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定积分分部积分法

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定积分的分部积分法经典例题

定积分的分部积分法经典例题

定积分的分部积分法经典例题
定积分的应用一般出现在综合题的最后一题，题型仅有两种：第一，求曲线围成的面积；第二求旋转体体积(绕x轴旋转，绕y轴旋转)。

1.求面积
(1)X-型图形，一般是两条曲线一上一下，面积等于上面的曲线(大的)减去下面的曲线(小的)，并对x的积分，如下面两张图。

求面积首要问题是画出草图，图形的上下位置(或者左右位置)，交点一定要做得准确。

通常曲线，例直线、抛物线、双曲线、指数、对数、三角函数的图像要画得熟练、准确。

求出结果后要检验，这样的题型是一个实际问题，所得结果要合乎逻辑。

(2)Y-型，一般是两条曲线一左一右，面积等于右边的曲线(大的)减去左边的曲线(小的)，并对y的积分，如下图
2.旋转体体积
求旋转体体积时要充分发挥几何空间想象能力，要想象出旋转出的体积大概是什么形状的。

(1)X-型图形
绕x轴旋转所得图形的体积
绕y轴旋转所得图形的体积
(2)Y-型图形
绕x轴旋转所得图形的体积
绕y轴旋转所得图形的体积
常考题型如下：。

定积分的分部积分法广义积分

定积分的分部积分法广义积分
a

b
(5.3.3)
分部积分法
例(补充)
计算


0


4
0
xdx . 1 cos 2 x
2
解 1 cos2x 2cos x,



4
0
xdx 1 cos 2x
4
4
xdx 2 cos x
2
0

4



4
0
x d tan x 2
1 1 x tan x 0 2 2 1 4
dx
1


dx x
lim
1
b 1

b
dx x
令 x t，则x t 2，dx 2tdt 且x 1 t 1 ，x b t b
b 2tdt lim 2dt lim 2t b 1 b t
lim
b 1

b

b 1
lim 2( b 1)
1 x
dx
b 0
lim (arctan x)
a
a
lim (arctan x)
b
b
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)


2


注意 有限区间上 定积分的计 算和对积分 结果求极限 的运算的正 确性.
2

广义积分
b
b
1 1
所以，广义积分

-x
e dx 收敛 .
0
广义积分
例3 求广义积分
解


0

定积分的分部积分法

定积分的分部积分法

§6.5 定积分的分部积分法因为vdu udv uv d +=)(，两边从a 到b 取定积分有：⎰⎰⎰+==b abab ab avdu udv uv uv d ][)(，所以 ⎰⎰-=bab a ba vdu uv udv ][ 例1⎰⎰⎰-=-=5151515151]ln [ln ])[(ln ln dx xx x x x xd x x xdx 45ln 5][05ln 551-=--x例2 11|][1110110=+-=-=-==⎰⎰⎰xx xxx x x e e e e dxe xe xde dx xe例3211|c o s 0s i n|s i n s i n c o s 0000-=--=+=-==⎰⎰⎰πππππx dx x x x x xd xdx x例4⎰⎰⎰-==ee e e xd x x x x xd xdx x 1121221ln 21]ln [21)2(ln ln=414|212122122122122+=⋅-=-⎰e x e dx x x e e e例5⎰⎰=2ln 0222ln 032221dx e x dx e x x x 令2x t =，则原式=⎰⎰⎰-==2ln 02ln 02ln 02ln 021][212121dt e te tde dt te tt t t =212ln 212212ln |212)2(ln 212ln 0-=+⋅-=-⋅t e 例6 求⎰⎰=2020c o s c o s ππx xx d e xd xe =dx x e x d e e x x xx⎰⎰+-=-⋅202020sin 1cos |cos πππ=⎰⎰-⋅+-=+-202020sin ])[(sin 1sin 1πππx d e e x xde x xx=xdx e e x cos 1202⎰-+-ππ∴ 1cos 2220-=⎰ππe xdx e x∴ ⎰-=202)1(21cos ππe x e x例7⎰342s i n ππdx xx=⎰⎰+-=-343434cot ]cot [cot ππππππxdx x x x xd=++-=⎰dx x x 34sin cos 493ππππ⎰++-=34sin sin 493ππππx xd 34]sin [ln 493ππππx ++-=23ln 21493++-ππ 利用定积分还可以求某些和的近似值。

