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5[1].4分部积分法

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分部积分法优先级顺序

分部积分法优先级顺序

分部积分法优先级顺序
分部积分法的优先级顺序如下：
1. 选择要分解的函数：一般来说，分部积分法优先选择能够导出简化的函数，例如指数函数、三角函数、对数函数等。

2. 判断递归程度：如果选择的函数为递归函数（即包含自身），则优先考虑递归出现次数较少的函数。

3. 选择分解的函数：根据函数的重要程度和递归程度，优先选择分解较为简单的函数作为"u"函数。

4. 确定"u"和"dv"：将分解的函数标记为"u"，并对其求导得到"du"，将剩余部分标记为"dv"。

5. 根据分部积分公式进行计算：将"u"和"dv"带入分部积分公式，计算得到积分式。

6. 化简积分式：根据所得到的积分式的简化程度，判断是否需要继续进行分部积分操作。

7. 重复以上步骤：如果需要继续进行分部积分操作，重复以上步骤，将累积得到的积分式中的一个因式分解。

需要注意的是，分部积分法的优先级顺序可能因具体问题而有所不同，在实际使用中，需要根据具体情况进行灵活选择。

第3节 分部积分法

第3节 分部积分法

1 所以 sec xdx (sec xtanx ln sec x tanx ) C . 2
3
34
高等数学
●
戴本忠
17
1 例10 求 I n 2 2 n dx , 其中 n 为正整数 . (x a ) 解 当 n 1 时, 根据分部积分法 1 ( x 2 a 2 ) n 1 dx
高等数学
●
戴本忠
例9 解
求 sec 3 xdx .
3 sec xdx sec xdtan x
(tan x)sec2x (sec x)secxtanx
sec xtanx sec xtan 2 xdx sec xtanx sec x (sec 2 x 1)dx sec xtanx sec 3 xdx sec xdx sec xtanx ln sec x tanx sec 3 xdx .
●
戴本忠
10
例2
解
求 xe x dx .
令 u x, dv e dx,
x
那么 du dx, v e x .
x x x x x x x e d x x e e d x x e e C e ( x 1) C .
例3 解
求 x 2e x d x .
1 x 2 arctan x 1 x 2 d(arctan x )
1 x arctan x
2
34
1 1 x 2 dx 1 x
2
高等数学
●
戴本忠
21
1 x arctan x
2
1 dx 2 1 x 令 x tan t

分部积分法顺序口诀

分部积分法顺序口诀

分部积分法顺序口诀对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。

一、口诀“反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。

将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。

（分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。

）反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领当出现两种函数相乘时指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算而反三角函数不需要动再具体点就是：反*对->反(对)反*幂->反(幂)对*幂->对(幂)二、相关知识（一）不定积分的公式1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-13、∫1/x dx = ln|x| + C4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠15、∫e^x dx = e^x + C6、∫cosx dx = sinx + C7、∫sinx dx = - cosx + C8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C（二）求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

高等数学分部积分法

高等数学分部积分法
x
17
例14 已知 f (x) 的一个原函数是 e x 2 , 求 xf (x)dx. 解 xf (x)dxxd[f(x)]x(fx)f(x)dx
f(x)dxex2C,
两边同时对x求导，得 f(x)2xex2,
xf(x)dx xf(x)f(x)dx
Inn 1sin n 1xco x snn 1In2
注意循环形式
I3

sin3 xdx
1sin 2xcoxs2
3
3
sin xdx
1si2n xcox s2cox sC.
3
3
20
例16 求
xe x dx.
ex 1
解 被积函数是两类函数的乘积，所以用分部积分法
xcoxsdx
设函数 uu(x)及 v v(x)具有连续导数. 则 (uv) uvuv,移项 uv(u)vuv
则 uvdxuvuvdx.
即 udvuv vdu 即为分部积分公式
利用分部积分公式求积分的方法叫分部积分法.
作用：化难为易
2
udvuvvdu
21
例16 求
xe x dx.
Байду номын сангаас
ex 1
另解 令 ex 1 u, 则du u22u1du,
(u21)lnu2 (1) 2u
原式=
u
u21du
2lnu(21)du2ulnu(21)4
u2 u21du
2uln u2(1)4u4arcu tC an
2x ex 14ex14arce txa 1n C .
总结 若被积函数是幂函数和对数函数(或反三角函
数)的乘积，就考虑设对数函数(或反三角函数)

