2009全国数学竞赛练习.doc6

2009年全国高中数学联赛（福建赛区）厦门市获奖情况通报闽教基【2009】72号文：由省教育厅、省科协委托省数学学会举办的《2009年全国高中数学联赛（福建赛区）》的竞赛工作已结束，由福建省教育厅及福建省科学技术协会批审共评出省级全国奖152名，其中一等奖45名、二等奖46名、三等奖61名。

我市共有来自六所学校的52名学生获得省级全国奖，其中一等奖16名，二等奖12名，三等奖17名。

尤其可喜的是厦门双十中学李集佳（女）同学（福建赛区第二名），厦门双十中学鹿鸣同学（福建赛区第三名），以及厦门双十中学林新阳同学等三人入选福建省代表队参加全国决赛（冬令营）。

由福建省数学学会同期举办的《2009年福建省高中数学竞赛》共评出获奖学生456名，其中省一等奖77名、省二等奖154名、省三等奖225名。

我市共有91名学生获奖，其中获省一等奖20名，获省二等奖35名，获省三等奖36名。

另外，由厦门市数学教学专业委员会再评出市级一等奖23名，二等奖29名，三等奖44名，表扬奖32名。

获奖学生及指导教师名单如下：一、2009年全国高中数学联赛（福建赛区）获得省级全国奖学生及指导教师名单（由福建省教育厅及福建省科学技术协会批审）省级全国一等奖16名，二等奖12名，三等奖17名，共45名。

二、福建省数学学会同期举办的《2009年福建省高中数学竞赛》获省级奖学生及指导教师名单（由福建省数学学会批审）三、福建省数学学会同期举办的《2009年福建省高中数学竞赛》获市级奖学生及指导教师名单：（由厦门市数学教学专业委员会批审）厦门市教育学会数学教学专业委员会2010年元月附表1：2009年全国高中数学联赛（福建赛区）获得省级全国奖（福建省教育厅及福建省科学技术协会批审、中国数学会颁奖）情况统计如下：获奖级别一等奖二等奖三等奖小计双十中学9人4人4人17人厦门一中4人2人6人12人外国语学校3人3人3人9人同安一中3人4人7人合计16人12人17人2009年福建省高中数学竞赛获得省、市奖（福建省数学学会、厦门市数学教学专业委员会颁奖）情况统计如下：入选省队一等奖二等奖三等奖人数比率人数比率人数比率人数比率2005年7（32）21.88% 11（51）21.57% 15（67）22.39% 2006年2（4）50% 13（37）35.13% 12（46）26.09% 20（70）28.57% 2007年2（5）40% 14（40）35% 10（49）20.41% 24（64）37.5% 2008年2（5）40% 17（41）41.46% 16（53）30.19% 19（59）32.2% 2009年3（5）16（45）12（46）17（61）（括号的数字为当年省获奖人数）附表3：2005年～2008年以及2009年学校参加全国高中数学联赛获省级全国奖情况：入选省队一等奖二等奖三等奖双十中学4人次+3人次24人次+9人次25人次+4人次29人次+4人次外国语学校2人次11人次+3人次5人次+3人次15人次+3人次厦门一中9人次+4人次12人次+2人次21人次+6人次同安一中4人次4人次+3 8人次+4 翔安一中2人次厦门六中1人次2人次科技中学2人次1人次国祺中学1人次英才学校1人次集美中学1人次总计6+3 51+16 49+12 78+17。

n=1
n=1
9
2013 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）
( )n
1.求极限 lim 1+ sin π 1+ 4n2 . n→∞
∫ 2.证明广义积分 +∞ sin x dx 不是绝对收敛的 0x
3.设函数 y = y ( x) 由 x3 + 3x2 y − 2 y3 = 2 确定，求 y ( x) 的极值。
二、（5
分）求极限 lim( ex
+
e2x
+"+
e nx
e
)x
，其中 n 是给定的正整数.
x→0
n
∫ 三、（15 分）设函数 f (x) 连续，g(x) = 1 f (xt)dt ，且 lim f (x) = A ，A 为常数，求 g′(x)
0
x→0 x
并讨论 g′(x) 在 x = 0 处的连续性.
（1）
∫∫
S
ρ
(
z x, y,
z
)
dS
；（2）
∫∫
S
z
(
λ
x
+
3μ
y
+ν
z
)
dS
( ) ( ) ( ) 六．（本题 12 分）设 f(x)是在 −∞, +∞ 内的可微函数，且 f 、 x < mf x ，其 ( ) 中 0 < m < 1 ， 任 取 实 数 a0 ， 定 义 an = ln f an−1 , n = 1, 2,..., 证 明 ：
平面与路径3 x x+1 sin t dt

