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2009年全国初中数学竞赛试题

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中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2009

年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代

号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选

项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．已知非零实数a，b 满足

满足 2

242(3)42ababa

-+++-+=，则

ab

+等

于（于（ ）．

（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 

【答】C．

解：由题设知a≥3，所以，题设

的等式为2

2(3)0bab

++-=，于是

32ab

==-，，从而

ab

+＝1．

2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，

且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（等于（ ）．

（A）51

2+

（B）51

2-

（C）1 （D）2 

【答】A．

解：因为△BOC ∽ △ABC，所以BOBC

ABAC=，即，即

1

1a

aa=

+，

所以，所以， 2

10aa

--=．

由

0a>，解得15

2a+

=．

3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷两次，记第一次掷出的点数为

a，第二次掷出的点数为

b，则使关于x，y

的方程组3

22axby

xy+=

ì

í

+=

î，

只有正数解的概率为（只有正数解的概率为（ ）

． （第2题）

（A）

121

（B）

92

（C）

185

（D）

3613

【答】D．

解：当

20ab

-=时，方程组无解．

当

02

¹-ba时，方程组的解为62

,

2

23

.

2b

x

ab

a

y

ab-

ì

=ï

ï

-

í

-

ï=

ï

-î

由已知，得

ïï

îïï

íì

>

-->

--

,0

232,0

226

baabab

即

ïï

îïï

íì

<>>-

,3,

23,02

baba

或

ïï

îïï

íì

><<-

.3,

23,02

baba

由a，

b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得，可得

23456

12a

b=

ì

í

=

î，，，，，

，，共有共有 5×2＝10种情况；或1

456a

b=

ì

í

=

î，

，，，共3种情况．种情况．

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为

3613

．

4．如图1所示，在直角梯形ABCD

中，AB

∥DC

，

90B

Ð=°. 动点P

从点从点

B

出发，沿梯形的边由B

→C

→D

→A

运动. 设点P

运动的路程为x

，△ABP

的面

积为y

. 把y

看作x

的函数，的函数，函数的图象如图函数的图象如图2所示，所示，则△则△ABC

的面积为的面积为（（ ）．

（A）10 （B）16 （C）18 （D）32 

【答】B．

解：根据图像可得BC

＝4，CD

＝5，DA

＝5，进而求得AB

＝8，故，故

S

△ABC

＝1

2×8×8×44＝16.

5．关于x

，y

的方程22

229xxyy

++=的整数解（x

，y

）的组数为（）的组数为（ ）．

（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组）无穷多组

【答】C． （第4题） 图1 图2 

解：可将原方程视为关于

x的二次方程，将其变形为的二次方程，将其变形为

22(229)0xyxy

++-=．

由于该方程有整数根，则判别式

D≥

0，且是完全平方数．，且是完全平方数．

由

222

4(229)7116yyy

D=--=-+≥

0，

解得解得 2

y≤116

16.57

7»．于是．于是

2

y

0 1 4 9 16 

D

116 109 88 53 4 

显然，只有2

16y

=时，

4

D=是完全平方数，符合要求．是完全平方数，符合要求．

当

4y

=时，原方程为2

430xx

++=，此时

121,3xx

=-=-；

当y

＝－4时，原方程为2

430xx

-+=，此时

341,3xx

==．

所以，原方程的整数解为所以，原方程的整数解为

1

11,

4;x

y=-

ì

í

=

î 2

23,

4;x

y=-

ì

í

=

î 3

31,

4;x

y=

ì

í

=-

î 4

43,

4.x

y=

ì

í

=-

î

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；

若把它安装在后轮，则自行车行驶若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 3000 kmkm后报废，行驶一定路程后可以交换

前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那

么这辆车将能行驶么这辆车将能行驶 km ．

【答】3750．

解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k

,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km

磨损量为

5000k

,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为

3000k

.又设一对新轮

胎交换位置前走了x

km，交换位置后走了y

km.分别以一个轮胎的总磨损量为

等量关系列方程等量关系列方程,,有

,

50003000

,

50003000kxky

k

kykx

kì

+=ï

ï

í

ï

+=

ï

î

两式相加，得两式相加，得 ()()

2

50003000kxykxy

k++

+=，

则 2

3750

11

50003000xy

+==

+．

7．已知线段AB

的中点为C

，以点A

为圆心，AB

的长为半径作圆，在线段

AB

的延长线上取点D

，使得BD

＝AC

；再以点D

为圆心，DA

的长为半径作圆，

与⊙A

分别相交于F

，G

两点，连接FG

交AB

于点

H

，则AH

AB的值为的值为 ．

解：如图，延长AD

与⊙D

交于点E

，连接AF

，EF

．

由题设知1

3ACAD=，1

3ABAE

=，在△FHA

和△EFA

中，中，

90EFAFHA

Ð=Ð=°，

FAHEAF

Ð=Ð

所以所以 Rt△FHA

∽Rt△EFA

，

AHAF

AFAE=.

