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初中数学教案分式的运算与化简教案教学目标：学生能够掌握分式的基本运算与化简方法。
教学重点：分式的加法、减法、乘法和除法的运算与化简。
教学难点：应用不同的运算方法解决实际问题。
一、引入1. 导入主题分式在数学中起着重要的作用，它能够帮助我们简化计算过程，解决实际问题。
今天我们将学习分式的运算与化简方法。
2. 激发学生兴趣通过提问的方式引出学生的疑问与思考，例如：你们在生活中遇到过分式吗？它们是如何帮助你们解决问题的？二、知识点讲解1. 分式的定义与表示提醒学生回顾分式的定义与表示方法，确保学生对分子、分母的理解。
2. 分式的加法与减法（以x/y + z/w为例）a. 约分法：将两个分数的分母找到最小公倍数，分别进行分数扩展，再进行加法运算。
示例1: 3/4 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4示略2: 1/3 - 1/6 = 2/6 - 1/6 = 1/6b. 通分法：将两个分数的分母相乘作为新的分母，再进行分子的运算。
示例1: 3/4 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4示略2: 1/3 - 1/6 = 2/6 - 1/6 = 1/63. 分式的乘法与除法（以x/y * z/w为例）a. 乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘。
示例1：(3/4) * (5/6) = 15/24示例2：(3/4) * (2/3) = 6/12b. 除法：将除数的分子与被除数的分母相乘，分母与分子相乘。
示例1：(3/4) ÷ (5/6) = (3/4) * (6/5) = 18/20示例2：(3/4) ÷ (2/3) = (3/4) * (3/2) = 9/84. 分式的化简a. 分母为1的分式化简为整数。
示例：5/1 = 5b. 分子与分母有公因数时，约去公因数。
示例：6/10 = 3/5c. 分母为两个数的和或差时，进行提公因式化简。
示例：1/(x+3) + 1/(x+2) = (2x+5)/(x^2+5x+6)三、实例演练1. 课堂练习教师提供一些简单分式的运算练习题，让学生在黑板上解答，并进行讲解与订正。
分式的化简方法教学案一、教学目标1.了解分式的定义和基本性质。
2.掌握分式的化简方法。
3.学会应用分式的化简方法解决实际问题。
二、教学重点1.分式的化简方法。
2.分式的应用。
三、教学难点1.掌握分式的化简方法。
2.运用分式解决实际问题。
四、教学准备1.教师需要准备白板、黑板、笔。
2.学生需要准备笔、笔记本。
五、教学过程1.引入教师通过简单的数学问题引入本课学习内容。
例如：“你有8个苹果，你要将他们平均分给4个人，请问每个人分到几个苹果？”引导学生思考，将8除以4，得到答案2个苹果。
从中引入分式的基本概念，并介绍分式的定义和基本性质。
分式是指一个整数除以另一个整数，或者一个多项式除以另一个多项式，例如1/2或（x+1）/（x-1），其中分母不能为零。
2.讲解（1）分式的定义和基本性质。
（2）分式的化简方法。
①通分，并将分式化简为最简形式。
②合并同类项，并将分式化简为最简形式。
③分解因式，并将分式化简为最简形式。
（3）分式的应用。
通过实例分析，引导学生了解应用分式的归约公式解决实际问题的方法。
3.练习教师以简单的例子引导学生进行分式的归约练习，并根据学生练习情况适时进行讲解和辅导。
4.巩固通过例题的讲解，引导学生总结并掌握分式的化简方法。
学生需掌握通分、合并同类项和分解因式这三种方法，并能够熟练运用这些方法解决实际问题。
五、教学效果的评估通过课后作业及时检查学生掌握情况，及其对分式的化简方法的灵活应用。
对学生的不足场次进行讲解，并对学生做好知识点复习和答疑辅导，六、教学反思本课程将分式的基本概念、基本方法和应用相结合。
引导学生在课堂上一步一步掌握分式化简方法。
同时通过实例分析，引导学生跨越认知层面，促使其提高数学应用能力。
课堂效果较好。
分式方程教案小班一、教学目标1. 了解分式的基本概念和性质；2. 学会解分式方程；3. 能够应用分式方程解决实际问题。
二、教学重点1. 分式的基本概念及分式方程的解法；2. 分式方程在实际问题中的应用。
三、教学难点分式方程的解法及其应用。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过一个简单的实例引入分式的概念，例如：小明有一束花，他将花分给三个朋友，每人分得其中的1/3。
请问这束花原本有多少朵？通过这个问题，引导学生思考分式的意义和使用场景。
2. 讲解（20分钟）（1）分式的定义与基本性质教师讲解分式的定义，即分数的分子和分母，以及分式的基本性质，如约分、通分和比较大小等。
（2）分式方程的解法教师通过几个简单的分式方程示例，引导学生掌握分式方程的解法。
例如，解方程2/x = 1/4，解方程（x+2）/3 = 5/6等。
3. 练习（25分钟）教师设计一些练习题，供学生进行自主练习。
例如：（1）解方程：5/x = 2/3，4/(x+1) = 2/5，等等。
（2）应用题：小明每天有5个小时的时间做作业，他计划将时间的1/5用于写作业，1/4用于看书，剩下的时间用于玩游戏。
请问他每天玩游戏多少个小时？4. 拓展（15分钟）教师引导学生思考分式方程在实际生活中的应用场景，并结合一些实际问题进行拓展讨论。
例如：（1）甲、乙、丙三个人一起做一件工作，甲独自完成这项工作需要6小时，乙独自完成需要8小时，丙独自完成需要12小时。
请问他们同时工作需要多少小时才能完成？（2）某项工程由甲、乙两人合作完成，甲独自花20天完成，乙独自花30天完成，他们共同工作需要多少天才能完成？5. 归纳总结（10分钟）教师对整个教学内容进行归纳总结，帮助学生掌握分式方程的基本概念、解题方法和应用技巧。
