【VIP专享】2017-2018北京市朝阳区高三第一学期理科数学期中试卷

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4D.10 3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是A.(00)，B.(20)-，C.(01)-，D. (02)， 4.“sin α=cos 2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是正视图侧视图俯视图A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中，AD .点E 在AB 边上，CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()0180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是A . ① B. ①② C. ①③ D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF xAB yAE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位A同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α- . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围.P 21BCbbcac a cbC BA16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FT MN ； （Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+i j a a 的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ . 所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分 （Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=； 当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=. 则3+4BC =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+， 则()f B的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分 （Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠= ，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A D AC D = ，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E = ，连接DE．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．又因为11A B AC ⊥，1BC A B B = , 所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA = ，()2,2,0AB = ，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ACB B 1C 1A 1DE设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =- ，()2,0,0CB = ，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20. y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --…………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分 （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号， 则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i j a a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n nn n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数. 即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

实用文档北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（理工类）2017.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.A?{x|x?1}B?{x|logx?1}AB?，，则1. 已知集合2{x|x?1}{x|1?x?2}{x|x?2}{x|x?0} D. C.B. A.x?2,??y?2,yx,x?2y的最大值为则2. 已知实数满足条件??x?y?6,?A.12B. 10C. 8D. 6π)?sin(2xy?y?sinx的图象上所有的点要得到函数3.的图象，只需将函数3π2倍，纵坐标不变先向右平移A. 个单位长度，再将横坐标伸长为原来的3π1B. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变62π1C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度62π2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D. 横坐标变伸长原来的3??b?a?a?b ba,a=b”的”是“存在非零实数，则“，使4. 已知非零平面向量A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件???a S?S?SSn?n?, )的前5.已知是等差数列项和，且以下有四个命题：( 465nn????aa S d?0中的最大项为①数列②数列的公差10nn S?0S?0④③1011其中正确的序号是（）实用文档A. ②③B. ②③④C. ②④D. ①③④ABCD//CDAD?DCCDDC?1AB?AB2E,中，的中点,，,是6. 如图，在直角梯形EA?AB?则5?51?1 C. B. A. D.ECD（AB2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 7. 袋子里有编号为教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号.甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.”根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球?)(0，x)?gx(x)?cos(sinx)f(x?sin(cosx)?都为减函数，与函数在区间已知函数8.2?xx?cosxx,x,??sin(cosx)xcos(sinx)x),x,xx，?(0的，则，设，，且1131232233122）大小关系是（xx?x??xx?xxx?xx??x?x C. A. B. D. 131322213312实用文档第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.i的值为执行如下图所示的程序框图，则输出 . 