九年级数学轨迹与作图

E 中考数学核心知识专题复习----轨迹问题探究符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹六种常用的基本轨迹：①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。

②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。

③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距离等于定长的两条直线。

④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线。

⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆。

⑥和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）。

一、尺规作图：轨迹法确定动点位置1）已知∠AOB,求作点P，使得点P到角两边距离相等，且满足OP=22）已知∠AOB和直线L,在直线L上确定点P，使得使得点P到角两边距离相等3）已知∠AOB和线段CD,使得点P到角两边距离相等且满足PC=PD4)已知线段AB和直线L，在直线L上确定点P使得∠APB=600C AADO B OB1)2)LALO B A B3)4)二交轨法应用1.在正方形ABCD中，为AD边上一点，以BE边所在直线为折痕将∆ABE对折之∆PBE位置。

若AB=2，且PC=1.1)不全图形B2) 求 tan ∠ PCD 的值ADBC2．如图，在 △Rt ABC 中，∠CAB =90°，∠ACB=300，BC =8，D 为线段 AB 上的动点，过点 A 作 AH ⊥CD于点 H ，连接 BH ，则② 求 AB 的长②求 BH 的最小值。

AD HCB3．等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC ，BC 边上各取一点 E ，F ，连接 AF ，BE 相交于点 P ．且 AE =CF ；（1）求证：AF =BE ，并求∠APB 的度数； （2）若 AE =2，试求 AP AF 的值；（3）当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长．4．如图，以 G （0，1）为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C ，D 两点，点 E 为⊙G 上一动点， CF ⊥ AE 于 F ．当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长yCGEAD5．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，求点G移动路径的长6.问题探究：（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．三、坐标系中的动点问题动点P(a,2)的运动轨迹是____________________________________________________动点P(a,a+2)的运动轨迹是__________________________________________________动点P（a,a2-2a）的运动轨迹是_________________________________________________1．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P(a,3)是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAPQ，∠APQ=90°，直线AQ交y轴于点C．yBOCPQA xD （1）当 a =1 时，求点 Q 的坐标（2）当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 a = _______ 时，AQ +BQ 的值最小为 _________ ．△8．如图， AOB 是直角三角形，∠AOB =90°，OB =2OA ，1 点 A 在反比例函数 y的图象上．设点 B 的坐标xByA为 (m , n ) ，则 n 与 m 的等量关系是______________．O x3．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点为，直线 y = kx +2 与 x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，动点 D 在射线 AO 上，将线段 DB 绕着点 D 顺时针旋转 90°得到线段 DC ．设点 D 的横坐标为 m ．（1）请直接写出 B 点的坐标；（2）当 k 为何值时，四边形 ADCB 为平行四边形？yBC（△3）当 BOC 的周长最小时，求 m 的值．AO x。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形,因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。

限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。

最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线;一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交,可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。

用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。

一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。

历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题:作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题"。

直至1837年,万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π（即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。

