人教版九年级下册数学37尺规作图

课题：《尺规作图》课题：《尺规作图》教学设计【备考策略】中考基于“课标”而课标要求了六种基本作图，它们是作图的基础，是解决更为复杂的尺规作图的基础。

作为一节复习课不但要注重基础的扎实，而且还应注重它的运用。

尺规作图在近几年的中考试题中的考查形式是尺规作图，考查难度属于容易题。

所以，在复习本节内容时，本着从基础入手的原则，让学生掌握六种基本作图，并能解决简单的计算和实际问题【教学目标】1.了解什么是尺规作图。

2.能够用尺规进行简单的基本作图。

3.简单尺规作图的应用。

【过程与方法】经历六种基本作图的复习与巩固，感受尺规作图的几何意义，积累一些尺规作图的方法与经验，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

【情感、态度与价值】通过复习尺规作图，进一步加强学生的作图能力，使学生养成良好的动手操作、实践探索、合作交流的学习习惯。

【教学重点、难点】（1）教学重点：六种基本作图的作法。

（2）教学难点：画图，尺规作图的应用。

【教学方法和手段】（1）教学方法：练习导引复习法（在练习中导引学生复习，让学生在自主学习中掌握本节学习目标）（2）教学手段：多媒体课件。

【使用教材的构想】以近六年的中考题为主要训练题型，充分调动学生的学习主动性，在动手实践、合作交流中对知识进行梳理，以达到本节复习目标。

【教学流程设计】本节课教学设计了六个环节：第一环节基本概念回顾，第二环节尺规作图，第三环节知识应用（中考检测），第四环节课时小结，第五环节课堂小结，第六环节课时强化检测（备选）【学生课前准备】直尺与圆规；【教师课前准备】直尺与圆规【教学设计】一．知识点复习知识点1尺规作图：在几何里，把只用直尺（没有刻度）和圆规画图的方法称为尺规作图．尺规作图必须保留作图痕迹．知识点2 基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图。

二．六种基本作图1．作一条线段等于已知线段(如图7－26－1)：图7－26－1步骤：①作一条射线OA；②在OA上截取OB＝a.则OB为所求线段．2．作一个角等于已知角(如图7－26－2)：步骤：①作射线AC；②在∠α上以顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交∠α的两边于点P，Q；③以点A为圆心，OP长为半径画弧，交AC于点N；④以点N为圆心，PQ长为半径画弧交前弧于点M；⑤过点M作射线AB.则∠BAC为所求角．3．作线段的垂直平分线(如图7－26－3)：步骤：①分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径在AB 两侧画弧；②过两弧交点作直线MN.则MN为所求垂直平分线．4．作角的平分线(如图7－26－4)：图7－26－4步骤：①以顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线OP.则OP为所求角的平分线．5．过直线上一点作已知直线的垂线(如图7－26－5)：图7－26－5步骤：①以点O为圆心，适当长为半径在直线上点O两侧画弧，交直线于A，B两点；②分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径在直线两侧画弧，分别交于点P，Q；③作直线PQ.则PQ为所求垂线．6．过直线外一点作已知直线的平行线(如图7－26－6)：图7－26－6三．中考过关检练1．(2013省卷21题8分)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图7－26－12.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C 的位置．(保留作图痕迹，不要求写画法)解：如图，点C1，C2为所求的点．2.[2014•省卷21题8分] 如图7－26－13，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°.(1)用尺规作图作AB 边上的垂直平分线DE ，交AC 于点D ，交AB 于点E(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；(2)连接BD ，求证：BD 平分∠CBA.解：(1)如图7－26－13所示，DE 就是要求作的AB 边上的垂直平分线图7－26－12图7－26－13(2)证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°.∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30°.∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠CBA.3.[2015•省卷21题6分]如图，已知在△ABC中，∠A=90°（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．4．(2017省卷21题6分) 如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC 的一条中位线EF （不写作法，保留作图痕迹）．5．(2018省卷21题6分) 如图，在△ABC 中∠ABC=90°（1）作∠ACB 的平分线交AB 边于点O ，再以点O 为圆心， OB 的长为半径作⊙O ；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC 与⊙O 的位置关系，直接写出结果．四．尺规作图的综合检测1.已知：如图7－26－7，Rt △ABC 中，∠C ＝90°.求作：⊙O ，使⊙O 与AB ，AC 边都相切，且圆心O 在BC 边上．(要求：用尺规作图，并写出作法)解：作∠BAC 的角平分线AD ，交BC 于点O ，以O 为圆心，OC 为半 图7－26－7径作圆，⊙O即是所求图形．2．如图7－26－8，AB，AC表示两条相交的公路，现要在∠BAC 的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处点A的距离为1000 m.(1)若以1∶50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处点A的图上距离；(2)在图中画出物流中心的位置P.解：(1)1000 m＝100000 cm，100000÷50000＝2(cm)．(2)到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此需作出∠BAC的平分线并按比例在射线AP上截取AP＝2 cm.图7－26－83．如图7－28－13，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD.(1)用尺规作图的方法，过点D作DM⊥BE，垂足为M(保留作图痕迹，不写作法)；(2)求证：BM＝EM.解：(1)作图如下．(2)证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴BD平分∠ABC(三线合一)．∴∠ABC＝2∠DBE.∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE.又∵∠ACB＝∠CED＋∠CDE，∴∠ACB＝2∠E.又∵∠ABC＝∠ACB，∴2∠DBC＝2∠E，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝DE.又∵DM⊥BE，∴BM＝EM.图7－28－13五．小结反思1.本节课复习了哪些数学知识？2. 畅所欲言：本节课中你有什么收获？还有什么疑惑呢? 六．作业：复习课本83页基础巩固练习。

