第9章平面解析几何直线的方程

辅导讲义――直线方程围是___________1、五种直线方程：名称已知条件 示意图方程使用范围点斜式 点P (x 0，y 0)和斜率k斜率存在斜截式 斜率k 和在y 轴上的截距b斜率存在两点式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2斜率存在且不为0截距式在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且ab ≠0斜率存在且不为0，不过原点一般式在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一般式方程表示2、直线的截距：（1）直线在y 轴上的截距：直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标．（2）直线在x 轴上的截距：直线与x 轴的交点(a ，0)的横坐标．注意：(1)截距不代表距离，它是可正可负的.(2) 每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.[例1] 经过点（4，2）平行于x 轴的直线方程为__________.[巩固1] 一条直线过点（2，0），且与直线y=x+8在y 轴有相同的截距，则该直线的方程为____________________.[巩固2] 已知直线m 的倾斜角是直线0333=--y x 的倾斜角的2倍，且直线m 在x 轴上的截距为-3，则直线m 的知识模块2直线方程 精典例题透析题型一：求直线的倾斜角与斜率[例]如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1，l2的斜率.[巩固]已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，（1）求直线AB和AC的斜率；（2）若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．题型二：三点共线问题[例]求证：A(1,1)，B(4,7)，C(－1，－3)三点共线．[巩固]已知三点A(0，a)，B(2,3)，C(4,5a)在一条直线上，求a的值，并求这条直线的倾斜角．题型三：求直线方程[例1]三角形的顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．[巩固]写出下列直线的斜截式方程．（1）斜率是3，在y轴上的截距是－3；（2）倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；（3）倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.[巩固]设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．（1）l在x轴上的截距为－3；（2）斜率为1.题型五：直线方程的综合应用[例]已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．[巩固]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件__________.2．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是_______.解析 ∵tan α＝－sin π7cosπ7＝－tan π7＝tan 67π，∵α∈[0，π)，∴α＝67π.3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是_______________.解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 4．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________.解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.6．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1. 夯实基础训练当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0. ∴k ∈⎣⎡⎭⎫33，1∪[－3，0)．7．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或－a a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞)．8．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过定点A (－3,4)；（2）斜率为16.解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫－4k －3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是 y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3.15．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]．。

第1节 直线的方程考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan__α. (2)计算公式：①经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. ②若直线的方向向量为a ＝(x ，y )(x ≠0)，则直线的斜率k ＝y x. 3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0 0<α<π2π2 π2<α<π kk >0 不存在k <02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修2P89B5改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________.解析 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0. 答案 12x －y －18＝03.(老教材必修2P101B2改编)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________.解析 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A ≠0且B ≠0. 答案 A ≠0且B ≠04.(2020·西安调研)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.120°D.150°解析 由题意得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 答案 B5.(2020·昆明诊断)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案 B6.(2020·合肥调研)过点(－3，4)，在x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______.解析 由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9(舍).故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0.答案 4x －y ＋16＝0考点一 直线的倾斜角与斜率典例迁移【例1】 (一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.解析 法一 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移1】 若将例1中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 【迁移2】 若将例1中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.解 由例1知直线l 的方程kx －y －k ＝0，∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】 如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 D考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)(一题多解)经过点P (2，3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2). 解 (1)由题可知sin α＝45，则tan α＝±43，∵直线l 经过点P (1，2)，∴直线l 的方程为y －2＝±43(x －1)，即y ＝±43(x －1)＋2，整理得4x －3y ＋2＝0或4x ＋3y －10＝0.(2)法一 ①当截距为0时，直线l 过点(0，0)，(2，3)， 则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.②当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y a＝1. 因为直线l 过点P (2，3)，所以2a ＋3a＝1，所以a ＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0.令x ＝0，得y ＝－2k ＋3.令y ＝0，得x ＝－3k＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或k ＝－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的方向向量v ＝(－3，2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程； (2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 解 (1)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.考点三 直线方程的综合应用 多维探究角度1 直线过定点问题【例3－1】 已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； (3)若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________. 解析 (1)当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y ＝k (x ＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3，0). 答案 (1)(0，3) (2)(－3，0) (3)(3，0)规律方法 1.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标. 2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.角度2 与直线方程有关的多边形面积的最值问题【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.答案 12规律方法 1.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.2.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k ).依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.答案 A2.(2020·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.