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第 4 章 不定积分分部积分法 习题解1．求以下不定积分： ⑴xsin xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 sin x 作为先积分部份，得x sin xdxxd( cosx) ---- sin xdx cos x cxcosxcos xdx---- udv uvvduxcosx sin x c ----cosxdx sin x c⑵ arcsin xdx ； 【解】被积函数已经拥有udv 的构造，能够考虑直接套用分部积分公式，得arcsinxdx xarcsin xxd arcsin x----udv uvvdux arcsin x 1 dx---- 整理x1 x 2x arcsin x 11 d (1 x2 ) ---- d (1 x 2) 2xdx21 x 2x arcsin x 1 x 2 c⑶xln( x 1)dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln( x 1) ，则应将另一部份 x 作为先积分部份，得x ln( x 1)dxln( x 1)d 1 x 2----xdx 1 x 2 c221 x 2ln( x 1)1x 2d ln( x 1) ----udv uvvdu221 x2 ln( x 1) 1 x 2 1 dx---- 整理22 x 11 x2 ln( x 1) 1 ( x 1 1 )dx ---- 化假分式为多项式 +真分式 2 2 x 1 1x 2 ln( x 1) 1 ( 1 x 2 x ln x 1) c2 2 21 (x2 1)ln( x 1) 1x 2 1 x c 2 4 2⑷xe x dx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 e x作为先积分部份，得xe x dx xd ( e x ) ---- e x dx e x cxe x e x dx ---- udv uv vduxe x e x c ---- e x dx e x c( x 1)e x c⑸ e x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的 e x作为先积分部份，得e x cosxdx cosxd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx e x d cosx ---- udv uv vdue x cosx e x sin xdx ---- d cos x sin xdxe x cosx sin xd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx [ e x sin x e x d sin x] ---- udv uv vdue x (sin x cos x) e x cosxdx ---- d sin x cosxdx即有e x cosex(sin x cos x) excosxdx xdx移项、整理得 2 e x cosxdx e x (sin x cosx) C1整理得积分结果 e x cosxdx 1 e x (sin x cosx) c2【解法二】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得e x cosxdx e x d sin x ---- cosxdx sin x ce x sin x sin xde x ---- udv uv vdue x sin x ( e x )sin xdx ---- de x e x dxe x sin x e x d ( cosx)----sin xdxcosx c e x sin x e x ( cosx) ( cosx)de x ----udv uv vdue x (sin x cos x) (cosx)( e x )dx---- dexe x dxe x (sin x cos x)e x cosxdx----整理xcos xx即有exdx e (sin x cos x)ecosxdx将右侧的积分项移到左侧，整理得2 e x cos xdx e x (sin x cos x) 最后得积分结果e x cosxdx1 e x (sin x cosx) c2⑹x 2arctanxdx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的arctanx ，则应将另一部份 x 2 作为先积分部份，得x 2arctan xdx arctan xd 1x 3----x 2 dx 1 x 3 c33 1x 3arctanx 1x 3 d arctanx----udv uvvdu3 31 x 3 arctanx 1 x 3 1 12 dx---- d arctan x1 12 dx33 xx1x 3 arctanx 1 ( x1 x2 ) dx ---- 