2017年中考数学复习《尺规作图》【考点解析】 知识点一 基本作图【例题】 (2016年浙江丽水)用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】作图—复杂作图．【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．【解答】解：A 、根据垂径定理作图的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意；B 、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意；C 、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； D 、无法证明CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，符合题意． 故选：D ． 【变式】（2016·广东深圳）如图，在□ABCD 中，,5,3==BC AB 以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BC BA 、于点Q P 、，再分别以Q P 、为圆心，以大于PQ 21的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点M ，连接BM 并延长交AD 于点E ，则DE 的长为_________.答案：.2考点：角平分线的作法，等角对等边，平行四边形的性质。

解析：依题意，可知，BE 为角平分线，所以，∠ABE ＝∠CBE ，又AD∥BC，所以，∠AEB＝∠CBE，所以，∠AEB＝∠ABE，AE＝AB＝3，AD＝BC＝5，所以，DE＝5－3＝2。

知识点二基本作图的实际应用【例题】（2016吉林长春）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B 和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为10．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】根据题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，推出DC=DB，可以证明△ADC 的周长=AC+AB，由此即可解决问题．【版权所有：21教育】【解答】解：由题意直线MN是线段BC的垂直平分线，∵点D在直线MN上，∴DC=DB，∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，∵AB=6，AC=4，∴△ACD的周长为10．故答案为10．【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识，解题的关键是学会转化，把△ADC的周长转化为求AC+AB来解决，属于基础题，中考常考题型．【变式】（2016,湖北宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形D．△EHF为等腰三角形【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．【解答】解：A、正确．∵EG=EH，∴△EGH是等边三角形．B、错误．∵EG=GF，∴△EFG是等腰三角形，若△EFG是等边三角形，则EF=EG，显然不可能．C、正确．∵EG=EH=HF=FG，∴四边形EHFG是菱形．D、正确．∵EH=FH，∴△EFH是等边三角形．故选B．【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型．【典例解析】【例题1】（2016·四川广安）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．【考点】作图—相似变换．【分析】在图1中画等腰直角三角形；在图2、3、4中画有一条直角边为，另一条直角边分别为3，4，2的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长．【解答】解：如图1，三角形的周长=2+；如图2，三角形的周长=4+2；如图3，三角形的周长=5+；如图4，三角形的周长=3+．【例题2】（2016·四川达州）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图．【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示：（2）四边形ABEF 是菱形；理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠AEB ， ∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE=∠DAE ， ∴∠BAE=∠AEB ， ∴BE=AB ，由（1）得：AF=AB ， ∴BE=AF ， 又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形， ∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．