9.开始=2=，S=S2+1=>14输出结束题图）（第91?x1x?y?1x? . ，则10. 已知，且的最小值是y11?x,x?(),?22?kx?y(x)f?)f(x有两个不同的交点，已知函数的图象与直线11. 若?1?.?x,xlog12??2k . 则实数的取值范围为)xf(同时满足以下条件：12. 已知函数R；①定义域为[0,1]；值域为②0??x)(fx)?f(.③?)(xf .试写出一个函数解析式S若罐头盒的. 13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值V?rrr罐时，；底面半径为，则罐头盒的体积与的函数关系式为当.头盒的体积最大实用文档????????,2,3,1=M表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的14. 将集合并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为；请写M的5个三元子集 . （只写出一组）出满足上述条件的集合三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分)???a S?2a?1Sn??n.项和为( )的前，满足已知数列nnnn??a的通项公式；（Ⅰ）求数列n????bb ab=logTn.项和，求数列满足的前（Ⅱ）若数列n1nnnn216. (本小题满分13分)πf(x)?2sinx?cos(x?).已知函数3f(x)的最小正周期；（Ⅰ）求函数π)(xf]?[0,x. 时，求函数的取值范围（Ⅱ）当2)本小题满分13分17. (πc32?ABC△.在，中，?A7b4tanC的值；（Ⅰ）试求a?5△ABC的面积，试求. （Ⅱ）若实用文档18. (本小题满分14分)2?x ea)?)?(x?ax?f(x R a?. 已知函数，)f(x（Ⅰ）求函数的单调区间；??)(xf(x)x)?fg(x)f)(xg(在定义域内是否为单，其中的导函数为函数（Ⅱ）设.判断. 调函数，并说明理由)分19. (本小题满分1412?lnx??f(x). 已知函数x exe??(1),f1)xy?f(处的切线方程；（Ⅰ）求曲线在点1?x?ln；（Ⅱ）求证：ex x)(xy?f轴下方，并说明理由.是否位于（Ⅲ）判断曲线20. (本小题满分13分)1,2,,n a,,aa,的任一排列，且同时满足以下两个条件：数列是正整数n21a?1|a?a|?2i?n,?11,2,2?n(；②当①).时，11?iif(n). 记这样的数列个数为f(2),f(3),f(4)的值；（I）写出f(2018)不能被4II（）证明整除.实用文档学年度第一学期高三年级期中统一考试北京市朝阳区2017-2018数学答案（理工类）2017.11二、填空题：??11??2)?2ln(??,?,0?2)[2,2ln9. 5 10. 3 11.1???2?ln2?2ln2?,?1?x?1,x cosx?1f(x)?|sinxf(x)?|（答案不唯一）12. 或或?20,x?1或x??1.?12?S??S3(0π)?rrV?Sr??；13. 22?????????????，91121012，，3，714，4，5，613，1815，，（答案不唯一）14. 24;,,, ,三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分)a?11?n. （Ⅰ）当时，解：1a?S?S2n?,??a是首项为1，公比为所以数列2的等比数列. nn?1?=2a N?n 时，当1nnn?a?2a?2aa=2a，即1nnn?1?nn故8分. ┈┈, n1n?b=loga=log2=1?n.（Ⅱ）由已知得11nn22b?b?(1?n)?(2?n)??1，因为1nn???b?1的等差数列，公差为所以是首项为0.n实用文档n(1?n)??b?T n. ┈┈故13项和分的前nn2)16. (本小题满分13分πf(x)?2sinx?cos(x?)，解：因为3ππf(x)?2sinx?(cosxcos?sinxsin)所以332x3sinx?sin?x?cos13?sin2x?(1?cos2x)22π3?sin(2x?)?. 322ππ)xf(??T. （Ⅰ）函数┈┈8分的最小正周期为2πππ2πx?[0,]2x??[?,].，所以（Ⅱ）因为23333πsin(2x?)?[?,1].所以323f(x)?[0,1?]. ┈┈所以13分217. (本小题满分13分)2sinC3sinC2c3π???（Ⅰ）因为，. 解：，所以?Aπ37sinBb74)sin(?C 4π3)?C7sinC?32sin(.所以4π33π)2(sin?3cosC?cossinC7sinC.所以447sinC?3cosC?3sinC. 所以4sinC?3cosC.所以3tanC?所以分 . ┈┈74π23c222Abc?b?ccos?a2?5?a得（Ⅱ）因为，，，由余弦定理?A b742323222?b?b(?b)2b??25. 277c?327b?.所以，实用文档21121S?bcsinA??7?32??ABC分13所以△的面积. ┈┈222218. (本小题满分14分)??x??)ex?a?(x?2)(fx()?)xf(Rx?x..解：（Ⅰ）函数的定义域为?x?af(xx)?0f)(2xa?2?为减函数；①当，解得：，时，令或?(x)?0f(x)f2a?x?为增函数，解得：，. 令2?x??0x?2)fe(x)??(f(x)2a?为减函数；时，恒成立，函数②当?x?af0(xf)(x)?2xa?2?为减函数；或，解得：时，令③当，函数?(x)?0f(fx)ax?2?为增函数，解得：令，函数.综上，f(x)(??,a),(2,??)(a,2)2a?；当；单调递增区间为的单调递减区间为时，f(x)(??,??)2a?时，的单调递减区间为；当f(x)(??,2),(a,??)(2,a)2?a.的单调递减区间为时，当；单调递增区间为┈┈8分g(x)在定义域内不为单调函数，以下说明：（Ⅱ）2?x???e?a?2](a?4)xg?(x)?f3(x)?[x?.22??3a(a?4)x?h(x)?x)xh(. 为开口向上的二次函数记，则函数220?4??a8?(a?2)a???40(hx)?. 的判别式恒成立方程?)x)g(x(h.. 有正有负从而所以，有正有负)g(x 14. ┈┈故在定义域内不为单调函数分) 19. (本小题满分14分)??(0,解：函数的定义域为，实用文档112?(x)??f??2x xeex11???f?(1)?1f(1)，又（Ⅰ），ee)(xy?f1x?在曲线处的切线方程为1111???(?1)xy?.eee210?+1)x?y?(??分. 即┈┈4ee11?0)xlnxlnx???,(x?.”等价于“（Ⅱ）“要证明”exe xlnx)?xg(. 设函数1??x0xg?(x)=1+ln. 令，解得eee?)(gx??01?e)g(x111??)??xlng(x)(xg. .因此，函数故的最小值为eee1??lnx分9.即┈┈xex)(xy?f . （Ⅲ）曲线理由如下：位于轴下方11x111)?f(x)?lnx????(. ，所以由（Ⅱ）可知xx exxeeexexx11???x(kx)??k)(.设，则xx eee??0)?kk(x)?0(x1x0?x?1?. 得令；令得?????，0,1+1)(kx.在所以上为增函数，上为减函数0(1)k?)k(x?k(1)=01x?0x?. 恒成立所以当,时，时，当且仅当10?f(1)??0f()?x. 又因为，恒成立所以e实用文档x)x?f(y轴下方. ┈┈14故曲线分位于20. (本小题满分13分)f(2)?1,f(3)?2,f(4)?4. ┈┈3（Ⅰ）解：分n项的首项最小数列. （Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为a?1a?2n或3. ，故对于个数的首项最小数列，由于21a?2a?1,a?1,,a?1f(n?1)1n?