六、教学反思通过本节课的教学，学生能够初步掌握分式方程的解法，理解分式的基本概念和性质，并且能够应用分式方程解决一些实际问题。
进一步培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
《分式的化简与计算复习》教学设计马晓戎一、复习目标：1.使学生系统的了解本章前两节的知识体系与知识内容，使学生在掌握通分、约分的基础上进一步掌握分式的四则运算法则及它们之间的内在联系。
2.在学生掌握基本概念、基本方法的基础上将知识融会贯通，进行一些提高训练。
3.培养学生对知识的掌握，综合运用的能力，提高学生的运算能力。
二、复习重难点：复习重点：熟练而正确地掌握分式四则运算，进一步掌握分式化简的基本方法、基本技能。
复习难点：四则混合运算中的去括号及符号问题，主要研究分式的运算，主要训练学生的基本计算技能，化简求值过程中的取值范围及取值要求等，所以要多练习、多动手才能熟练掌握。
三、复习方法：讨论交流法，小组合作法、练习法四、复习过程：2、试题特点与命题趋势陕西近几年在17题的考查上主要是以分式化简与解分式方程为主的数学计算，且二者交替出现，如2012年考查分式减法与除法的化简运算，而2011年和2013年均考查解分式方程，所以由此估计2014年的陕西中考会考查分式的化简，且化简式为三项，其中有两项或三项为分式。
3、复习知识点1：分式的化简例1：计算1-12--x x ÷x2-x 解：原式=1-12--x x ×2-x x =1—1-x x =11---x x x =—11-x 练习1、（2012 陕西）化简（b a +b -a 2-ba b -）÷b a b a +-2 练习2、计算（3-y y 2-3+y y ）×y y 92- 解法归纳1：（1）、当分子、分母是多项式时，先进行分解因式。
（2）、进行通分。
（3）、进行约分，化成最简形式。
（4）、遇到除法问题，经常是把除法利用倒数的原理化成乘法问题。
4、复习知识点2：分式的化简求值例2：（2013广州，19）先化简，再求值：y x x -2-yx y -2，其中x=1+23,y=1-23 解：原式=yx y x --22=yx y x y x --+)(）（ =x+y把x=1+23,y=1-23代入上式，得原式=1+23+1-23=2练习3：（2013 广州）先化简，再求值：x x x 2442+-÷222x x x -+1，再选择一个你喜欢的数，代入求值。
数学化简技巧初中教案教学目标：1. 理解数学化简的概念和意义；2. 学会运用基本的数学化简技巧；3. 能够运用化简技巧解决实际问题。
教学内容：1. 数学化简的概念和意义；2. 基本的数学化简技巧；3. 实际问题的解决。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾数学中的基本运算，如加法、减法、乘法、除法等；2. 提问：我们在进行数学运算时，是否会遇到复杂的表达式呢？我们应该如何简化这些表达式呢？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解数学化简的概念和意义：化简是将复杂的数学表达式转化为更简单、更易于理解的形式。
化简可以帮助我们更方便地进行运算和解决问题。
2. 讲解基本的数学化简技巧：a. 因式分解：将多项式转化为几个整式的乘积形式；b. 合并同类项：将具有相同字母和指数的项进行合并；c. 约分：将分子和分母的公因数约去；d. 指数法则：运用指数的性质和运算法则进行化简。
3. 举例讲解：运用基本的化简技巧对一些数学表达式进行化简，如：a. \(3x^2 + 4x - 2\) → \(3x^2 + 4x - 2\)b. \(\frac{12x^3}{4x^2}\) → \(3x\)c. \((x + 1)(x - 1)\) → \(x^2 - 1\)d. \(2^3 \times 2^2\) → \(2^5\)三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些化简题目，巩固所学的化简技巧；2. 引导学生思考：在化简过程中，我们应该注意哪些问题？如何避免出错？四、实际问题解决（10分钟）1. 提出一些实际问题，如：求解方程、计算物理量的平均速度等；2. 引导学生运用所学的化简技巧解决这些问题；3. 讲解解题思路和步骤，让学生理解化简在实际问题中的应用。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生明确数学化简的概念和意义；2. 强调基本的数学化简技巧在实际问题解决中的重要性；3. 提醒学生在学习过程中要注意积累和总结，提高自己的数学素养。
初中分式化简教案教学目标：1. 理解分式的概念和基本性质；2. 掌握分式化简的方法和技巧；3. 能够运用分式化简解决实际问题。
教学内容：1. 分式的概念和基本性质；2. 分式化简的方法和技巧；3. 分式化简在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾整式的概念和基本性质，为新课的学习打下基础；2. 提问：我们已经学习了整式的四则运算，那么分式呢？分式有哪些基本性质？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解分式的概念：分式是两个整式的比，其中分母不能为零；2. 讲解分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；3. 讲解分式化简的方法和技巧：a. 先将分式的分子和分母分解因式；b. 然后约去分子和分母中相同的因式；c. 最后将化简后的分式写成最简形式。
三、例题讲解（15分钟）1. 出示例题：化简分式 (3x + 5) / (2x - 3)；2. 引导学生按照分式化简的方法和技巧进行计算；3. 讲解例题的解题思路和步骤。