化假分式为多项式 +真分式3 3 x1x 3 arctanx 1 ( 1 x 21 x dx)----分别积分3 3 2x 21x 3 arctanx 1 [ 1 x 2 1 1 2 d (1 x 2 )]---- d (1 x 2) 2 xdx3 3 2 2 1 x1x 3arctanx 1 [ 1 x 2 1ln(1 x 2)] c ---- 1du ln uc 3 3 2 2u1x 3arctanx 1 x 2 1ln(1 x 2 ) c----整理3 6 6⑺ x cos xdx ；2【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 cos x作为先积分部份，得2cos x dx 2 cos x dx2sinxx cos xdxxd 2sinx----c2222 22x 2 x----udv uvvdu2x sin sin dx2 2x 2( 2cos xc ----xdxx x2cosx 2x sin) sin 2 sin dc2 222 222x sinx4cosxc---- 整理22⑻ln xdx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得ln xdxx ln xxd ln x---- udv uvvdux ln xx 1----d ln x1dxdxxxx ln x dx---- 整理xln x x c----dx x cx(ln x 1) c⑼ xsin x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得x sin x cosxdxx sin xd sin x----cos xdx sin x cxd 1 sin 2 x---- 仍为两不一样种类函数的乘积-- xuduxd 1 u 2221xsin 2x 1sin 2 xdx----udv uvvdu221xsin 2 x1 1 cos2x dx---- sin 2x1 cos2x2 2 22 1xsin 2x 1( x cos2xdx)---- 分别积分241 xsin2 x 1 ( x 1 cos2xd2x)----d 2x 2dx2 4 21 xsin2 x 1 ( x 1 sin2 x) c ----cosudu sin u c2 4 21xsin 2x 1 x 1sin 2x c ----整理2 4 8【此题解答案与课本后答案能够互化：1x sin 2x 1 x1sin2x c 1 x 1 cos2x 1 x 1sin 2x c1 1 x cos2x 1 1 c11xx sin 2xx cos2xsin 2 x c 】444 848【解法二】为利于积分的进行，先将乘积中的sin x cos x 化简为1sin 2x ，并将其作为先积2分部份，得x sin x cosxdx1 x sin 2xdx---- sin x cos x1sin 2x221 xd ( 1cos2x)----sin 2xdx1cos2 x c2 221 [ 1xcos2x ( 1cos2 x) dx]----udv uvvdu2 221x cos2x 1 cos2xdx ---- 整理4 41x cos2x 1cos2 xd2x ----d2x 2dx4 81x cos2x 1sin 2x c----cosudu sin uc4 8⑽x tan 2xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，为便于积分，先将乘积中的tan 2 x 化为易于积分的 sec 2 x 1 ，得x tan 2 xdx x(sec 2 x 1)dx---- tan 2 x sec 2x 1( xsec 2 x x)dx---- 整理1 x2 xsec 2 xdx----分别积分21 x2 xd tan x----sec 2 xdx tan x c21 x2 x tan xtan xdx----udv uvvdu21 x2 x tan x sin x dx ---- tan xsin x 2cosxcos x1 x2 x tan x 1 d cos x ---- d cos xsin xdx2cosx1 x2 x tan x ln cosx c----1 du ln u c2uln 3 x ⑾ x 2 dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln 3 x ，则应将另一部份1作为先积分部份，得x23 xdxln 3 xd 1 12 dxln 2 ---- 1 c x x x xln 3 x 1d ln 3 x ---- udv uv vdux xln 3 x 1 3ln 2 x dx ---- d ln 3 x 3ln 2 x 1dxx x x xln 3 x 3 ln 2 x dx ---- 整理，并再次应用上边的方法x x2ln 3 x3ln 2 1----1 1cx xdx2 dxx xln 3 x 3ln 2 x 1 d3ln 2 x ---- udv uv vdu x x