；其个数为，若（1）则项的首项最小数列，构成n223,a?3a?3,a?2a?4a?3,a?3,3n?，故）若，则必有项的首项最小构成（2523n44f(n?3)；数列，其个数为a5?a=4aa?3,k项应该是或）若（3. 设是这数列中第一个出现的偶数，则前则1k?323aaa1k?1,3,,22k?2k2是相邻整数. ，是与，即或1?k1k?k aa之后，在后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为由条件②，这数列在21?1kk?a后的各项都小于它故.1?k这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.f(n)?f(n?1)?f(n?3)?1n?5. 综上，有递推关系：，f(2),f(3),,f(2018)各数被4）可得，除的余数依次为：由此递推关系和（I1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…2018?14?144?2，14为周期的数列，又它们构成f(2018)f(2)被4除的余数相同，都是1所以，被4除的余数与f(2018)不能被4整除. ┈┈13故分。

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4D.10 3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是A.(00)，B.(20)-，C.(01)-，D. (02)， 4.“sin 2α=”是“cos2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是正视图侧视图俯视图A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中，AD =点E 在AB 边上， CE DE⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈o ，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A . ① B. ①② C. ①③D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.YABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位A同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-o . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围.P 21BCbbcac a cbC BA16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FT MN P ； （Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ .所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=； 当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=. 则3+4BC =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+， 则()f B的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=o ，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A D AC D =I ，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =I ，连接DE．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．又因为11A B AC ⊥，1BC A B B =I , 所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =u u u r ，()2,2,0AB =u u u r ，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n ，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ACB B 1C 1A 1DE设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-u u u r ，()2,0,0CB =u u u r ，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rm m，即1110,20. y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分 （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号， 则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN P . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i ja a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<.+i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=m a x {,}k k k d c c -(m a x {,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =-的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB -⋅-=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=. 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。

2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x（x-2）≤0}，B={x|0＜x≤1}，则A∩B=（）A. {x|0≤x≤1}B. {x|0＜x≤1}C. {x|0＜x≤2}D. ?2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. -10B. -2C. 2D. 103.设平面向量=（1，1），=（1，2），=+k．若⊥，则实数k的值等于（）A. B. C. 0 D.4.已知x＞y＞0，则下列不等关系中正确的是（）A. cosx＞cosyB. log3x＜log3yC.D.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f（x）=|2x-2|．若f（a）=f（b）（a≠b），则a+b的取值范围是（）A. （-∞，1）B. （-∞，2）C. （1，+∞）D. （2，+∞）7.已知函数当时，方程的根的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），…，称（1，3）为第1组，（5，7，9）为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（）A. 