(完整版)定积分的分部积分法

(完整版)定积分的分部积分法

n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明

高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法

高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法

例1 求 න
解
‫) ( ׬ = ׬‬′ = − ‫)(׬‬′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2

න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+ ‫׬‬

2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴ ‫ ׬‬

= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
‫( ׬‬2 + 1) = (2 + 1)-‫( ׬‬2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
‫ ׬‬2 = ‫ ׬‬2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − ‫) ׬‬
= − + .
例3 求‫ ׬‬
解 令 = , = =
2
,
2

分部积分法顺序口诀

不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。

根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。

分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。

5本词条无参考资料, 欢迎各位编辑词条，额外获取5个金币。

基本信息中文名称分布积分法外文名称Integration by parts目录1定义2应用折叠编辑本段定义不便于进行换元的组合分成两部份进行积分部积分法分部积分法分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。

根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。

分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。

折叠编辑本段应用在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。

原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv移项后，成为：udv = d(uv) -vdu两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。

在定积分上的应用与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a=[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a=[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。

课件：4 分部积分法(1)

xsin(ln x) x cos(ln x) sin(ln x)dx 故 sin(ln x) dx 1 x[sin(ln x) cos(ln x)] C
2
例9. 求 I sin ( ln x) dx
解(二) 令
则 x et, d x etdt
I et sin t d t
例5. 求
解: 令 u arccos x , v 1 , 则
反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数
u
1 1
x2
,
vx
指: 指数函数 三: 三角函数
原式 = x a rccos x
x dx
1 x 2
x arccos
x
1 2
(1
x
2
1
)2
d(1
x
2
)
x arccos x 1 x2 C
例6. 求
解:
令
u
ln cos x ,
v
1 cos2
x
,则
u tan x , v tan x
原式 ln cos x d tan x
tan x ln cos x tan2 x dx
tan x ln cos x (sec2 x 1) dx
tan x ln cos x tan x x C
I 1 et (sin t cos t) C (由例7可知) 2
1 x[sin(ln x) cos(ln x)] C 2
例10
计算
(ln
ln
x
1 ln x
)dx.
解
原式
ln
ln
xdx
1 ln x
dx
x
ln
ln
x

44分部积分法精品文档5页

4.3 分部积分法前面介绍的基本积分法和换元积分法的共同特点是经过适当的变形或变换，将不易计算的不定积分转化为易于计算的另一种不定积分，达到化难为易，化未知为已知的目的．现在我们介绍另一种求不定积分的方法——分部积分法，用于求两种不同类型函数乘积的不定积分，这是与两个函数乘积的导数法则对应的积分方法．设函数)(x u u =，)(x v v =具有连续导数，因为两个函数乘积的导数公式为 v u v u uv '+'=')( 或 v u uv v u '-'=')( 于是，对上式两边求不定积分，得⎰⎰⎰'-'='vdx u dx uv dx v u )(即 ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u （4.3.1） 或 ⎰⎰-=vdu uv udv (4.3.2)上述公式叫做分部积分公式．例如：C e xe dx e xe de x dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰【注】：（1）分部积分法主要用于解决被积函数是两类不同类型函数的乘积的不定积分。

如dx xe x ⎰，dx x x ⎰sin ，dx x x ⎰ln ，dx x e x ⎰sin 等等。

（2）关键是选择合适的u 和dv ，选取原则：（a ）v 要容易求出。

（b ）du v ⎰比dv u ⎰容易求出。

例如：xx x x de x e x x d e dx xe ⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=222212121不合适。

