a =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得216449147b b =+-⨯，化简得22150b b --=，解得5b =或3b =-（舍）.所以5b =；选择条件②因为11cos 14B =，0B π<<，所以53sin 14B ==，因为1cos 7C =，0C π<<，所以43sin 7C ===，由正弦定理得sin sin b c B C =5343147=解得5b =；【小问2详解】选择条件①因为1cos 7C =，0C π<<，所以43sin 7C ===.由正弦定理sin sin a c A C =，得7sin 437A =，所以3sin 2A =，因为c a >，所以C A >，所以A 为锐角，所以3A π=，所以1143sin 75227ABC S ab C ==⨯⨯⨯= ，选择条件②由（1）知53sin 14B =，43sin 7C =，又因为11cos 14B =，1cos 7C =，在ABC 中，()A B C π=-+，所以cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C=-+=-+111534311471472=-⨯+⨯=因为0A π<<所以3A π=，所以113sin 58222ABC S bc A ==�△17.如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面,1ABCD PO =．在底面ABCD 中，//,,1,2BC AD CD AD BC CD AD ⊥===．（1）求证：//AB 平面POC ；（2）求二面角B AP D --的余弦值．（1）证明见解析；（2）33．【分析】（1）证明//AB OC 后可证线面平行；（2）以,,OB OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）由题意BC OA =，又//BC OA ，所以BCOA 是平行四边形，所以//AB OC ，又AB ⊄平面POC ，OC ⊂平面POC ，所以//AB 平面POC ；（2）,//BC OD BC OD =，所以BCDO 是平行四边形，所以//OB DC ，OB CD =，而CD AD ⊥，所以OB AD ⊥，以,,OB OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)B ，(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，(1,1,0)AB = ，(0,1,1)= AP ，设平面ABP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则00n AB x y n AP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩ ，取1x =，则1,1y z =-=，即(1,1,1)n =- ，易知平面APD 的一个法向量是(1,0,0)m = ，所以13cos ,313m n m n m n ⋅<>===⨯ ，所以二面角B AP D --的余弦值为33．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）（1）0.4（2）75（3）丙【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X 的分布列，即可计算出X 的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4【小问2详解】设甲获得优秀为事件A 1,乙获得优秀为事件A 2，丙获得优秀为事件A 31233(0)()0.60.50.520P X P A A A ===⨯⨯=，123123123(1)()()()P X P A A A P A A A P A A ==++80.40.50.50.60.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，123123123(2)()()()P X P A A A P A A A P A A A ==++70.40.50.50.40.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，1232(3)()0.40.50.520P X P A A A ===⨯⨯=.∴X 的分布列为X0123P 320820720220∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(，且离心率为12．设A ，B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AP ，BP 分别与直线:4l x =相交于M ，N 两点，且直线MB 与椭圆C 交于另一点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线AP 与BP 的斜率之积为定值；（3）判断三点A ，H ，N 是否共线：并证明你的结论．（1）22143x y +=（2）定值为34-，证明见解析.（3）三点A ，H ，N 共线，证明见解析.【分析】（1）首先根据题意得到22212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.（2）设00(,)P x y ，()2,0A -，()2,0B ，再计算AP BP k k ⋅即可.（3）分别计算AH k 和AN k ，根据AN AH k k =，A 为公共点，即可证明A ，H ，N 三点共线.【小问1详解】由题知：2222121b a c b a c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，所以椭圆C ：22143x y +=.【小问2详解】由题知：AP k ，BP k 存在，且不为零，设00(,)P x y ，()2,0A -，()2,0B ，则2200143x y +=，即()200344x y -=.()202000220000343422444AP BP x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---.所以直线AP 与BP 的斜率之积为定值34-.【小问3详解】A ，H ，N 三点共线，证明如下：设直线AP ：()2y k x =+，则直线BP ：()324=--y x k，将4x =代入直线AP ，BP 得：()4,6M k ，34,2N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，6342BM k k k ==-，设直线HM ：()32y k x =-，联立()()22222211124848404332x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩，设()11,H x y ，则2124842121k x k -=+，解得212242121k x k -=+，所以()1121232121k y k x k -=-=+，即22224212,121121k k H k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以31264AN k k k-==-，22212112124242121AH kk k k k k -+==--++，所以AN AH k k =，A 为公共点，所以A ，H ，N 三点共线.20.已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.（1）()f x 有极小值(0)0f =，无极大值；（2）(],e 2-∞-【分析】（1）求出函数的导数，判断出函数的单调性，即可求出极值；（2）由题可得2e 10x x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立，易得0x =时满足，当0x >时，e 1x a x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恒成立，构造函数e 1()x g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求出导数，判断()g x 的单调性，得出min ()e 2g x =-，即可求出a 的取值范围．【详解】（1）当1a =时，()e 1x f x x =--，所以()e 1x f x '=-，当0x <时()0f x '<；当0x >时()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以当0x =时函数()f x 有极小值(0)0f =，无极大值.（2）因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以2e 10x x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立，当0x =时00≥恒成立，此时R a ∈，当0x >时e 1x a x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恒成，令e 1()x g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则2222(1)e (1)e (1)1()xx x x x x g x x x x ⎡⎤--+⎛⎫--⎣⎦'=-= ⎪⎝⎭，由（1）知0x >时()(0)0f x f >=，即e (1)0x x -+>，当01x <<时()0g x '<；当1x >时()0g x '>，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min ()e 2g x =-，所以e 2a ≤-，综上可知，实数a 的取值范围是(],e 2-∞-.【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围，若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.21.设m 为正整数，若无穷数列{}n a 满足(1,2,,;1,2,)ik i ik a a i i m k +=+== ，则称{}n a 为m P 数列.（1）数列{}n 是否为1P 数列？说明理由；（2）已知,,,,n s n a t n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中,s t 为常数.若数列{}n a 为2P 数列，求,s t ；（3）已知3P 数列{}n a 满足10a <，82a =，666(1,2,)k k a a k +<= ，求n a .（1）是1P 数列，理由见解析；（2）1,0t s =-=；（3）6n a n =-.【分析】(1)根据1P 数列的性质判断即可；(2)根据2P 数列的性质，求出123,,a a a 即可；(3)根据3P 数列的性质，利用所给的条件，合理演绎即可.【小问1详解】∵()()11111(1)11n n n a a n a ⨯-+⨯-==-+=+()2n ≥，∴()()111111n n a a ⨯-+⨯-=+，符合1P 的定义，故数列n a n =是1P 数列；【小问2详解】依题意，2a t =，13a a s ==，因为n a 是2P 数列，2111111a a a t t ⨯+==+=+=，1t ∴=-，3121211a a a t s ⨯+==+=+=，0s ∴=；【小问3详解】∵n a 是3P 数列，817171a a a ⨯+∴==+，823262a a a ⨯+==+，76122a a ∴+=+=…①，9181813a a a ⨯+==+=，9323633a a a ⨯+==+=…②由①②得670,1a a ==，∴猜想n a 是首项为-5，公差为1的等差数列，即6n a n =-，检验：111611k k k a a k a ⨯++==-+=+，∴是1P 数列；222222262622k k k a a k k a ⨯++==+-=-+=+，∴是2P 数列；3333363633k k a k k a +=+-=-+=+，∴是3P 数列，并且66666,6666k k a k a k k +=-=+-=，（1,2,3,k = ），∴666k k a a +＜，150a =-＜符合题意，故6n a n =-，综上，n a n =是1P 数列，1t =-，0s =，6n a n =-.。