数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规,作正六边形。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置m【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP∆是等腰三角形，这样的P 点有几个【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找P点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.rr【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点. ⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点. ⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆. ∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1.也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..设法构造斜边为1的长度自然就出来了. 【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，角形..） ⑷【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项. 【解析】 已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形haDCBANM作法：⑴ 作线段12MD a =；⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =；⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙； ⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ， ⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG . 正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .al【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l 的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M .1M ，2M 即为所求.若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c ba D'DCB Acba【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧). ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆. ABC ∆即为所求.【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.OD'O【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)； ⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点. 连接,PD CD (或',''PD C D ).则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C BAG'F'E'D'G FED CBA【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.NM P CB Al【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ; ⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ； ⑶ 过P 、N 作直线l . 直线l 即为所求.【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条请你用语言描述出这样的直线.FED CBAMFDCBFD CB【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S SS S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗为什么⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由． ⑷ 如图4，点E 是ABCD Y 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD Y 的黄金分割线．请你画一条ABCD Y 的黄金分割线，使它不经过ABCD Y 各边黄金分割点．【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下：设ABC △的边AB 上的高为h ．A CB 图1 A D B 图2C AD B图3C F EE图412ADCS AD h =g △，12BDC S BD h =g △，12ABCS AB h =g △， ∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BDS AD=△△．又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD BD AB AD=．∴ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△．∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212S S S ==，即121S S S S ≠，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵DF CE ∥，∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，∴DEC FCE S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ，∴DGE FGC S S =△△．∴ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线．⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线．M （答案图1）M （答案图2）。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法. 最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线；⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法. 用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点. 一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”. 直至1837 年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel ）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882 年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann ）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π（即当圆半径r 1时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19 世纪出现的伽罗华理论. 尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意. 数学家Underwood Dudley 曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是 2 的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周 4 等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规（即半径固定的圆规）作图1. 只用直尺及生锈圆规作正五边形2. 生锈圆规作图，已知两点A、B ，找出一点C使得AB BC CA.3. 已知两点A、B ，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4. 尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达. 10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的 2 点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！ . 五种基本作图： 初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3. 做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线 下面介绍几种常见的尺规作图方法： ⑴ 轨迹交点法： 解作图题的一种常见方法 . 解作图题常归结到确定某一个点的位置 . 