【中考热点】 【热点1】（2016·广东广州）如图7，利用尺规，在△ABC 的边AC 上方做∠EAC ＝∠ACB ，在射线AE 上截取AD ＝BC ，连接CD ，并证明：CD ∥AB （尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）图7AC【难易】 容易【考点】 尺规作图，平行线，平行四边形【解析】利用“等圆中，等弧所对的圆心角相等”可以完成等角的作图再利用“内错角相等”可判定两直线平行，然后利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成平行四边形的判定，最后利用平行四边形的性质进行平行的证明【参考答案】］证明；如图ÐCAE AD,CD为所做因为ÐCAE=ÐACB,所以AE//BC因为AD=BC所以四边形ABCD为平行四边形所以CD//AB【热点2】（2016·四川眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C （2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．【热点3】（2016·湖北咸宁）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取一点B （b，0），连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P.（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P竟然在一条曲线L上！①设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；②设点P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的范围. 当d1+d2=8时，求点P 的坐标；③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围.图1 图2【考点】二次函数，一次函数，尺规作图，平面直角坐标系，勾股定理，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题.【分析】（1）根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可，要标出字母；（2）①分x ＞0和x≤0两种情况讨论：当x ＞0时，如图2，连接AP ，过点P 作PE ⊥y 轴于点E ，可得出PA=PB=y ；再在Rt △APE 中，EP=OB=x ，AE=OE-OA= y-1，由勾股定理，可求出y 与x 之间的关系式；当x≤0时，点P （x ，y ）同样满足y=21x 2+21，曲线L 就是二次函数y=21x 2+21的图像，也就是说 曲线L 是一条抛物线.②首先用代数式表示出d 1，d 2：d 1=21x 2+21，d 2=｜x ｜，得出d 1+d 2=21x 2+21+｜x ｜，可知当x=0时，d 1+d 2有最小值21，因此d 1+d 2的范围是d 1+d 2≥21；当d 1+d 2=8时，则21x 2+21+｜x ｜=8. 将x 从绝对值中开出来，故需分x≥0和x ＜0两种情况讨论：当x≥0时，将原方程化为21x 2+21+x=8，解出x 1，x 2即可；当x ＜0时，将原方程化为21x 2+21－x=8，解出x 1，x 2即可；最后将x=±3代入y=21x 2+21，求得P 的纵坐标，从而得出点P 的坐标.③直接写出k 的取值范围即可.【解答】解：（1）如图1所示（画垂直平分线，垂线，标出字母各1分）.E图1 图2 （2）①当x ＞0时，如图2，连接AP ，过点P 作PE ⊥y 轴于点E.∵l 1垂直平分AB∴PA=PB=y.在Rt △APE 中，EP=OB=x ，AE=OE-OA= y-1. 由勾股定理，得 (y-1)2+x 2=y 2. 整理得，y=21x 2+21. 当x≤0时，点P （x ，y ）同样满足y=21x 2+21. ∴曲线L 就是二次函数y=21x 2+21的图像. 即曲线L 是一条抛物线.②由题意可知，d 1=21x 2+21，d 2=｜x ｜. ∴d 1+d 2=21x 2+21+｜x ｜.当x=0时，d 1+d 2有最小值21. ∴d 1+d 2的范围是d 1+d 2≥21.当d 1+d 2=8时，则21x 2+21+｜x ｜=8. （Ⅰ）当x≥0时，原方程化为21x 2+21+x=8.解得 x 1=3，x 2= -5（舍去）.（Ⅱ）当x ＜0时，原方程化为21x 2+21－x=8.解得 x 1= -3，x 2= 5（舍去）.将x=±3代入y=21x 2+21，得 y=5.∴点P 的坐标为（3，5）或（-3，5）.③k 的取值范围是：－33＜k ＜33.解答过程如下（过程不需写）：把y=2代入y=21x 2+21，得x 1=－3，x 2=3. ∴直线y=2与抛物线y=21x 2+21两个交点的坐标为（－3，2）和（3，2）. 当直线y=kx+3过点（－3，2）时，可求得 k=33；3.当直线y=kx+3过点（3，2）时，可求得k=－33故当直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点时，k的取值范围是：－33.＜k＜3【点评】本题是压轴题，综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题. 读懂题目、准确作图、熟谙二次函数及其图像是解题的关键. 近几年的中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。