合肥168中2021届高三10月月考数学(理)试卷及答案----b3b6c2dc-6eac-11ec-bbd4-7cb59b590d7d合肥一六八中学2021届高三第二次段考数学（理科）试卷时间：120分钟总分：150分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求在答题纸上相应的位置填写答案。

）22n??x,y?x2?y?0,x?r,y?r，1.设集合m??x,y?x?y?1,x?r,y?r，则集合m?n中???? 元素的数量为（）a.1b.2c.3d.42.函数y?log21(x?1)的定义域为（）2a。

？？2.1.1,2? b、（？2，？1）？（1,2）c。

？？2.1.1,2? d、（？2，？1）？(1,2)3.设曲线y=ax－ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）a.0b.1c.2d.34.在曲线y＝x2上切线倾斜角为? 4的点是（）A.（0，0）B.（2，4）C.（111416）d.（2，14）[来5.偶函数f(x)的定义域为r，若f(x＋2)为奇函数，且f(1)＝1，则f(89)＋f(90)为(a．－2b.－1c.0d.16.已知a为常数，则使得a??e11xdx成立的一个充分而不必要条件是()a．a?0b．a?0c．a?ed．a?e7.若f?(xf(x0?h)?f(x0?3h)0)??3，则limh?0h?（）a、 ?。

？3b。

？12c。

？9d。

？68.已知的三次函数f（x）？ax3？bx2？cx？图中显示了D的图像，然后f?(?3)f?(1)?（）a、 -1b。

2c.-5d.-三)9.已知f(x)=x3?3x?m，在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形，则m的取值范围是（）上午2b。

M4c。

M6d。

M八a2b10.已知f(x),g(x)都是r上的奇函数，f(x)?0的解集为(a,b)，g(x)?0的解集为(,)，且222b，那么f（x）？g（x）？0的解集是（）2BB222BA（？，a）？（a，）b.（？，a）？（？a，）222B2222BC。

2021-2022年高三上学期10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合{}{}1,2,5,4,5,6U A C B ==，则集合A. B. C. D.2.若，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.3.函数的零点有A.0个B.1个C.2个D.3个 4.设0.13592,1,log 210a b g c ===，则a,b,c 的大小关系是 A. B. C. D.5.下面几种推理过程是演绎推理的是A.两条直线平行，同旁内角互补，如果是两条平行直线的同旁内角，则B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列中，()11111,221n n n a a a n a -⎛⎫==+≥ ⎪-⎝⎭，计算，由此猜测通项 6.已知函数的导函数为，且满足，则A. B. C.1 D.e7.函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是，则A.1B.2C.3D.48.函数满足，那么函数的图象大致为9.设函数是定义在R 上周期为3的奇函数，若，则有 A. B. C.D.10.已知()32log ,03,,,,1108,333x x f x a b c d x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是A.B. C. D.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上.11. __________.12.设实数满足240,0,0.x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩则的最大值为_________.13.观察下列式子222222131151117:1,1,1222332344+<++<+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________________________.14.在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为_______、_______.15.下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab ”；②若命题，则；③若命题“”与命题“”都是真命题，则命题q 一定是真命题；④命题“若，则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭”是真命题. 其中正确命题的序号是_________.（把所有正确命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知集合{}{}22log 8,0,14x A x x B xC x a x a x +⎧⎫=<=<=<<+⎨⎬-⎩⎭. （I ）求集合；（II ）若，求实数a 的取值范围.17. （本题满分12分）设命题p ：函数在R 上是增函数，命题()2:,2310q x R x k x ∃∈+-+=，如果是假命题，是真命题，求k 的取值范围.18. （本题满分12分）已知函数.（I ）若函数的图象在处的切线方程为，求a,b 的值；（II ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的最大值.19. （本题满分12分）已知二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈. （I ）若，且函数的值域为，求函数的解析式；（II ）若，且函数在上有两个零点，求的取值范围.20. （本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为161,04815,42x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤10⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（I ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（II ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a （1≤a ≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）.21. （本题满分14分）设，函数.（I）求的单调递增区间；（II）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（III）设是函数图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，直线AB的斜率为为k.证明：.T *35356 8A1C 訜21153 52A1 务24278 5ED6 廖37058 90C2 郂40714 9F0A 鼊B21961 55C9 嗉35803 8BDB 诛e24194 5E82 庂F。

襄阳2025届高三上学期10月月考数学试卷（答案在最后）命题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（）A.{}2,0,1,2,4- B.{}2,0,2,4- C.{}0,2,4 D.{}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2.设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >求出相应的a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >，即>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >”的充分不必要条件.故选：A3.已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（）A.1B.12C.1或12-D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4.已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（）A.()ln 10y x -+>B.ln0yx> C.ln 0y x +> D.ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=，故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（）A.126个B.112个C.98个D.84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6.若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（）A.78a =B.135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.754S =D.24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.23C.33D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF ，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B ，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a +=，即2a =，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B ，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知： 䁕2a =，2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率3cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8.圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A.[)1,+∞ B.[)2,+∞C.)∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率.()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（）A.若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B.若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C .若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D.若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，对于选项B ，由相互独立事件的概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10.已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)对称B.()f x 的值域为[1,2]-C.若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D.若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61ii ax=∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得3sin 2x =-，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11.在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（）A .对任意三点,,A B C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B.已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C.到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D.定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M a b{}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a =(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b =(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】 【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13.已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14.数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC的面积为4，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为233y x =±，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设 ， ，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-，则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mmm-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z=1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n∴︒==11132=，解得1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x yz =，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨=+=⎪⎩ ，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18.已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点 h 处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn +++-+++->∈N .【答案】（1）0y =（2）[)1,+∞（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln xx xλ≥+，求出函数()212ln x g x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，h t ，则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点 h 处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数 在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以 在 ∞上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19.已知整数4n ，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n 的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．（2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列䁕 的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列 的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。