第404组B. 第405组C. 第808组D. 第809组二、填空题（本大题共6小题，共30.0分））=______．9.已知，，则cosα=______；tan（π+α10.已知x，y满足，则z=x+2y的最大值为______．11.已知函数y=f（x）满足下列条件：①定义域为R；②函数y=f（x）在（0，1）上单调递增；③函数y=f（x）的导函数y=f'（x）有且只有一个零点，写出函数f（x）的一个表达式______．12.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE、DF，交于点G，若=+（λ，μ∈R），则=______．13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮．港口的水深会随潮的变化而变化．某港口水的深度y（单位：米）是时刻t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（t）．下面是该港口某日水深的数据：t03691215182124y8.011.07.95.08.011.08.05.08.0经长期观察，曲线y=f（t）可以近似地看成函数y=Asinωt+b（A＞0，ω＞0）的图象．根据以上数据，函数y=f（t）的近似表达式为______．14.从标有数字a，b，c，d（a≤b≤c≤d，且a，b，c，d∈{1，2，3，…，9}）的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果．那么这4个小球上的不同的数字恰好有______个；试写出满足条件的所有组a，b，c，d______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设{a n}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，且a2=3，a4-a3=18．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log3a n，求b1+b2+…+b n．16.已知函数f（x）=2sinxcosx+sin2x-cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若对任意，f（x）≤m（m为实数）恒成立，求m的最小值．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=，tanB=-4，b=8．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求点A到边BC的距离．18.已知函数f（x）=2mx3-3x2+1（m∈R）．（Ⅰ）当m=1时，求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求证：“m＞1”是“函数f（x）有唯一零点”的充分而不必要条件．19.已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）试判断函数f（x）的单调性并证明；（Ⅲ）若函数f（x）在x=1处取得极大值，记函数f（x）的极小值为g（a），试求g（a）的最大值．20.设m，n为正整数，一个正整数数列a1，a2，…，a n满足m=a1≥a2≥…≥a n≥１．对i=1，2，…，m，定义集合B i={j∈{1，2，…，n}|a j≥i}．数列b1，b2，…，b m中的b i（i=1，2，…，m）是集合B i中元素的个数．（Ⅰ）若数列a1，a2，…，a n为5，3，3，2，1，1，写出数列b1，b2，…，b m；（Ⅱ）若n=2m，m≥３，b1，b2，…，b m为公比为的等比数列，求a1+a2+…+a n；（Ⅲ）对j=1，2，…，n，定义集合C j={i∈{1，2，…，m}|b i≥j}，令c j是集合C j中元素的个数．求证：对j=1，2，…，n，均有a j=c j．答案和解析1.【答案】 B【解析】解：A={x|0≤x≤2}，B={x|0＜x≤1}；∴A∩B={x|0＜x≤1}．故选：B．可以求A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】 C【解析】解：根据程序框图的循环结构：在执行循环前：s=0，k=1，由于：k＜4，执行下一次循环，则：k=2，s=-1+2=1，由于k＜4，执行下一次循环，则：k=3，s=1-3=2，由于k＜4，执行下一次循环，则：k=4，s=-2+4=2，由于k=5＞4，则：输出s=2．故选：C．直接利用程序框图的循环结构，进一步利用k的范围，进一步求出结果．本题考查的知识要点：程序框图的循环结构的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3.【答案】 A【解析】解：；∵；∴；。

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠= …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB --=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=-设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =-（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB -⋅-=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+>. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10-<．设0x =->，则1x -=. 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠= …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB --=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=-设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。

2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5.00分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＞0}D．{x|x＞2}2．（5.00分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B．4 C． D．103．（5.00分）在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式（x+2y﹣1）（x﹣y+3）＞0表示的平面区域内的是（）A．（0，0） B．（﹣2，0）C．（0，﹣1）D．（0，2）4．（5.00分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．6．（5.00分）已知圆（x﹣2）2+y2=9的圆心为C．直线l过点M（﹣2，0）且与x轴不重合，l交圆C于A，B两点，点A在点M，B之间．过M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（）A．.椭圆的一部分B．.双曲线的一部分C．.抛物线的一部分D．.圆的一部分7．（5.00分）已知函数f（x）=x•|x﹣a|的图象与直线y=﹣1的公共点不少于两个，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣2 B．