2015年江苏省南京市、盐城市高三一模考试数学试题与答案

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数 学一、填空题1、函数x x x f cos sin )(=的最小正周期为 。

2、已知复数)31)(2(i i z +-=，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位 于第 象限。

3、右图是一个算法流程图，如果输入x 的值是41，则输出S 的值是。

4、某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重， 所得数据均在区间[96，106]中，其中频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区[100，104]上的产品件数是 。

若红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 。

6、如图，在平面四边形ABCD 中，AC,BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若μλ+=（R ∈μλ,），则 =+μλ 7、已知平面α，β，直线n m ,，给出下列命题： ①若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥，②若//αβ，//,//m n αβ，则||m n ， ③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥， ④若βα⊥， ,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥.其中是真命题的是 。

（填写所有真命题的序号）。

8、如图，在ABC ∆中，D 是BC 上的一点。

已知060=∠B ，BDACO E第6题图BACD 第8题图2,AD AC ===AB= 。

9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，定点)0,22(A ，若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 。

10、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且数列{}nS 也为等差数列，则13a = 。

11、已知知函数1()||1x f x x +=+，x R ∈，则不等式2(2)(34)f x x f x -<-的解集是 。

12、在平面直角坐标系xoy 中，已知⊙Ｃ：22(1)5x y +-=，Ａ为⊙Ｃ与x 负半轴的交点，过A 作⊙Ｃ的弦AB ，记线段AB 的中点为M.则直线AB 的斜率为 。

2015年江苏省高三数学一模试题及答案南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，计70分. 1 •设集合 M —2,0,x?，集合 N —0,1，若 N M ，则 x=▲.a +i2•若复数z(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数 a =▲ ___ .i3•在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是 9,10,9,7,10，则该组数据的方差是▲ ____ .甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为 0.2 ,甲、乙下和棋的概率为 0.5，则乙获胜的概率为 2 2 2 2若双曲线x -y =a (a 0)的右焦点与抛物线 y =4x 的焦点重合，则(x 0,0)成中心对称，X 。

• ［0,］，则 x 0 二 ______ ▲2X 2 + y 2且log 2 x log 2 y = 1，贝U 的最小值为 ▲ x —y111.设向量a =(sin2pcosF , b= (cos=1)，贝U 'a //b ”是“an”成立的 ▲ 条件(选填 充2分不必要”、必要不充分”、充要”、既不充分也不必要”)• 12.在平面直角坐标系 xOy 中，设直线y =-X ■ 2与圆x 2 y^ r 2(r 0)交于A, B 两点，O 为坐标原4. 5.6. 运行如图所示的程序后，输出的结果为7. 2x -y 冬0若变量x, y 满足<x -2y +3色0，贝V 2川的最大值为 ______ ▲x _0若一个圆锥的底面半径为 1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 若函数f (X) =sin(「x •—)(「• 0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为6;i — 1 ；S — 0 ；While i v 8 ;i — i + 3 ;S — 2, i + S ■ End While [Print S 第6题图—，且该函数图象关于点2JI10 .若实数x, y 满足x y 0 ,5 3点，若圆上一点c满足OC =7OA+1O B，贝y r =▲.4 413 .已知f (x)是定义在［一2 ,上的奇函数，当( 0 ,时,f(x > x2 ,1函数g(x) =x 「2x • m .如果对于-洛•二［-2,2］, 他二［-2,2］，使得 g(x 2)二 f (x 1)，则实数 m 的取值 范围是 ▲ __________ .14•已知数列 心？满足3!=-1,a 2 a i,i -昂|=2n (n ・N *)，若数列QnJ 单调递减，数列订2・，单调递增，则数列 a / 的通项公式为a n =▲.6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写 xOy 中，设锐角〉的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 卩(为，％),将射线0P 绕坐标原点0按逆时针方向旋转后与单位圆交于点2(1) 求函数f G )的值域；(2) 设. ABC 的角代B,C 所对的边分别为a,b,c ,若 f(C) — 2，且 a= .2, c =1，求 b .16.(本小题满分14分)如图，在正方体 ABCD-ABC 1D 中，0, E 分别为BD,AB 的中点. (1) 求证：0E // 平面 BCGB ； (2) 求证：平面BQC _平面RDE .二、解答题(本大题共 在答题纸的指定区域内) 15.在平面直角坐标系QX M ).记 fC)* y ?.第16题图。