如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改 变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点 交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法例 1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇 相等，到两条高速公路 m 、 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应修建在什么位置？分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点 P 应满足两个条件，一是在线段 AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 P 应是它们的交点 .解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE ；⑵ 作线段 AB 的垂直平分线 FG ；则射线 OD ， OE 与直线 FG 的交点 C 1 ， C 2 就是发射塔的位置 .例 2】 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 （4 ， 0） ， O 是坐标原点，在直线 y x 3上求一点 P ，使 AOP是等腰三角形，这样的 P 点有几个？解析】 首先要清楚点 P 需满足两个条件，一是点 P 在 y x 3上；二是 AOP 必须是等腰三角形 .其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当 OA OP 时，以 O 点为圆心， OA 为半径画圆，与直线有两个点 P 1、 P 2； 当 OA AP 时，以 A 点为圆心， OA 为半径画圆，与直线无交点；当 PO PA 时，作 OA 的垂直平分线，. 这个利用轨迹的A 、B 的距离必须C2G与直线有一交点 P 3，所以总计这样的 P 点有 3个.分析】 设⊙M 是符合条件的圆，即其半径为 r ，并与 ⊙O 及⊙O '外切，显然，点 M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以 O 为圆心以 R r 为半径的圆上， 又在以 O'为圆心以 R' r 为半径的圆上， 因此所求圆的圆 心的位置可确定 . 若⊙O 与⊙O'相距为 b ，当 2r b 时，该题无解，当 2r b 有唯一解；当 2r b 时， 有两解 .解析】 以当⊙O 与 ⊙O '相距为 b ，2r b 时为例：⑴ 作线段 OA R r ， O' B R' r .⑵ 分别以 O ， O '为圆心，以 R r ， R' r 为半径作圆，两圆交于 M 1,M 2 两点. ⑶ 连接 OM 1 ， OM 2 ，分别交以 R 为半径的 ⊙O 于 D 、C 两点. ⑷ 分别以 M 1，M 2 为圆心，以 r 为半径作圆 . ∴⊙M 1,⊙M 2 即为所求 .思考】若将例 3 改为： “设⊙O 与⊙O '相离，半径分别为 R 与 R' ，求作半径为 r (r R)的圆，使其与 ⊙O 内切，与 ⊙O'外切. ”又该怎么作图？⑵ 代数作图法： 解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然 后根据线段长的表达式设计作图步骤 . 用这种方法作图称为代数作图法 .【例 4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周(已知圆心).【分析】 设半径为 1. 可算出其内接正方形边长为 2 ，也就是说用这个长度去等分圆周 .我们的任务就是做出这 个长度 . 六等分圆周时会出现一个 3的长度 .设法构造斜边为 3 ，一直角边为 1的直角三角形， 2 的 长度自然就出来了 .【解析】 具 体做法：⑴ 随便画一个圆 . 设半径为 1.⑵ 先六等分圆周 . 这时隔了一个等分点的两个等分点距离为例 3】 设⊙O 与 ⊙O '相离，半径分别为 R 与 R'，求作半径为 r 的圆，使其与 ⊙O 及⊙O'外切 .rMDO' O R'RrCMAB⑶ 以这个距离为半径， 分别以两个相对的等分点为圆心， 同向作弧， 交于一点 .（ “两个相对的等分点其实就是直径的两端点啦！ 两弧交点与 “两个相对的等分点 ”形成的是一个底为 2，腰为 3 的等腰三 角形. 可算出顶点距圆心距离就是 2 .） ⑷ 以 2 的长度等分圆周就可以啦！例 5】 求作一正方形，使其面积等于已知 ABC 的面积 .分析】 设 ABC 的底边长为 a ，高为 h ，关键是在于求出正方形的边长 x ，使得 x 2 1 ah ，所以 x 是 1a 与h 的22 比例中项 .解析】 已知：在 ABC 中，底边长为 a ，这个底边上的高为 h ，求作：正方形 DEFG ，使得： S 正方形 DEFG S ABC作法：⑴ 作线段 MD 1 a ；2⑵ 在 MD 的延长线上取一点 N ，使得 DN h ；⑶ 取 MN 中点 O ，以 O 为圆心， OM 为半径作 ⊙O ； ⑷ 过 D 作 DE MN ，交⊙O 于 E ， ⑸ 以 DE 为一边作正方形 DEFG . 正方形 DEFG 即为所求 .分析】 先利用代数方法求出点 M 与圆心 O 的距离 d ，再以 O 为圆心， d 为半径作圆，此圆与直线 l 的交点即 为所求 .解析】 ⑴ 作Rt OAB ，使得： A 90 ，OA r ， AB a .例 6】 在已知直线 l 上求作一点 M ，使得过 M 作已知半径为 r 的 ⊙O 的切线，其切线长为a.a⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆若此圆与直线l相交，此时有两个交点M1，M2.M1，M2 即为所求.若此圆与直线l相切，此时只有一个交点M.M即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的⊙O的切线，其切线长为 a.⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.例7】已知：直线a、b、c，且a∥b∥c.求作：正ABC ，使得A、 B 、C三点分别在直线a、b、c上.ab分析】假设ABC是正三角形，且顶点 A 、 B 、C三点分别在直线a、b、c上.作AD b于D，将ABD绕A点逆时针旋转60 后，置于ACD'的位置，此时点D' 的位置可以确定.从而点C也可以确定. 再作BAC 60 ， B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.解析】作法：⑴ 在直线a上取一点A，过A作AD b于点 D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形ADD ' ；⑶ 过D'作D'C AD ' ，交直线 c 于C；⑷ 以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B（使B与D'在AC异侧）.⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC .ABC 即为所求.例8】已知：如图，P 为AOB 角平分线OM 上一点.求作：PCD ，使得P 90 ，PC PD，且C在OA上，D在OB上.解析】 ⑴ 过 P 作 PE OB 于 E .⑵ 过 P 作直线 l ∥OB ;⑶ 在直线 l 上取一点 M ，使得 PM PE （或 PM ' PE ）；⑷ 过M （或M'）作MC l （或 M'C l ），交OA 于C （或C'）点；⑸ 连接PC （或PC' ），过 P 作PD PC （或PD' PC'）交OB 于D （或 D'）点. 连接 PD,CD （或 PD',C'D'）.则 PCD （或 PC'D'）即为所求 .⑷ 位似法作图： 利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的 图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出 满足全部的条件 .【例 9】 已知：一锐角 ABC .求作:一正方形 DEFG ，使得 D 、 E 在BC 边上， F 在AC 边上， G 在AB 边上.分析】 先放弃一个顶点 F 在 AC 边上的条件， 作出与正方形 DEFG 位似的正方形 D 'E 'F ' G' ，然后利用位似变换将正方形 D'E'F 'G '放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .解析】 作 法：⑴ 在 AB 边上任取一点 G'，过 G'作G'D' BC 于 D'⑵ 以G'D '为一边作正方形 D'E'F'G'，且使 E'在 BD '的延长线上 . ⑶ 作直线 BF'交 AC 于 F .⑷ 过F 分别作 FG ∥F'G'交 AB 于G ；作 FE ∥F'E'交BC 于E . ⑸ 过G 作GD ∥G'D'交 BC 于 D . 则四边形 DEFG 即为所求 .A⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】如图，过ABC的底边BC上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC的面积.分析】因为中线AM 平分ABC的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ平分ABC的面积，在AMC 中先割去AMP ，再补上ANP .只要NM ∥ AP ，则AMP 和AMP就同底等高，此时它们的面积就相等了. 所以PN 就平分了ABC的面积.解析】作法：⑴ 取BC中点M ，连接AM ,AP;⑵ 过M 作MN∥AP交AB于N；⑶ 过P、N 作直线l . 直线l 即为所求.例11】如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积；⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.