xln 3 x 3ln 2 x 1 6ln x 1dx ---- d 3ln 2 x 3 2ln x1dxx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x---- 整理，并再次应用上边的方法x x x 2 dxln 3 x 3ln 2 x 6ln xd 1 ---- 12 dx 1 cx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 1d 6ln x ---- udv uv vdu x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x6 1---- d 6ln x6x x x2 dx dx x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6 c ---- 12 dx 1 cx x x x x x1(ln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6) c ---- 整理x⑿(arcsin x)2 dx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得(arcsin x) 2 dx x(arcsin x)2 xd(arcsin x)2 ---- udv uv vdu x(arcsin x)2 x 2arcsin x dx---- d (arcsin x) 2 2arcsin x 1 dx1 x2 1 x2x(arcsin x)2 arcsin x 2x dx ---- 整理1 x2x(arcsin x)2 arcsin xd( 2 1 x2 )---- 2x dx 1x2 d (1 x2 ) 2 1 x2 c1 x2 1x(arcsin x)2 [ 2 1 x2 arcsin x ( 2 1 x2 )d arcsin x] ---- udv uv vdux(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 1 x2 1 dx1 x2---- d arcsin x1dx 1 x2x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 dx ---- 整理x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 x c⒀x2 e x dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 e x作为先积分部份，得x2 e x dx x2d ( e x ) ---- e x dx e x cx2e x ( e x )dx2 ---- udv uv vdux2e x e x 2xdx ---- 整理x2e x 2xd( e x ) ---- e x dx e x cx2e x 2xe x ( e x )d 2x ---- udv uv vdux2e x 2xe x 2 e x dx ---- 整理x 2e x 2xe x 2e x c ----e x dx e x ce x ( x 2 2x 2) c----整理3⒁ e x dx ；【解】 被积函数中含根式， 且根指数与根号内多项式的次数不等，可应用第二换元积分法中的直接变换法，去掉根号后，再用分部积分法求解。
§4.3 分部积分法前面我们介绍了直接积分法和换元积分法，但对于某些不定积分，用前面介绍的方法往往不能奏效，如：⎰xdx x cos 、⎰dx xe x 、⎰xdx ln 等．为此，本节将利用两个函数乘积的微分运算法则，推出一种新的求不定积分的方法——分部积分法．设函数()x u u =、()x v v =均可微，根据两个函数乘积的微分法则，有()udv vdu uv d +=。
移项得 ()vdu uv d udv -=，两边积分得 ()⎰⎰⎰-=vdu uv d dv u ⎰-=vdu uv ，即 udv uv vdu =-⎰⎰ 。
上式叫做不定积分的分部积分公式．例1 求积分⎰dx xe x ．解 选取x u =，)(x x e d dx e dv ==，则x e v =，于是⎰dx xe x =()C x e c e xe dx e xe e xd x x x x x x +-=+-=-=⎰⎰1)(。
如果选取xe u =，)2(2x d xdx dv ==，则221x v =，于是 22211222x xx x x xe dx e d x e x e dx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰。
上式右边的积分⎰dx e x x 221比左边的积分⎰dx xe x 更复杂。
可见，dv u 和的选择不当将直接影响到积分的计算．所以在用分部积分法求积分时，关键是在于恰当地选取dv u 和，选取dv u 和一般要考虑以下两点：（1）v 要容易求得．（2）⎰vdu 要比⎰udv 容易积出．例2 求积分⎰xdx x cos ．解 选取x u =，)(sin cos x d xdx dv ==，则x v sin =，于是cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰。