江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试21. A. 由切割线定理,得PC2=PA·PB,解得PB=2,所以AB=16,即Rt△ABC的外接圆半径r=8.(5分) 记Rt△ABC外接圆的圆心为O,连接OC,则OC⊥PC.在Rt△POC中,PO=AP-r=18-8=10,由面积法得OC·PC=PO·CD,解得CD=.(10分) B. 设P(x,y)是所求曲线上的任意一点,它在已知直线上的对应点为Q(x',y'),-则(5分)解得-代入x'-y'-1=0中,得(x+y)-(y-x)-1=0,化简可得所求曲线方程为x=.(10分) C. 将圆ρ=2cos θ化为普通方程为x2+y2-2x=0,圆心为(1,0).(4分)又2ρsin=1,即2ρsin θ+cos θ=1,所以直线的普通方程为x+y-1=0, (8分) 故所求的圆心到直线的距离d=-.(10分) D. 当x<-1时,不等式可化为-x-1+2-x<4,解得-<x<-1; (3分) 当-1≤x≤2时,不等式可化为x+1+2-x<4,解得-1≤x≤2; (6分) 当x>2时,不等式化为x+1+x-2<4,解得2<x<.(9分) 所以原不等式的解集为-.(10分)22. (1) 以点A为坐标原点,AB,AC,AA1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,设CC1=m,则B1(3,0,m),B(3,0,0),P(0,4,λm),所以=(3,0,m),=(3,-4,-λm),=(3,0,0), (2分) 当λ=时,有·=(3,0,m)·--=0,解得m=3,即棱CC1的长为3.(4分) (2) 设平面PAB的一个法向量为n1=(x,y,z),则得--即令z=1,则y=-,所以平面PAB的一个法向量为n1=-.(6分) 又平面ABB1与y轴垂直,所以平面ABB1的一个法向量为n2=(0,1,0).因为二面角B1-AB-P的平面角的大小为,所以|cos<n1,n2>|==-,结合λ>0,解得λ=.(10分)23. (1) 当n=2时,即S={1,2},此时A={1},B={2},所以P2=1.(2分) 当n=3时,即S={1,2,3},若A={1},则B={2}或B={3}或B={2,3};若A={2}或A={1,2},则B={3},所以P3=5.(4分) (2) 当集合A中的最大元素为“k”时,集合A的其余元素可在1,2,…,k-1中任取若干个(包含不取),所以集合A共有-+-+-+…+--=2k-1种情况.(6分)此时,集合B中的元素只能在k+1,k+2,…,n中任取若干个(至少取1个),所以集合B共有-+-+-+…+--=2n-k-1种情况.所以当集合A中的最大元素为k时,集合对(A,B)共有2k-1(2n-k-1)=2n-1-2k-1对, (8分) 当k依次取1,2,3,…,n-1时,可分别得到集合对(A,B)的个数,求和可得P n=(n-1)·2n-1-(20+21+22+…+2n-2)=(n-2)·2n-1+1.(10分)江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试21. A.如图,连接ON,因为AN=AC,ON=OC,OA是公共边,所以△ANO≌△ACO,故∠OAC=∠OAN.(3分) 又因为∠OAC=∠OCA,所以∠NAC=∠OAC+∠OAN=∠OCA+∠OAC=2∠OCA.因为A,C,D,N四点共圆,所以∠MDN=∠NAC,所以∠MDN=2∠OCA.(10分)(第21-A题)B.因为MM-1=--=---=, (5分)所以---解得(10分)C.将曲线C的参数方程化为普通方程得x=8y2.(3分)由方程组解得或(6分) 所以A(0,0),B,所以AB==.(10分) D. 因为a,b,c都是正实数,所以+=≥.(3分) 同理可得+≥,+≥.将上述三个不等式两边分别相加并除以2,得++≥++.(10分)22.设BE的中点为O,连接AO,DO,由于AB=AE,BO=OE,所以AO⊥BE,同理DO⊥BE.又因为平面ABE⊥平面BCDE,平面ABE∩平面BCDE=BE,所以AO⊥平面BCDE.由题意得BE2=2AB2=2DB2,所以AB=BD=DE=AE.(1) 不妨设OA=a,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,a),B(0,-a,0),C(a,-2a,0),D(a,0,0),E(0,a,0).(3分)所以=(0,-a,-a),=(-a,a,0),因为cos<,>===-,所以与的夹角为120°,所以异面直线AB与DE所成角为60°.(5分)(第22题)(2) 设平面ACE的法向量为n1=(x,y,z),因为=(0,a,-a),=(a,-3a,0),所以n1·=0,n1·=0,所以y=z且x=3y,取y=z=1,得x=3,所以n1=(3,1,1).又因为平面ABE的一个法向量为n2=(1,0,0),设二面角B-AE-C的平面角为θ,则cos θ===,因此二面角B-AE-C的余弦值为.(10分)23. (1) 当n=1时,只有自然数1满足题设条件,所以a1=1;当n=2时,有11,2两个自然数满足题设条件,所以a2=2;当n=3时,有111,21,12三个自然数满足题设条件,所以a2=3;当n=4时,有1111,112,121,211,22五个自然数满足题设条件,所以a4=5.综上所述,a1=1,a2=2,a3=3,a4=5.(4分) (2) 设自然数X的各位数字之和为n+2,由题设可知,X的首位为1或2.当X的首位为1时,其余各位数字之和为n+1,故首位为1的各位数字之和为n+2的自然数的个数为a n+1;当X的首位为2时,其余的各位数字之和为n,故首位为2的各位数字之和为n+2的自然数的个数为a n,所以各位数字之和为n+2的自然数为a n+1+a n,即a n+2=a n+1+a n.(7分) 下面用数归纳法证明:a5n-1是5的倍数.证明如下:①当n=1时,a4=5,所以a4是5的倍数,命题成立;②假设n=k时命题成立,即a5k-1是5的倍数.则a5k+4=a5k+3+a5k+2=2a5k+2+a5k+1=2(a5k+1+a5k)+a5k+1=3a5k+1+2a5k=3(a5k+a5k-1)+2a5k=5a5k+3a5k-1.因为5a5k是5的倍数,a5k-1是5的倍数,所以5a5k+3a5k-1是5的倍数,即a5k+4是5的倍数.所以当n=k+1时,命题也成立.由①②可知,a5n-1(n∈N*)是5的倍数.(10分)江苏省无锡市2015届高三第一次模拟考试21. A. (1) 由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,所以∠D=∠E.(5分)(2) 如图,设BC中点为N,连接MN,由MB=MC,知MN⊥BC,所以O在MN上.又AD不是圆O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD,所以AD∥BC,故∠CBE=∠A.又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.(10分)(第21-A题)B. (1) 因为M=,所以M-1=.(5分) (2) 设点P(x,y)是曲线y=2x上任意一点,在矩阵M-1对应的变换作用下得到点Q(x',y'),则==,所以即(8分) 且点P在直线y=2x上,于是得2y'=2×x',y'=x',即直线y=2x在矩阵M-1对应的变换作用下的曲线方程为y=x.(10分) C. (1) 根据半圆C的参数方程为α为参数,α∈-,得圆的普通方程为x2+(y-1)2=1(0≤x≤1), (3分) 所以半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈.(5分) (2) 依题意可知半圆C的直径为2,设半圆C的直径为OA,所以sin∠TAO=.(8分) 因为∠TAO∈,所以∠TAO=.因为∠TAO=∠TOx,所以∠TOx=,所以点T的极坐标为.(10分) D. (1) 当a=2时,由f(x)≥4,得|x-1|+|x-2|≥4,则-或或-(2分) 解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为-或.(5分)(2) 由不等式的性质得f(x)≥|a-1|,要使不等式f(x)≥2a恒成立,则只需|a-1|≥2a, (8分) 解得a≤0或0<a≤,所以实数a的取值范围为-.(10分)22. (1) 由已知条件,可设抛物线方程为x2=2py(p>0).因为点P(2,1)在抛物线上,所以22=2p×1,解得p=2.(3分) 故所求抛物线的方程为x2=4y.(4分) (2) 由题意知k AP+k BP=0,所以--+--=0.(6分)又y1=,y2=,所以--+--=0,所以+=0,所以x1+x2=-4.(8分)所以k AB=--=--==-1为定值.(10分)23. (1) 当n=3时,集合M只有1个符合条件的子集,S3=1+2+3=6; (1分) 当n=4时,集合M每个元素出现了次,S4=(1+2+3+4)=30; (2分) 当n=5时,集合M每个元素出现了次,S5=(1+2+3+4+5)=90, (3分)所以当集合M中有n个元素时,每个元素出现了-次,所以S n=-·.5分(2) 因为S n=-·=--=6, (7分) 则S3+S4+S5+…+S n=6(+++…+)=6(+++…+)=6.(10分)江苏省苏州市2015届高三第一次模拟考试21. A. 设圆O的半径为r,由切割线定理得AP2=PC·(PC+2r),即122=6×(6+2r),解得r=9.(4分) 连接OA,则有OA⊥AP.又因为CD⊥AP,所以OA∥CD, (7分) 所以=,即CD==(cm).(10分) B. 设α=,由A2α=β,得=, (5分)所以所以-所以α=-.(10分) C. 由题易知圆ρ=3cosθ的普通方程为x2+y2=3x,即-+y2=.(3分) 直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为2x+4y+a=0.(6分) 又因为圆与直线相切,所以=,解得a=-3±3.(10分) D. 因为(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2=36, (4分) 所以x2+y2+z2≥,当且仅当x==时取等号, (7分) 因为x+2y+3z=6,所以x=,y=,z=,所以x2+y2+z2的最小值为,此时x=,y=,z=.(10分) 22. (1) 如图,以,,为正交基底建立空间直角坐标系,(第22题)则E(0,0,1),D(,0,0),B(0,,0),F(,1).(2分) =(,-,0),=(,0,1).设平面DFB的法向量为n=(a,b,c),则n·=0,n·=0,-所以令a=1,得b=1,c=-,所以n=(1,1,-.(4分) 又由题知平面ADF的法向量为m=(1,0,0),从而cos<n,m>=-=,显然二面角A-DF-B为锐角,故二面角A-DF-B的大小为60°.(6分) (2) 由题意,设P(a,a,0)(0≤a≤),则=(-a,-a,1),=(0,,0).因为PF与BC所成的角为60°,=,故cos60°=--解得a=或a=(舍去),所以点P在线段AC的中点处.(10分) 23. (1) 依题意知,X的可能取值分别为1,0,-1, (2分) X的概率分布列如下表所示:(4分)所以E(X)=1×-1×=.(5分) (2) 设Y表示10.(8分)所以E(Y)=2α-2β=4α-2,依题意得4α-2≥,所以≤α≤1,即α的取值范围为.(10分)江苏省常州市2015届高三第一次模拟考试21. A. 连接AE,EB,OE,则∠AOE=∠BOE=90°.(2分) 因为∠APE是圆周角,∠AOE是同弧上的圆心角,所以∠APE=∠AOE=45°.(5分) 同理∠BPE=45°.所以PE是∠APB的平分线.(8分) 又PC也是∠APB的平分线,∠APB的平分线有且只有一条,所以PC与PE重合.所以直线PC经过点E.(10分)B. 由题意知,λ1,λ2是方程f(λ)=--=λ2-ab=0的两根.因为λ1=1,所以ab=1. ①(2分) 又因为Mα2=λ2α2,所以=λ2,从而(5分) 所以=ab=1.因为λ1≠λ2,所以λ2=-1.从而a=b=-1.(8分)故矩阵M=--.(10分)C. 设M(x,y),则-(2分) 两式平方相加得x2+y2=2.(5分)又x=sin,y=sinθ-,θ∈[0,π],所以x∈[-1,],y∈[-1,].(8分)所以动点M的轨迹的普通方程为x2+y2=2(x,y∈[-1,]).(10分) D. 因为a>0,b>0,所以a2+b2+ab≥3=3ab>0,当且仅当a2=b2=ab,即a=b时取等号.(4分)ab2+a2b+1≥3=3ab>0,当且仅当ab2=a2b=1,即a=b=1时取等号.(8分)所以(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2,当且仅当a=b=1时取等号.(10分) 22. (1) 记“该网民购买i种商品”为事件A i,i=4,5,则P(A5)=××××=,P(A4)=××××-+××-×××+××-×××=, (2分) 所以该网民至少购买4种商品的概率为P(A5)+P(A4)=+=.答:该网民至少购买4种商品的概率为.(3分)(2) 随机变量η的可能取值分别为0,1,2,3,4,5,P(η=0)=-×-×-×-×-=,P(η=1)=××-×-×-×-+××-×-×1-×-+×-×-×-×-=,P(η=2)=××-×-×-+××-×-×-+×-××-×-×+××-×-×-×+××-×××-×-=,P(η=4)=P(A4)=,P(η=5)=P(A5)=, (8分)P(η=3)=1-[P(η=0)+P(η=1)+P(η=2)+P(η=4)+P(η=5)]=1-----=.故E(η)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.(10分) 23. (1) 因为a n(n∈N*且n≥3)均为正实数,左边-右边=+-2a1++-2a2++-2a3≥2-2a1+2-2a2+2-2a3=0,所以原不等式++≥a1+a2+a3成立.(4分)(2) 归纳的不等式为++…+--+-+≥a1+a2+…+a n(n∈N*且n≥3).(5分)记F n=++…+--+-+-(a1+a2+…+a n),当n=3(n∈N*)时,由(1)知,不等式成立;假设当n=k(k∈N*且k≥3)时,不等式成立,即F k=++…+--+-+-(a1+a2+…+a k)≥0.则当n=k+1时,F k+1=++…+--+-++-(a1+a2+…+a k+a k+1)=F k+-++----a k+1(7分)=F k+a k-1a k-+a k+1-1+(a k+1-a k)≥0+-+a k+1-+(a k+1-a k)=(a k+1-a k)-,因为a k+1≥a k,+≥2,≤=2,所以F k+1≥0,所以当n=k+1时,不等式成立.(9分) 综上所述,不等式++…+--+-+≥a1+a2+…+a n(n∈N*且n≥3)成立.(10分)江苏省镇江市2015届高三第一次模拟考试21. A. 连接PB,因为BC切圆P于点B,所以PB⊥BC.(2分) 因为CD=2,CB=2由切割线定理得CB2=CD·CE, (3分) 所以CE=4,DE=2,BP=1.(5分) 又因为EF⊥CE,所以△CPB∽△CFE, (8分) 所以=,EF=.(10分) B.MN==,(4分)设点P(x,y)是曲线y=sin x上任意一点,在矩阵MN对应的变换作用下得到点(x',y'),则==, (6分) 即x'=x,y'=2y, (8分) 代入y=sin x,得y'=sin 2x',即曲线y=sin x在矩阵MN对应的变换作用下得到的函数解析式为y=2sin 2x.(10分) C. (1) 由ρsin-=6,得ρ-=6,所以y-x=12,即直线l的直角坐标方程为x-y+12=0.(4分)由题知圆C的直角坐标方程为x2+y2=100.(6分) (2) 因为d=6,r=10,所以弦长l=2-=16.(10分) D. 由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x),且a≠0,得-≥f(x).(3分) 又-≥-=2,则有2≥f(x).(6分) 解不等式|x-1|+|x-2|≤2,①x≤; (7分) --解得2≤<x<2; (8分) ②--解得1③x≤1.(9分) --解得≤所以≤x≤.(10分) 22.