2022九年级数学中考复习——尺规作图1尺规作图：如图，已知ABC △，AB AC =，作矩形MNPQ ，使得点M 、N 分别在边AB 、AC 上，点P 、Q 在边BC 上，且2MN MQ =（不写作法，保留作图痕迹）．2.如图，已知点P 为∠ABC 内一点，利用直尺和圆规确定一条过点P 的直线，分别交AB 、BC 于点E 、F ，使得BE ＝BF ．(不写作法，保留作图痕迹)2.（1）如图，已知P 是O 外一点．用两种不同的方法过点P 作O 的一条切线．要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．（2）如果把本题改为用直尺和圆规在,使∠OQP=60°OABPABP3.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）4.如图，在□ABCD 中，E 是AD 上一点，延长CE 到点F ，使∠FBC ＝∠DCE ．（1）求证∠D ＝∠F ；（2）用直尺和圆规在AD 上作出一点P ，使△BPC ∽△CDP （保留作图的痕迹，不写作法）．5.解决问题常常需要最近联想，迁移经验．例如研究线段成比例时需要想到……【积累经验】（1）如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O的直径．求证AB AD ＝AE AC．（2）如图②，已知线段a ，b ，c ．用两种．．不同的方法作线段d ，使得线段a ，b ，c ，d 满足a b ＝cd．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．AC B DFEAOBCDE①ab c②6.（1）如图，已知∠AOB 的边OA 上有一点P ，请用尺规作图法，求作⊙O ′，使其过点P 并且与∠AOB 的两边相切．（保留作图痕迹，不写作法）（2）已知在BAC ∠的内部有一点P ,请作出M ,使得M 经过点P ,且与,AB AC 都相切.7.如图,在ABC 中,作矩形DEFG ,使其满足:点D 在AB 上,点E 在AC 上,点,FG 在BC 上,且:2:1DE EF =.8.已知线段AB 与点O ，利用直尺和圆规按下列要求作△ABC （不写作法，保留作图痕迹）．（1）在图①中，点O 是△ABC 的内心；（2）在图②中，点O 是△ABC 的重心．9.在△ABC 中，D 为BC 边上一点．（1）如图①，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿着AD 折叠，点C 落在AB 边上．请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将△ABC 沿着过点D 的直线折叠，点C 落在AB 边上的E 处．①若DE ⊥AB ，垂足为E ，请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；②若AB ＝42，BC ＝6，∠B ＝45°，则CD 的取值范围是．①②ABCAC BAO②AO①。