a≤﹣2 C．﹣2≤a＜0 D．a＞﹣28．（5.00分）如图1，矩形ABCD中，．点E在AB边上，CE⊥DE且AE=1．如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A﹣DE﹣A1的平面角为θ，当θ∈（0°，180°）时，①存在某个位置，使CE⊥DA1；②存在某个位置，使DE⊥A1C；③任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等．以上三个结论中正确的序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5.00分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为．10．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为．11．（5.00分）平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，若（x，y∈R），则x+y=．12．（5.00分）已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=p，a2=q（p，q∈R）．设，则a10=；S2018=．（用含p，q的式子表示）13．（5.00分）伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题．一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）的一种“图形证明”．证明思路：（1）图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）图1中阴影区域的面积为ac+bd，图2中，设∠BAD=θ，图2阴影区域的面积可表示为（用含a，b，c，d，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当a，b，c，d满足条件时，等号成立．14．（5.00分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为m；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13.00分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足bcos2A=bcosA﹣asinB，且，求f（B）的取值范围．16．（13.00分）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等．如表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表．表1：2016年12月AQI指数表：单位（μg/m3）表2：2017年12月AQI指数表：单位（μg/m3）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级．从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？结合数据说明理由．17．（14.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，D是线段AC的中点，且A1D⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅲ）若A1B⊥AC1，AC=BC=2，求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．18．（13.00分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．19．（14.00分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过抛物线C上的动点P（除顶点O外）作C的切线l交x轴于点T．过点O作直线l的垂线OM（垂足为M）与直线PF交于点N．（Ⅰ）求焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：FT∥MN；（Ⅲ）求线段FN的长．20．（13.00分）已知集合P={a1，a2，…，a n}，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2）．M （P）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）若集合P={1，3，5，7，9}，求M（P）；（Ⅱ）若集合P={1，4，16，…，4n﹣1}，求证：a i+a j的值两两不同，并求M（P）；（Ⅲ）求M（P）的最小值．（用含n的代数式表示）2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5.00分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＞0}D．{x|x＞2}【分析】解不等式求出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|lnx＞0}={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：A．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．（5.00分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B．4 C． D．10【分析】由已知求得z，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由z+i=3，得z=3﹣i，∴|z|=．故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3．（5.00分）在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式（x+2y﹣1）（x﹣y+3）＞0表示的平面区域内的是（）A．（0，0） B．（﹣2，0）C．（0，﹣1）D．（0，2）【分析】分别将点的坐标代入不等式左边的式子，验证一下不等式是否成立即可．【解答】解：A．当x=0，y=0时，（x+2y﹣1）（x﹣y+3）=﹣3＜0，不满足条件，B．当x=﹣2，y=0时，（x+2y﹣1）（x﹣y+3）=（﹣2﹣1）（﹣2+3）=﹣3＜0，不满足条件，C．当x=0，y=﹣1时，（x+2y﹣1）（x﹣y+3）=（﹣2﹣1）（1+3）=﹣12＜0，不满足条件，D．当x=0，y=2时，（x+2y﹣1）（x﹣y+3）=（4﹣1）（0﹣2+3）=3＞0，满足条件，故选：D．【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用代入法是解决本题的关键．4．（5.00分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当时，cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=1﹣2×=1﹣1=0，即充分性成立，若cos2α=0，则cos2α=1﹣2sin2α=0，即sin2α=，即sinα=±，则sinα=，不一定成立，即“”是“cos2α=0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的倍角公式是解决本题的关键．5．