解析】⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点O ' ，则经过点O，O'的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条. 设⑴中的直线l 交AE于Q，交BC于R，过线段RQ中点P ，且与线段AE、BC均有交点的直线均可平分五边形ABCDE的面积.例12】（07江苏连云港）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果AC BC，那么称点C 为线段AB的黄金分AB AC割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2 ，如果S1 S2，那么称直线S S1 l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在△ABC 中，若点 D 为AB边上的黄金分割点（如图 2 ），则直线CD是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现： 过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E ，再过点 D 作直线 DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线 EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图 4 ，点 E 是 ABCD 的边 AB 的黄金分割点， 过点 E 作 EF ∥ AD ，交 DC 于点 F ，显然直线EF 是 ABCD 的黄金分割线．请你画一条 ABCD 的黄金分割线， 使它不经过 ABCD 各边黄金分割 点．解析】 ⑴ 直线 CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下：设 △ ABC 的边 AB 上的高为 h ．1112 BD h ， S △ABC 2AB h ，S △ ADC ADS △BDC BDS△ ABCABS △ ADC AD又∵点 D 为边 AB 的黄金分割点，∴AD BDS △ ADC S △ BDC ． AB ADS△ ABC S △ ADC∴直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线．⑵ ∵ 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， 此时 S 1 S 2 1S ，即 S1 S2 ，2 S S 1 ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵ DF ∥ CE ，∴ △DEC 和 △FCE 的公共边 CE 上的高也相等，设直线 EF 与CD 交于点 G ，∴ S △ DGE S △ FGC ． ∴ S △ ADCS四边形 AFGDS △ FGCS四边形 AFGDS△ DGES△ AEF ，∴直线 EF 也是 △ ABC 的黄金分割线． ⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；A C B图 11 S△ADC2 AD h ，S△ BDCS△ DECS△FCE又∵S△ ADC S △ BDC S△ AEFS四边形BEFCS△ ABC，∴S△ ADCS△ ABCS△ AEF图2图3图4S△ BDCS四边形 BEFC ．答案图 1) 答案图 2)画法一：如答图1，取EF中点G ，再过点G作一直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN ，再过点 F 作FM∥NE交AB于点M，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！. 五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.rr【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点. ⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点. ⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆. ∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图？⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1..我们的任务就是做出这个长度..1的长度自然就出来了. 【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，角形..） ⑷【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形haDCBANM作法：⑴ 作线段12MD a =；⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =；⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙； ⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ， ⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG . 正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .al【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l 的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M . 1M ，2M 即为所求.若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c ba D'DCB Acba【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧). ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆. ABC ∆即为所求.【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.OD'O【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)； ⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点. 连接,PD CD (或',''PD C D ).则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C BAG'F'E'D'G FED CBA【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ; ⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ； ⑶ 过P 、N 作直线l . 直线l 即为所求.【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.FED CBAMFDCBFD CB【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S SS S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄NM P CB Al金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由． ⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下：设ABC △的边AB 上的高为h ．12ADC S AD h =△，12BDC S BD h =△，12ABC S AB h =△，∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BDS AD=△△．又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD BD AB AD=．∴ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△．∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212S S S ==，即121S S S S ≠，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵DF CE ∥，∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，∴DECFCE S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ，∴DGE FGC S S =△△．∴ADCFGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线．⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；M （答案图1）M （答案图2）A CB 图1 A D B 图2CAD B图3C F E 图4画法一：如答图1，取EF中点G，再过点G作一直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM NE∥交AB于点M，连接MN，则直线MN就是ABCD的黄金分割线．。