答案 A3.(2020·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合. 答案 B4.(2020·成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A.x ＝2 B.y ＝1 C.x ＝1D.y ＝2解析 直线y ＝－x －1的倾斜角为3π4，则所求直线的倾斜角为π2，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为x ＝2. 答案 A5.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.答案 A6.(2020·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以a ＝－b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－1，所以直线的倾斜角为3π4，故选D.答案 D7.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.又sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.答案 B8.(2020·东北三省四校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[－1，0]C.[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案 A 二、填空题9.直线l 的倾斜角为60°，且在x 轴上的截距为－13，则直线l 的方程为________.解析 由题意可知，直线l 的斜率为3，且该直线过⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，∴直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，即3x －3y ＋1＝0. 答案 3x －3y ＋1＝010.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝011.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________. 解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2，2].答案 [－2，2]12.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.解析 因为直线4x －3y ＋2 020＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以2tanα21－tan 2α2＝43，解得tan α2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12，所以y ＝－32.答案 －32B 级 能力提升13.(2019·湖南长郡中学月考)已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，56πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π解析 因为点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，所以(－a －2＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫33a －0＋1>0，即(a ＋1)(a ＋3)<0，所以－3<a <－1，又知直线l 的斜率k ＝a ，即－3<k <－1，又因为直线倾斜角的范围是[0，π)，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π，故选D. 答案 D14.(2020·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A.ab >0，bc <0 B.ab >0，bc >0 C.ab <0，bc >0D.ab <0，bc <0解析 易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－ab <0，－cb >0，所以ab >0，bc <0.答案 A15.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 解析 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9.所以直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45.答案 4516.(2020·豫北名校调研)直线l 过点P (6，4)，且分别与两坐标轴的正半轴交于A ，B 两点，当△ABO 的面积最小时，直线l 的方程为________.解析 设直线l 的方程为y －4＝k (x －6)(k ≠0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫6－4k，0，B (0，4－6k )，由题意知k <0，则S △ABO ＝12×|OA |·|OB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6－4k ·(4－6k )＝24－18k －8k ，∵k <0，∴－18k >0，－8k >0，∴－18k －8k≥2（－18k ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k ＝24，当且仅当－18k ＝－8k ，即k 2＝49，也即k ＝－23时取得等号，所以△ABO 的面积的最小值为48，此时直线l 的方程为y －4＝－23(x －6)，即2x ＋3y －24＝0.答案 2x ＋3y －24＝0C 级 创新猜想17.(多填题)设点A (－2，3)，B (3，2)，已知直线l 的方程为ax ＋y ＋2＝0，则直线l 过定点________，若直线l 与线段AB 没有交点，则实数a 的取值范围是________.解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－（－2）－2－0＝－52，k MB ＝2－（－2）3－0＝43，结合题意可知－a >－52，且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.答案 (0，－2) ⎝⎛⎭⎪⎫－43，52。

第2讲 两直线的位置关系1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系3．三种距离(1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0.(3)过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√(教材习题改编)直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x＋2y －1＝0.已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C.由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1.(教材习题改编)已知直线l1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则实数a 的值是________．解析：由直线l 1与l 2平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋1）＝2×3，a ×1≠2，解得a ＝－3.答案：－3若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.答案：－12两条直线平行与垂直(高频考点)两条直线的平行与垂直是高考的热点，高考多出现在选择题、填空题或解答题中的一小问，一般难度较小．高考对两条直线的平行与垂直的考查主要有以下两个命题角度： (1)两条直线位置关系的判断； (2)由两条直线位置关系求直线方程．[典例引领]角度一 两条直线位置关系的判断设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立． 【答案】 C角度二 由两条直线位置关系求直线方程(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．【解析】 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0可解得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，代入4x －3y ＋m ＝0得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 【答案】 4x －3y ＋9＝0两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在．(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线位置关系应注意： (1)注意斜率不存在的特殊情况；(2)注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[通关练习]1．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A ．2或12B. 13或－1 C. 13D ．－1解析：选B.因为直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或a ＝－1.故选B.2．求满足下列条件的直线方程．(1)过点P (－1，3)且平行于直线x －2y ＋3＝0； (2)已知A (1，2)，B (3，1)，线段AB 的垂直平分线．解：(1)设直线方程为x －2y ＋c ＝0，把P (－1，3)代入直线方程得c ＝7， 所以直线方程为x －2y ＋7＝0. (2)AB 中点为⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，2＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，直线AB 斜率k AB ＝2－11－3＝－12，故线段AB 垂直平分线斜率k ＝2，所以其方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0.距离公式[典例引领](1)已知A (2，0)，B (0，2)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1(2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【解析】 (1)设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0， |AB |＝2 2.由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t ＋t 2－2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个． (2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，因此c ＝2或－6. 【答案】 (1)A (2)2或－6距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．[通关练习]1．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．[－10，10] B ．[－10，5] C ．[－5，5]D ．[0，10]解析：选D.由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]．