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．【分析】由四棱锥的三视图得该四棱锥是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=3，棱锥的高为h=2，由此能求出该四棱锥的体积．【解答】解：由四棱锥的三视图得该四棱锥是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=3，棱锥的高为h=2，故该四棱锥的体积：V===4．故选：A．【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．6．（5.00分）已知圆（x﹣2）2+y2=9的圆心为C．直线l过点M（﹣2，0）且与x轴不重合，l交圆C于A，B两点，点A在点M，B之间．过M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（）A．.椭圆的一部分B．.双曲线的一部分C．.抛物线的一部分D．.圆的一部分【分析】根据题意可得PM﹣PC=BC=3（定值），且3＜MC．即可得点P的轨迹是双曲线的一部分．【解答】解：可得圆（x﹣2）2+y2=9的圆心为C（2，0），半径为R=3．如图，∵CB=CA=R=3，∴∠CBA=∠CAB，∵AC∥MP，∴，∴∠CBA=∠CAB=∠PMA，∴PM=PB=PC+BC⇒PM﹣PC=BC=3（定值），且3＜MC．∴点P的轨迹是双曲线的一部分，故选：B【点评】本题考查了动点根据的求解，考查了转化思想，属于中档题．7．（5.00分）已知函数f（x）=x•|x﹣a|的图象与直线y=﹣1的公共点不少于两个，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣2 B．a≤﹣2 C．﹣2≤a＜0 D．a＞﹣2【分析】分a＞0，a＜0，a=0画出图象即可．【解答】解：f（x）=x•|x﹣a|=，①当a＞0时，其图象如下：函数f（x）=x•|x﹣a|的图象与直线y=﹣1的公共点只有1个，不符合题意．②当a＜0时，其图象如下：函数f（x）=x•|x﹣a|的图象与直线y=﹣1的公共点不少于两个时，f（）=﹣，解得a≤﹣2③当a=0时，其图象如下：结合图象，不符合题意．综上所述：实数a的取值范围是：a≤﹣2．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象，数形结合思想，属于中档题．8．（5.00分）如图1，矩形ABCD中，．点E在AB边上，CE⊥DE且AE=1．如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A﹣DE﹣A1的平面角为θ，当θ∈（0°，180°）时，①存在某个位置，使CE⊥DA1；②存在某个位置，使DE⊥A1C；③任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等．以上三个结论中正确的序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③【分析】在①中，当二面角A﹣DE﹣A1的平面角θ=90°时，CE⊥DA1；在②中，A1D⊥A1E，CE⊥DE，从而∠DEA一定是锐角，从而不存在某个位置，使DE⊥A1C；在③中，DE是定直线，A1C是动直线，从而任意两个位置，直线DE和直线A1C 所成的角都不相等．【解答】解：在①中，当二面角A﹣DE﹣A1的平面角θ=90°时，CE⊥DA1，故①正确；在②中，∵如图1，矩形ABCD中，．点E在AB边上，CE⊥DE且AE=1，如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A﹣DE﹣A1的平面角为θ∴A1D⊥A1E，CE⊥DE，∴∠DEA一定是锐角，∴当存在某个位置，使DE⊥A1C时，DE⊥平面A1EC，则∠DEA=90°，与∠DEA一定是锐角矛盾，故不存在某个位置，使DE⊥A1C，故②错误；在③中，DE是定直线，当二面角A﹣DE﹣A1的平面角θ变化时，A1C是动直线，∴任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等，故③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5.00分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为y=±x．【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得c=a，结合双曲线的几何性质可得a=b，进而分2种情况讨论双曲线焦点的位置，求出双曲线的渐近线方程，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C的离心率为，即e==，则有c=a，又由c2=a2+b2，则有a=b，分2种情况讨论：①，若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为﹣=1，则渐近线方程为：y=±x；②，若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为﹣=1，则渐近线方程为：y=±x；综合可得：双曲线的渐近线方程为y=±x；故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的离心率公式的应用，注意分类讨论双曲线的焦点位置．10．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为48．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=2执行循环体，S=2，i=2不满足条件i＞4，执行循环体，S=4，i=3不满足条件i＞4，执行循环体，S=12，i=4不满足条件i＞4，执行循环体，S=48，i=5此时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为48．故答案为：48．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11．（5.00分）平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，若（x，y∈R），则x+y=．【分析】可得=，=，得：．即可．【解答】解：=，…①=，…②由①②得：．∴，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算，属于中档题．12．（5.00分）已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=p，a2=q（p，q∈R）．设，则a10=﹣p；S2018=p+q．（用含p，q的式子表示）【分析】根据数列的递推公式，确定数列{a n}是以6为周期的周期数列，且6项的和为0，由此可得结论．=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=p，a2=q（p，q∈R），【解答】解：∵a n+1∴a3=q﹣p，a4=﹣p，a5=﹣q，a6=p﹣q，a7=p，a8=q，…，∴数列{a n}是以6为周期的周期数列，且6项的和为0，∴a10=a4=﹣p，∵2018=6×336+2，∴S2018=a1+a2=p+q，故答案为：﹣p，p+q【点评】本题考查了数列的递推公式，确定数列{a n}是以6为周期的周期数列是关键，属于中档题13．（5.00分）伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题．一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）的一种“图形证明”．