设T(x,y),A(x0,y0),则4-y0+1=0. ①(2分) 又M(-2,0),由=2,得(x-x0,y-y0)=2(-2-x,0-y), (5分) 所以x0=3x+4,y0=3y.(7分) 代入①式得4(3x+4)2-3y+1=0,即为动点T的轨迹方程.(10分) 23.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(1,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),C(1,1,0),M.(1分)(第23题)(1) 因为=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP⊥DC.由题设知AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥平面PAD.又因为DC⊂平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.(4分) (2) 因为=(1,1,0),=(0,2,-1),所以||=,||=,·=1×0+1×2+0×(-1)=2,所以cos<·>===.(7分) (3) 设平面AMC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1⊥,所以n1·=(x1,y1,z1)·=y1+z1=0,又n1⊥,所以n1·=(x1,y1,z1)·(1,1,0)=x1+y1=0,取x1=1,得y1=-1,z1=2,故n1=(1,-1,2),同理可得平面BMC的一个法向量n2=(1,1,2),因为cos<n1,n2>==-=, (10分) 所以平面AMC与平面BMC所成二面角(锐角)的余弦值为.江苏省扬州市2015届高三第一次模拟考试21. A. 设P(x,y)是曲线C1上任意一点,点P(x,y)在矩阵A对应的变换下变为点P'(x',y'),则有=,即(5分) 又因为点P'(x',y')在曲线C2:+y2=1上,故+(y')2=1,从而+=1,所以曲线C1的方程是x2+y2=4.(10分) B. 由ρcos-=-,得曲线C1的平面直角坐标系方程为x+y+1=0.(3分) 由得曲线C2的普通方程为x2+y=1(-1≤x≤1).(7分) 由得x2-x-2=0,即x=2(舍去)或x=-1,所以曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(-1,0).(10分) 22.在甲靶射击命中记作A,不中记作在乙靶射击命中记作B,不中记作,其中P(A)=,P()=1-=,P(B)=,P(=1-=.(2分) (1) ξ的所有可能取值为0,2,3,4,则P(ξ=0)=P()=P()P()P()=××=,P(ξ=2)=P(B+P(B)=P()P(B)P()+P()P()P(B)=××+××=,P(ξ=3)=P(A)=,P(ξ=4)=P(BB)=P(P(B)P(B)=××=.E(ξ)=0×+2×+3×+4×=3.(7分)(2) 射手选择方案1通过测试的概率为P1,选择方案2通过测试的概率为P2 ,则P1=P(ξ≥3)=+=;P2=P(ξ≥3)=P(BB)+P(B B)+P(BB)=××+××+×=, (9分)因为P2<P1,所以选择方案1通过测试的概率更大.(10分)23. (1) 当n=2时,x=a0+2a1+4a2,a0∈{0,1},a1∈{0,1},a2=1,故满足条件的x共有4个,分别为x=0+0+4,x=0+2+4,x=1+0+4,x=1+2+4,它们的和是22,所以A2=22.(4分) (2) 由题意得,a0,a1,a2,…,a n-1各有n种取法,a n有n-1种取法,由分步计数原理可得a0,a1,a2,…,a n-1的不同取法共有n·n·…·n·(n-1)=n n(n-1),即满足条件的x共有n n(n-1)个.(6分) 当a0分别取0,1,2,…,n-1时,a1,a2,…,a n-1各有n种取法,a n有n-1种取法,故A n中所有含a0项的和为(0+1+2+…+n-1)·n n-1(n-1)=-;同理,A n中所有含a1项的和为(0+1+2+…+n-1)·n n-1(n-1)·n=-·n;A n中所有含a2项的和为(0+1+2+…+n-1)·n n-1(n-1)·n2=-·n2;…A n中所有含a n-1项的和为(0+1+2+…+n-1)·n n-1(n-1)·n n-1=-·n n-1;当a n分别取i=1,2,…,n-1时,a0,a1,a2,…,a n-1各有n种取法,故A n中所有含a n项的和为(1+2+…+n-1)n n·n n=-·n n.+-·n n=-·(n n+1+n n-1), 所以A n=-(1+n+n2+…+n n-1)+-·n n=-·--所以f(n)=n n+1+n n-1.(10分) 江苏省泰州市2015届高三第一次模拟考试21. A. 因为EA与圆O相切于点A.由切割线定理知DA2=DB·DC.因为D是EA的中点,所以DA=DE,所以DE2=DB·DC.(5分) 所以=.因为∠EDB=∠CDE,所以△EDB∽△CDE,所以∠DEB=∠DCE.(10分) B. 因为B=,所以B-1=-,所以AB-1=-=-.(5分) 设直线l上任意一点(x,y)在矩阵AB-1对应的变换作用下为点(x',y'),则-=,-所以代入l',得x-2y+2y-2=0,化简后得直线l:x=2.(10分) C. 由题意知,圆O:x2+y2=4,直线l:x-y+1=0, (5分) 圆心O到直线l的距离d==,弦长AB=2=.(10分)D. 因为正实数a,b,c满足a+b+c=3,所以3=a+b+c≥3,所以abc≤1, (5分) 所以++≥3=3≥3,当且仅当a=b=c时等号成立.(10分) 22. (1) 以,,为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,(第22题)由题意,知D(0,0,0),A'(2,0,1),B(2,2,0),C'(0,2,1),O'(1,1,1).设P(t,t,0),所以=(t-1,t-1,-1),=(-2,0,1).设异面直线O'P与BC'所成角为θ,则cosθ==,=-化简得21t2-20t+4=0,解得t=或t=,所以DP=或DP=.(5分) (2) 因为DP=,所以P,=(0,2,1),=(2,2,0),=-,=-,设平面DC'B的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则所以即--取y1=-1,得n1=(1,-1,2).设平面PA'C'的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则所以--即取y2=1,得n2=(1,1,1).设平面PA'C'与平面DC'B所成角为φ,所以|cosφ|===,所以sinφ=.(10分) 23.因为≤i2,所以当i≥2时,==1≤i2,=-=i≤i2,=-=-≤i2,≤,所以当2≤i≤5,i∈N*时,≤i2的解为r=0,1,…,i.(3分) 当6≤i≤10,i∈N*时,≥⇔r≤-,由=--≤i2⇔i=3,4,5可知:当r=0,1,2,i-2,i-1,i时,≤i2成立,当r=3,…,i-3时,≥≥i2(等号不同时成立),即>i2.(6分) 所以随机变量ξ(8分) 故E(ξ)=(0+1+2)×+(3+4+5+6+7+8)×+9×+10×=.(10分)江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试21. A. 因为CD=AC,所以∠D=∠CAD.(2分) 因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.(4分) 因为∠EBC=∠CAD,所以∠EBC=∠D.(6分) 因为∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠EBC, (8分) 所以∠ABE=∠EBC,即BE平分∠ABC.(10分) B. 设直线x-y-1=0上任意一点P(x,y)在变换T A的作用下变成点P'(x',y'),由-=,得-(4分)因为P'(x',y')在直线x-y-1=0上,所以x'-y'-1=0,即(-1-b)x+(a-3)y-1=0.(6分) 又因为P(x,y)在直线x-y-1=0上,所以x-y-1=0.(8分)因此----解得a=2,b=-2.(10分) C. 因为直线l的参数方程为消去参数t,得直线l的普通方程为y=2x+1.(3分)又因为圆C的参数方程为(a>0,θ为参数),所以圆C的普通方程为x2+y2=a2.(6分) 由题意知圆C的圆心到直线l的距离d=, (8分) 故依题意,得+a=+1,解得a=1.(10分) D. 因为a>0,b>0,所以+≥.(3分) 又因为+=,所以ab≥2,当且仅当a=b=时取等号, (6分) 所以a3+b3≥2≥4,当且仅当a=b=.(9分) 所以a3+b3的最小值为4.(10分) 22. (1) 记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A,则P(A)=1-=1-=, (2分) 所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为.(3分) (2) 由题意知,随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3.(4分) 因为P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=×+×××=,P(ξ=2)=×××+×=,P(ξ=3)=×=, (8分) 所以ξ的概率分布为所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=2.3.(10分) 23. (1) 由题设知-=-,即p=,所以抛物线的方程为y2=x.(2分) (2) 因为函数y=-的导函数为y'=-,设A(x0,y0),则直线MA的方程为y-y0=-×(x-x0).(4分) 因为点M(0,-2)在直线MA上,所以-2-y0=-×(0-x0).联立--解得A(16,-4).(5分) 所以直线OA的方程为y=-x.(6分) 设直线BC的方程为y=kx-2,联立-得k2x2-(4k+1)x+4=0,所以x B+x C=,x B x C=.(7分)由--得x N=.(8分)所以+=+=x N×=×=×=2,故+为定值2.(10分) 江苏省南京市2015届高三期初模拟考试21. A. 连接AO.设圆O的半径为r.因为PA是圆O的切线,PCB是圆O的割线,所以PA2=PC·PB.(3分)(第21-A题)因为PA=4,PC=2,所以42=2×(2+2r),解得r=3, (5分) 所以PO=PC+CO=2+3=5,AO=r=3.由PA是圆O的切线得PA⊥AO,故在Rt△APO中,因为AQ⊥PO,由面积法可知,×AQ×PO=×AP×AO,即AQ===.(10分) B. (1) 因为矩阵A=属于特征值λ的一个特征向量为α=-,所以-=λ-,即--=-.(3分)从而---解得b=0,λ=2.(5分)(2) 由(1)知,A=.设曲线C上任意一点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下变为曲线C″上一点P(x0,y0),则==,从而(7分) 因为点P在曲线C″上,所以+2=2,即(2x)2+2(x+3y)2=2,从而3x2+6xy+9y2=1,所以曲线C的方程为3x2+6xy+9y2=1.(10分) C. 方法一:直线l的普通方程为x-y+=0.(3分) 因为点P在圆C上,故设P(+cos θ,sin θ),从而点P到直线l的距离d=-=--, (7分)所以d min=-1.即点P到直线l的距离的最小值为-1.(10分) 方法二:直线l的普通方程为x-y+=0.(3分) 圆C的圆心坐标为(,0),半径为1.从而圆心C到直线l的距离为d=--=, (6分) 所以点P到直线l的距离的最小值为-1.(10分)D. 因为a,b是正数,且a+b=1,所以(ax+by)(bx+ay)=abx2+(a2+b2)xy+aby2=ab(x2+y2)+(a2+b2)xy(3分) ≥ab·2xy+(a2+b2)xy(8分)=(a+b)2xy=xy,即(ax+by)(bx+ay)≥xy成立.(10分) 22. (1) 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.(第22题)由题设,知B(2,3,0),A1(2,0,5),C(0,3,0),C1(0,3,5).因为=λ,所以E(0,3,5λ),从而=(2,0,-5λ),=(2,-3,5-5λ).(2分) 当∠BEA1为钝角时,cos∠BEA1<0,所以·<0,即2×2-5λ(5-5λ)<0,解得<λ<.即实数λ的取值范围是.(5分) (2) 当λ=时,=(2,0,-2),=(2,-3,3).设平面BEA1的一个法向量为n1=(x,y,z),由得--取x=1,得y=,z=1,所以平面BEA1的一个法向量为n1=.(7分)易知,平面BA1B1的一个法向量为n2=(1,0,0).因为cos<n1,n2>===,从而|cos θ|=.(10分) 23. (1) 因为P(X=10)==,P(X=5)==,P(X=2)==,P(X=0)==,所以X的概率分布表如下:(4分)从而E(X)=10×+5×+2×+0×=3.1.(6分) (2) 记该顾客一次摸球中奖为事件A,由(1)知,P(A)=,从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P=1-[1-P(A)]2=.答:他两次摸球中至少有一次中奖的概率为.(10分)江苏省2015届高三名校联考卷21. A. 由相交弦定理得MC·CN=BC·CE,MC·CN=AC·CD.又CE=CD+DE,AC=AB+BC, (5分) 所以BC·(CD+DE)=(AB+BC)·CD,所以BC·DE=AB·CD.(10分) B. 由题知,M=-,即-=-,所以--解得(6分) 所以M=-.由M-1M=,得M-1=-.(10分)C. 由-消t得2x+y=3.(2分)由消去θ得x2=y+1.(5分) 因为y=sin 2θ∈[-1,1],所以曲线C2的普通方程为x2=y+1,y∈[-1,1].(6分)由解得--或--(8分)因为y∈[-1,1],所以--即曲线C1与C2的交点坐标为(-1+,5-2).(10分)D. 因为a,b,c均为正数,所以由算术-几何平均不等式,得≥, (3分) ≥, (7分)两式相乘,并整理得(1+a+b)(1+a2+b2)≥9ab.(10分) 22.根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系O-xyz,(第22题)设侧棱长AA1=2a,则O(0,0,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),D(1,a,0),A(0,0,.(1) 由题设知平面BCC1B1的法向量为=(0,0,),又=(1,a,-), (2分)因为直线AD与平面BB1C1C所成的角为45°,所以|cos<,>|===, (4分) 解得a=,所以侧棱AA1=2.(5分) (2) 由(1)知点D的坐标为(1,0,),平面BCD的一个法向量为=(0,0,(6分)设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),-则令x=1,则y=-,z=-.(8分) 所以n=--.cos<n,>=-=-.因为该二面角为锐角,所以其余弦值为.(10分) 23. (1) 当n=3时,排出的字符串是abca,acba,abda,adba,acda,adca,共6个,故a3=6. (2分) (2) 由题设知a n+1=3n-a n.猜想a n=-(n∈N*,n≥1).证明:①当n=1时,因为a1=0,-=0,所以等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即a k=-(k∈N*,k≥1),那么当n=k+1时,因为a k+1=3k-a k=3k--=---=-,所以当n=k+1时,等式仍成立.根据①②可知a n=-(n∈N*,n≥1)成立.(5分) 易知P=·-=1+-, (6分)当n为奇数(n≥3)时,P=1-,因为3n≥27,所以P≥-=.当n为偶数(n≥2)时,P=1+,因为0<≤,所以<P≤.综上所述,≤P≤.(10分)江苏省南京市、盐城市、徐州市2015届高三第二次模拟考试21. A.如图,连接ED.因为圆与BC切于点D,所以∠BDE=∠BAD.