2．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y－15＝0.答案：12x ＋8y －15＝03．l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝0对称问题[典例引领]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， 因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.[通关练习]1．(2018·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( ) A ．2x ＋3y －12＝0 B ．2x －3y －12＝0 C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：选D.由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y＝1，所以M (－3，1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D.2．如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程是________．解析：直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.答案：210由一般式确定两直线位置关系的方法(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑． (2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．1．(2018·石家庄模拟)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A.由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( ) A ．－10 B ．－2 C ．0D ．8解析：选A.因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.3．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A.直线y ＝2x ＋3与y ＝－x 的交点为A (－1，1)，而直线y ＝2x ＋3上的点(0，3)关于y ＝－x 的对称点为B (－3，0)，而A ，B 两点都在l 2上，所以kl 2＝1－0－1－（－3）＝12.4．已知点A (－1，2)，B (3，4)．P 是x 轴上一点，且|PA |＝|PB |，则△PAB 的面积为( ) A ．15 B.552 C ．6 5D.152解析：选D.设AB 的中点坐标为M (1，3)，k AB ＝4－23－（－1）＝12，所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)． 即2x ＋y －5＝0.令y ＝0，则x ＝52，即P 点的坐标为(52，0)，|AB |＝（－1－3）2＋（2－4）2＝2 5.P 到AB 的距离为|PM |＝（1－52）2＋32＝352.所以S △PAB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝152.5．(2018·河南安阳模拟)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0，5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：选D.当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34， 所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]． 故选D.6．设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x，x 0＞0，曲线y ＝1x在点P 处的切线斜率k 2＝－1x 20(x 0＞0)． 又因为曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率k 1＝e x|x ＝0＝1，k 1k 2＝－1，所以x 20＝1，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1，1)． 答案：(1，1)7．已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为：y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2， 即|k －1|＝|k －7|，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.又若所求直线的斜率不存在，方程为x ＝1， 满足题设条件．故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 答案：4x －y －2＝0或x ＝18．(2018·山西四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________．解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y ＝2x －3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m ，n )的连线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.答案：3459．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0， 显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立， 因此|ab |的最小值为2.10．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值． 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， 所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2. 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． 所以d max ＝|PA |＝10.1．(2018·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.2．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2，4)B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)解析：选C.设A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3，1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1，3)，所以AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－（－4）·(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2，4)．故选C.3．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程． 解：依题意知，k AC ＝－2，A (5，1)， 所以l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，所以C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.4．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； (2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：(1)如图，设B 关于l 的对称点为B ′，AB ′的延长线交l 于P 0，在l 上另任取一点P ，则|PA |－|PB |＝|PA |－|PB ′|<|AB ′|＝|P 0A |－|P 0B ′|＝|P 0A |－|P 0B |，则P 0即为所求． 易求得直线BB ′的方程为x ＋3y －12＝0， 设B ′(a ，b )，则a ＋3b －12＝0，①又线段BB ′的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42在l 上，故3a －b －6＝0.②由①②解得a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)． 所以AB ′所在直线的方程为2x ＋y －9＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0可得P 0(2，5)． (2)设C 关于l 的对称点为C ′，与(1)同理可得C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.连接AC ′交l 于P 1，在l 上另任取一点P ，有|PA |＋|PC |＝|PA |＋|PC ′|>|AC ′|＝|P 1C ′|＋|P 1A |＝|P 1C |＋|P 1A |，故P 1即为所求． 又AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，故由⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0可得P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.。

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》§9.2两条直线的位置关系最新考纲1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组1x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.概念方法微思考1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12l l k k ⋅＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)题组二教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于()A.2B ．2－2 C.2－1D.2＋1答案C 解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.答案1解析由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析＝2x ，＋y ＝3，＝1，＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.题组三易错自纠5．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于()A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2m ＝2或－3.故选C.6．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．答案324解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.7．