九年级数学竞赛试题(附答案).doc

九年级数学测验二

满分：120分

时间：150分钟

一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）

1.实数x、y满足等式2292|3|0xyxyxyxy，则xy的取值范围为 。

2.关于x的方程113267aaxxa无解，则实数a的可能取值有 。

3. 已知111RtABC的直角边长分别为1a、1b，斜边长为1x，222RtABC的直角边长分别为2a、2b，斜边长为2x；请以111RtABC与222RtABC的直角边长构造出RtABC的直角边：

，使得其斜边长为12xx。

4.在ABC中，P为其内部一点，请你构造出一对全等三角形，使得以下结论分别成立：

当 时，ABC为以BC为底边的等腰三角形；

当 时，ABC为以AC为底边的等腰三角形，且P为它外接圆的圆心；

当 时，ABC为等边三角形。

5.在四边形ABCD中，P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA四边中点，记四边形ABCD的对角线长度之和为1l，四边形PQRS的对角线长度之和为2l，令12lkl，则k的取值范围为 。

6.已知函数21yaxaxa与直线0xaya只有一个交点，那么这个交点的坐标为 。

7.给出三个关于x的方程：22220,20,20axbxcbxcxacxaxb，

若220abacbc，且这三个方程有相同的根，则这个根为 ；

若0abc，则前两个方程均有实根的概率为 ；

若0ab，在这三个方程中恰有某个方程存在唯一实根，则它们共有 个不相等的实根。

8. 已知某梯形的边长与对角线可构成三组长度相等的线段，那么最短边

与最长边之比为 。

9.如图，给出反比例函数3kyx，这里1k；在x轴正半轴上依次排列 2010个点122010,,,AAA，点nA的坐标为(,0)(1,2,,2010)nxn，

1(1,2,,2009)nnxxdn，1(1)xdk；过点nA作x轴的垂线交反比例函数于点nP，记12nnnPPP的面积为(1,2,,2008)nSn，那么122008SSS 。

二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）

10.若22221aabb，那么a、b（ ）

A.一个为无理数、一个为有理数 B.均为分数 C均为无限不循环小数 D.不是实数

11.下列整式中哪个不能在实数范围内因式分解？（ ）

A. 32333kkk B. 32331kkk C. 32332kkk D. 32332kkk

12.如图，在无限单位正方形网格中，任意找三个正方形顶点构成一个角，以下特殊角中不可能得到的有（ ）个：①22.5②30③36④45

A.4 B.3 C.2 D.1

13.将一个多边形中所有的点连结成线段后，边长及对角线长共有n种取值，那么在这些线段构成的角中，最小的角是（ ）度。

A. 180(2)nn或180(1)1nn B. 90n或18021n C. 180n或36021n D. 180(1)nn或180(21)21nn

14.如图，一开口向下的抛物线与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点Q（0，-3），其顶点为P，若~PABBAQ，则抛物线的方程为（ ）