专题二十：连锁轨迹——动点在直线上产生的动点轨迹问题【导例引入】导例：如图：A是定点，动点B从O(0,0)运动到C(8,0). 点M为线段AB的中点，①画出线段AB的中点M运动的路径②M运动的路径的长是.分析：求解动点运动问题的关键是把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”．首先要分清运动的轨迹是线段还是弧，然后确定起始点和终止点，再作出相应的草图就能解决问题动点B和M的关系可定义为：B叫做主动点，M叫做从动点.如果：①动点的初始位置②动点的中途位置③动点的终止位置三点在一条直线上，那么可以初步判断动点的运动路径是．【方法指引】注意画图分析：第一步：画出△BDE的初始位置和终止位置第二步：标出①点的初始位置②点的中途位置③点的终止位置第三步：判断动点的运动路径，计算其长度导例答案：(1)线段M1M2即为点M的运动路径；【例题精讲】类型一：动点产生的路径与最值问题例1．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为．【分析】连接CF，由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得∠ABD=∠ACF=45°，可得CF⊥BC，即点F在过点C且垂直BC的直线上，则当PF⊥CF时，PF的值最小，即可求PF的最小值．类型二：动点产生的路径长问题例2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，∠BAC=90°，点D在AB边上且BD=4cm，过点D作DE⊥AB交BC于点E．（1）求DE的长；（2）若动点P从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向终点A运动，连结PE，设点P运动的时间为t秒．当S△PDE=6cm2时，求t的值；（3）若动点P从点D出发沿着DA方向向终点A运动，连结PE，以PE为腰，在PE右侧按如图方式作等腰直角△PEF，且∠PEF=90°．当点P从点D运动到点A时，求点F运动的路径长（直接写出答案）．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答；（2）分点P 在线段BD 上和点P 在线段AD 上两种情况，根据三角形的面积公式计算；（3）证明△PDE ≌△EHF ，根据全等三角形的性质、结合图形解答即可．【专题过关】1．如图，在△ABC 中，BC ＝8，M 是边边 BC 上一动点，连接 AM ，取 AM的中点 P ，随着 点 M 从点 B 运动到点 C ，求动点 P 的路径长为 ．2. 已知线段AB ＝6，C 、D 是AB 上两点，且AC ＝DB ＝1，P 是线段CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF ，G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移动的路径长度为_______．3. 如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．连结PQ ，M 为线段PQ 的中点，则在整个运动过程中，M 点所经过的路径长为 ．4.如图，在Rt ABC ∆中，6,8AC BC ==，90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点，点D 是AC延长线上的一个定点，连接PD ，过点D 作DE PD ⊥，连接PE ，且2tan 5DPE ∠=，当点P 从点A 运动到点B 时，点E 运动的路径长为 .5.如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，点E 在边AD 上，且AE ：ED=1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为 ．6．如图，已知AB=9，点E 是线段AB 上的动点，分别以AE ，EB 为底边在线段AB 的同侧作等腰直角△AME 和△BNE ，连接MN ，设MN 的中点为F ，当点E 从点A 运动到点B 时，则点F 移动路径的长是7．如图所示，点E 坐标为(﹣1,0)，点B 坐标为(0,2)，等腰直角△BDC 的直角端点D 从D(0,0)运动到D(2,0)时，（1）画出线段EC 的中点M 运动的路径；（2）EC 的中点M 运动的路径的长是多少？8.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点P 是AB 边上的一个动点，连接CP ，过点P 作PC 的垂线交AD 于点E ，以PE 为边作正方形PEFG ，顶点G 在线段PC 上，对角线EG ，PF 相交于点O ．（1）若AP=1，则AE= ；（2）①求证：点O 一定在△APE 的外接圆上；②当点P 从点A 运动到点B 时，点O 也随之运动，求点O 经过的路径长；（3）当点P 运动至AB 中点时，求线段CO 的长．9．正方形ABCD 的边长为2，动点E 在边AB ，AD 上运动，连接CE ，以CE 为边作正方形CEFG （点C 、E ，F ，G 按顺时针方向排列），连接DG ．问题解决：（1）如图（1），当点E 在AB 上运动时，求证：△BEC ≌△DGC ；（2）如图（2），当点E 在AD 上运动时，点M 是FG 的中点，连接CM ．若DG=CM ，则AE 的长为 ；（3）如图（1），点E 沿边AB 由点B 运动到点A 时，求点F 的运动路径的长．10．如图，平面直角坐标系中，直线AB ：y=－31x+b 交y 轴于点A （0，2），交X 轴于点B ．过点E （2，0）作X 轴的垂线EF 交AB 于点D ，P 是射线DF 上一动点，设P （2，n ）．（1）B点坐标为；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）以PB为斜边作等腰直角△BPC，且点C始终在第一象限．①若S△AEP=2，求点C的坐标．②若点P从（2，2）运动到（2，4），则点C运动的路径长为11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，连结EG、FG．（1）求证：△AME≌△DMF；（2）在点E的运动过程中，探究：①△EGF的形状是否发生变化，若不变，请判断△EGF的形状，并说明理由；②线段MG的中点H运动的路程最长为多少（直接写出结果）？