成都七中高2022届10月数学试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知2log ,0U y yx x ，1,2Py yxx，则U C P ( )A ．1,2 B ．10,2 C.0, D ．1,0,22.已知函数sin f x x x，若12,,22x x ，且12f x f x ，则下列不等式中正确的是( ) A ．12x x B ．12x x C ．120x x D ．120x x3.函数34xy 与函数232xy关于( )对称A ．34xB ．94xC ．3,04D ．94x4.已知命题:p x R ，1123xx，命题0:q x R ，3201x x ，则下列命题中为真命题的是( )A ．p qB ．p q q C.p q D ．p q5.平面∥平面的一个充分条件是( )A ．存在一条直线m ，m ∥，m ∥B ．存在一条直线m ，m ，m ∥；C.存在两条平行直线,m n ，m ，m ∥，n ∥ D ．存在两条异面直线,m n ，ma ，m ∥，n ∥6.已知函数3213f xx bx cx bc 在1x 处有极值43，则b ( )A ．1B ．1C.1或1D ．1或37.若1a b ，01c ，则( ) A ．cc ab B ．c c ab ba C.log log b a a c b c D ．log log a b c c8.10tan4sin99( )A ．1B 23． 29.已知函数2cos 3f x x 是奇函数，其中0,2，则cos 2g xx图象( )A ．关于点,012对称 B ．可由函数fx向右平移3个单位长度得到C.y g x在0,3上单调递增 D ．yg x 在713,1212上单调递增 10.已知函数f x在R 上的导函数是'f x，且满足2'2xf xf xx ，下面的不等式在R 内恒成立的是( ) A ．f xB ．f x C.f x xD ．f x x11.设函数22,1,1,1,1f x x f xx x，若关于x 的方程log 0a f xx (0a 且1a)在区间1,5内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是( ) A ．3B ．2,eC.3,D ．,3e 12.若存在正实数m ，使得关于x 的方程224ln ln 0x a x m exx mx有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( )A ．,0B ．10,2eC.1,0,2eD ．1,2e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知32'1f xx f x，则'1f ． 14.已知函数221f xa x a ，若“0,1x，f x ”是假命题，则a 的取值范围是.15.已知ABC △，2AC ，6BC，ABC△的面积为3，若线段BA 的延长线上存在点D ，使得4BDC∠，则CD.16.已知函数2,01,0x x a x f xx x的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线yf x在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设:p 实数x 满足22430xax a ，其中0a，:q 实数x 满足2260280x x xx .(1)若1a ，且p q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18.设4cossin cos 26f xxx x.(1)若1，求6yf x在2,34上的单调递减区间；(2)若f x在区间3,22上为增函数，其中0，求的最大值.19.2022年奥运会于8月5日～21日在巴西里约热内卢进行，为了解某单位员工对奥运会的关注状况，对本单位部分员工进行了调查，得到平均每天看奥运直播时间的茎叶图如下(单位：分钟)：若平均每天看奥运直播不低于70分钟的员工可以视为“关注奥运”，否则视为“不关注奥运”. 关注奥运 不关注奥运 合计 男性员工 女性员工 合计(1)试完成下面的22列联表，并依此数据推断是否有99.5%以上的把握认为是否“关注奥运”与性别有关？ (2)若从参与调查且平均每天观看奥运会时间不低于110分钟的员工中抽取4人，用表示抽取的女员工数，求的分布列与期望值.附：参考数据20P K k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：22n ad bcKa b c d a c b d ，其中n a b c d ).20.已知函数2xf xe ax，21g xax aR. (1)设函数h x g x f x，其导函数为h x，若h x在0,上具有单调性，求a 的取值范围； (2)在(1)的条件下，求证：*11111234f f ffnn N n….21.如图，在等腰直角OPQ △中，90POQ ∠°，22OP ，点M 在线段PQ 上.(1)若5OM，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠°，当POM ∠取何值时，OMN △的面积的最小值.22.已知函数21ln 2f x b xax x a.(1)当2b ，0a ，求函数的单调区间；(2)当b x ，在其定义域内有两个不同的极值点分别为12,x x ，证明：212x x e .成都七中高2022届10月理科数学试题 参考答案 一、选择题1-5:ACBCD 6-10:ACDCA 11-12：BD 二、填空题 13.1 14.1,11,212,4三、解答题 17.解：(1)由22430xax a得30x a x a ，当1a 时，解得13x ，即p 为真时实数x 的取值范围为13x ，由2260280x x xx 得23x ，即q 为真时实数x 的取值范围为23x .若p q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x . (2)∵p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即q p ，且/p q ，设A x p x ，B x q x，则A 不包含B ， 又2,3B，当0a 时，,3Aa a，0a 时，3,Aa a，所以当0a 时，有233a a，解得12a .当0a 时，明显AB，不合题意，所以实数a 的取值范围是12a .18.解：(1)27,312，,124；(2)16.19.解：(1)22列联表如下：则2227535181210722510.987.87947284530658n ad bc K a b c da cb d≈，所以，有99.5%以上的把握认为是否“关注奥运会”与性别有关； (2)由条件可知，的可能取值有：0，1，2，3，且 47410106C PC ，3173410112C C P C ， 22734103210C C P C ，13734101330C C PC .∴的分布列为：女性员工的期望值为：1131601236210305E.20.解：(1)∵221x h x g x f xax ax e ，∴'22x h x ax e a，设'22xm xh xax e a，则'2xm xa e ，(i)若'20xm x a e 在0,上恒成立，则2xa e ，故12a；(ii)若'20xm x a e 在0,上恒成立，则2xa e ，此时，1,xe ，故不存在a 使2xa e 恒成立，综上所述，a 的范围是：1,2.(2)由(1)知当12a时，2112x h x x x e ， '1x h xx e ，''0h xh ，h x在0,上为减函数，所以h x h ，即21102x x e x ，所以2112xe xx ，即2112f x x ，依次令1111,,,,23x n …得： 211112f ，21111222f，21111323f，…，211112fn n，累加得： 222211111111123223f f ffnn n ……1111121223341nnn …1111111112223341nnn …1112nn14n故*11111234f f f fn n N n….21.解：(1)在OMP △中，45OPM ∠°，5OM，22OP ，由余弦定理得，2222cos45OM OP MP OP MP °，得2430MPMP ，解得1MP 或3MP .(2)设POM∠，060°°，在OMP △中，由正弦定理，得sin sin OMOP OPM OMP ∠∠，所以sin 45sin 75OP OM °°，故2211sin 45sin 24sin 45sin 75OMNOP S OM ON MON △°∠°°1sin 45sin 453031sin 45cos 4522°°°°°113131sin 45sin 45cos 451cos 902sin 902244°°°°°1133131sin 2cos2sin 2304442°.由于060°°，30230150°°°，所以当30°时，sin 230°的最大值为1，此时OMN △的面积取到最小值，即30POM ∠°时，OMN △的面积的最小值为843.22.解：(1)当0a 时，f x 的递增区间为0,2，递减区间为2,；当18a时，f x 在0,单调递增；当108a 时，f x 的递增区间为1180,2aa和118,2aa，递减区间为118118,22a a aa；(2)方法一： ∵'ln f xx ax，∴12,x x 是ln 0x ax 的两个不等根，故11ln x ax ，22ln x ax ，从而1212ln ln x x a x x ，1212ln ln x x a x x ，不妨设120x x ，则11221212lnln ln x x x x ax x x x ， 不等式122121212121212ln22ln ln 22x x x x e x x a x x ax x x x x x1122112122212ln1x x x x x x x x x x ， 令1201x tt x ，则21221ln 1t x x e tt ， 设21ln 011t h t t t t ，则221'1t h tt t ，当01t 时，'0h t，所以h t在0,1上单调递增，故1h th ，即21ln 1t tt ，所以212x x e .方法二：依题意得12111222ln ln ln ln x x x x ax x x x ，不妨设120x x ，1201x tt x ， 则12x tx 22222ln ln ln ln ln ln ln 1tx t x t ttx x x t ，故122ln ln ln ln ln ln ln 11t t t x tx t x tt t ， 不等式2121221ln ln ln ln 22ln 111t t t tx x e x x tt t t (下同法1)。

