2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2009年全国高中数学联合竞赛试题 第 1 页 共 11 页 2009年全国高中数学联合竞赛一试

一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。

2009*1、函数21)(xxxf，且fnnxffffxf个)]]([[)()(，则)1()99(f

◆答案：101

★解析：由题意得2)1(1)()(xxxfxf，2)2(21)]([)(xxxffxf，······

2)99(991)(xxxf.故 101)1()99(f.

2009*2、已知直线09:yxL和圆018822:22yxyxM，点A在直线L上，点CB,为圆M上两点，在ABC中，045BAC，直线AB过圆心M，则点A横坐标的取值范围

为

◆答案：6,3

★解析：设A（a，9-a），则圆心M到直线AC的距离d=AMsin45，由直线AC与圆M相交，得 234d.解得 63a.

2009*3、在坐标平面上有两个区域M和N，M为xyxyy20，N是随t变化的区域，它由不等式1txt所确定，t的取值范围是10t，则M和N的公共面积是函数)(tf

◆答案：212tt

★解析：由题意知阴影部分面积stf)( =BEFOCDAOBSSS=212tt 2009年全国高中数学联合竞赛试题 第 2 页 共 11 页

2009*4、若不等式3120071212111nnn对一切正整数n都成立，则最小正整数a的值为

◆答案：2009

★解析：设121...2111)(nnnnf.显然)(nf单调递减.则由)(nf的最大值312007)1(af，可得2009a.

2009*5、椭圆12222byax（0ba）上任意两点QP,，若OQOP，则OQOP的最小值

为

◆答案：.22222baba

★解析：设)sin,cos(OPOPP，)).2sin(),2cos((OQOQQ

由QP、在椭圆上，有22222sincos1baOP（1）， 22222cossin1baOQ（2）

（1）+（2）得.11112222baOQOP

于是当 22222babaOQOP时，OQOP达到最小值.22222baba

2009*6、若关于x的方程)1lg(2lgxkx仅有一个实根，则实数k的取值范围为

◆答案：0k或4k

★解析：由题意，方程等价于2)1(010xkxxkx，当且仅当

0kx（1）；01x（2）；01)2(2xkx （3）

对（3）由求根公式得]42[21,221kkkxx （4）

又0042kkk或4k 2009年全国高中数学联合竞赛试题 第 3 页 共 11 页 )(i当0k时，由（3）得01022121xxkxx，所以21xx同为负根。

又由（4）知，010121xx，所以原方程有一个解1x。

)(ii当4k时，原方程有一个解.112kx

)(iii当4k时，由（3）得01022121xxkxx，所以21,xx同为正根，且21xx，不合题意。

综上可得0k或4k为所求。

2009*7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一个数

是

（可以用指数表示）

◆答案：982101

★解析： 易知：)(i该数表共有100行；)(ii每一行构成一个等差数列，且公差依次为

989923212,...,2,2,1dddd

)(iii100a为所求。设第)2(nn行的第一个数为na，则

2121122)2(nnnnnnaaaa

2322]22[2nnna

22432222]22[2nnnna

233232nna

......

2112)1(2nnna

22)1(nn

故981002101a.

2009*8、某车站每天00:9~00:8，00:10~00:9都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为

到站时刻

10:910:8 30:930:8 50:950:8

概率

61 21 31

一旅客20:8到车站，则他候车时间的数学期望为 （精确到分）

◆答案：27 2009年全国高中数学联合竞赛试题 第 4 页 共 11 页 ★解析：解：旅客候车的分布列为

候车时间（分） 10

30

50

70

90

概率

21 31 6161 6121 6131

候车时间的数学期望为

2718190121703615031302110

二、解答题：本大题共3小题，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2009*9、（本题满分14分）

设直线mkxyl:（其中mk,为整数）与椭圆1121622yx交于不同两点BA,，与双曲线112422yx交于不同两点DC,，问是否存在直线l，使得0BDAC，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由。

★解析：由题意得1121622yxmkxy

消去y化简整理得04848)43(222mkmxxk

设),(),,(2211yxByxA，则221438kkmxx.

0)484)(43(4)8(2221mkkm （1）·

由112422yxmkxy 消去y化简整理得0122)3(222mkmxxk

设),(),,(4433yxDyxC，则24332kkmxx.

0)12)(3(4)2(2222mkkm

（2）·

因为0ACBD，所以0)()(1324xxxx，此时，0)()(1324yyyy.由4321xxxx，得2232438kkmkkm.所以02km，或2231434kk.由上试解得0k或0m.

当0k时，由（1）和（2）得3232m.因m是整数，所以m的值为.3,2,1,0,1,2,3当0m时，由（1）和（2）得33k.因k是整数，

所以.1,0,1k于满足条件的直线共有9条。·

2009年全国高中数学联合竞赛试题 第 5 页 共 11 页

2009*10、（本题满分15分）已知qp,（0q）是实数，方程02qpxx有两个实根,，数列na满足pa1，qpa22，21nnnqapaa（,4,3n）。

⑴求数列na的通项公式（用,表示）；

⑵若41,1qp，求数列na的前n项和；

★解析：解法一：（I）由韦达定理知,0q又,p所以

...)5,4,3(,)(2121naaqxpxannnnn

整理得).(211nnnnaaaa

令nnnaab1，则,...).2,1(1nbbnn所以｛nb｝是公比为的等比数列.

数列｛nb｝的首项为：.)()(222121pqpaab

所以,112nnnb即,...).2,1(11naannn

所以,...).2,1(11naannn

①当042qp，,0,...)2,1(,2111naapannn

变为,...).2,1(11naannn整理得，,...).2,1(,111naaaannnn所以，数列｛nnaa｝成公差为1的等差数列，其首项为221a，所以.1)1(12nnann

于是数列｛na｝的通项公式为nnna)1(

②当042qp时，，11nnnaa

1nna

,...).2,1(11nannn

整理得，,...).2,1(),(121naannnn

所以，数列1nna成公比为的等比数列，其首项为.2221a所以.121nnna

于是数列｛na｝的通项公式为11nnna

（II）若,41,1qp则,042qp此时.21由第（I）步的结果得，数列｛na｝2009年全国高中数学联合竞赛试题 第 6 页 共 11 页 的通项公式为nnnnna21)21)(1(，所以，｛na｝的前n项和为

nnnnns212...242322132

1432212...24232221nnnnns

以上两式相减，整理得1232321nnns

所以.233nnns·

解法二：（I）由由韦达定理知,0q又,p所以

.,2221aa

特征方程02qp的两个根为,.

①当0时，通项,...)2,1()(21nnAAann.由2213,2aa

得2221213)2(2)(AAAA

解得.121AA故nnna)1(·

②当时，通项,...).2,1(21nAAannn由2221,aa得

22222121AAAA，解得.,21AA故

所以1111nnnnna·

（II）同解法一。

2009*11、（本题满分15分）求函数xxxy1327的最大和最小值。

★解析：函数的定义域为]13,0[。因为)13(213271327xxxxxxy

1327

1333