（3）设AE=x，△EGF的面积为S，求当S=6时，求x的值．12．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG，FG．（1）试判断△EGF的形状，并说明理由；（2）设AE=x，△EGF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）若P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．13．在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝Rt∠，直线AQ交y轴于点C．（1）当a＝1时，则点Q的坐标为多少；（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a为多少时，AQ+BQ的值最小，最小值为多少？例题答案：例1．连接CF．∵∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，∴∠ABC=∠ACB=45°，AP=PC=2．∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，且AB=AC，AD=AF．∴△ABD≌△ACF（SAS）．∴∠ABD=∠ACF=45°．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．∴CF⊥BC．∴点F在过点C且垂直BC的直线上运动．∴当PF⊥CF时，PF的值最小．∴PF的最小值==．例2．（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．∵DE⊥AB，∴∠B=∠BED=45°．∴DE=BD=4cm；（2）当点P在线段BD上时，S△PDE=×DP×DE=×4×（4-2t）=6，整理得4-2t=3，解得t=0.5．当点P在线段AD上时，S△PDE=×DP×DE=×4×（2t-4）=6，整理得2t-4=3，解得t=3.5．综上所述，t=0.5或3.5；（3）点F运动的路径长为10-4．理由如下：如图，连接AE，过点E作EF1⊥DE，且使EF1=ED，过点E作EF2⊥DE，且使EF2=AE，∴∠DEF1F=90°，∠AEF2=90°∴∠DEA＝∠F1EF2．∴△DEA≌△F1EF2．∴AD=F1F2=10-4．∴当P从点D运动到点A时，点F运动的路径为线段F1F2，该线段的长度=AD=10-4．【专题过关】1.4．2.如图，分别延长AE、BF交于点H．∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF．∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE．∴四边形EPFH为平行四边形．∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．∵CD=6-1-1=4，∴MN=2，即G的移动路径长为2．3. 以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，依题意，可知0≤t≤3，当t=0时，点M1的坐标为（4，0）；当t=3时，点M2的坐标为（，3）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，则解得∴直线M1M2的解析式为y=-2x+8．∵点Q（0，2t），P（8-t，0），∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（，t）．把x=，代入y=-2x+8，得y=-2×+8=t．∴点M3在M1M2直线上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=3，M1N=．∴M1M2=．∴线段PQ中点M所经过的路径长为单位长度．4.分析：点E的运动路径是一条线段，点E运动的路径长就是线段E1E2的长度.于是提出猜想一“在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点共线时，从动点的运动路径为线段”.∵1190E DE PDE ∠+∠=︒，1190PDP PDE ∠+∠=︒， ∴11PDP E DE ∠=∠.又∵1125DE DE DP DP ==， ∴11E DE PDP ∆∆．∴11DEE DPP ∠=∠.同理22E DEP DP ∆∆，可得22DEE DPP ∠=∠. 又∵12180DPP DPP ∠+∠=︒，∴12180DEE DEE ∠+∠=︒.∴点1E ，点E ，点2E 三点共线.∵121290E DE PDE ∠+∠=︒，121290PDP PDE ∠+∠=︒，∴1212PDP E DE ∠=∠.∵121225DE DE DP DP ==，∴1212E DE PDP ∆∆．∴121225E E PP =.∵1210PP =，∴124E E =.5.如图所示：过点M 作GH ⊥AD ．∵AD ∥CB ，GH ⊥AD ，∴GH ⊥BC ．在△EGM 和△FHM 中，∴△EGM ≌△FHM ．∴MG=MH ．∴点M 的轨迹是一条平行于BC 的线段．当点P 与A 重合时，BF 1=AE=2；当点P 与点B 重合时，∠F 2+∠EBF 1=90°，∠BEF 1+∠EBF 1=90°，∴∠F 2=∠EBF 1．∵∠EF 1B=∠EF 1F 2，∴△EF 1B ∽△∠EF 1F 2． ∴21111F F EF EF BF =．∴21662F F =．∴F 1F 2=18．∵M 1M 2是△EF 1F 2的中位线，∴M 1M 2=21F 1F 2=9．6．如图，分别延长AM 、BN 交于点C ．∵∠A=∠BEN=45°，∴AC ∥EN ．同理可得，BC ∥EM ．∴四边形MENC 为平行四边形，∴CE 与MN 互相平分．∵F 为MN 的中点，∴F 为CE 中点．当点E 从点A 运动到点B 时，F 始终为CE 的中点．故F 的运行轨迹为△CAB 的中位线，点F 移动路径的长等于AB 的一半．∴F 的移动路径长为21×9=29．7．设OD=t,作CH ⊥OA 于H,可得△BOD ≌DHC ，∴CH=OD=t ，DH=BO=2。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。