（3）步骤：运用分部积分公式求不定积分⎰dx x f )(的主要步骤是把被积函数)(x f分解为两部分因式相乘的形式，其中一部分因式看作ｕ，另一部分因式看作v '，而后套用公式，这样就把求不定积分⎰'dx v u 的问题转化为求不定积分⎰'vdx u 的问题．()dx x f ⎰()()dx x v x u ⎰'= 确定()x u 和()x v ' ()()x dv x u ⎰= 凑微分()()()()x du x v x v x u ⎰-= 使用分部积分公式 ()()()()dx x u x v x v x u ⎰'-= 求微分()()()C x F x v x u +-= 求积分【例1】求下列不定积分（1）dx x x ⎰cos （2）dx xe x ⎰2 （3）()dx x x ⎰+sin 12 解：（1）C x x x dx x x x x d x dx x x ++=-==⎰⎰⎰cos sin sin sin sin cos（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-===⎰⎰⎰⎰dx e xe de x x d xe dx xe xx x x x 222222121221 ()C e xe x d e xe x x x x +-=-=⎰2222412124121 （3）()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=+-=+⎰⎰⎰1cos cos 1cos 1sin 12222x d x x x x d x dx x x()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=++-=++-=⎰⎰⎰dx x x x x x d x x dx x x x x sin sin 21sin 21cos 2cos 1222()C x x x x +-++-=cos 2sin 212【注】：【练习】（1）dx x x ⎰3cos （2）dx e x x ⎰2 解：（1）C x x x dx x x x x dx x dx x x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰3sin 93cos 33cos 3cos 333cos 33cos （2）x x x x x x x x de x e x dx xe e x dx e e x de x dx e x ⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-==22222222C e xe e x dx e xe e x xx x x x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰2222【例2】求下列不定积分（1）dx x x ⎰ln （2）dx x x ⎰arctan （3）dx x ⎰arcsin 解：（1）dx x x x x d x x x dx x dx x x ⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21ln 21ln ln 21ln 21ln 2222 C x x x +-=2241ln 21 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰x d x x x dx x dx x x arctan arctan 21arctan 21arctan 222 ⎰+-=dx x x x x 222121arctan 21dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=2211121arctan 21 C x x x x ++-=arctan 2121arctan 212 （3）⎰⎰⎰--=-=dx xx x x x d x x x dx x 21arcsin arcsin arcsin arcsin()C x x x x d xx x +-+=--+=⎰2221arcsin 11121arcsin【注】：【练习】（）()()()()dx xx x x x d x x x dx x ⎰⎰⎰+-+=+-+=+222222121ln 1ln 1ln 1ln ()()⎰+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=C x x x x dx x x x arctan 221ln 11121ln 222 【例3】求下列不定积分（1）⎰⎰=x x de dx e sin sin )(sin sin x d e x e x x ⎰-=⎰-=xdx e x e x x cos sin⎰-=x x xde x e cos sin )cos cos (sin ⎰--=x d e x e x e x x x ⎰--=xdx e x x e x x sin )cos (sin (注意循环形式)所以有 sin (sin cos ).2xxe e dx x x C =-+⎰注：注：有时需要先换元再用分部积分法求不定积分。