(4分)(第21-A题)因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC.又因为∠DAC=∠DEF,所以∠BDE=∠DEF,所以EF∥BC.(10分) B. (1) 因为AA-1===.所以解得a=1,b=-.(5分) (2) 由(1) 得A=,则矩阵A的特征多项式f(λ)=---=(λ-3)( λ-1).令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=1,λ2=3.(10分) C.由消去s,得曲线C的普通方程为y=x2;由消去t,得直线l的普通方程为y=3x-2.(5分)联立直线方程与曲线C的方程,即-解得交点的坐标分别为(1,1),(2,4).则AB=--=.(10分) D.因为x为正数,所以1+x≥2.同理1+y≥2,1+z≥2.所以(1+x)(1+y)(1+z)≥2·2·2=8.因为xyz=1,所以(1+x)(1+y)(1+z)≥8.(10分) 22. (1) 记甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜分别为事件A,B,C.由题意得P(A)==,P(B)=××=,P(C)=×××=.(5分) (2) X的可能取值为0,1,2,3.P(X=3)=P(A)+P(B)=;P(X=2)=P(C)=,P(X=1)=××=,P(X=0)=1-P(1≤X≤3)=.所以X的分布列为:从而E(X)=0×+1×+2×+3×=.答:甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率分别为,,;甲队得分X的数学期望为.(10分) 23. (1) 由题意知,f n(m)=所以a m=(2分) 所以a1+a2+…+a12=++…+=63.(4分) (2) 当n=1时,b m=(-1)m mf1(m)=-则b1+b2=-1.(6分) 当n≥2时,b m=-又因为m=m·-=n·---=n--,所以b1+b2+…+b2n=n[--+---+-+…+(-1)n--]=0.所以b1+b2+…+b2n的取值构成的集合为{-1,0}.(10分)江苏省南通市、连云港市、扬州市、淮安市2015届高三第二次模拟考试21. A. 因为PC为圆O的切线,所以∠PCA=∠CBP.(3分) 又因为∠CPA=∠CPB,所以△CAP∽△BCP, (7分) 所以=,即AP·BC=AC·CP.(10分) B. 设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量,则=λ, (5分) 故解得(10分) C. 方法一: 将直线θ=化为直角坐标方程得y=x,将曲线ρ2-10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程得x2+y2-10x+4=0.(4分) 联立-消去y,得2x2-5x+2=0,解得x1=,x2=2,所以AB中点的横坐标为=,纵坐标为, (8分) 化为极坐标为.(10分) 方法二: 联立直线l与曲线C的方程得-(2分)消去θ,得ρ2-5ρ+4=0, 解得ρ1=1,ρ2=4, (6分)所以线段AB中点的极坐标为,即.(10分)D. 由柯西不等式,得(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2, (6分) 因为a+2b+3c=4,故a2+b2+c2≥, (8分) 当且仅当==,即a=,b=,c=时取“=”.(10分)22. (1) 将点A(8,-4)代入y2=2px,解得p=1, (2分) 将点P(2,t)代入y2=2x,得t=±2,因为t<0,所以t=-2.(4分) (2) 依题意,点M的坐标为(2,0),直线AM的方程为y=-x+,联立-解得B, (6分)所以k1=-,k2=-2,代入k1+k2=2k3,得k3=-.(8分) 从而直线PC的方程为y=-x+,联立--解得C-.(10分)23. (1) 当n=3时,A∪B={1,2,3},且A∩B=⌀, 若a=1,b=2,则1∈B,2∈A,共种;若a=2,b=1,则2∈B,1∈A,共种,所以a 3= +=2.(2分)当n=4时,A ∪B={1,2,3,4},且A ∩B=⌀,若a=1,b=3,则1∈B ,3∈A ,共 种;若a=2,b=2,则2∈B ,2∈A ,这与A ∩B=⌀矛盾;若a=3,b=1,则3∈B ,1∈A ,共 种,所以a 4= + =2.(4分)(2) 当n 为偶数时,A ∪B={1,2,3,…,n },且A ∩B=⌀,若a=1,b=n-1,则1∈B ,n-1∈A ,共 -(考虑A )种; 若a=2,b=n-2,则2∈B ,n-2∈A ,共 - (考虑A )种; …… 若a= -1,b= +1,则 -1∈B , +1∈A ,共 -- (考虑A )种;若a= ,b= ,则 ∈B ,∈A ,这与A ∩B=⌀矛盾; 若a= +1,b= -1,则 +1∈B , -1∈A ,共 -(考虑A )种;……若a=n-1,b=1,则n-1∈B ,1∈A ,共 - -(考虑A )种, 所以a n = - + - +…+ -- + -+ …+ - -=2n-2- -- .(8分)当n 为奇数时,同理得a n = -+ - +…+--=2n-2,综上,a n=----为偶数-为奇数(10分)江苏省泰州市2015届高三第二次模拟考试21. A. (1) 因为CD是圆O的切线,所以CD2=CA·CB.如图,连接OD,则OD⊥CD.因为BE是圆O的切线,所以BE=DE.(第21-A题)又DE=EC,所以BE=EC,所以∠C=30°,则OD=OC,而OB=OD,所以CB=BO=OD=OA,所以CA=3CB.(5分) (2) 由CA=3CB,得CB=CA,代入CD2=CA·CB,得CD2=CA·CA,所以CA=CD.(10分) B. (1) BA==.设P(x,y)是l1上的任意一点,其在BA作用下对应的点为(x',y'),得l1变换到l3的变换公式为则2ax+by+4=0,即为直线l1:x-y+4=0,则a=,b=-1.(5分) (2) 由(1)知B=-,同理可得l2的方程为2y-x+4=0,即x-2y-4=0.(10分)C. (1) 直线l的极坐标方程为ρsinθ-=3,则ρsin θ-ρcos θ=3,即ρsin θ-ρcos θ=6,所以直线l的直角坐标方程为x-y+6=0.(5分) (2) 因为P为椭圆C:+=1上一点,所以可设P(4cos α,3sin α),其中α∈[0, 2π),则点P到直线l的距离d=-=,其中cos φ=,sin φ=,所以当cos(α+φ)=-1时,d取得最小值为.(10分) D.因为(a+b+c)2≤(1+1+2)(a2+b2+c2)=4,所以a+b+c≤2.(5分) 又因为a+b+c≤|x2-1|对任意实数a,b,c恒成立,所以|x2-1|≥(a+b+c)max=2,解得x≤-或x≥,即实数x的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).(10分) 22.这5名幸运之星中,每人获得A奖品的概率为=,获得B奖品的概率为=.(1) 要获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数,则获得A奖品的人数可能为3,4,5,则所求概率为P=32++5=.(4分) (2) 由题意知ξ的可能取值为1,3,5,则P(ξ=1)=32+=,P(ξ=3)=4+=,P(ξ=5)=5+5=, (8分) 所以ξ的分布列如下表:故随机变量ξ的数学期望E(ξ)=1×+3×+5×=.(10分)23. (1) 令x=1,则f(1)g(1)=g(1),即g(1)·[f(1)-1]=0.因为f(1)-1=3n-1≠0,所以g(1)=0.令x=-1,则f[(-1)2]g(-1)=g[(-1)3],即f(1)g(-1)=g(-1),即g(-1)·[f(1)-1]=0,因为f(1)-1=3n-1≠0,所以g(-1)=0.(3分) 例如g(x)=a(x2-1)n(n∈N*)(其中a为非零常数).(4分) (2) 当n=1时,f(x)=x2+x+1=(1+x2)+x,故存在常数a0=1,a1=1,使得f(x)=a0(1+x2)+a1x.(5分) 假设当n=k(k∈N*)时,都存在与x无关的常数a0,a1,a2,…,a k,使得f(x)=a0(1+x2k)+a1(x+x2k-1)+a2(x2+x2k-2)+…+a k-1(x k-1+x k+1)+a k x k,即(x2+x+1)k=a0(1+x2k)+a1(x+x2k-1)+a2(x2+x2k-2)+…+a k-1(x k-1+x k+1)+a k x k.则当n=k+1时,f(x)=(x2+x+1)k+1=(x2+x+1)·(x2+x+1)k=(x2+x+1)·[a0(1+x2k)+a1(x+x2k-1)+…+a k-1(x k-1+x k+1)+a k x k]=(a0+a1x+…+a k-1x k-1+a k x k+a k-1x k+1+…+a1x2k-1+a0x2k)+(a0x+a1x2+…+a k-1x k+a k x k+1+a k-1x k+2+…+a1x2k+a0x2k+1)+(a0x2+a1x3+…+a k-1x k+1+a k x k+2+a k-1x k+3+…+a1x2k+1+a0x2k+2)=a0+(a1+a0)x+(a2+a1+a0)x2+(a3+a2+a1)x3+…+(a k-1+a k-2+a k-3)x k-1+(a k+a k-1+a k-2)x k+(2a k-1+a k)x k+1+(a k+a k-1+a k-2)x k+2+…+(a3+a2+a1)x2k-1+(a2+a1+a0)x2k+(a1+a0)·x2k+1+a0x2k+2=a0(1+x2k+2)+(a1+a0)(x+x2k+1)+(a2+a1+a0)(x2+x2k)+…+(a k+a k-1+a k-2)(x k+x k+2)+(2a k-1+a k)x k+1.令a0'=a0,a1'=a0+a1,a m'=a m-2+a m-1+a m(2≤m≤k),a k+1'=2a k-1+a k,故存在与x无关的常数a0',a1',a2',…,a k',a k+1',使得f(x)=a0'(1+x2k+2)+a1'(x+x2k+1)+a2'(x2+x2k)+…+a k'(x k+x k+2)+a k+1'x k+1.综上所述,对于任意给定的正整数n,都存在与x无关的常数a0,a1,a2,…,a n,使得f(x)=a0(1+x2n)+a1(x+x2n-1)+a2(x2+x2n-2)+…+a n-1(x n-1+x n+1)+a n x n.(10分) 江苏省苏锡常镇2015届高三第二次模拟考试21. A. 因为CA为圆O的切线,所以CA2=CE·CD.(3分) 又CA=CB,所以CB2=CE·CD,即=.(5分) 又因为∠BCD=∠BCD,所以△BCE∽△DCB, (8分) 所以∠CBE=∠BDE.(10分)B. 设点(x0,y0)为曲线|x|+|y|=1上的任意一点,在矩阵M=对应的变换作用下得到的点为(x',y'),则由=, (3分) 得即(5分) 所以曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线为|x|+3|y|=1.(8分) 所围成的图形为菱形,其面积为×2×=.(10分) C. 曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0,圆心为(1,1),半径为(3分) 将直线l的参数方程化为普通方程得x-y-=0, (5分) 所以圆心到直线l的距离为d=--=, (8分) 所以弦长为2-=.(10分)D. 因为(-+)2=-·+·2≤(3-3x+3x+2)=, (3分) 所以y=-+≤.(5分) 当且仅当-=,即x=时等号成立.(8分) 所以y的最大值为.(10分) 22. (1) 设AC与BD交于点O,以O为顶点,向量,为x轴、y轴,平行于AP且方向向上的向量为z轴建立空间直角坐标系.(1分) 则A(-1,0,0),C(1,0,0),B(0,-,0),D(0,P(-1,0,),所以M,=0,,-,=(1,-,-),(3分)cos<,>==-=0.(4分)故异面直线PB与MD所成的角为90°.(5分) (2) 设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PAD的法向量为n2=(x2,y2,z2),因为=(-1,,0),=(1,,-),=(0,0,-),由--令y1=1,得n1=(,1,).(7分)由--令y2=-1,得n2=(,-1,0), (8分)所以cos<n1,n2>===,所以sin<n1,n2>=.(10分)23. (1) 当n=2时,取数a1=1,a2=2,因为-=-3∈Z,即a1=1,a2=2可构成“2个好数”.(1分)当n=3时,取数a1=2,a2=3,a3=4,则-=-5∈Z,-=-7∈Z,-=-3∈Z, (3分)即a1=2,a2=3,a3=4可构成“3个好数”.(4分) (2) ①由(1)知当n=2,3时均存在.②假设命题当n=k(k∈Z)时,存在k个不同的正整数a1,a2,…,a k,其中a1<a2<…<a k,使得对任意的1≤i<j≤k,都有-∈Z成立, (5分) 则当n=k+1时,构造k+1个数A,A+a1,A+a2,…,A+a k,…,(*)其中A=1×2×3×…×a k,若在(*)中取到的是A和A+a i(i≤k),则--=--1∈Z,所以成立;若取到的是A+a i(i≤k)和A+a j(j≤k),且i<j,则--=-+-,由归纳假设得-∈Z,又a j-a i<a k,所以a j-a i是A的一个因子,即-∈Z,所以--=-+-∈Z,(8分)所以当n=k+1时结论也成立.(9分) 所以对任意的正整数n(n≥2),均存在“n个好数”.(10分)江苏省南京市、淮安市2015届高三第三次模拟考试21. A. 因为AB是圆O的切线,所以∠ABD=∠AEB.又因为∠BAD=∠EAB,所以△BAD∽△EAB,所以=.(5分)同理,=.因为AB,AC是圆O的切线,所以AB=AC.因此=,即BE·CD=BD·CE.(10分) B. (1) 设直线l上一点M0(x0,y0)在矩阵A对应的变换作用下变为l'上点M(x,y),则==,所以(3分)代入l'方程得(ax0+y0)-(x0+ay0)+2a=0,即(a-1)x0-(a-1)y0+2a=0.因为(x0,y0)满足x0-y0+4=0,所以-=4,解得a=2.(6分) (2) 由A=,得A2==.(10分)C. 以极点为坐标原点、极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则由题意,得圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,直线l的直角坐标方程为y=x.(4分)由-解得或所以A(0,0),B(2,2).从而以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2,即x2+y2=2x+2y.(7分) 将其化为极坐标方程为ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)=0,即ρ=2(cos θ+sin θ).(10分) D. 因为x>y,所以x-y>0,从而左边=(x-y)+(x-y)+-+2y≥3---+2y=2y+3=右边.即原不等式成立.(10分)(第22题)22. (1) 因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又AD⊥AB,故分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.根据条件,得AD=.所以B(1,0,0),D(0,,0),C,P(0,0,2).从而=(-1,,0),=-.(3分) 设异面直线BD,PC所成的角为θ,则cos θ=|cos <,>|==--=.即异面直线BD与PC所成角的余弦值为.(5分) (2) 因为AB⊥平面PAD,所以平面PAD的一个法向量为=(1,0,0).设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),由n⊥,n⊥,=-,=(0,,-2),得--解得不妨取z=3,则得n=(2,2,3).(8分) 设二面角A-PD-C的大小为φ,则cos φ=cos<,n>===.即二面角A-PD-C的余弦值为.(10分) 23. (1) f(3)=1,f(4)=2, (2分)(2) 设A0=m,A1=-,。