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解(1)方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2－a2＝11－a ，3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2(a－1)－1×2＝0，(a2－1)－1×6≠0，2－a－2＝0，(a2－1)≠6，可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.a≠－1时，l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，·11－a＝－1，得a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2018·潍坊模拟)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由题意，当直线l1∥l2时，满足3＋m2＝45＋m≠5－3m8，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选B.(2)(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.题型二两直线的交点与距离问题1．(2018·西宁调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是()A ．－23 B.23C ．－32D.32答案A解析由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得1，又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为()A.95B.185C.2910D.295答案C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案－16，解析方法一＝kx ＋2k ＋1，＝－12x ＋2，＝2－4k 2k ＋1，＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴又∵交点位于第一象限，，，解得－16<k <12.方法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，∴动直线的斜率k 需满足k P A <k <k PB .∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P点坐标为________________．答案(1，－4)解析设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②a ＝1，b ＝－4a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)277，－87思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A (4,0)，B(0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是()A ．33B ．6C ．210D ．25答案C解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________．答案x －2y ＋3＝0解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，－y ＋y 02＋2＝0，(y －y 0)，0＝y －2，0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有1，B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．跟踪训练2已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解(1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②′＝－4x ＋3y －95，③′＝3x ＋4y ＋35.④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)，即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．一、平行直线系例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．解由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11.因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.二、垂直直线系例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解方法一－2y ＋4＝0，＋y －2＝0，得P (0,2)．∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定答案C解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2．已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于()A ．－1或3B ．－1C ．－3D ．1或－3答案A解析当m ＝0时，显然不符合题意；当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7，解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为()A ．－10B ．－2C ．0D ．8答案A解析因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4．过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是()A ．2x －y ＋8＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y －1＝0答案D 解析方法一因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为()A.423B ．42 C.823D ．22答案C解析∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0，∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝|6－23|2＝823.6．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.1 2B．－12C．2D．－2答案A解析直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2＝1－0－1－(－3)＝12.7．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．答案1(3,3)解析∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1＋y－6＝0，－y＝0，易得x＝3，y＝3，∴P(3,3)．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案34 5解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，2×7＋m2－3，＝－12，＝35，＝315，故m＋n＝34 5 .9．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________．答案x－2y＝0解析＝2x＋3，＝x＋1，解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．答案6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，＝－1，－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于42.(1)解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，x －y －6＝0，－y －4＝0，＝2，＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝7510，所以|a ＋12|5＝7510，即|a ＋12|＝72，又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12|c ＋12|5，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，0＝－3，0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，＝19，0＝3718.所以存在点P 13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4)B．(－2，－4) C．(2,4)D．(2，－4)答案C解析设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则2＝－1，2×－4＋x2，解得＝4，＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，∴AC所在直线方程为y－2＝3－2－1－(－4)(x＋4)，即x－3y＋10＝0.x＋y－10＝0，－3y＋10＝0，＝2，＝4，则C(2,4)．故选C.14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.5B.6C．23D．25答案A解析＝2x，＋y＝3，解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离d＝m2＋n2＝(5＋2n)2＋n2＝5(n＋2)2＋5≥5，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 5.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为()A ．4x ＋2y ＋3＝0B ．2x －4y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案B解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0,2)，故AB k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1即2x －4y ＋3＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点，b P 关于点(2,4)－m ，8－b ∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.1 直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)截距可以为负值．(√)教材改编题1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α. 由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎦⎤π2，3π4答案 B解析 设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴切线的斜率k ＝tan α≥－1， 则α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 教师备选1．(2022·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论． 跟踪训练1 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______. 