高数——分部积分法

通常，分部积分法的变元替换过程可以省略。
3
定理5.2 (分部积分法) 设u u(x), v v(x)有连续的到函数,则有如下的分部积分公式
u(x)v '(x)dx u(x)v(x) v(x)u '(x)dx 或 udv uv vdu
例 1 求下列不定积分
(1) xexdx (3) ln xdx (5) xsin xdx
ex sin x ex cos xdx ex sin x cos xdex ex sin x ex cos x exd cos x ex sin x ex cos x ex sin xdx 这是一个关于的 ex sin xdx方程，解之可得
2 ex sin xdx ex sin x ex cos x C1
x arcsin xdx
1 2
arcsin xdx2
1 2
x2
arcsin
x
1 2
x2
d
arcsin x
1 x2 arcsin x 1 1 x2 1 dx
2
2 1 x2
12
1 x2 arcsin x 1 1 x2 dx 1 dx
2
2
2 1 x2
1 2
x2
arcsin
x
1 2
1 2
1 t4 arctan t 1
2
2
t
4 1 1 t2
1dt
1 t4 arctan t 1 t2 1 1 dt
2
2
1 t2
1 t4 arctan t 1 t3 1 t 1 arctan t C
2
6 22
1 x2 arctan
x
1
3
x2
x 1 arctan
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熟练以后, 熟练以后,可将以上求 解过程表述为
xe x dx = ∫ xde x = xe x ∫ e x dx = xe x e x + C ∫
若被积函数是幂函数和指数函数的乘积, 若被积函数是幂函数和指数函数的乘积 就考虑设幂函数为 v
x 2e x dx . 例3 求积分 ∫
解
u= x ,
( a ≠ 1) .
此时, 经移项并在等式右端加任意常数 C 后, 便可得出 所求的不定积分
∫
1 f ( x) d x = ( x) + C . 1 a
复原法(回归法 循环法 复原法 回归法,循环法 回归法 循环法)!
例7 ' 求 ∫ 解 =∫
x
e (1 + sin x) dx. 1 + cos x
∫
cos xdx = d sin x = dv ∫ x cos xdx = ∫ xd sin x = x sin x ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C . 1 2 如果令 u = cos x , xdx = dx = dv 2 2 2 x x ∫ x cos xdx = 2 cos x + ∫ 2 sin xdx 显然, u 选择不当,积分更难进行. 显然, , v ′ 选择不当,积分更难进行
例7 求积分 解
sec 3 xdx . ∫
sec3 xdx = ∫ sec xd tan x ∫
= sec x tan x ∫ sec x tan 2 xdx = sec x tan x ∫ sec x(sec 2 x 1)dx = sec x tan x ∫ sec3 xdx + ∫ sec xdx
×
sin x
cos x
例9 解
计算
∫
sin n x d x .
( n 1) sin n 2 x cos x
记 I n = ∫ sin n x d x, 则
n n 1
I n = ∫ sin x d x = ∫ sin
x sin x d x
cos 2 x = 1 sin 2 x
= sin n 1 x cos x + (n 1) ∫ sin n 2 x cos 2 x d x = sin n 1 x cos x + (n 1) ∫ sin n 2 x d x (n 1) ∫ sin n x d x
2
2
∫
若被积函数是幂函数和反三角函数的乘 就考虑设反三角函数为u. 积,就考虑设反三角函数为
e x sin xdx . 例6 求积分 ∫
解
e x sin xdx = ∫ sin xde x= e x sin x ∫ e x d (sin x ) ∫
= e x sin x ∫ e x cos xdx = e x sin x ∫ cos xde x = e x sin x (e x cos x ∫ e x d cos x ) = e x (sin x cos x ) ∫ e x sin xdx x e x ∴ ∫ e sin xdx = (sin x cos x ) + C . 2
积分过程常要兼用换元法与分部积分法. 积分过程常要兼用换元法与分部积分法.
e x dx . 例11 求积分∫
解
令t =
x x
x ,则x = t 2 , dx = 2tdt 则
t t t
∫e
dx = 2∫ te dt = 2 ∫ tde = 2e ( t 1) + C ( x 1) + C .
= 2e
一般地,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 ,若被积函数是幂函数和正 余 弦函数 的乘积, 的乘积 就考虑设幂函数为 u
例2 求积分 解
xe x dx . ∫
v = e x , e x dx = de x = dv , 设u = x ,
xe x dx ∫
= xe x ∫ e x dx = xe x e x + C