而

AFAB=，所以AH

AB1

3=.

8．已知

12345aaaaa

，，，，是满足条件

123459aaaaa

++++=的五个不同的整

数，若b是关于x

的方程()()()()()

123452009xaxaxaxaxa

-----=的整数根，

则b的值为的值为 ．

【答】【答】 10．

解：因为()()()()()

123452009bababababa

-----=，且

12345aaaaa

，，，，是

五个不同的整数，所有

12345bababababa

-----，，，，也是五个不同的整数．也是五个不同的整数．

又因为()()

2009117741

=´-´´-´，所以，所以

1234541bababababa

-+-+-+-+-=．

由

123459aaaaa

++++=，可得

10b

=．

9．如图，在△ABC

中，CD

是高，CE

为ACB

Ð的平分线．若AC

＝15，BC

＝20，CD

＝12，则CE

的长等于的长等于

． （第7题）

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历年全国初中数学联赛试题总汇

历年全国初中数学联赛试题总汇

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精品资料分享 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．

１． 设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是

（A）3 ； （B）31； （C）2； （D）35．

答（ ）

２． 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是

（A） 10； （B）12；

（C） 16； （D）18．

答（ ）

３． 方程012xx的解是

（A）251； （B）251；

（C）251或251； （D）251．

答（ ）

４． 已知：)19911991(2111nnx（n是自然数）．那么nxx)1(2，的值是

（Ａ）11991； （Ｂ）11991；

（Ｃ）1991)1(n； （Ｄ）11991)1(n．

答（ ）

５． 若Mn1210099321，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；

（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；

（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；

（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． {{{{{{{{

精品资料分享 答（ ）

６． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么

dcba的最大值是

（Ａ）1；（Ｂ）5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．

答（ ）

７． 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形OPQR的边长是

1995-2011全国初中数学联赛试题(包含大纲)

1995-2011全国初中数学联赛试题(包含大纲)

1 全国初中数学联赛参考考试大纲（2006年通过）

全国初中数学联赛以其严格的规范性著称，试题的命制参考初中数学竞赛大纲（2006年通过）版本。

1．数

整数及进位制表示法，整除性及其判定；

素数和合数，最大公约数与最小公倍数；

奇数和偶数，奇偶性分析；

带余除法和利用余数分类；

完全平方数；

因数分解的表示法，约数个数的计算；

有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2．代数式

综合除法、余式定理；

因式分解；

拆项、添项、配方、待定系数法；

对称式和轮换对称式；

整式、分式、根式的恒等变形；

恒等式的证明。 •

3．方程和不等式

含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；

含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；

含绝对值的一元一次不等式；

简单的多元方程组；

简单的不定方程(组)。

4．函数的图象和性质；

二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值；

含字母系数的二次函数。

5．几何

三角形中的边角之间的不等关系；

面积及等积变换；

三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质；

相似形的概念和性质；

圆，四点共圆，圆幂定理；

四种命题及其关系。

6．逻辑推理问题

抽屉原理及其简单应用；

简单的组合问题；

简单的逻辑推理问题，反证法；

极端原理的简单应用；

枚举法及其简单应用。

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

13 14

15

16

17 18 19 20 21 22 23

24

25 26 27 28 29 30

31

32 33 34

２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案 35 36

历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案

历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案

“希望杯”全国数学竞赛

（第1-23届）

初一年级/七年级

第一/二试题

目 录

1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题 ......................003-005

2.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题 ......................010-012

3.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题 ...... 0错误!未定义书签。-020

4.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题 ...... 0错误!未定义书签。-026

5.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题 ...... 0错误!未定义书签。-032

6.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题 ...... 0错误!未定义书签。-040

7.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题 ...... 0错误!未定义书签。-050

8.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题 ...... 0错误!未定义书签。-058

9.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题 ...... 0错误!未定义书签。-066

10.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 ..... 0错误!未定义书签。-073

11.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 ..... 0错误!未定义书签。-080

12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题 ..... 0错误!未定义书签。-087

13.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题 ..... 0错误!未定义书签。-098

14.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题 ....... 错误!未定义书签。-105

15.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题 ....... 错误!未定义书签。-113

16.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题 ....... 错误!未定义书签。-120

2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题

2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题

2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题

一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）

1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b) +b, 已知a∗2.5=28.5，则实数a的值是 。

2、在三角形ABC中，22b1,,2aABBCaCA，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。

3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。

4、已知关于x的方程4322(3)(2)20xxkxkxk有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为 。

5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为 。

6、设a，b是方程26810xx的两个根，c，d是方程28610xx的两个根，则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)的值 。

7、在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx−1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。

8、方程xyz=2009的所有整数解有 组。

9、如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E ，则∠AEB= 。

第五题图FECBAP第九题图ABCDE第十题图MCDAB

10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10。点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是 。

二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。