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求岀交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画岀第一条公法所说的直线；用圆规可以作岀第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作岀适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最着名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积这三个问题后被称为几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel ）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lin dema nn ）证明n是一个超越数（即n是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号n即当圆半径r =1时所求正方形的边长）不可能用尺规作岀，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪岀现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书还有另外两个着名问题：⑴正多边形作法只使用直尺和圆规，作正五边形.只使用直尺和圆规，作正六边形.只使用直尺和圆规，作正七边形一一这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作岀的只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作岀来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.问题的解决：高斯，大学二年级时得岀正十七边形的尺规作图法，并给岀了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分•这个问题传言是拿破仑波拿巴岀的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规（即半径固定的圆规）作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找岀一点C使得AB=BC=CA.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按尽可能简单”这个思想岀发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提岀用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把作直线”解释为作岀直线上的2点”那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作岀！从已知点作岀新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作岀！五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为： 1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线 5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的【例1】位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；右改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？【分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是【解析】在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.⑴ 作两条公路夹角的平分线0D或0E ;⑵ 作线段AB的垂直平分线FG ;则射线0D，0E与直线FG的交点G，C2就是发射塔的位【例2】置.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），0是坐标原点，在直线y=x・3上求一点P，使.A0P是等腰三角形，这样的P点有几个？【解析】首先要清楚点P需满足两个条件，一是点P在y=x上；二是JA0P必须是等腰三角形.【例3】其次，寻找P点要分情况讨论，也就是当OA=OP时，以0点为圆心，OA为半径画圆，与直线有两个点P、P2 ;当OA = AP时，以A点为圆心，OA为半径画圆，与直线无交点；当PO -PA 时，作OA的垂直平分线，与直线有一交点P3，所以总计这样的P点有3个.设O O与O O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r的圆，使其与O O及O O'外切.【分析】设O M是符合条件的圆，即其半径为r，并与O O及O O'外切，显然，点M是由两个轨迹确定的，即M点既在以0为圆心以R r为半径的圆上，又在以0'为圆心以R「r为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O O与O O'相距为b，当2r ::: b时，该题无解，当2r二b有唯一解；当2r b时，有两解【解析】以当O O与O O'相距为b , 2r b时为例:⑴作线段OA =R • r , O'B =R' • r.⑵ 分别以O, O'为圆心，以R r , R' r为半径作圆，两圆交于M^M?两点.⑶ 连接OM i，OM2，分别交以R为半径的O O于D、C两点.⑷ 分别以M t，M2为圆心，以r为半径作圆.二O M i,O M2即为所求.【思考】若将例3改为：设O O与O O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r （r R）的圆，使其与O O内切，与O O'外切.”又该怎么作图？⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求岀某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求岀，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1.可算岀其内接正方形边长为・2，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做岀这个长度.六等分圆周时会岀现一个,3的长度.设法构造斜边为3，一直角边为1的直角三角形，2的长度自然就岀来了.【解析】具体做法：⑴随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为.3.⑶以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为.3的等腰三角形.可算岀顶点距圆心距离就是 2 .）⑷以・2的长度等分圆周就可以啦！【例引求作一正方形，使其面积等于已知「ABC的面积.【分析】设AABC的底边长为a，高为h，关键是在于求岀正方形的边长x，使得x^-ah，所以x21 是一a与h的比例中项.2【解析】已知：在ABC中，底边长为a，这个底边上的高为h,求作：正方形DEFG，使得：S正方形DEFG - S ABC作法：1⑴作线段MD =-a ；2⑵在MD的延长线上取一点N，使得DN二h ;⑶取MN中点0，以0为圆心，0M为半径作O O ;⑷过D作DE _ MN，交O O于E，⑸ 以DE为一边作正方形DEFG .正方形DEFG即为所求.【例6】在已知直线|上求作一点M，使得过M作已知半径为r的O O的切线，其切线长为a.【分析】先利用代数方法求岀点M与圆心0的距离d，再以0为圆心，d为半径作圆，此圆与直线I 的交点即为所求.【解析】⑴ 作RL 0AB，使得：./A=90，0A=r，AB=a.