2
v=e
2
x
e x dx = de x = dv ,
∫x e
2
x
dx
= x 2 e x ∫ e x dx 2
= x e 2 ∫ xe dx
x x
= x 2 e x 2 ∫ xde x
= x 2 e x 2( xe x ∫ e x dx )
= x 2e x 2( xe x e x ) + C .
arctan e 例12 求 I = ∫ dx x e
1 [解] 令 e = t x = ln t , 则 dx = dt 解 t arctan t 1 1 I =∫ dt = ∫ arctan td ( ) t t t
x
x
1 = arctan t + t
1 ∫ t d (arctan t )
= sec x tan x ∫ sec3 xdx + ln sec x + tan x
1 ∫ sec xdx = 2 (sec x tan x + ln sec x + tan x ) + C
3
上例显示在运用分部积分法时可能会出现下列关系式: , ,
∫
f ( x) d x = ( x) + a ∫ f ( x) d x
1 x 2x = x arctane + x ln 1 + e + C e
例 13 已 知 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 是 e
x
e sin x e dx + ∫ dx 1+ cos x 1+ cos x
x
sin x ex =∫ dex + ∫ dx 1+ cos x 1+ cos x
ex sin x ex ex = ∫ dx + ∫ dx 1+ cos x 1+ cos x 1+ cos x
消去(超越函数 法 消去 超越函数)法! 超越函数
5.4
分部积分法
具有连续导数, 设函数 u = u( x ) 和 v = v ( x ) 具有连续导数
(uv ) = u′v + uv′,
′
′ 移项 uv ′ = (uv ) u′v ,
对此不等式两边求不定积分
∫ uv′dx = uv ∫ u′vdx, 即 ∫ udv = uv ∫ vdu.
由此可见, 选取不当, 由此可见,如果 u 和 dv 选取不当,就求不出结 所以应用分部积分法时 一般要考虑下面两点: 选取 u 和 dv 一般要考虑下面两点:
果,
是一个关键. ,恰当选取 u 和 dv 是一个关键.
要容易求得; (1)v要容易求得; (2) vdu要比 ∫ udv容易积出. 容易积出. ∫
分部积分公式
分部积分公式将一个函数的积分计算转化为另一个 函数的积分计算 . 一般说来, 被积函数为下列形式时, 可考虑 运用分部积分法进行计算: 幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 幂函数与指数函数之积 , 指数函数与对数函数之积 , 一个函数难于用其它方法积分 , 两个函数的乘积 .
例5 求积分 x arctan xdx .
x 1 1 1 )dx = arctan x ( x arctan x ) + C . ∫ (1 2 2 2 1+ x
2
x2 解 令 u = arctan x , xdx = d = dv 22 2 x x ∫ x arctan xdx = 2 arctan x ∫ 2 d (arctan x ) x2 x2 1 x dx = arctan x = arctan x ∫ 2 2 2 2 1+ x
x I n 1 = 2 + 2( n 1)( I n 1 a 2 I n ) (a + x 2 ) n 1 1 x In = 2 [ 2 + ( 2n 3) I n 1 ] 2 n 1 2a ( n 1) (a + x )
以此作递推公式, 以此作递推公式,并由 1 x I 1 = arctan + C , 即得 I n . a a
关键:恰当选取u和确定v.
如何选取u:(LIATE法) L-----对数函数 I-----反三角函数(不是三角函数) A-----代数函数 T-----三角函数 E-----指数函数
根据LIATE法,f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表 前面就选谁为u. 即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv.v=∫g(x)dx,或v'=g(x). 注:f ( x ) g( x )dx使用分部积分公式,若选f(x)=u,则v≠g(x) ∫ 而v'=g(x).
例4 求积分 解
∫ x ln xdx.
2
x = dv , u = ln x , xdx = d 2 1 2 ∫ x ln xdx = ∫ ln xdx 2
1 2 1 2 1 2 1 = x ln x ∫ xdx = x ln x x + C 2 2 2 4
若被积函数是幂函数和对数函数的乘 积,就考虑设对数函数为 u.
不能表示为初等函数的积分:
1 ∫ e dx , ∫ ln x dx , ∫ sin x sin x dx , ∫ dx , ∫ x
x2
x + 1dx
3
∫
cos x dx x dx
∫ sin x ∫
2
dx ,
2
∫ cos x
2
2
dx
1 k sin x dx ,
∫
1 k sin x
2 2
例1 求积分 x cos xdx . 解 令 u = x , v = sin x