A. 2143333yxx B. 2123363yxx

C. 23236yxx D. 23433yxx

15.如图，在半径为r的O中，有内接矩形ABCD，AB中点E与圆上逆时针排列的三点

F、G、H构成边长为a的菱形，若2GDHEFG，则DG的长为（ ）

A. 2242ra或2242ra B. 242rra或242rra

C. 242raa或242raa D. 22arr或22arr

16. 如图，在直角坐标系中，直线340xya与y轴、反比例函数kyx和x轴

依次交于A、B、C、D四点，若2BCABCD，且2ACBD，则ak（ ） A. 1522 B. 324 C. 1825 D. 92

17. 如图，在RtABC中，90C，作内切圆O，记其半径为r；在O周围再作三个

圆，使得它们既与O相切，又与RtABC相切，记它们的半径分别为1r、2r、3r，

则123rrr与r的大小关系为（ ）

A. 123rrrr B. 123rrrr C. 123rrrr D.无法确定，与RtABC的锐角有关

18.如图所示环形跑道，大圆半径为55米，小圆半径为50米，A、B、C、D为大圆圆周上的四

等分点，小圆上的点'A、'C在直线AC上，'B、'D在直线BD上；甲、乙两人从A点

开始顺时针慢跑，甲一直在大圆上运动，其速度为每秒2.5米；乙作每秒4米的匀速运动，

只是先沿着直线段'AA抵达小圆，跑完四分之一个圆周后沿直线段'BB回到大圆上；图中

箭头即规定了乙穿梭于大圆和小圆之间时的方向，同时要求他不能连续两次通过某一直线段

进入小圆或回到大圆，即乙从B点跑至D点并进入小圆后不能再一次在'B点回到大圆，而必

须经过直线段'CC；此外，乙除了在经过这些直线段时作向南或向东的运动，其他时候都是作顺时针运动。请问：当甲第一次出现在乙之前（即甲在乙前方5米以内）时，乙已通过'B点（ ）次

A.2 B.3 C.4 D.5

三、解答题（共七大题，满分66分）

19.小明在做数学作业时遇到了困惑，请你帮忙解答：

（1）（4分）整数m使得关于x、y的二元一次方程组273103540xymxym的解32xy，试求m；

小明先是这么解的：

由273103540xymxym解得3023102xmym，于是1213.5m，得到13m；

后来小明发现了一种更简便的方法，因为他认为带参数解方程显得过于繁琐：

由32xy得知273102372203540335219xymxym，于是1021m，

解到这儿时他才发现不对劲，因为两个结果差异太大，可他看了半天也检查不出错误，你能找出来告诉他吗？

（2）（4分）他在另外一次数学作业中又遇到了不等式问题，已算到这一步：

负数x、y(>x)满足不等式222041200xxyy，

他很快对左边的整式作了因式分解：(45)(54)0xyxy，于是得到54xy；

不过小明是个爱动脑筋的孩子，他又记起了以前学过的换元法： 令xty，则原不等式可化为：222041200xxyy，

即2204120(45)(54)0tttt，得54t，

但这样得出的结果与前面矛盾，因为y为负数，因此将y乘到不等式右边时，54xy；

他大惑不解，不过他实在不知自己哪儿出错了，你能找出来告诉他吗？

20.观察以下方法并答题：

对于正整数n，求123n。

由22222(11)12111，

22223(21)22211，

22224(31)32311，

……

222(1)211nnn，

将以上n个等式加起来，得：

22222222234(1)(123)2(123)1nnnn，

21(1)123[(1)1]22nnnnn。

（1）（4分）对于正整数n，请运用以上方法求2222(1)(2)(3)4nnnn；

（2）（3分）对于正整数n，利用（1）的结果求2222135(21)n。

21.如图，O为等腰三角形ABC的外接圆，ACAB，在劣弧AC上找一点

D使得DADC，在劣弧AD上找一点E使得EAED，若EABA，

（1）（3分）试判断四边形ABCD的形状；

（2）（5分）利用图中边角关系，求sin54。

22.某地摊出售A、B、C三种货物，顾客甲买了A货物1件、B货物2件和C货物3件，一共花去26元，顾客乙买了A货物2件、B货物3件和C货物4件，一共花去38元；

（1）（2分）求出A、B、C三种货物的单价之和；

（2）（3分）若顾客丙买了A货物3件、B货物2件和C货物1件，那么他花了多少钱？

（3）（4分）若顾客丁打算用32元购买这三种货物，那么他怎么选购才使得钱恰好够用？

23.如图，在边长为a的菱形ABCD中，M为BC边上一点（不与顶点重合），将ABM沿

AM折叠，点B刚好落在CD边的N点处；

（1）（2分）试求BAD的范围；

（2）（5分）若点N恰好为CD中点，试求折痕AM的长；

（3）（5分）求证：221AMDNBMCM。

24.在关于x的一元二次方程2()2()0abcxbcaxcab中，a、b、c为ABC的三边长；

（1）（3分）若该方程有唯一实根，则A必定为锐角，且当60A时，ABC为等边三角形；

（2）（4分）若该方程有唯一实根，且2CB，试证明：22222(221)(231)bcabc；

（3）（5分）若该方程有两个整数根，ABC三边也为整数，且ab，试求出ABC的最小面积。