证明思路：（1）图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）图1中阴影区域的面积为ac+bd，图2中，设∠BAD=θ，图2阴影区域的面积可表示为（用含a，b，c，d，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当a，b，c，d满足条件时，等号成立．【分析】利用矩形，平行四边形面积公式计算即可．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积S1=bd+ac；图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；（2）图2阴影区域的面积S=AD•ABsin∠DAB=．（3）∵sinθ≤1，（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当时，取等号．答案为：，【点评】本题考查了不等式的性质，属于中档题，14．（5.00分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为lsinαm；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）【分析】根据三角形的外角公式可得∠P2BP1=∠P2，可得P1B=l，于是可得BC，在△ACP1中求出AC，从而得出AB．【解答】解：由题意可知∠BP1C=α，∠AP1C=90°﹣α，P1P2=l，∠BP2C=，∴∠P2BP1=∠BP1C﹣∠BP2C=，∴P2B=P1P2=l，∴BC=P1Bsin∠BP1C=lsinα．P1C=P1Bcos∠BP1C=lcosα，在Rt△AP1C中，tan∠AP1C=，即tan（90°﹣α）=，∴=，∴AC=，∴BA=AC﹣BC=﹣lsinα=，故答案为：lsinα，．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13.00分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足bcos2A=bcosA﹣asinB，且，求f（B）的取值范围．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．（Ⅱ）首先利用正弦定理求出相应的角，进一步利用三角函数的关系式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题知，=，=．由（k∈Z），解得．所以f（x）单调递增区间为（k∈Z）．（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sinBcos2A=sinBcosA﹣sinAsinB．因为在三角形中sinB≠0，所以cos2A=cosA﹣sinA．即（cosA﹣sinA）（cosA+sinA﹣1）=0当cosA=sinA时，；当cosA+sinA=1时，．由于，所以．则．则．又，所以．由，则f（B）的取值范围是．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应用．16．（13.00分）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等．如表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表．表1：2016年12月AQI指数表：单位（μg/m3）表2：2017年12月AQI指数表：单位（μg/m3）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级．从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？结合数据说明理由．【分析】（I）根据空气质量指数的最大值和最小值得出极差；（II）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（III）从空气质量为优的天数变化即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的最大值为221，最小值为27，∴2017年12月空气质量指数的极差，221﹣27=194．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，；；．∴ξ的分布列为：所以．（Ⅲ）2016年12月空气质量为优的天数为4天，而2016年空气质量为优的天数为17天，故该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是有效的．【点评】本题考查了数据统计，离散型随机变量的分布列，属于中档题．17．（14.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，D是线段AC的中点，且A1D⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅲ）若A1B⊥AC1，AC=BC=2，求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥AC，A1D⊥BC，从而BC⊥平面AA1C1C，由此能证明平面A1BC⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）连接AB1，设AB1∩A1B=E，连接DE．推导出DE∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1BD．（Ⅲ）取AB的中点F，则DF∥BC，从而DF，DC，DA1两两垂直．以D为原点，分别以DF，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣A1B﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为∠ACB=90°，所以BC⊥AC．根据题意，A1D⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1D⊥BC．因为A1D∩AC=D，所以BC⊥平面AA1C1C．又因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面AA1C1C．…（4分）（Ⅱ）连接AB1，设AB1∩A1B=E，连接DE．根据棱柱的性质可知，E为AB1的中点，因为D是AC的中点，所以DE∥B1C．又因为DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．…（8分）解：（Ⅲ）如图，取AB的中点F，则DF∥BC，因为BC⊥AC，所以DF⊥AC，又因为A1D⊥平面ABC，所以DF，DC，DA1两两垂直．以D为原点，分别以DF，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系（如图）．由（Ⅰ）可知，BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1．又因为A1B⊥AC1，BC∩A1B=B，所以AC1⊥平面A1BC，所以AC1⊥A1C，所以四边形AA1C1C为菱形．由已知AC=BC=2，则A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），．设平面A1AB的一个法向量为n=（x，y，z），因为，，所以，即设z=1，则．再设平面A1BC的一个法向量为m=（x1，y1，z1），因为，，所以，即设z1=1，则．故．