四、课堂练习（10分钟）1. 出示练习题：化简分式 (2x^2 - 5x + 3) / (x^2 - 2x + 1) 和 (4a^3 - 9a^2 + 6a - 1) / (a^3 - 2a^2 + a)；2. 让学生独立完成练习题，教师巡回指导；3. 讲解练习题的解题思路和步骤。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课所学的内容，让学生明确分式化简的方法和技巧；2. 提问：分式化简在实际问题中的应用有哪些？引导学生思考和探索；3. 出示拓展题：某工厂生产两种产品A和B，生产一个产品A需要2小时，生产一个产品B需要3小时。
现在有8小时的生产时间，要求生产尽可能多的产品B，问最多能生产多少个产品B？教学评价：1. 课堂讲解是否清晰易懂，学生是否能理解和掌握分式的概念和基本性质；2. 学生是否能运用分式化简的方法和技巧解决实际问题；3. 学生对分式化简的练习题的完成情况，以及是否能正确解题。
化简分式的基本原理及应用初中数学教案一、教学目标1、理解化简分式的基本方法及应用。
2、掌握常见分式化简法。
3、培养学生对分式概念的理解和初步的计算能力。
二、教学重点难点1、理解约分概念。
2、掌握分式的加减法。
3、解题的思维能力。
三、教学内容和教学方法1、讨论法教学法。
通过讨论分式化简的基本原理和方法，提醒学生要重视分式的约分和通分，这对于化简分式的计算非常重要。
2、演练法教学法。
通过让学生掌握分式的加减法和常见化简法的应用，以便完成更复杂的运算。
四、教学流程1、引入假设一个班有50个学生，其中20个是男生，问这个班的男女生比例是多少？请同学们思考一下怎么算这个比例。
引导学生用分式来表示这个比例，例如：男生比例是20/50，女生比例是30/50。
引出本次课程的主题：化简分式。
2、讲解化简分式的基本原理和应用分式的化简是指将一个分式转化成一个最简单的形式。
这是化简分式的基本原理。
要化简分式，需要掌握以下概念：(1) 约分：将分子和分母同时除以一个相同的非零因数，使得分式可以写成最简分数形式。
例如：28/60可以约分为7/15；(2) 通分：化简多个分式时需将它们通分，即使它们的分母相同。
例如：1/2+3/2可以通分为4/2；(3) 分式的加减法：同分母的分式可以直接相加，不同分母的分式必须通分后再加减。
3、讲解常见分式化简法分式的化简方法有以下基本法则：(1) 合并同类项：如果两个分式的分母相同，则可以将它们的分子相加合并为一个分式。
例如：1/5+2/5可以化简为3/5；(2) 去除因式：将分式的分子、分母相同的因数约去。
例如：(3a+6)/(6a)可以化简为1/2；(3) 分子分母交换：将分式的分子和分母交换后，结果不变。
例如：3/4可以化简为4/3；(4) 分离因式：将分式的分子和分母分别进行因式分解，然后将公因式约去。
例如：(2a+6)/(6a)可以化简为1/3；(5) 转化为乘除形式：将分式的加减变成乘除，则化简分式更容易。
比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） 知识点睛中考要求第七讲 分式化简的技巧⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b+++=+++（...0b d n +++≠）基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn n n a a a a a a a a b b b b b b b b⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数)整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.重难点：灵活对分式进行适当变形一、基本运算【例1】 计算：⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a ba b a-⋅-÷-重、难点例题精讲⑶32231(4)()2mn m n ---÷-⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【巩固】 （2008杭州）化简22x y y x y x---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x - C ．x y - D ．x y +【巩固】 （2008黄冈）计算a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．a bb- B ．a bb+ C ．a ba- D ．a ba+【例2】 计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵22222621616x x x x x +-++--【巩固】 (第9届希望杯试题)化简：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+【巩固】 化简：22222222112()22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦【例3】 化简：222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-【例4】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【巩固】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值【巩固】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =-【例5】 计算：2482112482111111n nx x x x x x ++++++-+++++ (n 为自然数)【巩固】 已知24816124816()11111f x x x x x x =+++++++++，求(2)f .二、整体代入运算【例6】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示mn．