2021年高三上学期10月月考数学试卷 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、已知函数，则该函数的定义域为__________．2、不等式的解集是 ．3、若，则的取值范围是 _________．4、函数在区间[，]上的最小值为m ，最大值为M ，则M+m 的值为___6_______．5、函数)(1)(3R x x x x f ∈++=，若，则__0____．6、已知集合只含有一个元素，则 0 或1 ．7、展开式中的系数为_____28_____．8、计算：_______3_2222210n n n n n n n C C C C =++++ ． 9、在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 ．（结果用分数表示）10、若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成的角为，则此圆锥的体积为________．（答案保留）11、若是R 上的减函数, 且的图象过点A(0,3), B(3,－1)，则不等式的解集是___________．12、已知函数242(1)()log (1)ax ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，在区间上是减函数，则的取值范围为______________.13、由函数、的图象及直线、所围成的封闭图形的面积是 10 ．14、设定义域为的函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=--11121x ax x f x ，若关于的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则满足题意的的取值范围是___________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸上的相应位置，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15、下列函数中，与函数相同的函数是（ C ）（A ）． （B ） ． （C ） ． （D ） ．16、已知平面和直线、，且，则“”是“”的（ A ）(A)充分不必要条件．(B)必要不充分条件． (C)充要条件． (D)既不充分也不必要条件．17、设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的“差集”为{}P x M x x P M ∉∈=-且|，则等于（ B ）（A ）P ． （B ）． （C ）． （D ）M ．18、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：个数据的中位数为，众数为；②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为，则肯定进入夏季的地区有（ C ）(A)个． (B)个． (C)个． (D)个．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、(本题满分14分) 本题共有2个小题。

成都市实验外国语学校高三10月月考数学试题总分：150考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“，使”的否定是（ ）A ．，使B ．不存在，使C ．，D ．，2．已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ）A ．60B ．72C ．120D ．1443．若，则（ ）A ．3B ．4C ．9D ．164，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知，是方程的两个根，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（参考数据：，）（）A ．0.2B ．0.18C ．0.1D ．0.148．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的取值范围是（ ）x ∃∈R 210x x +-=x ∃∈R 210x x +-≠x ∈R 210x x +-=x ∀∉R 210x x +-≠x ∀∈R 210x x +-≠{}n a n n S 21024a a +=36a =8S =24log log 2m n +=2m n =2π39π6π23292273949tan 23︒tan 37︒2230x mx +-=m =--0eKDD I I -=K D D I 0I D 40%K ln 20.7≈ln 5 1.6≈()22log ,012,04x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<221323432x x x x x x +-A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，共18分。

叶集皖西当代中学高三年级十月份月考应届理科数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1．已知M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5，7}，P ＝M ∩N ，则集合P 的子集个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知p ：0≤2x -1≤1，q ：(x -a )(x -a -1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1[0,]2B ．1(0,)2C ．1(,0][,)2-∞+∞ D ．1(,0)(,)2-∞+∞ 3．若3sin α+cos α＝0，则21cos 2sin cos ααα+的值为（ ） A ．103 B ．53C ．23D ．-2 4．函数2()lg(31)f x x ++的定义域是（ ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 5．已知向量a 、b 满足||1a =，||2b =，向量a ，b 的夹角为π3，则|2|a b -的值为（ ） A ．4 B ．3C ．2D 6．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1，且n a = 1121,22, n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ） A ．7 B ．13 C ．16 D ．227．已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B．1 CD 8．设函数π()sin(2)4f x x =+，9π0,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则x 1+2x 2+x 3的值为（ ）A ．πB ．3π4C ．3π2D ．7π49．已知a ，b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π610．已知BC 是圆O 的直径，H 是圆O 的弦AB 上的一动点，BC ＝10，AB ＝8，则HB HC ⋅的最小值为（ ）A ．-4B ．-25C ．-9D ．-1611．已知函数f (x )＝x e x ，g (x )＝x ln x ，若f (x 1)＝g (x 2)＝t ，其中t ＞0，则12ln t x x 的最大值为（ ） A ．1eB ．2eC ．21eD ．24e 12．设函数π()3sinx f x m=，函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，若存在x 0满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围为（ ）A ．(-∞，-6)∪(6，+∞)B ．(-∞，-4)∪(4，+∞)C ．(-∞，-2)∪(2，+∞)D ．(-∞，-1)∪(1，+∞)第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13．已知命题p ：π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，x -sin x ≥0，则¬p 为________． 14．已知点P (1，2)为角α的终边上一点，则tan 2α＝________．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3≠0，若a 5＝3a 3，则95S S =________． 16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且7cos 8A =．M 为△ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM xAB y AC =+，则x +y 的最大值为________．三、解答题17．已知命题P ：“函数f (x )＝ax 2-4x 在(-∞，2]上单调递减”，命题Q ：“∀x ∈R ，16x 2-16(a -1)x +1≠0”．若命题“P ∧Q ”为真命题，求实数a 的取值范围．18．已知等差数列{a n }满足：a 2＝5，a 4+a 7＝24，{a n }的前n 项和为S n ．（Ⅰ）求通项公式a n 及前n 项和S n ；（Ⅱ）令*21()1n n b n a =∈-N ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，点E ，F 在BC 边上且BE BC λ=，BF BC μ=．（1）若13λ=，求AE 的长； （2）若4AE AF ⋅=，求11λμ+的值． 20．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．（1）当t ＝4时，求s 的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．21．将函数f(x)＝-cos 4x的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作g(x)．（1）在△ABC中，三个内角A，B，C且A＜B＜C，若C角满足g(C)＝-1，求cos A+cos B 的取值范围；（2）已知常数λ∈R，n∈N*，且函数F(x)＝g(x)+λsin x在(0，nπ)内恰有2021个零点，求常数λ与n的值．22．已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝a(x-1)．（1）若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的值；（2）存在x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，求证：0f'<．。