2015届高三模拟考试试卷(南京盐城)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2014．5 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝(x i －x －)2，其中x －＝.一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 记函数f(x)＝3－x 的定义域为A ，函数g(x)＝lg(x －1)的定义域为B ，则A ∩B ＝____________．2. 已知复数z 满足(z ＋1)i ＝3＋5i ，其中i 为虚数单位，则|z|＝____________．3. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为3，则输入x 的值为____________．Read x If x ≤0 Then y ←x ＋2 Else y ←log 2x End If Print y(第3题)4. 上图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是____________．5. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝____________ .(第5题)6. 在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是__________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0，2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为__________．8. 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面． ① 若m α，m ⊥β，则α⊥β； ② 若m α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③ 若m α，n β，α∥β，则m ∥n; ④ 若m ∥α，m β，α∩β＝n ，则m ∥n. 上述命题中为真命题的是________．(填序号)9. 如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为____________．(第9题)10. 记定义在R 上的函数y ＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x 0∈[a ，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x 0)(b －a)成立，则称x 0为函数f(x)在区间[a ，b]上的“中值点”，那么函数f(x)＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为______________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长FA 与另一条渐近线交于点B.若FB →＝2FA →，则双曲线的离心率为____________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m)x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(1，0)．若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为____________．13. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5.设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中，c 8＞c n (n ∈N *，n ≠8)，则实数p 的取值范围是__________． 14. 设点P 是曲线y ＝x 2上的一个动点，曲线y ＝x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知α、β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210.(1) 求cos2α的值； (2) 求2α－β的值．如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D 、E 、F 分别为线段AC 、A 1A 、C 1B 的中点．(1) 求证：EF ∥平面ABC ； (2) 求证：C 1E ⊥平面BDE.17. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝12m(x －1)2－2x ＋3＋lnx ，m ∈R .(1) 当m ＝0时，求函数f(x)的单调增区间；(2) 当m ＞0时，若曲线y ＝f(x)在点P(1，1)处的切线l 与曲线y ＝f(x)有且只有一个公共点，求实数m 的值．将一张长8 cm、宽6 cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S1 cm2、S2 cm2，其中S1≤S2.记折痕长为l cm.(1) 若l＝4，求S1的最大值；(2) 若S1∶S2＝1∶2，求l的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2m ＋y 28－m＝1.(1) 若椭圆C 的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围； (2) 若m ＝6，① P 是椭圆C 上的动点，M 点的坐标为(1，0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标； ② 过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB的垂直平分线l 交x 轴于点N ，求证ABFN是定值，并求出这个定值．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列；(2) 若a 1＝1，且对任意正整数n 、k(n ＞k)，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，求数列{a n }的通项公式；(3) 记b n ＝aa n (a ＞0)，求证：b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n2.2013届高三模拟考试试卷(七)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，PA 、PB 是圆O 的切线，切点分别为A 、B ，线段OP 交圆O 于点C.若PA ＝12，PC ＝6，求AB 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1对应的变换将点A(1，1)变为A′(0，2)，将曲线C ：xy ＝1变为曲线C′.(1) 求实数a 、b 的值； (2) 求曲线C′的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π6，直线l 过点M ，且与圆C 相切，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲) 解不等式x|x －4|－3＜0.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，D 、E 分别为PB 、PC 的中点．(1) 若PA ＝2，求直线AE 与PB 所成角的余弦值； (2) 若平面ADE ⊥平面PBC ，求PA 的长．23.如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13.刚开始时，棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n .(1) 求p 1、p 2的值；(2) 求证：14p i －1＞n 2n ＋1.2013届高三模拟考试试卷(七)(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. (1，3]2. 53. 84.127 5. 23 6. 710 7. 2 8. ①④ 9. 56210. 2 11. 2 12. 2x ＋y －2＝0 13. (12，17) 14. 33215. 解：(1) 方法一： 因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.(2分)又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2＝15.(4分)所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.(6分)方法二：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α(2分) ＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1，(4分) 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35.(6分)(2) 方法一： 因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又cos2α＝－35＜0，故2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin2α＝45.(8分)由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(10分)所以sin (2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22.(12分)又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.(14分)方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.从而2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(8分)由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，因为tan β＝－17，(10分)所以tan (2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋⎝⎛⎭⎫－43×⎝⎛⎭⎫－17＝－1.(12分)又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.(14分)16. 证明：(1) 如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG .因为F 为C 1B 的中点，所以FG 綊12C 1C.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A 綊C 1C ，且E 为A 1A 的中点，所以FG 綊EA. 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG.(4分)因为EF 平面ABC ，AG 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(6分)(2) 因为在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD 平面ABC ，所以A 1A ⊥BD.因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC.因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A 平面A 1ACC 1，AC平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E.(9分)根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2.从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB.(12分)因为BD ∩EB ＝B ，BD 平面BDE ，EB 平面BDE ， 所以C 1E ⊥平面BDE.(14分)17. 解：(1) 由题意知，f(x)＝－2x ＋3＋lnx ，所以f′(x)＝－2＋1x ＝－2x ＋1x(x ＞0)．(2分)由f′(x)＞0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 所以函数f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12.(4分) (2) 由f′(x)＝mx －m －2＋1x，得f′(1)＝－1，所以曲线y ＝f(x)在点P(1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2.(6分) 由题意得，关于x 的方程f(x)＝－x ＋2有且只有一个解，即关于x 的方程12m(x －1)2－x ＋1＋lnx ＝0有且只有一个解．令g(x)＝12m(x －1)2－x ＋1＋lnx(x ＞0)．则g′(x)＝m(x －1)－1＋1x ＝mx 2－（m ＋1）x ＋1x ＝（x －1）（mx －1）x(x ＞0)．(8分)① 当0＜m ＜1时，由g′(x)＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g′(x)＜0得1＜x ＜1m ，所以函数g(x)在(0，1)上为增函数，在⎝⎛⎭⎫1，1m 上为减函数，在⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞上为增函数． 又g(1)＝0，且当x →∞时，g(x)→∞，此时曲线y ＝g(x)与x 轴有两个交点． 故0＜m ＜1不合题意．(10分)② 当m ＝1时，g ′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m ＝1符合题意．③ 当m ＞1时，由g′(x)＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g′(x)＜0得1m＜x ＜1，所以函数g(x)在⎝⎛⎭⎫0，1m 上为增函数，在⎝⎛⎭⎫1m ，1上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． 又g(1)＝0，且当x →0时，g(x)→－∞，此时曲线y ＝g(x)与x 轴有两个交点． 故m ＞1不合题意．综上所述，实数m 的值为m ＝1.(14分)18. 解：如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8 cm ，AD ＝6 cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：① 折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ② 折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③ 折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．(1) 在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①. 设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则x 2＋y 2＝16.(2分) 因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，所以S 1＝12xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．即S 1的最大值为4.(5分)(2) 由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48.因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32.当折痕是情形①时，设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则12xy ＝16，即y ＝32x.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8.所以l ＝x 2＋y 2＝x 2＋322x 2，163≤x ≤8.(8分)设f(x)＝x 2＋322x2，x ＞0，则f ′(x)＝2x －2×322x 3＝2（x 2＋32）（x ＋42）（x －42）x 3，x ＞0.故x 163 ⎝⎛⎭⎫163，42 4 2 (42，8) 8 f ′(x) －0 ＋f(x)64496480所以f(x)的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]；(11分)当折痕是情形②时，设AM ＝x cm ，DN ＝y cm ，则12(x ＋y)×6＝16，即y ＝163－x.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163.所以l ＝62＋（x －y ）2＝62＋4⎝⎛⎭⎫x －832，0≤x ≤163.所以l 的范围为⎣⎡⎦⎤6，21453；(13分)当折痕是情形③时，设BN ＝x cm ，AM ＝y cm ，则12(x ＋y)×8＝16，即y ＝4－x.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，得0≤x ≤4. 所以l ＝82＋（x －y ）2＝82＋4（x －2）2，0≤x ≤4.所以l 的取值范围为[8，45]．综上，l 的取值范围为[6，45]．(16分)19. 解：(1) 由题意得，m ＞8－m ＞0，解得4＜m ＜8. 即实数m 的取值范围是(4，8)．(2分)(2) 因为m ＝6，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.① 设点P 坐标为(x ，y)，则x 26＋y22＝1.因为点M 的坐标为(1，0)，所以PM 2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋2－x 23＝2x 23－2x ＋3＝23⎝⎛⎭⎫x －322＋32，x ∈[－6，6]．(4分) 所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为⎝⎛⎭⎫32，±52.(6分)② 由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝63.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点H(x 0，y 0)，则 x 216＋y 212＝1，x 226＋y 222＝1， 所以x 21－x 226＋y 21－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 03y 0.(9分)令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝23x 0.因为F(2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝23|x 0－3|.(12分)因为AB ＝AF ＋BF ＝e(3－x 1)＋e(3－x 2)＝263|x 0－3|.故AB FN ＝263×32＝ 6. 即ABFN为定值 6.(16分) 20. 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，从而S nn ＝a 1＋n －12 d.所以当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －22d ＝d 2. 即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．(2分)(2) 因为对任意正整数n ，k(n ＞k)，都有S n ＋1＋S n －k ＝2S n 成立，所以S n ＋1＋S n －1＝2S n ，即数列{S n }是等差数列．(4分)设数列{S n }的公差为d 1，则S n ＝S 1＋(n －1)d 1＝1＋(n －1)d 1， 所以S n ＝[1＋(n －1)d 1]2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[1＋(n －1)d 1]2－[1＋(n －2)d 1]2＝2d 21n －3d 21＋2d 1， 因为{a n }是等差数列，所以a 2－a 1＝a 3－a 2，即(4d 21－3d 21＋2d 1)－1＝(6d 21－3d 21＋2d 1)－(4d 21－3d 21＋2d 1)， 所以d 1＝1，即a n ＝2n －1.又当a n ＝2n －1时，S n ＝n 2，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 对任意正整数n ，k(n ＞k)都成立， 因此a n ＝2n －1.(7分)(3) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝aa n ，所以b nb n －1＝aa n －a n －1＝a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列．(9分) 记公比为q(q ＞0)，以下证明：b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n.因为(b 1＋b n )－(b p ＋b k )＝b 1＋b 1q n －1－b 1q p －1－b 1q k －1＝b 1(q p －1－1)(q k －1－1)． 当q ＞1时，因为y ＝q x 为增函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≥0，q k －1－1≥0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k . 当q ＝1时，b 1＋b n ＝b p ＋b k .当0＜q ＜1时，因为y ＝q x 为减函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≤0，q k －1－1≤0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k .综上，b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n.(14分) 所以n(b 1＋b n )＝(b 1＋b n )＋(b 1＋b n )＋…＋(b 1＋b n ) ≥(b 1＋b n )＋(b 2＋b n －1)＋(b 3＋b n －2)＋…＋(b n ＋b 1) ＝(b 1＋b 2＋…＋b n )＋(b n ＋b n －1＋…＋b 1)， 即b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n 2.(16分)2013届高三模拟考试试卷(七)(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲解：如图，延长PO 交圆O 于D ，连结AO 、BO.AB 交OP 于点E. 因为PA 与圆O 相切， 所以PA 2＝PC·PD.设圆O 的半径为R ，因为PA ＝12，PC ＝6， 所以122＝6(2R ＋6)，解得R ＝9.(4分)因为PA 、PB 与圆O 均相切，所以PA ＝PB.又OA ＝OB ，所以OP 是线段AB 的垂直平分线．(7分) 即AB ⊥OP ，且AB ＝2AE.在Rt △OAP 中，AE ＝OA·PA OP ＝365.所以AB ＝725.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：(1) 由题知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，b ＋1＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(4分)(2) 设P′(x ，y)是曲线C′上任意一点，P ′由曲线C 上的点P(x 0，y 0)经矩阵M 所表示的变换得到，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x ，x 0＋y 0＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ＋x 2，y 0＝y －x 2.(7分) 因为x 0y 0＝1，所以y ＋x 2·y －x 2＝1，即y 24－x 24＝1.即曲线C′的方程为y 24－x24＝1.(10分)C. 曲线44：坐标系与参数方程解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系， 则圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4， 点M 的直角坐标为(33，3)．(3分) 当直线l 的斜率不存在时，不合题意． 设直线l 的方程为y －3＝k(x －33)，由圆心C(3，1)到直线l 的距离等于半径2. 故|23k －2|k 2＋1＝2.(6分)解得k ＝0或k ＝ 3.所以所求的直线l 的直角坐标方程为y ＝3或3x －y －6＝0.(8分)所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3.(10分)D. 选修45：不等式选讲解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0.(5分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2－7＜x ＜2＋7，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3.即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1.综上，原不等式的解集为{x|x ＜1或3＜x ＜2＋7}．(10分)22. 解：(1) 如图，取AC 的中点F ，连结BF ，则BF ⊥AC.以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(3，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)从而PB →＝(3，1，－2)，AE →＝(0，1，1)． 设直线AE 与PB 所成角为θ，则cos θ＝|PB →·AE →|PB →|×|AE →||＝14.即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14.(4分)(2) 设PA 的长为a ，则P(0，0，a)，从而PB →＝(3，1，－a)，PC →＝(0，2，－a)． 设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则n 1·PB →＝0，n 1·PC →＝0，所以3x ＋y －az ＝0，2y －az ＝0.令z ＝2，则y ＝a ，x ＝33a.所以n 1＝⎝⎛⎭⎫33a ，a ，2是平面PBC 的一个法向量．因为D 、E 分别为PB 、PC 的中点，所以D ⎝⎛⎭⎫32，12，a2，E ⎝⎛⎭⎫0，1，a 2， 则AD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，a 2，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，a 2. 设平面ADE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·AD →＝0，n 2·AE →＝0.所以32x ＋12y ＋a 2z ＝0，y ＋a2z ＝0.令z ＝2，则y ＝－a ，x ＝－33a. 所以n 2＝⎝⎛⎭⎫－33a ，－a ，2是平面ADE 的一个法向量．(8分) 因为平面ADE ⊥平面PBC ，所以n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝⎝⎛⎭⎫33a ，a ，2·⎝⎛⎭⎫－33a ，－a ，2＝－13a 2－a 2＋4＝0，解得a ＝3，即PA 的长为 3.(10分)23. 解：(1) p 1＝23，p 2＝23×23＋13×⎝⎛⎭⎫1－23＝59.(2分) (2) 证明：因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n .于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ＋1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13.(4分)从而p n ＋1－12＝13⎝⎛⎭⎫p n －12. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫p n －12是等比数列，其首项为16，公比为13.所以p n －12＝16×⎝⎛⎭⎫13n －1，即p n ＝12＋12×13n .(6分)用数学归纳法证明：① 当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立．当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．② 假设n ＝k(k ≥2)时，不等式成立，即14p i －1＞k 2k ＋1.则n ＝k ＋1时，左式＝14p i －1＋14p k ＋1－1＞k 2k ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12×13k ＋1－1＝k 2k ＋1＋3k ＋13k ＋1＋2.要证k 2k ＋1＋3k ＋13k ＋1＋2≥（k ＋1）2k ＋2，只要证3k ＋13k ＋1＋2≥（k ＋1）2k ＋2－k 2k ＋1，只要证3k ＋13k ＋1＋2≥k 2＋3k ＋1k 2＋3k ＋2，只要证23k ＋1≤1k 2＋3k ＋1， 只要证3k ＋1≥2k 2＋6k ＋2. 因为k ≥2，所以3k ＋1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k 2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k(2k －3)＋1＞2k 2＋6k ＋2，所以k 2k ＋1＋3k ＋13k ＋1＋2≥（k ＋1）2k ＋2.即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式14p i －1＞n 2n ＋1对任意的n ∈N *都成立．(10分)。