【巩固】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy-+÷-+-的值【巩固】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值.【例7】 已知分式1x yxy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342()x ax bx cx x dx+++，当1=x 时，值为 1，求该代数式当1-=x 时的值．【例8】 已知210x y xy +=，求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【巩固】 已知：12xy =-，4x y +=-，求1111x y y x +++++的值.【巩固】 已知3a ba b-=+，求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值.【例9】 已知111m n -=，求575232m mn nn mn m+---的值.【巩固】 已知：111x y x y +=+，求y xx y +的值.【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛)设1114x y -=，求2322y xy x y x xy +---【巩固】 如果235x y y x +=-，求2222410623x xy y x y +++的值.三、消元计算【例10】 已知3a b =，23a c =，求代数式a b ca b c+++-的值.【巩固】 (第9届华罗庚金杯总决赛1试)已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xy a x ab y b xy++++的值．【巩固】 (清华附中暑假作业)已知：2232a b ab -=，求2a ba b +-的值.【例11】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值.【巩固】 已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z【巩固】 (全国数学竞赛)若4360x y z --=，270x y z +-=(0xyz ≠)，求222222522310x y z x y z +---的值.四、设比例参数【例12】 (五羊杯试题)已知232332234a b c b c a c a b +--+++==，则2332a b ca b c-++-=____________.【巩固】 (重庆市数学竞赛试题)已知345x y y z z x ==+++，则222x y z xy yz zx++++=__________.【补充】（“五羊杯”试题）设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，则733x y z u +++=___________．【例13】 (天津市竞赛题)若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()x y y z z x xyz+++的值.【巩固】 若a b c d b c d a ===，求a b c da b c d-+-+-+的值.【巩固】 已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值．【例14】 已知x y zb c a c a b a b c==+-+-+-，求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值.【巩固】 （第11届“希望杯”试题）已知9p q r ++=，且222p q rx yz y zx z xy==---，则 px qy rzx y z++++的值等于（ ）A. 9B.10C. 8D. 7【巩固】 已知2220(0)x yz y zx z xyxyz a b c---==≠≠，求证：222a bc b ca c ab x y z ---==.五、分式与裂项【例15】 设n 为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【巩固】 化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【例16】 化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【巩固】 化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+【例17】 (河北省数学竞赛题)已知：1xy x y =+，2yz y z =+，3zxz x=+，求x y z ++的值.【巩固】 (华罗庚金杯培训试题)解方程组：21232(1)(2)43xy xx y xz xx z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩【例18】 化简：()()()()()()a b b c c ac a c b b a a c b c b a ---++------【巩固】 化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.【巩固】 化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.六、倒数法【例19】 已知：1x x -=，求221x x+的值.【巩固】设1x x -=1x x+的值.【巩固】 若11a a -=，求1a a+的值.【例20】 (05山东潍坊中考)若12x x +=，求2421x x x ++的值.【巩固】 本类题有一种典型错题，如：已知11x x +=，求1242++x x x 的值.【巩固】(湖北黄冈市初级数学竞赛)设21x a x x =++，其中0a ≠，则2421x x x =++【补充】设211xx mx =-+，求36331x x m x -+的值.