2021-2022年高三上学期10月月考试题数学（理）含答案一、填空题：1. 设全集为，集合，集合，则(∁)= ▲2. 命题“对，都有”的否定为 ▲3. 对于函数,“是奇函数”是“的图象关于轴对称”的_____▲_____条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）4. 函数)12(log 1)(21+=x x f 的定义域为 ▲5. 已知向量，，，若，则实数 ▲6. 过原点作曲线的切线，则此切线方程为 ▲7. 已知的零点在区间上，则的值为 ▲8. 已知为非零向量，且夹角为，若向量，则 ▲9. 函数]2,0[,sin 21π∈-=x x x y 的单调增区间为 ▲ 10. 设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，⎩⎨⎧≤<-<≤-+=20,102,)(x ax x b ax x f ，则 ▲ 11. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，且，若，则 ▲12. 在面积为2的中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值是 ▲13.若函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为 ▲14. 已知函数)(|1|)(22R m x mx x x f ∈--+=，若在区间上有且只有1个零点，则实数的取值范围是 ▲二、解答题：15. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.16. 设集合，|lg ,0,3x a B x y a a R a x -⎧⎫==≠∈⎨⎬-⎩⎭. （1）当1时，求集合；（2）当时，求的取值范围．17. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，（1）若，求，的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求 的值.18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.19.中心在原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为2，两准线间的距离为10. 设过点作直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点（1）求椭圆的方程;（2）求证直线过轴上一定点（3）若过点作直线与椭圆只有一个公共点求过两点，且以为切线的圆的方程.20.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数（为实常数）的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．数学答题纸xx.10一、填空题(14×5＝70分)1、2、，3、充分不必要4、5、16、7、18、9、10、11、12、13、14、或二、解答题（共90分）19、（16分）（1）设椭圆的标准方程为依题意得：222,1,,210,c c a a c=⎧=⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎩⎪⎩得 所以，椭圆的标准方程为（2）设，，AP=tAQ ，则.结合⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14514522222121y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=t t x t x 233221. 设B (x ，0)，则，，所以，直线过轴上一定点B (1，0). （3）设过点的直线方程为：代入椭圆方程 得： 2222(45)50125200k x k x k +-+-=.依题意得：即2222(50)4(45)(12520)0k k k -+-=得：且方程的根为.当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点,直线的方程是：11),(,0)5y x E =-∴.所求的圆即为以线段为直径的圆，方程为：22324()(;5525x y -+-=同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：22324()(.5525x y -++=20. 已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数（为实常数）的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．解：（1）g （x ）＝lnx －x ＋1，g′（x ）＝1x －1＝1－x x ，当0＜x ＜1时，g′（x ）＞0；当x ＞1时，g′（x ）＜0，可得g （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故g （x ）有极大值为g （1）＝0，无极小值．（2）h （x ）＝lnx ＋|x －a|．当a ≤0时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（0，＋∞）上单调递增；当a ＞0时，h （x ）＝⎩⎨⎧lnx ＋x －a ，x ≥a ，lnx －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（a ，＋∞）上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h （x ）＝lnx －x ＋a ，h′（x ）＝1x －1＝1－x x ．当0＜a ≤1时，h′（x ）＞0恒成立，此时h （x ）在（0，a ）上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h′（x ）＞0，当1≤x ＜a 时h′（x ）≤0，所以h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，a ）上单调递减．综上，当a ≤1时，h （x ）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a ＞1时，h （x ）增区间为（0，1），（a ，＋∞）；减区间为（1，a ）．（3）不等式（x 2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立，即（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立．当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；lnx ＜0，则（x 2－1）lnx ＞0；当x ≥1时，x 2－1≥0；lnx ≥0，则（x 2－1）lnx ≥0．因此当x ＞0时，（x 2－1）lnx ≥0恒成立．又当k ≤0时，k （x －1）2≤0，故当k ≤0时，（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2恒成立． 下面讨论k ＞0的情形．当x ＞0且x ≠1时，（x 2－1）lnx －k （x －1）2＝（x 2－1）[lnx －k(x －1)x ＋1]． 设h （x ）＝lnx －k(x －1)x ＋1（ x ＞0且x ≠1），222)1(1)1(2)1(21)('++-+=+-=x x x k x x k x x h ． 记△＝4（1－k ）2－4＝4（k 2－2k ）．① 当△≤0，即0＜k ≤2时，h′（x ）≥0恒成立，故h （x ）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．于是当0＜x ＜1时，h （x ）＜h （1）＝0，又x 2－1＜0，故（x 2－1） h （x ）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．又当x＝1时，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．因此当0＜k≤2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2（1－k）x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．函数φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈（1，k－1）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，从而h（x）在（1，k－1）在单调递减；而当x∈（1，k－1）时，h（x）＜h（1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1）h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，因此当k＞2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x不恒成立．综上，当（x2－1）f （x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是（－∞，2]．22481 57D1 埑S=}20695 50D7 僗lo37408 9220 鈠39810 9B82 鮂"p38024 9488 针T。