高三年级第一次模拟考试数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1-14题)、解答题(第15题一第20题).本卷满分160分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名，准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须 用0.5毫米黑色墨水的签字笔，注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一、填空题：本大题共1 4小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合 {}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则 AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数 学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______． 4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为 _______．5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____．6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形， 则该圆锥的体积为 ______.7. 已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x <时 2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +的值为_____.8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______.9. 若实数,x y 满足40x y +-≥，则226210z x y x y =++-+的最小值为_______.10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心 率为______.11．将函数 2sin()(0)4y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移 4π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则 ω的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________.13．已知函数 22,0,()2,0x x f x x x x +⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则不等式 (())3f f x ≤的解集为______.14．在△ABC 中，己知 3,45AC A =∠=，点D 满足 2CD BD =，且 AD =BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题1 4分，18～20每小题1 6分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）己知向量 (1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+， R θ∈．(1)若 a b ⊥，求 tan θ的值：(2)若 //a b ，且 (0,)2πθ∈，求 θ的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P- ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥ BC ，CD ⊥ PB ，求证：CP ⊥ PA ：(2)若过点A 作直线l 上平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，己知点 (3,4),(9,0)A B - ，C ， D 分别为线段OA ， OB 上的动点，且满足AC=BD.（1）若AC=4，求直线CD 的方程;（2）证明：∆ OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O).18.(本小题满分16分)如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ， AD 为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t(单位:km)，△BEF 的面积为S(单位: 2km ). (I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域;(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过3 2km ?并说明理由.19.(本小题满分16分)在数列 {}n a 中，已知 12211,2,n n n a a a a a n N λ*++==+=+∈，λ为常数. (1)证明: 14,5,a a a 成等差数列;(2)设 22n n a a n c +-=，求数列 的前n 项和 n S ；（3）当0λ≠时，数列 {}1n a -中是否存在三项 1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列， 且,,s t p 也成等比数列?若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分)己知函数 21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈(1)若 (1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;(2)若关于x 的不等式 ()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:(3)若 2a =-，正实数 12,x x 满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 1212x x +≥高三年级第一次模拟考试 数学II(附加题部分)注意事项1.本试卷共2页，均为解答题(第21题~第23题，共4题).本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）（•盐城一模）已知集合U={﹣1，0，1，2}，A={﹣1，1}，则∁U A={0，2}．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：直接利用补集的概念进行运算．解答：解：由U={﹣1，0，1，2}，A={﹣1，1}，所以∁U A={0，2}．故答案为{0，2}．点评：本题考查了补集的概念及运算，是基础的会考题型．2．（5分）（•盐城一模）复数（1﹣2i）2的共轭复数是﹣3+4i．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先利用两个复数代数形式的乘法法则求得z，再根据共轭复数的定义求得它的共轭复数．解答：解：∵复数（1﹣2i）2=1﹣4i+4i2=﹣3﹣4i，故复数（1﹣2i）2的共轭复数是﹣3+4i，故答案为﹣3+4i．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（•盐城一模）已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s2=0.8．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：先计算数据的平均数，然后利用方差公式直接计算即可．解答：解：8，9，10，10，8的平均分为9∴该组数据的方差s2=[（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]==0.8故答案为：0.8点评：本题主要考查了方差公式，解题的关键是正确运用方差公式，同时考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）（•盐城一模）袋中装有2个红球，2个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为．考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．解答：解：从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有C C种情况是两个球颜色不相同；故其概率是==．故答案为：．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m 种结果，那么事件A的概率P（A）=．5．（5分）（•盐城一模）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7=9，则其前9项和S9的值为27．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件可得 3a5 =9，由此可得a5 的值，再根据前9项和S9==9a5 求得结果．解答：解：在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7=9，故有 3a5 =9，a5 =3．则其前9项和S9==9a5 =27，故答案为 27．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．6．（5分）（•盐城一模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为26．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y对应的直线进行平移，可得当x=4，y=6时，z=2x+3y取得最大值26．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点设z=F（x，y）=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，6）=26故答案为：26点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+3y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．（5分）（•盐城一模）如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是3．考点：伪代码．专题：计算题；概率与统计．分析：由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当s＜15时，用s+n的值代替s得到新的s值，并且用n﹣1代替n值得到新的n值，直到条件不能满足时结束循环体并输出最后的值，由此即可得到本题答案．解答：解：根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环，因为s=0＜15，所以得到新的S=0+6=6，n=5；然后经过第二次循环，因为s=6＜15，所以得到新的S=6+5=11，n=4；然后经过第三次循环，因为s=11＜15，所以得到新的S=11+4=15，n=3；接下来判断：因为s=15，不满足s＜15，所以结束循环体并输出最后的n，综上所述，可得最后输出的结果是3故答案为：3点评：本题给出程序框图，求最后输出的n值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．8．（5分）（•盐城一模）将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，所得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，变换后所得函数的解析式为y=sin（2x+2ϕ﹣]，再由它是奇函数，可得2ϕ﹣=kπ，k∈z，由此求得ϕ的最小值．解答：解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，所得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+ϕ）﹣]=sin（2x+2ϕ﹣]，再由y=sin（2x+2ϕ﹣]为奇函数，可得2ϕ﹣=kπ，k∈z，则ϕ的最小值为，故答案为．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于中档题．9．（5分）（•盐城一模）现有如下命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．则所有真命题的序号是①③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：①过平面外一点可作唯一一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有无数条直线与该平面平行；③由平面与平面平行的性质定理可得；④由平面与平面垂直的性质定理可得．解答：解：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，正确；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行，错误，应该是有无数条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，正确，由平面与平面平行的性质定理可得；④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内，正确，由平面与平面垂直的性质定理可得．故答案为：①③④点评：本题考查命题真假的判断，涉及空间中的线面的位置关系，属基础题．10．（5分）（•盐城一模）在△ABC中，若9cos2A﹣4cos2B=5，则的值为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由条件 9cos2A﹣4cos2B=5 利用二倍角公式求得=，再由正弦定理可得=，从而得到答案．解答：解：在△ABC中，∵9cos2A﹣4cos2B=5，∴9（1﹣2sin2A ）﹣4（1﹣2sin2B）=5，化简可得 9sin2A=4sin2B，故有=．由正弦定理可得==，故答案为．点评：本题主要考查二倍角公式、正弦定理的应用，属于中档题．11．（5分）（•盐城一模）如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2，，=，若=，则=0．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：在等腰三角形ABC中，底边BC=2，因此可取BC的中点O作为坐标原点距离平面直角坐标系．利用向量的坐标运算解决共线与数量积即可得出答案．解答：解：∵在等腰三角形ABC中，底边BC=2，∴可取BC的中点O作为坐标原点距离平面直角坐标系．则B（﹣1，0），C（1，0），设A（0，a）（a＞0）．∵，∴D．∴=，=（1，﹣a）．∵=，∴，解得．∴．∵，∴，∴==．∴．∴===0．故答案为0．点评：熟练掌握通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决共线和数量积是解题的关键．12．（5分）（•盐城一模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的性质：当|PF2|=a+c=，时，即取得最大值，即可得出．解答：解：∵椭圆，∴a=，b=2=c．设k==，则当|PF1|=|PF2|时，k取得最小值0；当|PF 2|=a+c=，时，即时，k=取得最大值． ∴k 的取值范围是． 故答案为．点评： 熟练掌握椭圆的性质：当|PF 2|=a+c=，时，则取得最大值是解题的关键．13．若实x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y exy y xy +=-+, 则cos 4y x 的值为 ． 答案：－1 解析：设f(y)＝lny －y 2＋ln e 22，则f′(y)＝1y －12＝2－y2y.当y ∈(0，2)时，f ′(y)>0；当y ∈(2，＋∞)时，f ′(y)<0，所以y ＝2时，f(y)取最大值1，所以f(y)＝lny －y 2＋ln e 22≤1；又由基本不等式得⎣⎡⎦⎤4cos 2（xy ）＋14cos 2（xy ）≥2，当且仅当4cos 2(xy)＝14cos 2（xy ）时取等号，即cos 2(xy)＝14， 所以log 2⎣⎡⎦⎤4cos 2（xy ）＋14cos 2（xy ）≥1，所以log 2[4cos 2(xy)＋14cos 2（xy ）]＝lny －y 2＋ln e 22成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，cos 2（xy ）＝14，所以cos4x ＝－12，ycos4x ＝－1. 本题考查函数、三角、基本不等式等基础知识，考查函数与方程、不等式的思想，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于难题． 14．（5分）（•盐城一模）已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f（x ）=kx （k ＞0）有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g （t ）=﹣6t+7的值域为 [﹣，﹣1） ．考点： 根的存在性及根的个数判断；函数的值域． 专题： 函数的性质及应用．分析： 同一坐标系内作出函数y=f （x ）的图象和直线y=kx ，因为两图象有且仅有四个公共点，得出最大根t 的取值范围．再利用二次函数的性质，即可得到函数g （t ）=﹣6t+7的值域．解答：解：作出函数f （x ）=，当0≤x ＜4时的图象，如右图中红色的三个半圆．将直线y=kx 围绕坐标原点进行旋转，可得当直线介于与第二个半圆相切和与第三个半圆相切之间时，两图象有且仅有四个不同的公共点， 此时，其最大根t ∈（，），则函数g （t ）=﹣6t+7，t ∈（，）的值域为[﹣，﹣1）．故答案为：[﹣，﹣1）．点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根，并且用这个根来求值域，着重考查了函数与方程的关系，以及数形结合思想，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）（•盐城一模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．（1）求证：直线A1B1∥平面ABD；（2）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据直棱柱的性质判定线线平行，再由线线平行证线面平行即可；（2）先由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直即可．解答：证明：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得A1B1∥AB，又EF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴EF∥平面ABD．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥BB1，AB⊥BC，∴AB⊥平面BCC1B1，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCC1B1．点评：本题考查面面垂直及线面平行的判定．16．（14分）（•盐城一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos（A+）=sinA，求A的值；（2）若cosA=，4b=c，求sinB的值．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）在△ABC中，由cos（A+）=sinA，求得 tanA=，从而得到 A的值．（2）若cosA=，4b=c，由余弦定理可得 a=b，利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，再由正弦定理求得sinB的值．解答：解：（1）在△ABC中，若cos（A+）=sinA，则有 cosAcos﹣sinAsin=sinA，化简可得cosA=sinA，显然，cosA≠0，故 tanA=，所以A=．（2）若cosA=，4b=c，由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，解得 a=b．由于sinA==，再由正弦定理可得，解得sinB=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．17．（14分）（•盐城一模）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？考点：函数最值的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，C（0）==24，可求得k，从而得到F关于x的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值时x的值．解答：解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）由C（0）==24，得k=2400 …（3分）所以F=15×+0.5x=+0.5x，x≥0…（7分）（2）因为+0.5（x+5）﹣2.5≥2﹣2.5=57.5，…（10分）当且仅当=0.5（x+5），即x=55时取等号…（13分）所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元…（14分）点评：本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题．18．（16分）（•盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（3，），椭圆的离心率e=，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．①若直线MA过坐标原点O，试求△MAF2外接圆的方程；②若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的离心率化简方程，根据椭圆过点M（3，），即可求椭圆C的方程；（2）①求得MA的中垂线方程、MF2的中垂线方程，从而可得圆心与半径，即可求△MAF2外接圆的方程；②直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，即可得到结论．解答：解：（1）由椭圆的离心率e=，可得a2=9b2，故椭圆方程为…（3分）又椭圆过点M（3，），则，解得b2=4，所以椭圆的方程为…（5分）（2）①记△MAF2的外接圆的圆心为T．因为，所以MA的中垂线方程为y=﹣3x，又由M（3，），F2（，0），得MF1的中点为，而=﹣1，所以MF2的中垂线方程为，由，得T（）…（8分）所以圆T的半径为=，故△MAF2的外接圆的方程为…（10分）（3）设直线MA的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）．（x2＞x1）由题直线MA与MB的斜率互为相反数，∴直线MB的斜率为﹣k．联立直线MA与椭圆方程，可得（9k2+1）x2+x+162k2﹣108k﹣18=0∴x1+x2=﹣，…（13分）又∴==为定值…（16分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形的外接圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（•盐城一模）对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x0∈D，均有f（x0）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．（1）试判断f（x）=x﹣1在区间[﹣2.1]上是否封闭，并说明理由；（1）若函数g（x）=在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；（1）若函数h（x）=x3﹣3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．考点：函数恒成立问题．专题：新定义．分析：（1）由函数f（x）=x﹣1在区间[﹣2，1]上是增函数求出在[﹣2，1]上的值域，不满足在区间上封闭的概念；（2）把给出的函数g（x）=变形为3+，分a=3，a＞3，a＜3三种情况进行讨论，利用函数在区间[3，10]上封闭列式求出a的取值范围；（3）求出函数h（x）=x3﹣3x的导函数，得到三个不同的单调区间，然后对a，b的取值分类进行求解．解答：解：（1）f（x）=x﹣1在区间[﹣2，1]上单调递增，所以f（x）的值域为[﹣3，0]而[﹣3，0]⊈[﹣2，1]，所以f（x）在区间[﹣2，1]上不是封闭的；（2）因为g（x）==3+，①当a=3时，函数g（x）的值域为{3}⊆[3，10]，适合题意．②当a＞3时，函数g（x）=3+在区间[3，10]上单调递减，故它的值域为，由⊆[3，10]，得，解得3≤a≤31，故3＜a≤31．③当a＜3时，在区间[3，10]上有，显然不合题意．综上所述，实数a的取值范围是3≤a≤31；（3）因为h（x）=x3﹣3x，所以h′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），当x∈（﹣∞，﹣1）时，h′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，h′（x）0．所以h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上递减，在（1，+∞）上递增．①当a＜b≤﹣1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以，即，解得﹣2≤a≤0或a≥2，b≤﹣2或0≤b≤2，又a＜b≤﹣1，此时无解．②当a≤﹣1且﹣1＜b≤1时，因h（x）max=h（﹣1）=2＞b，矛盾，不合题意③当a≤﹣1且b＞1时，因为h（﹣1）=2，h（1）=﹣2都在函数的值域内，故a≤﹣2，b≥2，又，得，解得﹣2≤a≤0或a≥2，b≤﹣2或0≤b≤2，从而a=﹣2，b=2．④当﹣1≤a＜b≤1时，h（x）在区间[a，b]上递减，，即（*）而a，b∈Z，经检验，满足﹣1≤a＜b≤1的整数组a，b均不合（*）式．⑤当﹣1＜a＜1且b≥1时，因h（x）min=h（1）=﹣2＜a，矛盾，不合题意．⑥当b＞a≥1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以，即，解得﹣2≤a≤0或a≥2，b≤﹣2或0≤b≤2，又b＞a≥1，此时无解．综上所述，所求整数a，b的值为a=﹣2，b=2．点评：本题是新定义题，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论得数学思想方法，解答此题的关键是正确分类，因该题需要较细致的分类，对学生来说是有一定难度的题目．20．（16分）（•盐城一模）若数列{a n}是首项为6﹣12t，公差为6的等差数列；数列{b n}的前n项和为S n=3n﹣t．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{b n}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数C n，使得b n+1=a，并求数列{c n}的前n项和T n；（3）设数列{d n}满足d n=a n•b n，且{d n}中不存在这样的项d t，使得“d k＜d k﹣1与d k＜d k+1”同时成立（其中k≥2，k∈N*），试求实数t的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的通项公式，可得a n=6n﹣12t；再由数列前n项和与第n项的关系，即可算出{b n}的通项公式；（2）由{b n}是等比数列，结合（1）的通项公式可得b n=2•3n﹣1，算出出t=1从而得到a n=6n﹣12t．通过变形整理，得到b n+1=6（3n﹣1+2）﹣12，从而得到存在c n=3n﹣1+2∈N*，使=b n+1成立，由等比数列求和公式即可算出{c n}的前n项和T n；（3）根据（1）的结论，得，由此进行作差，得d n+1﹣d n=8[n﹣（2t﹣）]•3n（n≥2）．因此，分t＜、2和m（m∈N且m≥3）三种情况加以讨论，分别根据数列{d n}的单调性解关于t的不等式，最后综合即可得到实数t 的取值范围．解答：解：（1）∵{a n}是首项为6﹣12t，公差为6的等差数列，∴a n=（6﹣12t）+（n﹣1）×6=6n﹣12t…（2分）而数列{b n}的前n项和为S n=3n﹣t，所以当n≥2时，b n=（3n﹣1）﹣（3n﹣1﹣1）=2•3n﹣1，又∵b1=S1=3﹣t，∴…（4分）（2）∵数列{b n}是等比数列，∴b1=3﹣t=2•31﹣1=2，解之得t=1，因此，b n=2•3n﹣1，且a n=6n﹣12 …（5分）对任意的n（n∈N，n≥1），由于b n+1=2•3n=6•3n﹣1=6（3n﹣1+2）﹣12，令c n=3n﹣1+2∈N*，则=6（3n﹣1+2）﹣12=b n+1，所以命题成立…（7分）数列数列{c n}的前n项和为：T n=2n+=•3n+2n﹣…（9分）（3）根据（1）的结论，得，由于当n≥2时，d n+1﹣d n=4（n+1﹣2t）•3n+1﹣4（n﹣2t）•3n=8[n﹣（2t﹣）]•3n，因此，可得①若2t﹣＜2，即t＜时，则d n+1﹣d n＞0，可得d n+1＞d n，∴当n≥2时，{d n}是递增数列，结合题意得d1＜d2，即6（3﹣t）（1﹣2t）≤36（2﹣2t），解之得≤t≤，…（13分）②若2，即，则当n≥3时，{d n}是递增数列，∴结合题意得d2=d3，4（2t﹣2）×32=4（2t﹣3）×33，解之得t=（14分）③若m（m∈N且m≥3），即+≤t≤+（m∈N且m≥3），则当2≤n≤m时，{d n}是递减数列，当n≥m+1时，{d n}是递增数列，结合题意，得d m=d m+1，即4（2t﹣m）×3m=4（2t﹣m﹣1）×3m+1，解之得t=…（15分）综上所述，t的取值范围是≤t≤或t=（m∈N且m≥2）…（16分）点评：本题给出成等差数列和成等比数列的两个数列，求它们的通项公式并找出由它们的公共项构成的新数列规律，并依此求新数列的前n项和．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，等差数列、等比数列的前n项和公式，考查了分类讨论的数学思想和数列中的猜想、类比与递推的思想，对数学的综合能力要求较高，属于难题．三、[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.21．（10分）（•盐城一模）[A．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：连接OC，BE，AC，由圆的直径所对圆周角为直角的性质可得BE⊥AE．由BC=4=OB=OC，可得△OBC为正三角形，因此∠ABC=60°，可得∠COB=60°．又直线l切⊙O于C，利用切线的性质可得OC⊥l，于是OC∥AD，可得∠EAB=∠COB=60°．在Rt△BAE中，由∠EBA=30°，即可得出AE．解答：解：连接OC，BE，AC，则BE⊥AE．∵BC=4，∴OB=OC=BC=4，即△OBC为正三角形，∴∠CBO=∠COB=60°．又直线l切⊙O与C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴AD∥OC．∴∠EAB=∠COB=60°．在Rt△BAE中，∴∠EBA=30°，∴．点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、等边三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．22．（10分）（•盐城一模）B．（选修4﹣2：矩阵与变换）已知矩阵M的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．考点：特征值与特征向量的计算；二阶矩阵；矩阵特征值的定义；特征向量的定义．专题：计算题．分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=﹣1．最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．解答：解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣1）（λ﹣x）﹣4．∵λ1=3方程f（λ）=0的一根，∴（3﹣1）（3﹣x）﹣4=0，可得x=1，M=．∴方程f（λ）=0即（λ﹣1）（λ﹣1）﹣4=0，λ2﹣2λ﹣3=0可得另一个特征值为：λ2=﹣1，设λ2=﹣1对应的一个特征向量为α=，则由λ2α=Mα，得得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为α=．点评：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值和相应的特征向量，考查了特征值与特征向量的计算的知识，属于基础题．23．（•盐城一模）C．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ﹣3=0 上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0 上的动点，求AB 的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：化极坐标方程为直角坐标方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则圆上的动点A到直线上的动点B的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径．解答：解：由ρ2+2ρcosθ﹣3=0，得：x2+y2+2x﹣3=0，即（x+1）2+y2=4．所以曲线是以（﹣1，0）为圆心，以2为半径的圆．再由ρcosθ+ρsinθ﹣7=0得：x+y﹣7=0．所以圆心到直线的距离为d=．则圆上的动点A到直线上的动点B的最小距离为．点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了点到直线的距离公式，是基础题．24．（•盐城一模）D．（选修4﹣5：不等式选讲）设a1，a2，…a n都是正数，且 a1•a2…a n=1，求证：（1+a1）（1+a2）…（1+a n）≥2n．考点：不等式的证明．专题：计算题；证明题；不等式的解法及应用．分析：根据基本不等式，得1+a1≥2，1+a2≥2，…，1+a n≥2．再由不等式的各项都大于0，将此n个不等式左右两边对应相乘，结合a1•a2…a n=1即可证出要证明的不等式成立．解答：解：∵a1＞0，∴根据基本不等式，得1+a1≥2同理可得，1+a2≥2，1+a3≥2，…，1+a n≥2注意到所有的不等式的两边都是正数，将这n个不等式的左右两边对应相乘，得（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+a n）≥2n•∵a1•a2…a n=1，∴（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+a n）≥2n•1=2n，即原不等式成立．点评：本题给出n个正数a1、a2、…a n，求证关于a1、a2、…a n的一个不等式恒成立．着重考查了不等式的基本性质和运用基本不等式证明不等关系成立的知识，属于中档题．四、[必做题]第25、26题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.25．（10分）（•盐城一模）某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P2，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）计划在每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P2的取值范围．考点：相互事件的概率乘法公式；二项分布与n次重复试验的模型．专题：新定义．分析：（1）根据甲的命中率为，乙的命中率为，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）由已知结合（1）的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率（含参数P2），由Eξ≥5，可以构造一个关于P2的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到P2的取值范围．解答：解：（1）∵，，根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，∴该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P=（C21•）（C21•）+（）（）=（2）该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率P=（C21•）[C21•P2•（1﹣P2）]+（）（P22）=而ξ～B（12，P），所以Eξ=12P由Eξ≥5知，（）•12≥5解得：点评：本题考查的知识点是相互事件的概率乘法公式，二项分布与n次重复试验的模型，（1）中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性，（2）的关键是要根据Eξ≥5，可以构造一个关于P2的不等式．26．（10分）（•盐城一模）已知，其中n∈N*．（1）若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；（2）当x=3时，求证：f（x）必可表示成（s∈N*）的形式．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：（1）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3的项，再根据展开式中含x3项的系数为14，求n的值．（2）当x=3时，求得f（x）的解析式，由于若=，a、b∈N*，则=．再由（）（）=1，令 a=s，s∈N*，则必有 b=s﹣1，从而证得结论．解答：解：（1）由二项式定理可知，二项展开式的通项公式为 T r+1=•2n﹣r•，令=3，解得r=6，展开式中含x3项的系数为•2n﹣6=14，解得 n=7．（2）当x=3时，f（x）==•2n•+++…+．设=x+y=+，由于=，a、b∈N*，则=．…（7分）∵（）（）=•=1，∴令 a=s，s∈N*，则必有 b=s﹣1，…（9分）∴必可表示成的形式，其中 s∈N*．…（10分）点评：本题二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，属于中档题．。