【例21】 已知：2710x x -+=，求⑴1x x +；⑵221x x +；⑶441x x+的值.【巩固】 已知：2510a a -+=，求4221a a a++的值.【巩固】 已知：2310x x -+=，求221x x+的值.【例22】 (上海市高中理科实验班招生试题)已知：210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值.【巩固】 (第17届江苏省竞赛题)已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m .【巩固】已知a 是2310x x -+=的根，求5432225281a a a a a -+-+的值.【巩固】 (广西竞赛题)已知：210x x --=，求4521x x x ++【习题1】 计算： ⑴232435126111a a a a a a a-+--+-++- ⑵222434332a a a a a a --⋅-+++ ⑶22233(3)(4)m n mn ---⋅-【习题2】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a = 家庭作业【习题3】 已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=-【习题4】 设113x y -=，求3237y xy x x xy y +-+-的值.【习题5】 （“希望杯”试题）已知234x y z ==，则222x y z xy yz zx ++=++___________．【习题6】 (第11届希望杯试题)已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求abc ab bc ca ++.【习题7】 已知：2213a a +=，求1a a-的值.【备选1】 计算：22b a a ab b ab+--．【备选2】 (第15届希望杯试题)化简：代数式32411241111x x x x x x +++-+++.月测备选【备选3】 已知1,12x y xy +==，求代数式222()3x y x y xy +++的值.【备选4】 (第8届华罗庚金杯复赛) 已知123a b c a c ==++，求c a b+的值．【备选5】 若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值．【备选6】 化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+.【备选7】 已知x 为实数，且12x x +=，则441x x+=__________．。
分式的化简教案教学目标- 理解分式的概念和性质- 学会将分式化简为最简形式- 掌握分式的加减乘除运算规则教学准备- 黑板、粉笔- 教学课件或投影仪教学步骤1. 引入分式的概念和性质（5分钟）- 通过实例引导学生理解分式的定义和分子、分母的含义- 强调分式的化简是将分子和分母的公因子化简为最简形式2. 分式的化简方法（10分钟）- 示范将有公因子的分式化简为最简形式- 使用算式和具体的例子解释每一步的操作- 鼓励学生积极参与，自己尝试化简分式3. 分式的加减运算规则（15分钟）- 分享分式加减运算的规则和步骤- 解释为何需要找到最小公倍数来处理不同分母的分式相加减- 通过例题演示加减运算的步骤和化简过程4. 分式的乘除运算规则（20分钟）- 介绍分式乘除运算的规则和步骤- 通过具体的例子解释乘除运算的操作步骤- 强调乘除运算后需要化简分式为最简形式5. 小结和练（10分钟）- 回顾本课所学内容，强调重点和难点- 设计简单的练题，让学生运用所学知识进行实践- 对学生的研究情况进行简单总结和评价教学要点1. 分式的定义和性质2. 化简分式的步骤和方法3. 分式的加减乘除运算规则4. 将分式化简为最简形式的要求教学评价- 通过学生提问、互动和练情况，评估学生对分式的理解情况- 可以设计小组讨论活动或考试题目来检验学生的实际掌握程度教学延伸- 引导学生进行更多的分式化简练，提高熟练度- 探讨分式与实际生活问题的关系，提升学生的应用能力参考资料- 无以上是一份关于分式的化简教案，主要介绍了分式的定义、化简方法以及加减乘除运算规则。
通过逐步讲解和示范，学生将能够掌握分式化简的基本技巧，并能够运用所学知识解决实际问题。
为了巩固学生的理解和应用能力，建议在教学过程中加入练习和讨论环节。
让你掌握化简等式的技巧的教案设计让你掌握化简等式的技巧
一、教学目标
1.了解等式化简的概念和步骤。
2.掌握等式化简的一些技巧。
3.能够完成等式化简练习。
二、教学重点
1.等式化简的概念和步骤。
2.等式化简的一些技巧。
三、教学难点
1.掌握等式化简的一些技巧。
2.能够灵活运用等式化简技巧。
四、教学方法
1.介绍法：介绍等式化简的概念和步骤。
2.演示法：演示等式化简的一些技巧。
3.练习法：教师布置练习题，学生自主完成。
五、教学过程
1.引入：教师出示一道等式化简题目，让学生思考该如何解
题。
2.介绍等式化简的概念和步骤。
教师介绍等式化简的概念和步骤，引导学生了解等式化简的含义以及化简时应该注意的步骤。
3.演示等式化简的一些技巧。
教师演示等式化简的一些技巧，并举例说明。
如分离变量、用分式通分、用公因数提出等。
4.练习等式化简。
教师布置等式化简的练习题，让学生自主完成并对答案进行讨论。
六、课堂小结
1.学生反馈本节课程内容。
2.课堂小结：回顾本节课所学的等式化简的概念、步骤和技
巧，以及练习等式化简的结果。
七、作业布置
教师布置等式化简的作业，以巩固学生对等式化简的掌握。
八、教学反思
本节课程旨在让学生掌握等式化简的技巧和方法，通过介绍和演示等式化简的步骤和技巧，并进行练习。
课程设计充分考虑学生的实际情况，采用多种教学方法，使得学生能够更好地理解和掌握等式化简的技巧，达到教学目标。