(完整版)定积分的分部积分法

(完整版)定积分的分部积分法

n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明

6.5.1定积分分部积分法

6.5.1定积分分部积分法

△ 冗1
冗In 2
——llnsec x 10 =-82 0 8 4
经济数学--微积分
o
定积分分部积分法
三、举例-幕函数乘对数函数
经济数学
例5 计算 J： (In x)3 dx
：一 解原式=x (In x )3
J 3(ln x)2 dx
】 =e _ 3 x(In x)2
-1J2 In xdx
J =e - 3(e - 2 In xdx)
) =1 [[xf '(2 x )]1 -1 (2 x dx
1
1
=2 f'(2) - 4 [f (2 x )]0
=2 - 4 [f (2) - f (0)] = 2.
经济数学
fx2 sin t i
“ ——d t, 求[xf (x )dx.
*
解因为沖没有初等形式的原函数， t
无法直接求出f (x),所以釆用分部积分法
f兀
2
2x
Jo o
si1n 2 ■xdxd
cos2x
x sin 2 xdx = 2 Jo
=1
JO
x cos
2
x
兀1
2
1,
cos 2 xdx
2 Jo o
= ——sin2 x71
n
24
02
3
勿 2 1 + cos 2x ,
例3计算f x dx.
00 2
解原式万 d ( x + § sin 2 x)
经济数学--微积分
—厂 f X x)=
-2 x = ,
xx
1
1
.・J0 xf(x)dx = 2 f⑴ _ -J： x2f，(x)dx

定积分的分部积分法

定积分的分部积分法

(3) 4 3 xdx; 1

(4) (sin x cos x)dx; 0
(7)
2
sin 2
x
dx;
0
2
1
(8) (
x 1 3x )dx.
0
第三节 定积分的换元法
例1 求 4 dx .
0 1 x
解法1

dx 1
x
令
x

t
2tdt 1 t

2
(1
1
1
1．计算
(1) d x ln(1 t2 )dt ; dx 1
2．计算下列各定积分
x
tan tdt
(2) lim x0
0
x3
.
（1）2|1 x | dx;
2
(2) | sin x | dx;
0
0
(5)
0 1
3x4 3x2 1 x2
1dx;

(6) 4 tan2 xdx; 0
4 dx
1 x x
2 2tdt 1 t2 t
2 2dt 2 d (t 1) 2
1 t 1 1 t 1

2
ln(t
1)
|12

2(ln
3

ln
2)

2
ln
3 2
.

例4 求 2 3cos2 xsin xdx. 0
解 设u cos x，则du sin xdx，当x 0时，u 1；当x 时，u 0.于是 2
与下方部分面积的代数和，如图6－2所示，有
b
a f (x)dx A1 A2 A3

定积分的分部积分法

2 2 2 2 a
b
(1 b ) ln(1 b ) (1 a ) ln(1 a ) ( x
2 2 2 2
2 b a
)
2
(1 b ) ln(1 b ) (1 a ) ln(1 a ) (b a )
2 2 2 2 2
例3 计算 解 设
x