江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学含答案南京市和盐城市的2015届高三年级第一次模拟考试包含了14个填空题，每个小题5分，共计70分。

1.设集合M={2,0,x}，集合N={0,1}，若N是M的子集，则x=1.2.如果复数z=-1，则z^2+2z的值为0.3.在一次射箭比赛中，某运动员的5次射箭的环数分别是9.10.9.7.10，则该组数据的方差是4.8.4.如果a+i（其中i为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a=0.5.如果双曲线x^2-y^2=a^2（a>0）的右焦点与抛物线y^2=4x的焦点重合，则a=2.6.运行如下程序后，输出的结果为42：i←1S←0While i<8i←i+3S←2×i+SEndWhilePrint S7.如果x-2y+3≤0且x+y≥0，则2的最大值为3.8.如果一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为3π。

9.如果函数f(x)=sin(ωx+π/6)（ω>0）的图像中，相邻的两条对称轴之间的距离为π/2，且该函数的图像关于点(x,0)成中心对称，其中x∈[0,5π/12]，则x=5π/12.10.如果实数x,y满足x>y>0且log2x+log2y=1，则x-y的最小值为4.11.设向量a=(sin^2θ,cosθ)，b=(cosθ,1)，则“a//b”是“tanθ=1/2”成立的必要不充分条件。