2021-2022学年上海市宝山区吴淞中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 方程sinx =x 的解的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 无数2. 若a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(−4,7)，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为( )A. √3B. √135 C. √655D. √653. 若等比数列{a n }的公比为q ，则关于x ，y 的二元一次方程组{a 1x +a 3y =2a 2x +a 4y =1的解的情况下列说法正确的是( )A. 对任意q ∈R(q ≠0)，方程组都有唯一解B. 对任意q ∈R(q ≠0)，方程组都无解C. 当且仅当q =12时，方程组有无穷多解 D. 当且仅当q =12时，方程组无解4. (理科)已知z =a +bi(a 、b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D(z)=||z||=|a|+|b|，D(z 1,z 2)=||z 1−z 2||.给出下列命题： (1)对任意z ∈C ，都有D(z)>0；(2)若z −是复数z 的共轭复数，则D(z −)=D(z)恒成立； (3)若D(z 1)=D(z 2)(z 1、z 2∈C)，则z 1=z 2；(4)对任意z 1、z 2、z 3∈C ，结论D(z 1,z 3)≤D(z 1,z 2)+D(z 2,z 3)恒成立， 则其中真命题是( )A. (1)(2)(3)(4)B. (2)(3)(4)C. (2)(4)D. (2)(3)二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={−1,0,1,6}，B ={x|x >0,x ∈R}，则A ∩B = ．6. 幂函数y =f(x)的图象经过点(18,2)，则f(x)=______． 7. 复数z =11+i 3(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为______． 8. 已知sinα+cosα=15，且π2≤α≤3π4，则cos2α=______．9. 函数∣∣∣∣sinxtan(π2+x)cosxtan(π−x)∣∣∣∣的最小正周期为______．10. 函数y =sinx +cosx 的图象可以看作是由函数y =sinx −cosx 的图象向左平移得到的，则平移的最小长度为______． 11. 函数f(x)=a x −a −x2+blog 2(x +√x 2+1)+g(x)，其中g(x)为R 上的偶函数，b ∈R ，若g(2)=4，f(−2)=5，则f(2)=______．12. 已知函数f(x)=mx 2+(2−m)x +n(m >0)，当−1≤x ≤1时，都有|f(x)|≤1恒成立，则f(13)=______．13. 已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∠AOB =2π3，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +2y =1，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______．14. 若正实数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则1x+y +x+y z的最小值是______．15. 已知函数f(x)=a x +x +1(a >1)，f −1(x)为f(x)的反函数，则f −1(x +1)的反函数g(x)的表达式为______．16. 已知f(x)是定义在R 上的单调函数，且对任意的实数x ，都有f[f(x)+22x +1]=13，则f(log 27)的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17. 在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且√3a =2csin A ．(1)确定角C 的大小；(2)若c =√7，且△ABC 的面积为3√32，求a +b 的值．18. 已知集合A ={x|x+24−x >0},B ={x|x 2−3ax +2a 2<0}．(1)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5−a3=13，S4=16．(1)求数列{a n}的前n项和S n；(2)设T n=−a1+a2−a3+⋯+(−1)n a n，若对一切的正整数n，不等式λT n<[a n+1+(−1)n+1a n]⋅2n−1恒成立，求实数λ的取值范围．20.设函数f(x)=x2+2x．(1)证明函数f(x)在(0,1)上是递减函数，在(1,+∞)上是递增函数；(2)函数g(x)={√xx≥0−2xx<0，若实数a，b∈R，满足g(a)=g(b)(a<b)，求b−a的最小值；(3)函数g(x)如(2)中所述，ℎ(x)是定义在R上的函数，当x≤2时，ℎ(x)=g(x)，且对任意的x∈R，都有ℎ(x)=ℎ(4−x)成立，若存在实数a，b，c，d(a<b<c<d)满足ℎ(a)=ℎ(b)=ℎ(c)=ℎ(d)，求(b−a)(c−d+4)的最大值．21. (理)定义区间(c,d)，[c,d)，(c,d]，[c,d]的长度均为d −c ，其中d >c ．(1)已知函数y =|2x −1|的定义域为[a,b]，值域为[0,12]，写出区间[a,b]长度的最大值与最小值．(2)已知函数f M (x)的定义域为实数集D =[−2,2]，满足f M (x)={x,x ∈M −x,x ∈M (M 是D的非空真子集).集合A =[1,2]，B =[−2,−1]，求F(x)=f A∪B (x)f A (x)+f B (x)+3的值域所在区间长度的总和．(3)定义函数f(x)=1x−1+2x−2+3x−3+4x−4−1，判断函数f(x)在区间(2,3)上是否有零点，并求不等式f(x)>0解集区间的长度总和．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意方程sinx =x 的解的个数，即函数y =sinx 与函数y =x 的图象的交点个数，因为当x ∈(0,π2)时，sinx <x ， 又因为当x =0时，sinx =x ， 当x ≥π2时，sinx ≤1<x ，又因为函数y =sinx 与函数y =x 都为奇函数，综上可得，函数y =sinx 与函数y =x 的图象只有一个交点， 即方程sinx =x 只有一个解． 故选：B ．可以通过方程与函数的关系，将方程转化为函数y =sinx 与函数y =x 的图象的交点个数，进行求解，具体过程详见解析．本题主要考查函数与方程的关系，属于中档题．2.【答案】C【解析】解析：a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b ⃗ |b ⃗ |=√(−4)2+72=√65=√655． 故选C ．先求两向量的数量积，再求向量b ⃗ 的模，代入公式求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．3.【答案】C【解析】解：∵等比数列{a n }的公比为q ， ∴a 1a 2=a 3a 4=1q ，∴当1q ≠2，即q ≠12时，关于x ，y 的二元一次方程组{a 1x +a 3y =2a 2x +a 4y =1无解；当且仅当1q =2，即q =12时，方程组有无穷多解． 故选：C ．由等比数列{a n}的公比为q，得到a1a2=a3a4=1q，由此利用两直线平行与重合的性质能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查等比数列、直线平行等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．4.【答案】C【解析】解：对于(1)，当z=0时，D(z)=|0|=|0|+|0|=0，命题(1)错误；对于(2)，设z=a+bi，则z−=a−bi，则D(z−)=|z−|=|a|+|−b|=|a|+|b|=|z|= D(z)，命题(2)正确；对于(3)，若D(z1)=D(z2)(z1、z2∈C)，则z1=z2错误，如z1=1+i，z2=1−i，满足D(z1)=D(z2)(z1、z2∈C)，但z1≠z2；对于(4)，设z1=a+bi，z2=c+di，z3=e+fi，则D(z1,z2)=||z1−z2||=||(a−c)+(b−d)i||=|a−c|+|b−d|，D(z2,z3)=||z2−z3||=||(c−e)+(d−f)i||=|c−e|+|d−f|，D(z1,z3)=||z1−z3||=|(a−e)+(b−f)i|=|a−e|+|b−f|，由|a−e|=|(a−c)+(c−e)|≤|a−c|+|c−e|，|b−f|=|(b−d)+(d−f)|≤|b−d|+|d−f|，得D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立，(4)正确．∴正确的命题是(2)(4)．故选：C．由新定义逐一核对四个命题得答案．本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．5.【答案】{1,6}【解析】【分析】本题考查交集及其运算，是基础题．直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A ={−1,0,1,6}，B ={x|x >0,x ∈R}， ∴A ∩B ={−1,0,1,6}∩{x|x >0,x ∈R}={1,6}． 故答案为：{1,6}．6.