由图知，二面角A﹣A1B﹣C的平面角为锐角，所以二面角A﹣A1B﹣C的余弦值为．…（14分）【点评】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（13.00分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得在点处的导数值，则答案可求；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=cosx﹣xsinx，求其导函数，可得当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则函数g（x）为减函数．结合g（0）＞0，g（1）＜0，可得有且只有一个x0∈（0，1），使g（x0）=0成立．即方程f′（x）=0在区间（0，1）内有且只有一个实数根；（Ⅲ）把函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，转化为f（x）=xcosx+a在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号．然后结合（Ⅱ）中的单调性可得，求解此不等式组得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xcosx+a，得f′（x）=cosx﹣xsinx．∴曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=cosx﹣xsinx，则g'（x）=﹣sinx﹣（sinx+xcosx）=﹣2sinx﹣xcosx．当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则函数g（x）为减函数．又∵g（0）=1＞0，g（1）=cos1﹣sin1＜0，∴有且只有一个x0∈（0，1），使g（x0）=0成立．∴函数g（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点，即方程f′（x）=0在区间（0，1）内有且只有一个实数根；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，由于F′（x）=f（x），即f（x）=xcosx+a在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号．∵当x∈（0，1）时，函数g（x）为减函数，∴在（0，x0）上，g（x）＞g（x0）=0，即f′（x）＞0成立，函数f（x）为增函数；在（x0，1）上，g（x）＜g（x0）=0，即f′（x）＜0成立，函数f（x）为减函数．则函数f（x）在x=x0处取得极大值f（x0）．当f（x0）=0时，虽然函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x0，但f （x）在x0两侧同号，不满足F′（x）在区间（0，1）内有且只有一个极值点的要求．由于f（1）=a+cos1，f（0）=a，显然f（1）＞f（0）．若函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号，则只需满足：，即，解得﹣cos1≤a＜0．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．19．（14.00分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过抛物线C上的动点P（除顶点O外）作C的切线l交x轴于点T．过点O作直线l的垂线OM（垂足为M）与直线PF交于点N．（Ⅰ）求焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：FT∥MN；（Ⅲ）求线段FN的长．【分析】（Ⅰ）根据题意，由抛物线的标准方程分析可得p的值，即可得答案；（Ⅱ）设P（x0，y0）．由导数的几何意义分析可得过点P的切线l方程，其中令y=0，可得T的坐标，分析MN的斜率，由此分析可得答案；（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论，易得直线MN、PT的方程，设MN和PF交点N的坐标为N（x N，y N），分析可得，将其化简变形可得（x N≠0），即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，抛物线的方程为x2=4y，其中p=2，则其焦点坐标为F（0，1），（Ⅱ）设P（x0，y0），由x2=4y，得，则过点P的切线l的斜率为．则过点P的切线l方程为．令y=0，得，即．又点P为抛物线上除顶点O外的动点，x0≠0，则．而由已知得MN⊥l，则．又x0≠0，即FT与MN不重合，即FT∥MN．（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论，直线MN的方程为，x0≠0．直线PF的方程为，x0≠0．设MN和PF交点N的坐标为N（x N，y N）则由（1）式得，（由于N不与原点重合，故y N≠0）．代入（2），化简得（y N≠0）．又，化简得，（x N≠0）．即点N在以F为圆心，1为半径的圆上．（原点与（0，2）除外）即FN=1．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，可以由导数的几何意义，求出切线的方程．20．（13.00分）已知集合P={a1，a2，…，a n}，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2）．M （P）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）若集合P={1，3，5，7，9}，求M（P）；（Ⅱ）若集合P={1，4，16，…，4n﹣1}，求证：a i+a j的值两两不同，并求M（P）；（Ⅲ）求M（P）的最小值．（用含n的代数式表示）【分析】（Ⅰ）根据新定义即可求出答案，（Ⅱ）根据新定义可得共有项，所以，即可证明a i+a j 的值两两不同，并求M（P）=，+a n．由（Ⅲ）设a1＜a2＜…＜a n，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣1此能够推出M（P）的最小值2n﹣3．【解答】解：（Ⅰ）不同值为4，6，8，10，12，14，16，故M（P）=7；（Ⅱ）形如和式a i+a j（1≤i＜j≤n）共有项，所以．对于集合{1，4，16，…，4n﹣1}中的和式a i+a j，a p+a q（1≤i＜j≤n，1≤p＜q≤n）：当j=q时，i≠p时，a i+a j≠a p+a q；当j≠q时，不妨设j＜q，则．所以a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同．且．（Ⅲ）不妨设a1＜a2＜a3＜…＜a n，可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣+a n．a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数．1即M（P）≥2n﹣3．设a1，a2，…，a n成等差数列，，则对于每个和式a i+a j（1≤i＜j≤n），其值等于a1+a p（2≤p≤n）或a q+a n（1≤q ≤n﹣1）中的一个．去掉重复的一个a1+a n，所以对于这样的集合P，M（P）=2n﹣3．则M（P）的最小值为2n﹣3．【点评】本题考查集合与元素的位置关系以及数列在实际生活的应用，解题时要认真审题，仔细解答，属于难题。

北京市朝阳区2018届高三数学上学期期中试题理（扫描版）
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