12.在平面直角坐标系xOy中，设直线y=-x+2与圆x^2+y^2=r^2（r>0）交于A,B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足OC=10，则r=√26.13.已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)=x^2-1.如果对于任意x∈[-2,2]，存在x2∈[-2,2]，使得g(x2)=f(x1)，则实数m的值为1.14.该文章中没有第14题，可能是因为该模拟考试只包含了13个填空题。

江苏省南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学试题一、填空题1. 函数x x x f cos sin )(=的最小正周期为 ▲ .2. 已知复数)31)(2(i i z +-=，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限.3. 如图是一个算法流程图，如果输入x 的值是41，则输出S 的值是 ▲ .4. 某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104]上的产品件数是 ▲ .5. 袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 ▲ .6. 如图，在平面四边形ABCD 中，AC ,BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE BA BDλμ=+u u u r u u u r u u u r（,R λμ∈），则 λμ+= ▲ .7. 已知平面α，β，直线,m n ，给出下列命题：①若//m α，//,n m n β⊥，则αβ⊥ ②若//αβ，//,//m n αβ，则||m n ③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥④若αβ⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥.其中是真命题的是 ▲ .（填写所有真命题的序号）。

8. 如图，在ABC ∆中，D 是BC 上的一点。

已知060B ∠=，2,10,2AD AC DC ===则AB = ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，定点10. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且数列也为等差数列，则13a= ▲ .11. 已知知函数1()||1x f x x +=+，x R ∈，则不等式2(2)(34)f x x f x -<-的解集是 。

i ←1 S ←0 While i ＜8 i ←i + 3 S ←2´i + S End While Print S第6题图南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 圆锥的侧面积公式：rl s π=，其中是圆锥的r 底面半径，l 为母线长一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置。

1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ▲ . 2．若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 3．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的 方差是 ▲ .4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的 概率为 ▲ . 5．若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ .7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 ▲ .8．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ . 9．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x = ▲ .10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ▲ .11．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r = ▲ .13．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m =-+. 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是 ▲ .14．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}2n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. （1）求函数()f α的值域；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =2a =1c =，求b .16．(本小题满分14分)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE .xy PQOα 第15题图BACDB 1A 1C 1D 1E第16题图O17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为25.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t （025t <≤，单位：米）；曲线BC 是抛物线250(0)y ax a =-+>的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径. 假定拟建体育馆的高50OB =米.（1）若要求30CD =米，AD =245米，求t 与a 的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围；（3）若125a =，求AD 的最大值.（参考公式：若()f x a x =-，则()2f x a x'=--）FPOxAly B第17题图·第18题-甲 xy O ABCD 第18题-乙E ·F19．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++L13246n n +=⋅--，且集合*|,n n b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围.20．已知函数()xf x e =，()g x mx n =+.（1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围； （2）设函数1()()()nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥.南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. 1 2． －1 3． 654． 0.3 5．2 6． 42 7． 889． 512π10． 4 11．要不充分 1213. [5,2]-- 14. (2)13n --（ 说明：本答案也可以写成21,321,3n nn n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数12解读：方法1：（平面向量数量积入手）22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，即：222225159+cos 16816r r r AOB r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=，又圆心到直线的距离为OD ==所以222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，r =.方法2：（平面向量坐标化入手）设()11,A x y ，()22,B x y ,(),C x y ,由5344OC OA OB=+u u u r u u u r u u u r得125344x x x =+，125344y y y =+，则22222222121211112222535325251525251544441616816168x y x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得，()222112225251516168r r r x y x y =+++，联立直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>的方程，由韦达定理可解得：r =.方法3：（平面向量共线定理入手）由5344OC OA OB =+u u u r u u u r 得153288OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，设OC与AB 交于点M ，则A M B 、、三点共线。