【答案】x −13【解析】解：设f(x)=x k ， ∵y =f(x)的图象经过点(18,2)， ∴(18)k =2，∴k =log 182=−13，∴f(x)=x −13． 故答案为f(x)=x −13．先设f(x)=x k ，再把已知点的坐标代入可求出k 的值，即得到幂函数的解析式． 本题比较简单，考查的是用待定系数法求幂函数的解析式，是中学阶段求解析式的一种常用的方法．7.【答案】12−12i【解析】解：∵复数z =11+i 3=11−i =1+i(1−i)(1+i)=12+12i ， ∴z 的共轭复数为12−12i ， 故答案为：12−12i.利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数的概念，是基础题．8.【答案】−725【解析】解：∵已知sinα+cosα=15，且π2≤α≤3π4，∴1+sin2α=125，且π<2α<3π2，∴sin2α=−2425则cos2α=−√1−sin 22α=−725， 故答案为：−725．由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9.【答案】2π【解析】解：由题意得f(x)=∣∣∣∣sinxtan(π2+x)cosx tan(π−x)∣∣∣∣=sinxtan(π−x)−cosxtan(π2+x)=cosxcotx −sinxtanx =cos 2x sinx−sin 2xcosx .因为f(x +2π)=cos 2(x+2π)sin(x+2π)−sin 2(x+2π)cos(x+2π)=cos 2x sinx−sin 2x cosx=f(x)，所以根据周期性定义可得2π 为函数的周期， 下面证明2π是最小正周期．若函数f(x) 存在比2π还小的正周期，T(0<T <2π)， 则cos 2(x+T)sin(x+T)−sin 2(x+T)cos(x+T)=cos 2x sinx−sin 2x cosx令x =π4，得cos 2(π4+T)sin(π4+T)−sin 2(π4+T)cos(π4+T)=0，整理可得sin(π4+T)=cos(π4+T)， 即tan(π4+T)=1，解得π4+T =kπ+π4,(k ∈Z)， 因为T(0<T <2π)， 所以T =π， 但f(x +π)=cos 2(x+π)sin(x+π)−sin 2(x+π)cos(x+π)=cos 2x −sinx +sin 2x cosx≠f(x)，所以π不是最小正周期，2π为最小正周期．根据题意，化简可得f(x)=c0s2xsin2x ，根据三角函数周期性，分析可得2T 为函数的最小sinx cosx 正周期，加以证明，即可得结论本题考查了行列式运算，三角函数化简以及周期问题，属于难题．10.【答案】π2【解析】解：y=sinx+cosx=√2(sinxcosπ4+cosxsinπ4)=√2sinx(x+π4)同理可得y=sinx−cosx=√2sinx(x−π4)令f(x)=sinx−cosx=√2sinx(x−π4)，设y=f(x)图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到y=sinx+cosx的图象则f(x+φ)=√2sinx(x+φ−π4)=√2sinx(x+π4)∴φ−π4=π4+2kπ(k∈Z)，取k=0，得φ的最小正值为π2即平移的最小长度为π2故答案为：π2利用辅助角公式化简得sinx+cosx=√2sinx(x+π4).设f(x)=sinx−cosx，其图象向左平移φ个单位得f(x+φ)=√2sinx(x+π4)=√2sinx(x+φ−π4)，结合正弦函数的图象与性质列式，即可解出φ的最小正值为π2，从而得到本题答案．本题给出三角函数的图象平移，求平移的最小单位．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．11.【答案】3【解析】解：因为g(x)为R上的偶函数，所以g(−x)=g(x)，f(x)=a x−a−x2+blog2(x+√x2+1)+g(x)，则f(−x)=a −x−a x2+blog2(−x+√x2+1)+g(−x)=−a x−a−x2−blog2(x+√x2+1)+g(x)，所以f(x)+f(−x)=2g(x)，所以f(2)+f(−2)=2g(2)，又因为g(2)=4，f(−2)=5，所以f(2)+5=8，解得f(2)=3．故答案为：3．由已知可得f(x)+f(−x)=2g(x)，从而可得f(2)+f(−2)=2g(2)，再根据g(2)=4，f(−2)=5，即可求解f(2)．本题主要考查函数奇偶性的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．12.【答案】−79【解析】解：由题意，当−1≤x ≤1时，都有|f(x)|≤1恒成立， 则|f(0)|≤1，即|n|≤1， 所以−1≤n ≤1，因为|f(1)|≤1，则|2+n|≤1， 所以−3≤n ≤−1， 故n =−1，所以f(0)=−1，f(1)=1，要满足题意，则需函数图象的对称轴为直线x =0， 所以2−m =0，解得m =2， 所以f(x)=2x 2−1， 则f(13)=−79． 故答案为：−79．先利用|f(0)|≤1，|f(1)|≤1，求出n 的范围，从而得到n 的值，然后通过二次函数的性质可知，函数图象的对称轴为直线x =0，从而求出m 的值，即可得到f(x)，求解f(13)即可．本题考查了不等式恒成立问题的求解与应用，二次函数图象与性质的应用，以及二次函数解析式的求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．13.【答案】12【解析】解：∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∠AOB =2π3，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +2y =1， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=x 2+4y 2+4xycos 2π3=x 2+4y 2−2xy =(1−2y)2+4y 2−2y(1−2y)=12y 2−6y +1=12(y −14)2+14≥14，当且仅当y =14，x =12时取等号．∴|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥12．故|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为12． 故答案为12．利用向量的数量积和二次函数的性质即可得出．熟练掌握向量的数量积运算性质和二次函数的性质是解题的关键．14.【答案】3【解析】解：由题意：x 、y 、z >0，满足x +y +z =1． 则1x+y +x+y z=x+y+z x+y+x+y z=1+z x+y+x+y z≥2√z x+y⋅x+y z+1=3当且仅当z =x +y =12时，取等号． ∴1x+y +x+y z的最小值为3．故答案为：3．由题意：x +y +z =1，那么1x+y =x+y+z x+y=1+z x+y，利用基本不等式求解．本题考查了基本不等式的变形化简能力和运用能力．属于基础题．15.【答案】a x +x【解析】解：由y =f −1(x)的图象向左平移1个单位得出y =f −1(x +1)图象， 函数=f(x)与y =f −1(x)互为反函数，即y =f(x)与y =f −1(x)图象关于直线y =x 对称， y =f −1(x +1)与y =g(x)的图象关于直线y =x 对称 ∴函数y =f(x)向下平移1个单位可以得出y =g(x)的图象 ∵f(x)=a x +x +l(a >1)， ∴g(x)=a x +x(a >1)， 故答案为：y =a x +x ．由反函数的定义，得出f −1(x +1)的解析式即为g(x)的解析式． 本题考查反函数的定义，属于容易题．16.【答案】34【解析】解：∵f(x)是定义在R 上的单调函数，且对任意的实数x ，都有f[f(x)+22x +1]=13， ∴f(x)+22x +1=a 恒成立，且f(a)=13， 即f(x)=−22x +1+a ，f(a)=−22a +1+a =13， 解得：a =1，∴f(x)=1−22x +1，则f(log 27)=1−22log 27+1=1−28=34， 故答案为：34．由题意可得f(x)+22x +1=a 恒成立，且f(a)=13，求出a 的值，再把log 27代入，可得结论．本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数求值，正确理解对任意实数x ，都有f[f(x)+22x +1]=13，是解答的关键，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为√3a =2csin A ，由正弦定理得，ac =√3=sinAsinC ，因为sin A ≠0，所以sin C =√32，因为△ABC 是锐角三角形，所以C =π3． (2)因为c =√7，C =π3，由面积公式得：S △ABC =12absin π3=3√32，即ab =6(i)，由余弦定理得，a 2+b 2−2abcos π3=7，即a 2+b 2−ab =7(ii)， 由(ii)变形得(a +b)2=3ab +7.(iii)将(i)代入(iii)，得(a +b)2=25，可得：a +b =5．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理化简已知等式可得sin C =√32，结合△ABC 是锐角三角形，可求C 的值．(2)由已知利用面积公式可求ab =6，由余弦定理得，a 2+b 2−ab =7，联立即可解得a+b的值．18.