用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题:作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题:作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题"。

直至1837年,万芝尔(Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数(即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数)，由此即可推得根号π（即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题。

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。

数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求岀交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画岀第一条公法所说的直线；用圆规可以作岀第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作岀适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最着名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积这三个问题后被称为几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel ）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lin dema nn ）证明n是一个超越数（即n是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号n即当圆半径r =1时所求正方形的边长）不可能用尺规作岀，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪岀现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书还有另外两个着名问题：⑴正多边形作法只使用直尺和圆规，作正五边形.只使用直尺和圆规，作正六边形.只使用直尺和圆规，作正七边形一一这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作岀的只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作岀来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.问题的解决：高斯，大学二年级时得岀正十七边形的尺规作图法，并给岀了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分•这个问题传言是拿破仑波拿巴岀的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规（即半径固定的圆规）作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找岀一点C使得AB=BC=CA.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按尽可能简单”这个思想岀发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提岀用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把作直线”解释为作岀直线上的2点”那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作岀！从已知点作岀新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作岀！五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为： 1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线 5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的【例1】位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；右改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？【分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是【解析】在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.⑴ 作两条公路夹角的平分线0D或0E ;⑵ 作线段AB的垂直平分线FG ;则射线0D，0E与直线FG的交点G，C2就是发射塔的位【例2】置.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），0是坐标原点，在直线y=x・3上求一点P，使.A0P是等腰三角形，这样的P点有几个？【解析】首先要清楚点P需满足两个条件，一是点P在y=x上；二是JA0P必须是等腰三角形.【例3】其次，寻找P点要分情况讨论，也就是当OA=OP时，以0点为圆心，OA为半径画圆，与直线有两个点P、P2 ;当OA = AP时，以A点为圆心，OA为半径画圆，与直线无交点；当PO -PA 时，作OA的垂直平分线，与直线有一交点P3，所以总计这样的P点有3个.设O O与O O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r的圆，使其与O O及O O'外切.【分析】设O M是符合条件的圆，即其半径为r，并与O O及O O'外切，显然，点M是由两个轨迹确定的，即M点既在以0为圆心以R r为半径的圆上，又在以0'为圆心以R「r为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O O与O O'相距为b，当2r ::: b时，该题无解，当2r二b有唯一解；当2r b时，有两解【解析】以当O O与O O'相距为b , 2r b时为例:⑴作线段OA =R • r , O'B =R' • r.⑵ 分别以O, O'为圆心，以R r , R' r为半径作圆，两圆交于M^M?两点.⑶ 连接OM i，OM2，分别交以R为半径的O O于D、C两点.⑷ 分别以M t，M2为圆心，以r为半径作圆.二O M i,O M2即为所求.【思考】若将例3改为：设O O与O O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r （r R）的圆，使其与O O内切，与O O'外切.”又该怎么作图？⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求岀某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求岀，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1.可算岀其内接正方形边长为・2，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做岀这个长度.六等分圆周时会岀现一个,3的长度.设法构造斜边为3，一直角边为1的直角三角形，2的长度自然就岀来了.【解析】具体做法：⑴随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为.3.⑶以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为.3的等腰三角形.可算岀顶点距圆心距离就是 2 .）⑷以・2的长度等分圆周就可以啦！【例引求作一正方形，使其面积等于已知「ABC的面积.