为了简化写法，应用分部积分公式时，dv u 和可默记在心里不必写出，可通过凑微分，将积分()f x dx ⎰变成udv ⎰的形式，然后使用公式。
4．3 分部积分法 一、学习要求1．理解不定积分的分部积分法． 2．掌握分部积分公式.3．熟悉在不定积分计算中一般使用分部积分法的被积函数类型． 二、疑难解析 （一）基本概念1．分部积分的概念所谓分部积分法，是指当不定积分不宜直接求出原函数时，先将其中一部分先“积”出来，将另一部分化为容易“积”出的情形.这种方法往往适用于两种不同类型（一般以基本初等函数的分类为标准）函数的乘积作为被积函数.适用于分部积分法的常见的类型有：（1）幂函数与三角函数之积，即axdx x P n sin )(⎰ 或axdx x P ncos )(⎰（其中n n n x a x a x a a x p ++++= 2210)(）（2）幂函数与指数三角函数之积，即dx e x P c bx n +⎰)(（3）幂函数与反三角函数之积，即axdx x P nln )(⎰或xdx x P n arcsin )(⎰ 或xdx x P n arctan )(⎰（4）指数函数与三角函数之积，即bxdx e c aax sin ⎰+ 或bxdx ecaax cos ⎰+2．分部积分公式设函数)(),(x v v x u u ==具有连续的导数，则由乘积的微分运算法则vdu udv uv d +=)(可得vdu uv d udv -=)(两边积分，得⎰⎰-=vdu uv udv 或 ⎰⎰'-='dx u v uv dx v u这个公式叫做分部积分公式，它的作用在于：把比较难求的⎰udv 化为比较容易求的⎰vdu 来计算，化难为易．如上面常见类型中的（1）、（2）通常是将axdx sin （或axdx cos ）凑成)(cos 1ax d a-（或)(sin 1ax d a ）（0≠a ）、dx e c bx +凑成)(1c bx ed b +（0≠b ）；而对（3）通常是将x 的幂函数凑入微分号内得dv .例1 已知)(x f 的一个原函数是x arcsin ，求⎰'dx x f x )(.分析 理解)(x f 与x arcsin 的关系，掌握分部积分公式⎰⎰'-='dx u v uv dx v u . 解 由已知)(x f 的一个原函数是x arcsin 可知：)(11)(a r c s i n 2x f xx =-='，⎰+=C x dx x f arcsin )(，所以⎰⎰⎰-=='dx x f x xf x xdf dx x f x )()()()(C x xx +--=a r c s i n 12.例2 判断下列不定积分哪些适用于不定积分法计算．（1）⎰+dx x x ln 1 （2）dx xe x⎰-（3）⎰+dx x x )1ln( （4）⎰+dx xx21arctan 分析 关键是看被积函数是否为两个不同类型函数之积！ 解 （1）因为⎰++)1(ln )ln 1(x d x C x ++=2)ln 1(21， 所以此不定积分不必使用分部积分法.（2）因为被积函数一个是一次函数，另一个是指数函数，所以适用于分部积分法 即⎰⎰---=)(x x e xd dx xe ⎰--+-=dx e xe x x C x e x ++-=-)1(. （3）因为被积函数一个是一次函数，另一个是复合型对数函数，所以适用于分部积分法，即⎰+dx x x )1ln(＝⎰+)21()1ln(2x d x ＝))1(ln(21)1ln(2122+-+⎰x d x x x＝dx x x x x ⎰+-+121)1ln(2122 ＝C x x x x x +++--+)1ln 22(41)1ln(2122. （4）因为⎰⎰=+(arctan)arctan 1arctan 2xd dx xx ＝C x +2arctan 21所以此不定积分不必使用分部积分法.（二）基本运算1．应用分部积分法计算不定积分根据分部积分公式，对于上述的几种常见类型，我们可以根据前面讨论的方法求不定积分.例3 求⎰xdx x 3sin分析 因为被积函数是两种不同类型函数的乘积，所以考虑分部积分法．要使分部积分后的不定积分容易“积”出来，所以将x 3sin 先凑入微分号内或者将其看作说v x '=3sin .解 根据分部积分公式，有 )3(cos 313sin x d xdx -=，所以⎰x d xx 3s i n )3(c o s 31x d x ⎰-=⎰--=)3c o s 3c o s (31x d x x x C x x x +--=)3sin 3cos 3(91．例4 求dx e x x ⎰+32)1(．分析 被积函数是我们前面所述的类型（2），我们可以将)(3133x xe d dx e =视作dv . 