比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） 知识点睛中考要求第七讲 分式化简的技巧⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b+++=+++（...0b d n +++≠）基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn n n a a a a a a a a b b b b b b b b⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数)整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.重难点：灵活对分式进行适当变形一、基本运算【例1】 计算：⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a ba b a-⋅-÷-重、难点例题精讲⑶32231(4)()2mn m n ---÷-⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【巩固】 （2008杭州）化简22x y y x y x---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x - C ．x y - D ．x y +【巩固】 （2008黄冈）计算a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．a bb- B ．a bb+ C ．a ba- D ．a ba+【例2】 计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵22222621616x x x x x +-++--【巩固】 (第9届希望杯试题)化简：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+【巩固】 化简：22222222112()22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦【例3】 化简：222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-【例4】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【巩固】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值【巩固】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =-【例5】 计算：2482112482111111n nx x x x x x ++++++-+++++ (n 为自然数)【巩固】 已知24816124816()11111f x x x x x x =+++++++++，求(2)f .二、整体代入运算【例6】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示mn．【巩固】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy-+÷-+-的值【巩固】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值.【例7】 已知分式1x yxy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342()x ax bx cx x dx+++，当1=x 时，值为 1，求该代数式当1-=x 时的值．【例8】 已知210x y xy +=，求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【巩固】 已知：12xy =-，4x y +=-，求1111x y y x +++++的值.【巩固】 已知3a ba b-=+，求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值.【例9】 已知111m n -=，求575232m mn nn mn m+---的值.【巩固】 已知：111x y x y +=+，求y xx y +的值.【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛)设1114x y -=，求2322y xy x y x xy +---【巩固】 如果235x y y x +=-，求2222410623x xy y x y +++的值.三、消元计算【例10】 已知3a b =，23a c =，求代数式a b ca b c+++-的值.【巩固】 (第9届华罗庚金杯总决赛1试)已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xy a x ab y b xy++++的值．【巩固】 (清华附中暑假作业)已知：2232a b ab -=，求2a ba b +-的值.【例11】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值.【巩固】 已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z【巩固】 (全国数学竞赛)若4360x y z --=，270x y z +-=(0xyz ≠)，求222222522310x y z x y z +---的值.四、设比例参数【例12】 (五羊杯试题)已知232332234a b c b c a c a b +--+++==，则2332a b ca b c-++-=____________.【巩固】 (重庆市数学竞赛试题)已知345x y y z z x ==+++，则222x y z xy yz zx++++=__________.