【分析】设AABC的底边长为a，高为h，关键是在于求岀正方形的边长x，使得x^-ah，所以x21 是一a与h的比例中项.2【解析】已知：在ABC中，底边长为a，这个底边上的高为h,求作：正方形DEFG，使得：S正方形DEFG - S ABC作法：1⑴作线段MD =-a ；2⑵在MD的延长线上取一点N，使得DN二h ;⑶取MN中点0，以0为圆心，0M为半径作O O ;⑷过D作DE _ MN，交O O于E，⑸ 以DE为一边作正方形DEFG .正方形DEFG即为所求.【例6】在已知直线|上求作一点M，使得过M作已知半径为r的O O的切线，其切线长为a.【分析】先利用代数方法求岀点M与圆心0的距离d，再以0为圆心，d为半径作圆，此圆与直线I 的交点即为所求.【解析】⑴ 作RL 0AB，使得：./A=90，0A=r，AB=a.⑵ 以0为圆心，0B为半径作圆.若此圆与直线l相交，此时有两个交点M1，M2.M1，M2即为所求.若此圆与直线I相切，此时只有一个交点M . M即为所求.若此圆与直线I相离，此时无交点.即不存在这样的M点使得过M作已知半径为r的O O的切线，其切线长为a.⑶旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径【例7】已知：直线a、b、c,且a II b II c.求作：正「ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.【分析】假设「ABC是正三角形，且顶点A、B、C三点分别在直线a、b、c上.作AD _ b于D，将ABD绕A点逆时针旋转60后，置于’ACD'的位置，此时点D'的位置可以确定.从而点C也可以确定.再作£BAC=60 , B点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作岀【解析】作法：⑴ 在直线a上取一点A，过A作AD _b于点D ；⑵ 以AD为一边作正三角形ADD '；⑶过D'作D'C _AD'，交直线c于C ；⑷ 以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B（使B与D'在AC异侧）.⑸ 连接AB、AC、BC得ABC .ABC即为所求.【例8】已知：如图，P为.AOB角平分线0M上一点.求作：PCD，使得.P=90，PC=PD，且C在0A上, D 在0B上.【解析】⑴ 过P作PE_OB于E.⑵过P作直线I // 0B;⑶ 在直线|上取一点M，使得PM二PE（或PM' = PE）;⑷ 过M （或M '）作MC _1 （或M 'C _1 ），交0A 于C （或C'）点；⑸ 连接PC （或PC'）,过P 作PD _ PC（或PD'_PC'）交0B 于D （或D'）点.连接PD,CD（或PD',C'D'）.则PCD （或PC'D'）即为所求.⑷位似法作图：利用位似变换作图，要作岀满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作岀与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作岀满足全部的条件.【例9】已知：一锐角AABC.求作:一正方形DEFG，使得D、E在BC边上，F在AC边上，G在AB边上.【分析】先放弃一个顶点F在AC边上的条件，作岀与正方形DEFG位似的正方形D'E'F'G'，然后利用位似变换将正方形D'E'F'G'放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG.【解析】作法：⑴ 在AB边上任取一点G'，过G'作G'D'_BC于D'⑵ 以G'D'为一边作正方形D'E'F'G'，且使E'在BD'的延长线上.⑶作直线BF '交AC于F .⑷ 过F分别作FG II F'G'交AB于G ;作FE II F'E'交BC于E .⑸过G作GD II G'D'交BC于D.则四边形DEFG即为所求.⑸面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】如图，过JABC的底边BC上一定点，P，求作一直线I，使其平分:ABC的面积.【分析】因为中线AM平分ABC的面积，所以首先作中线AM，假设PQ平分ABC的面积，在.AMC中先割去厶AMP，再补上.ANP.只要NM // AP U .IAMP和. AMP就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN就平分了「ABC的面积.【解析】作法：⑴ 取BC中点M，连接AM ,AP ;⑵过M作MN // AP交AB于N ;⑶过P、N作直线I .直线I即为所求.【例11】如图：五边形ABCDE可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成⑴ 请你作一条直线I，使直线I平分五边形ABCDE的面积；⑵这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线【解析】⑴ 取梯形AFDE的中位线MN的中点O，再取矩形BCDF对角线的交点O'，则经过点O，O'的直线I即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线I交AE于Q，交BC于R，过线段RQ中点P，且与线段AE、BC均有交点的直线均可平分五边形ABCDE的面积.【例12】（07江苏连云港）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果些二匹，那么称点C为线段AB ACSA DECSA FCEAB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到线”的定义：直线I 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 0，S 2，如果也二奂，那么称直线I 为该图形的黄金分割线.S S⑴ 研究小组猜想：在 △ ABC 中，若点 D 为AB 边上的黄金分割点 （如图2），则直线CD 是△ ABC 的黄金分割线•你认为对吗？为什么？⑵请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ ⑶研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交 AB 于点E ，再过点D 作直线DF II CE ,交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ ABC 的黄金分割线•请你说明理由.⑷如图4，点E 是—ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点 E 作EF II AD ，交DC 于点F ， 显然直线EF是「ABCD 的黄金分割线•请你画一条 「ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点.1S AADC =AD[_h ，S A BDCS AADC _ AD S A BDC BD S AABCABSA ADC AD又J 点D 为边AB 的黄金分割点， .AD BD.氐 ADC _ 氐 BDCAB AD S A ABCADC•••直线CD 是△ ABC 的黄金分割线.⑵•••三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时 S I =S 2S ，即◎ 2， 2 S S•三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. ⑶••• DF II CE ，• △ DEC 和△ FCE 的公共边CE 上的高也相等,黄金分割线”，类似地给出黄金分割JBDLh ，S A ABC2=1 AB>i 2 ，【解析】设△ ABC 的边图\B 上的高为h • 图2图3图4设直线EF 与CD 交于点G ，二S A DGE 二S^ FGC ••• S A ADC 二S 四边形AFGDS A FGC-S 四边形 AFGD ' & DGE -S A AEF ,•••直线EF 也是A ABC 的黄金分割线.⑷ 画法不惟一，现提供两种画法;画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交 AB ，DC 于M ，N 点， 则直线MN就是匚ABCD 的黄金分割线.画法二：如答图 2，在DF 上取一点 N ，连接EN ，再过点F 作FM II NE 交AB 于点连接MN ，则直线MN 就是 ABCD 的黄金分割线S A BDC - §四边形 BEFC -又:SA ADCS A ABC SA BDCS A ADCS A AEF S 四边形 BEFCSA ABCSA AEF（答案图1） （答案图2）。