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛集训试卷（二）(时间90分钟，满分120分)一、选择题 （共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1. 已知x xx x -=-11，则x 应满足（ ） (A) x ＜1 (B) x ≤0 (C) x ＞1 (D) x ≥0且x ≠12. 有一个游戏的规则是：你想一个数，乘以2，加上6，再除以2，最后减去你所想的数，我就知道结果．这个结果是（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 43. 如图，Rt ABC Δ中，DC 是斜边AB 上的中线，EF 过点C 且平行于AB ．若︒=∠35BCF ，则ACD ∠的度数是（ ）(A) 35° (B) 45°(C) 55° (D) 65°4． 一个立方体的表面展开图如下面左图所示，将其折叠成立方体后的立体图形是（ ）5. 已知x ，y ，z 满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（ ）(A) 31 (B) 31- (C) 1 (D) 216. 801班的全体同学为本校一贫困生共捐款125元，根据下表（不完整）中该班的捐款数和捐款人数，可以知道该班捐款数的平均数和中位数依次是（ ）(A) 2.5元，2元 (B) 2.5元，2.5元 (C) 2元，2.5元 (D) 2元，2元7. 袋中装有3个红球、4个黑球、5个白球．现从袋中任意摸出2个球，摸出的球中恰好有1个红球的概率是（ ）(A) 449 (B)229 (C)115 (D)31(第4题)(A) (B) (C)(D) (第3题)8. 如图，点A 是5×5方格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长都是1．那么，面积等于25，并且一个顶点是A 点的格点．．等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数有（ ）(A) 10个 (B) 12个 (C) 14个 (D) 16个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9. 化简1)111(2-÷-+x xx 得 ， 当x = (选择一个你喜欢的x 值)时，求得原式的值为 ． 10. 计算008200621861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 的结果是 ． 11. 观察下列各式：225100)11(115+⨯+⨯=；225100)12(225+⨯+⨯=； 225100)13(335+⨯+⨯=；……依此规律，第n 个等式(n 为正整数)为 ．12. 一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为 ．13. 三个同学对问题“若二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111,c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,4,3y x 求方程组⎩⎨⎧=+=+222111523,523c y b x a c y b x a 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．14. 某文具店销售的水笔只有A ，B ，C 三种型号，下表中给出了上月这三种型号水笔每支的利润和销售量．若该店计划下月共进货这三种型号水笔600支，结合上月销售情况，你认为A ，B ，C 三种型号的水笔各进货多少支总利润最高？此时所获得的总利润是多少？答：进A 型水笔支，B 型水笔 支，C 型水笔 支，总利润最高，此时所获得的总利润为 元．(第8题)A ，B ，C 三种水笔每支利润和销售量三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15. 当x 分别取值00821，00721，…，31，21，1，2，3，…，2 007，2 008时，求所得各代数式2211x x +-值的和．16. 已知一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数是x ，方差是2S ，设另一组数据b ax x +='11，b ax x +='22，b ax x +='31，…，b ax x n n +='的平均数是x '，方差是2S '． 请说明以下等式成立的理由：(1) b x a x +='；(2) 222S a S ='．17. 已知四边形ABCD 两条对角线互相垂直，点O 是对角线的交点，∠ACD =60 ，∠ABD =45，点A 到CD 的距离是6，点D 到AB 的距离是8，求四边形ABCD 的面积S ．18. 现有一张矩形纸片ABCD (如图)，其中AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点B '．求线段C B '的长． BA CD (第18题)B 'A BC DO(第17题)。

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A）12 （B）12 （C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC=，即 11a a a =+， 所以， 210a a --=．由0a >，解得a = 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ． 解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）．（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0， 解得 2y ≤11616.57≈．于是 显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=， 则 237501150003000x y +==+． 7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为 ． 解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．【答】7． 解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=， 即 201520x x -=， 解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图象与x 轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线1x =的右侧． ………………5分设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k xx k+=--=，当且仅当满足如下条件12120,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ∆⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩≥ ………………10分时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x =的右侧．由 222(21)40,210,20,k k k k k ⎧--⎪-->⎨⎪+>⎩≥解之，得 1,41,220.k k k k ⎧⎪⎪⎪<-⎨⎪<->⎪⎪⎩≤或 ………………15分 所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．………………20分12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2(90)4907y x =--的图象上所有“好点”的坐标．解：设2,y m =22(90)x k -=，m ，k 都是非负整数，则22770114907k m -=⨯=⨯，即 ()()7701149k m k m -+=⨯=⨯． ……………10分则有 701,49077; 1.k m k m k m km +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩ 解得 1212354,2454,347;2453.k k m m ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以 312412342544,444,264,2364,120409;120409;6017209;6017209.x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩故“好点”共有4个，它们的坐标是：4441204092641204092544601720923646017209--（，），（，），（，），（，）. ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分 因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅． 同理可得 CE EG AD AB =⋅． ………………10分 又因为tan AD BE ACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG =．………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ； 且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n = ，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=- ．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分 由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分 由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=- ，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+， 982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分。