2
4 0


特别： sin x dx
2 0 2


2 0


1 2 dx 2 0 4
sin x dx
4
1 cos x dx I 2 I 0 2
2

2 0
2 0
3 3 1 cos x dx I 4 I 2 I 0 4 4 2
4
3 3 dx 8 16
ln( 2 1) 2 1
例5：计算定积分 ln( 1 x 2 )dx
0
1
解：原式 ( x) ln( 1 x )dx
2 0
1
x ln( 1 x ) x[ln( 1 x )]dx
2 1 0 2 0
1
2x (1 x ) 1 ln 2 dx ln 2 2 dx 2 2 0 1 x 0 1 x
“反” “对”
反三角函数. 对数函数.
“幂” “指”
“三”
幂函数. 指数函数.
三角函数.
基本类型及分部方式:
(1) Pn ( x)e
a b ax b
dx

b
a
1 ax b Pn ( x)[ e ]dx a
b a
(2) Pn ( x) cos( ax b)dx

定积分的分部积分法

预科部：melinda
例4 证明定积分公式
I n 02 sin n xdx 02 cos n xdx
n 1 n 3 ... 3 1 ，n为正偶数， n n2 4 2 2 n 1 n 3 ... 4 2 ,n为大于1的正奇数. n n2 5 3
预科部：melinda
二、例题
例1 计算
解
1
0 xe dx .
x x 1
1
x xe dx x de 0 0
xe
x 1 0
e dx
1 x 0
e e
x 1 0

1
预科部：melinda

例2 计算 4 sin xdx .
0
2
解
0
2
4
sin xdx
t x , dx 2tdt x 0, t 0; x
b b a b
预科部：melinda
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对 于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求 差，另一项
a vdu 仍按定积分继续计算.
b
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u 和 v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求 定积分，应观察积分区间是否关于原点对称， 被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊 定积分公式简化定积分的运算.
到0或1为止.于是
I 2m
2m 2m 2 2m 4 6 4 2 I 2 m1 ... I1 2m 1 2m 1 2m 3 7 5 3
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I 0 sin xdx , I1 02 sin xdx 1 2

定积分的换元法和分部积分法

微积分基本公式
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x

求定积分的四种方法

求定积分的四种方法在微积分中，确定定积分的值是一个重要的问题。

定积分是一个实函数在给定区间上的积分，表示该函数在该区间上的总体积。

在本文中，我将介绍四种常见的方法来确定定积分的值。

这些方法分别是：几何解释法、Riemann和法、换元积分法和分部积分法。

一、几何解释法例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以将该区间分成无限个小矩形，并计算每个小矩形的面积。

然后将所有小矩形的面积相加，即可得到定积分的值。

对于该例子，我们可以将区间[0,1]分成无限个宽度为dx的小矩形，其高度为f(x)=x^2、因此，定积分的值为∫[0,1]x^2dx=1/3二、Riemann和法Riemann和法是一种将定积分转化为求和的方法。

它使用一个区间分割，把整个区间分成无限个小区间。

然后，通过对每个小区间让其长度趋近于零，计算每个小区间的函数值和相加，从而求得定积分的近似值。

当小区间的数量无限增加时，所得的近似值将趋近于定积分的真正值。

例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以将该区间分成n个小区间，每个区间的宽度为Δx=(1-0)/n，其中n为正整数。