【答案】解：由A中不等式变形得：(x+2)(x−4)<0，解得：−2<x<4，即A=(−2,4)，由B中不等式变形得：(x−a)(x−2a)<0，当a>2a，即a<0时，解得：2a<x<a，此时B=(2a,a)；当a<2a，即a>0时，解得：a<x<2a，此时B=(a,2a)，当a=2a，即a=0时，B=⌀，(1)∵B⊆A，B=(2a,a)，A=(−2,4)，∴{2a≥−2a≤4，且a<0，即−1≤a<0；∵B⊆A，B=(a,2a)，A=(−2,4)，∴{a≥−22a≤4，且a>0，即0<a≤2，当B=⌀，即a=0时，满足题意，综上，a的范围为−1≤a≤2；(2)A∩B=⌀，当B=⌀时，a=2a，即a=0；当B≠⌀时，B=(2a,a)，A=(−2,4)，可得a≤−2或a≥4(舍去)；B=(a,2a)，A=(−2,4)，可得2a≤−2或a≥4，解得：a≤−1(舍去)或a≥4，综上，a的范围为：a≥4或a≤−2或a=0．【解析】求出A中不等式的解集确定出A，分类讨论a的范围表示出B，(1)根据B为A的子集，确定出a的范围即可；(2)根据两集合的交集为空集，分B为空集与B不为空集两种情况求出a的范围即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19.【答案】解：(1)因为数列{a n}为等差数列，设公差为d，所以{2(a1+4d)−(a1+2d)=134a1+4×32d=16，解得a1=1，d=2．所以S n=n+n(n−1)2×2=n2．(2)由(1)可得a n=2n−1，当n 为偶数时，T n =−a 1+a 2−a 3+⋯+(−1)n a n =−1+3−5+7−⋯+2n −1 =(3−1)+(7−5)+⋯+[(2n −1)−(2n −3)]=2×12×n =n ，[a n+1+(−1)n+1a n ]⋅2n−1=(a n+1−a n )⋅2n−1=2n ，因为对一切的正整数n ，不等式λT n <[a n+1+(−1)n+1a n ]⋅2n−1恒成立， 所以nλ<2n 对于一切偶数都成立， 令f(n)=2n n(n ∈N ∗)，原不等式转化为对于一切偶数n ，恒有λ<f(n)，又当n ≥2时，f(n +1)−f(n)>0，所以f(n)单调递增， 所以f(n)的最小值为2，所以λ<2．当n 为奇数时，T n =−a 1+a 2−a 3+⋯+(−1)n a n =−1+3−5+7−⋯−(2n −1) =(3−1)+(7−5)+⋯+[(2n −2)−(2n −4)]−(2n −1) =2×12×(n −1)−(2n −1)=−n ，[a n+1+(−1)n+1a n ]⋅2n−1=(a n+1−a n )⋅2n−1=n ⋅2n−1，因为对一切的正整数n ，不等式λT n <[a n+1+(−1)n+1a n ]⋅2n−1恒成立， 所以−nλ<n ⋅2n+1对于一切奇数n 都成立， 即λ>−2n+1对于一切奇数n 都成立， 因为−2n+1≤−21+1≤−4，所以λ>−4， 故实数λ的取值范围为(−4,2)．【解析】(1)根据等差数列通项、求和公式，代入数据，求得a 1，d 的值，再求出数列{a n }的前n 项和S n ．(2)当n 为偶数时，化简可得T n =n ，将问题转化为nλ<2n 对于一切偶数都成立，令f(n)=2n n(n ∈N ∗)，利用作差法求可得，当n ≥2时，f(n +1)−f(n)>0，然后求出λ的范围；当n 为奇数时，化简可得T n =−n ，将问题转化为λ>−2n+1对一切奇数n 恒成立，然后求出λ的范围即可．本题考查数列与不等式的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属中档题．20.【答案】(1)证明：∵f(x)=x 2+2x (x >0)，∴f′(x)=2x −2x 2=2(x 3−1)x 2(x >0)，当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减， 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以函数f(x)在(0,1)上是递减函数，在(1,+∞)上是递增函数；(2)解：已知g(x)={√x,x≥0−2x,x<0，当x≥0时，g(x)=√x在[0,+∞)上单调递增，当x<0时，g(x)=−2x在(−∞,0)上单调递增，由于实数a，b∈R，满足g(a)=g(b)(a<b)，可知g(a)=−2a(a<0),g(b)=√b(b>0)，即−2a =√b，所以b=4a2，∴b−a=4a2−a(a<0)，设函数g(x)=4x2−x(x<0)，则g′(x)=−8−x3x3(x<0)，当x∈(−∞,−2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，当x∈(−2,0)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x=−2时，g(x)取得最小值，即g(x)min=g(−2)=4(−2)2−(−2)=3，所以b−a的最小值为3；(3)解：由题可知，当x≤2时，ℎ(x)=g(x)，则ℎ(x)={√x,0≤x≤2−2x,x<0，且对任意的x∈R，都有ℎ(x)=ℎ(4−x)成立，则ℎ(x)关于x=42=2对称，当x=0时，ℎ(0)=√0=0，当x=2时，ℎ(2)=√2，可得ℎ(x)的图象大致如下：因为存在实数a，b，c，d(a<b<c<d)满足ℎ(a)=ℎ(b)=ℎ(c)=ℎ(d)，则可知a与d关于x=2对称，b与c关于x=2对称，且a<0，0<b<2<c<4，d>4，∴a+d=2×2=4，则d=4−a，∴b+c=2×2=4，则c=4−b，又∵ℎ(a)=ℎ(b)，则−2a =√b，所以a=√b，∴(b−a)(c−d+4)=(b−a)⋅[4−b−(4−a)+4]=(b+√b )⋅[4−(b√b，且0<b<2，令t=b+√b<b<2)，∴t=b√b =b√b√b≥3×√[3]b×√b√b=3，当且仅当b=√b =√b，即b=1时取等号，符合0<b<2，故可取，∴(b−a)(c−d+4)=(b+√b )⋅[4−(b√b)]=t(4−t)=−(t2−4t)=−(t−2)2+4，(t≥3)，即(b−a)(c−d+4)=−(t−2)2+4，(t≥3)，∴可知(b−a)(c−d+4)的最大值为：−(3−2)2+4=4−1=3．【解析】(1)对函数求导得f′(x)=2(x3−1)x2(x>0)，利用导数研究函数的单调性，即可得出证明；(2)根据分段函数g(x)的单调性，结合g(a)=g(b)(a<b)，得出−2a=√b，从而得出b−a=4a2−a(a<0)，构造新函数g(x)=4x2−x(x<0)，利用导数研究函数的单调性和最值，得出当x=−2时，g(x)取得最小值，从而可求出b−a的最小值；(3)根据题意确定ℎ(x)的解析式，由函数的对称性可知ℎ(x)关于x=2对称，从而得出ℎ(x)的大致图象，结合题意和函数图象，可知a与d关于x=2对称，b与c关于x=2对称，且a<0，0<b<2<c<4，d>4，进而得出d=4−a，c=4−b，a=√b，进而化简得出(b−a)(c−d+4)=(b+√b )⋅[4−(b√b)]，通过换元令t=b+√b<b<2)且利用不等式得出t≥3，从而得出(b−a)(c−d+4)=−(t−2)2+4，(t≥3)，最后利用二次函数求出最值，即可得出结果．本题主要考查分段函数及其应用，函数最值的求解等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)|2x−1|=12，解得x=−1或x=log232，|2x−1|=0，解得x=0，画图可得：区间[a,b]长度的最大值为log23，最小值为log 232．(2)F(x)={x3,x ∈A ∪B x 2x −3,x ∈(−1,1)当x ∈A ∪B ，F(x)∈[−23,−13]∪[13,23]， 当x ∈(−1,1)，F(x)∈(−1,15)， 所以x ∈[−2,2]时，F(x)∈(−1,15)∪[13,23] 所以值域区间长度总和为2315．(3)由于当2<x <3时，取x =2.001，f(2.001)>0， 取x =2.999，f(2.999)<0，所以方程f(x)=0在区间(2,3)内有一个解 考虑函数f(x)=1x−1+2x−2+3x−3+4x−4−1， 由于当x <1时，f(x)<0，故在区间(−∞,1)内，不存在使f(x)>0的实数x ； 对于集合{1,2,3,4}中的任一个k ，由于当k −1<x <k 时， 取x =k +0.001，f(x)>0，取x =k +1−0.001，f(x)<0 又因为函数y =f(x)在区间(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,+∞)内单调递减， 所以方程f(x)=0在区间(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,+∞)内各有一个解； 依次记这4个解为x 1，x 2，x 3，x 4，从而不等式f(x)>0的解集是E =(1,x 1)∪(2,x 2)∪(3,x 3)∪(4,x 4)，故得所有区间长度的总和为S =(x 1−1)+(x 2−2)+(x 3−3)+(x 4−4)=x 1+x 2+x 3+x 4−10…①对f(x)>0进行通分处理，分子记为p(x)， p(x)=(x −2)(x −3)(x −4)+2(x −1)(x −3)(x −4)+3(x −1)(x −2)(x −4)+4(x−1)(x −2)(x −3)−(x −1)(x −2)(x −3)(x −4)如将p(x)展开，其最高项系数为−1，设p(x)=−x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②又有p(x)=−(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4)…③对比②③中p(x)的x3系数，(x1+x2+x3+x4)=1+2+3+4+(1+2+3+4)=20可得：S=x1+x2+x3+x4−10=10．【解析】(1)利用数形结合求出即可；(2)中求出两区间长度作和即可；(3)找出①②③三个关系式，比较得出结论．本题属于函数零点的判定定理的应用问题，本题考查数形结合的思想，是同类问题求解中难度较大的题型。