解 ⎰⎰+=+)()1(31)1(3232x xe d x dx e x dx xe e x x x⎰-+=33232)1(31 ⎰-+=)(92)1(31332x x e xd e x ⎰+-+=dx e xe e x x x x 33329292)1(31 C x x e x++-=)1169(27123． 此题的求解过程告诉我们，分部积分公式还可以是多次使用，只要被积函数仍然符合不定积分公式中的条件.例5 求xdx x ln ⎰．分析 被积函数与我们前面所述的常见类型（3）有相似，但不完全相同.解 根据常见类型（3）分析，设)(3223x d dx x =，则x d x x ln ⎰⎰=)(ln 3223x xd dx x x x ⎰-=32ln 3223C x x +-=)2ln 3(9223.例6 求dx x e x ⎰cos 2分析 此题是我们在分部积分法常见类型中指出的第四种类型，即这是指数函数x e 2和三角函数x cos 乘积的积分，应用分部积分法 (将dx e x 2或xdx cos 看作dv )与应注意的问题（两次分部积分中选为dv 的函数应该是同种类型的函数）.解dx x e x ⎰cos 2⎰=)(cos 212x e xd )(cos cos (2122x d e x e xx ⎰-= )s i n c o s (2122x d x e x e x x ⎰+=⎰+=)(s i n 21c o s (2122x x e xd x e)c o s s i n c o s 2(41222x d xe x e x e x x x ⎰-+= 所以 dx x e x ⎰cos 2C x x e x++=)sin cos 2(512这种通过解积分方程的方法求解不定积分，我们在以后的计算中经常会碰到. 2．＊不定积分方法综合应用在不定积分的计算中，应用什么方法有时也不一定一眼能看出，需要我们对不定积分方法有一定的熟练程度，也需要我们有敢于尝试、实践、探索的精神.以下就不定积分方法综合应用举例.为学有兴趣、学有余力的同学提供一定的帮助和指导.例7dx xx x ⎰-221)(arccos .分析 此题中的被积函数不是典型的分部积分法类型，而被积函数中)1(122x d dx x x --=-考.解dx x x x ⎰-221)(arccos (arccos x -=⎰dx x x x ⎰---=arccos 2)(arcsin 122dx xx x x x ⎰-----=22212arccos 2)(arcsin 1C x x x x +-+---=22212a r c c o s 2)(a r c s i n 1本题涉及了分部积分法与换元积分法，有些题目需要直接积分法与换元积分法综合应用.总之，选择积分方法是求不定积分的难点，所以我们在选择积分方法时，首选应该考虑基本积分公式，对公式中的变量x 应该从深层次加以理解.方能将我们的积分公式、积分方法运用自如.三、自测题自测题（一）Ⅰ、填空题1．已知)(x f 的一个原函数是x tan ，则⎰'dx x f x )( ． 2．已知2x 是)(x f 的一个原函数，则dx x f x )(12⎰ ．3．dx xe x ⎰2．4．⎰dx x x2ln ．5．dx xx⎰2sec ． Ⅱ、单项选择题1． 已知)(x f 的一个原函数是x 2ln ，则⎰='dx x f x )( ( ). A ．C x x +-)1(ln 2 B ．C x x +-2ln ln 2 C ．C x x ++)1(ln 2 D ．C x x ++2ln ln 2 2．下列分部积分中，dv u ,选择正确的是（ ）.A ．⎰xdx x 2sin ，令xdx dv x u 2sin ,==B ．,ln ⎰xdx 令xdx dv u ln ,1== C ．⎰-dx e x x 2 ，令dx x dv e u x 2,==- D ．⎰dx xe x ，令xdx dv e u x ==,3．下列不定积分中，用分部积分法计算的是（ ）. A ．⎰+dx x )12cos( B ． dx x x ⎰-⋅21 C ．⎰xdx x 2sin D ．⎰+dx x x21．4．⎰=dx x2ln（ ）A ．C x x x +-2lnB ．C x x x +-22ln C ．C x x x +-42lnD ．C x xx ++2ln5．⎰xdx arcsin （ ） A ．C x x x ++arcsin 21arcsin B ．C x x x ++arcsin arcsin C ．C x x x ++arcsin 2arcsin D ．C x x x +-+21arcsinⅢ、计算解答题１．⎰+xdx x ln )1( 2．⎰xdx x cos 2 3．．⎰dx x xln ln4. dx x xx ⎰2sin cos 5. ⎰dx x )cos(ln ．自测题（二）Ⅰ、填空题1．已知)(x f 的一个原函数是xxsin ，求⎰'dx x f x )( ． 2．已知x x ln 是)(x f 的一个原函数，则dx x f x)(12⎰3．⎰+xdx x sin )12( ． 4．xdx x arctan 3⎰．5．dx x x⎰2sin sin ln ．Ⅱ、单项选择题1．下列分部积分中，dv u ,选择正确的是（ ）。