【补充】（“五羊杯”试题）设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，则733x y z u +++=___________．【例13】 (天津市竞赛题)若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()x y y z z x xyz+++的值.【巩固】 若a b c d b c d a ===，求a b c da b c d-+-+-+的值.【巩固】 已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值．【例14】 已知x y zb c a c a b a b c==+-+-+-，求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值.【巩固】 （第11届“希望杯”试题）已知9p q r ++=，且222p q rx yz y zx z xy==---，则 px qy rzx y z++++的值等于（ ）A. 9B.10C. 8D. 7【巩固】 已知2220(0)x yz y zx z xyxyz a b c---==≠≠，求证：222a bc b ca c ab x y z ---==.五、分式与裂项【例15】 设n 为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【巩固】 化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【例16】 化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【巩固】 化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+【例17】 (河北省数学竞赛题)已知：1xy x y =+，2yz y z =+，3zxz x=+，求x y z ++的值.【巩固】 (华罗庚金杯培训试题)解方程组：21232(1)(2)43xy xx y xz xx z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩【例18】 化简：()()()()()()a b b c c ac a c b b a a c b c b a ---++------【巩固】 化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.【巩固】 化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.六、倒数法【例19】 已知：1x x -=，求221x x+的值.【巩固】设1x x -=1x x+的值.【巩固】 若11a a -=，求1a a+的值.【例20】 (05山东潍坊中考)若12x x +=，求2421x x x ++的值.【巩固】 本类题有一种典型错题，如：已知11x x +=，求1242++x x x 的值.【巩固】(湖北黄冈市初级数学竞赛)设21x a x x =++，其中0a ≠，则2421x x x =++【补充】设211xx mx =-+，求36331x x m x -+的值.【例21】 已知：2710x x -+=，求⑴1x x +；⑵221x x +；⑶441x x+的值.【巩固】 已知：2510a a -+=，求4221a a a++的值.【巩固】 已知：2310x x -+=，求221x x+的值.【例22】 (上海市高中理科实验班招生试题)已知：210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值.【巩固】 (第17届江苏省竞赛题)已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m .【巩固】已知a 是2310x x -+=的根，求5432225281a a a a a -+-+的值.【巩固】 (广西竞赛题)已知：210x x --=，求4521x x x ++【习题1】 计算： ⑴232435126111a a a a a a a-+--+-++- ⑵222434332a a a a a a --⋅-+++ ⑶22233(3)(4)m n mn ---⋅-【习题2】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a = 家庭作业【习题3】 已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=-【习题4】 设113x y -=，求3237y xy x x xy y +-+-的值.【习题5】 （“希望杯”试题）已知234x y z ==，则222x y z xy yz zx ++=++___________．【习题6】 (第11届希望杯试题)已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求abc ab bc ca ++.【习题7】 已知：2213a a +=，求1a a-的值.【备选1】 计算：22b a a ab b ab+--．【备选2】 (第15届希望杯试题)化简：代数式32411241111x x x x x x +++-+++.月测备选【备选3】 已知1,12x y xy +==，求代数式222()3x y x y xy +++的值.【备选4】 (第8届华罗庚金杯复赛) 已知123a b c a c ==++，求c a b+的值．【备选5】 若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值．【备选6】 化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+.【备选7】 已知x 为实数，且12x x +=，则441x x+=__________．。