⑵ 以0为圆心，0B为半径作圆.若此圆与直线l相交，此时有两个交点M1，M2.M1，M2即为所求.若此圆与直线I相切，此时只有一个交点M . M即为所求.若此圆与直线I相离，此时无交点.即不存在这样的M点使得过M作已知半径为r的O O的切线，其切线长为a.⑶旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径【例7】已知：直线a、b、c,且a II b II c.求作：正「ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.【分析】假设「ABC是正三角形，且顶点A、B、C三点分别在直线a、b、c上.作AD _ b于D，将ABD绕A点逆时针旋转60后，置于’ACD'的位置，此时点D'的位置可以确定.从而点C也可以确定.再作£BAC=60 , B点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作岀【解析】作法：⑴ 在直线a上取一点A，过A作AD _b于点D ；⑵ 以AD为一边作正三角形ADD '；⑶过D'作D'C _AD'，交直线c于C ；⑷ 以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B（使B与D'在AC异侧）.⑸ 连接AB、AC、BC得ABC .ABC即为所求.【例8】已知：如图，P为.AOB角平分线0M上一点.求作：PCD，使得.P=90，PC=PD，且C在0A上, D 在0B上.【解析】⑴ 过P作PE_OB于E.⑵过P作直线I // 0B;⑶ 在直线|上取一点M，使得PM二PE（或PM' = PE）;⑷ 过M （或M '）作MC _1 （或M 'C _1 ），交0A 于C （或C'）点；⑸ 连接PC （或PC'）,过P 作PD _ PC（或PD'_PC'）交0B 于D （或D'）点.连接PD,CD（或PD',C'D'）.则PCD （或PC'D'）即为所求.⑷位似法作图：利用位似变换作图，要作岀满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作岀与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作岀满足全部的条件.【例9】已知：一锐角AABC.求作:一正方形DEFG，使得D、E在BC边上，F在AC边上，G在AB边上.【分析】先放弃一个顶点F在AC边上的条件，作岀与正方形DEFG位似的正方形D'E'F'G'，然后利用位似变换将正方形D'E'F'G'放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG.【解析】作法：⑴ 在AB边上任取一点G'，过G'作G'D'_BC于D'⑵ 以G'D'为一边作正方形D'E'F'G'，且使E'在BD'的延长线上.⑶作直线BF '交AC于F .⑷ 过F分别作FG II F'G'交AB于G ;作FE II F'E'交BC于E .⑸过G作GD II G'D'交BC于D.则四边形DEFG即为所求.⑸面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】如图，过JABC的底边BC上一定点，P，求作一直线I，使其平分:ABC的面积.【分析】因为中线AM平分ABC的面积，所以首先作中线AM，假设PQ平分ABC的面积，在.AMC中先割去厶AMP，再补上.ANP.只要NM // AP U .IAMP和. AMP就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN就平分了「ABC的面积.【解析】作法：⑴ 取BC中点M，连接AM ,AP ;⑵过M作MN // AP交AB于N ;⑶过P、N作直线I .直线I即为所求.【例11】如图：五边形ABCDE可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成⑴ 请你作一条直线I，使直线I平分五边形ABCDE的面积；⑵这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线【解析】⑴ 取梯形AFDE的中位线MN的中点O，再取矩形BCDF对角线的交点O'，则经过点O，O'的直线I即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线I交AE于Q，交BC于R，过线段RQ中点P，且与线段AE、BC均有交点的直线均可平分五边形ABCDE的面积.【例12】（07江苏连云港）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果些二匹，那么称点C为线段AB ACSA DECSA FCEAB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到线”的定义：直线I 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 0，S 2，如果也二奂，那么称直线I 为该图形的黄金分割线.S S⑴ 研究小组猜想：在 △ ABC 中，若点 D 为AB 边上的黄金分割点 （如图2），则直线CD 是△ ABC 的黄金分割线•你认为对吗？为什么？⑵请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ ⑶研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交 AB 于点E ，再过点D 作直线DF II CE ,交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ ABC 的黄金分割线•请你说明理由.⑷如图4，点E 是—ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点 E 作EF II AD ，交DC 于点F ， 显然直线EF是「ABCD 的黄金分割线•请你画一条 「ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点.1S AADC =AD[_h ，S A BDCS AADC _ AD S A BDC BD S AABCABSA ADC AD又J 点D 为边AB 的黄金分割点， .AD BD.氐 ADC _ 氐 BDCAB AD S A ABCADC•••直线CD 是△ ABC 的黄金分割线.⑵•••三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时 S I =S 2S ，即◎ 2， 2 S S•三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. ⑶••• DF II CE ，• △ DEC 和△ FCE 的公共边CE 上的高也相等,黄金分割线”，类似地给出黄金分割JBDLh ，S A ABC2=1 AB>i 2 ，【解析】设△ ABC 的边图\B 上的高为h • 图2图3图4设直线EF 与CD 交于点G ，二S A DGE 二S^ FGC ••• S A ADC 二S 四边形AFGDS A FGC-S 四边形 AFGD ' & DGE -S A AEF ,•••直线EF 也是A ABC 的黄金分割线.⑷ 画法不惟一，现提供两种画法;画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交 AB ，DC 于M ，N 点， 则直线MN就是匚ABCD 的黄金分割线.画法二：如答图 2，在DF 上取一点 N ，连接EN ，再过点F 作FM II NE 交AB 于点连接MN ，则直线MN 就是 ABCD 的黄金分割线S A BDC - §四边形 BEFC -又:SA ADCS A ABC SA BDCS A ADCS A AEF S 四边形 BEFCSA ABCSA AEF（答案图1） （答案图2）。

尺规作图一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。