然后，我们可以计算每个小区间的函数值并相加，即可得到定积分的近似值。

当使用Riemann和法时，分割区间的选择对于确定近似值的精确性非常重要。

如果区间分割得足够细，近似值将趋近于定积分的真正值。

三、换元积分法换元积分法是一种通过进行变量替换来简化定积分的方法。

它利用函数的链式法则，将原函数中的自变量替换为新的变量，然后计算新函数的微分。

通过进行适当的变量替换，我们可以将原本复杂的定积分转化为更简单的形式，从而易于计算。

例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以进行变量替换，令u=x^2，则du=2xdx。

通过将原函数中的自变量替换为新变量，我们可以将原本的定积分转化为∫[0,1]u(1/2√u)du。

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In
n1 n In2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
n n
3 2
In4
, 直到下标减到0或1为止
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
5 6
3 4
1 2
I0,
(m 1,2, )
2m 2m 2 6 4 2
I2m1
2m
1
2m
1
7
5
3 I1,
I0
2
dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
已积出的部分 要求值
解 原式
2 xdex
1
xex 12
2 exdx
1
2e2 e ex 12
2e2 e e2 e e2
定积分的分部积分法
已积出的部分要求值
2 4 x tan2 xdx 0
解
原式
4 0
x
x sec2
tan x 4
x 1
4
dx tan
4 xd 0
1
例2 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
x
2dx 2
1 2
cos x2
1 0
1 (cos1 1). 2
例6 证明定积分公式
In
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n
n
n
1 1
n n n
3 2 3
3 4 4
1 2 2,
2
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 u sinn1 x, dv sin xdx,
abuvdx
例(5)2 计算 01e xdx
解解解解 010101eee xxxddxx令令令 xxttt22 010101eeetttttdtddttt222010101t01tddtedeetett t
22[t[etet]t1]010220101eettddtt22ee22[[eett]]1010 22
xdx
tan
2
x
x2 2
4 0
0
0
32
2
4
ln
cos x
4 0
32
ln 2 2
4 2 32
3 2 e2x sin 2xdx 0
解 原式 1
2 e2xd cos 2x
20
1 2
e2
x
cos
2
x
2 0
1 2
2 cos 2x e2x (2)dx
0
1 1 e
1
一、分部积分公式
设函数u( x)、v( x) 在区间a,b上具有连续
导数，则有abudv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (uv
)dx
b
uv a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx,
b
udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
◆定积分的分部积分法
例1 1 2 xexdx 1
2 e2xd sin 2x
2
20
1 1 e 2
1 2
e2 x
sin
2
x
2 0
1 2
2 sin 2xde2x
0
1 1 e
2 e2x sin 2xd x
2
0
所以
2
e 2 x
sin 2xdx
1
1 e
0
4
分部积分过程：
abuvdxabudv[uv]ba abvdu[uv]ba abuvdx
0
于是
I2m
2m 1 2m
2m 3 2m 2
531 642
, 2
I2m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
6 7
4 5
2. 3
二、小结
定积分的分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
思考题
设 f ( x) 在 0,1 上 连 续 ， 且 f (0) 1 ，
2
0
3 1.
12 2
例3 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 2
ln
sec
x
4 0
ln 2 . 84
x)10
5 ln 2 3
ln
3.
例5
设 f (x)
x2 sin t
1
dt, 求 xf ( x)dx.
1t
0
解 因为sin t 没有初等形式的原函数，
t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
11
2 0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
x2 sin t
f ( x) 1
dt , t
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
1 2
1
0
2
x
sin
x 2dx
1 2
1
0
sin
例(41)
1
计算 02 arcsinxdx
1
11
解
02 arcsinxdx
[x arcsin x]2 0
02 xd
arcsin x
1 2
6
1
02
x 1 x2
dx
12
1 2
1
02
1 d(1 x2) 1 x2
[
1
x2
1
]2
3 1
12
0 12 2
分部积分过程：
abuvdx
b
audv
[uv]ba
abvdu[uv]ba
du (n 1)sinn2 x cos xdx, v cos x,
In
sinn1 x cos x
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
In
(n
1) 2 0
sin n 2
xdx
(n
1) 2 0
sin n
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
f
(2)
3，
f
(2)
5
，求 1 0
xf
(2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x )dx
.
思考题解答
1
0
xf
(2 x )dx
1 2
1
0
xdf
(2
x)
1 2
xf
(2 x)10
1 2
1
f (2x)dx
0
1 2
f
(2)
1
4
f
(2 x )10
5 1 f (2) f (0) 2.
24
练习题
一、填空题：
1、设 n 为正奇数，则 2 sinn xdx ___________； 0
1 ln(1 x)
例4 计算 0 (2 x)2 dx.
解
1
0
ln(1 (2
x
x) )2
dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
11 1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2