答案 13－3解析 如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13， k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3. 题型二 求直线的方程例2 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； (2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解 (1)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ， 则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.教师备选1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1,1)，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3， 又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 思维升华 求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2 (1)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0答案 C解析 由题知M (2,4)，N (3,2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为______________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)， 所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8， 故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究 1.在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解 方法一 由本例方法一知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝2×1＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →| ＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但△EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )， 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1， 解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0， 解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0答案 C解析 由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2. 3．直线l 经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y －1＝0或x －2y ＝0 B ．x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0 C ．x －y ＋1＝0或2x －y ＝0 D ．x ＋y ＋1＝0或2x ＋y ＝0 答案 D解析 若直线l 过原点， 设直线l 的方程为y ＝kx ， 则k ＝－2，此时直线l 的方程为y ＝－2x ， 即2x ＋y ＝0； 若直线l 不过原点， 设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，则1a －2a ＝1，解得a ＝－1， 此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()A．a>0，c>0 B．a>0，c<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<0答案 A解析因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0. 5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0°B．1°C．2°D．3°答案 C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >1或k <15D ．k >12或k <－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得k >12或k <－1.7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞) 答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ， 所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1， 所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)， 当x ＝0时，y ＝a ，当y ＝0时，x ＝b ，所以该直线在x 轴与y 轴上的截距分别为b ，a ， 又直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.10．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为________． 答案 2 023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023， ∴b ＝2 023.11．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝______. 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.12．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________________________． 答案 x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 解析 在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．13．直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π4，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，3π4 C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1， ∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示，∴该直线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 14．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3，∴直线恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.15．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线始终过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 D解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 不正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确． 16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab . 又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。

第九章⎪⎪⎪解析几何第一节 直线与方程[考纲要求]1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．突破点一 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系[基本知识]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率公式(1)定义式：若直线l 的倾斜角α≠π2，则斜率k ＝tan_α.(2)两点式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (5)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 二、填空题1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 答案：12．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为________． 答案：343．(2019·湖南百所中学检测)若直线l 1：ax ＋y －1＝0与l 2：3x ＋(a ＋2)y ＋1＝0平行，则a 的值为________．答案：14．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎭⎫3π4，π[全析考法]考法一 直线的倾斜角与斜率1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率k k ＝tan α＞0k ＝0 k ＝tan α＜0不存在 倾斜角α锐角0°钝角90°2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)(2019·江西五校联考)已知直线l 与两条直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是( )A.23 B.32 C ．－23D ．－32(2)(2019·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4[解析] (1)设P (a,1)，Q (b ，b －7)， 则⎩⎨⎧a ＋b2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2,1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k ＝1－(－3)－2－4＝－23，故选C.(2)直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.[答案] (1)C (2)C [方法技巧]求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)． 考法二 两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例2] (1)(2019·武邑中学月考)已知过两点A (－3，m )，B (m,5)的直线与直线3x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．3B ．7C ．－7D ．－9(2)(2019·安徽六安四校联考)设m ∈R ，则“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题可知，5－m m ＋3＝－3，解得m ＝－7，故选C.(2)由直线l 1与l 2垂直可得(m ＋1)(m －1)＋(1－m )·(2m ＋1)＝0，解得m ＝0或m ＝1.所以“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]由一般式方程确定两直线位置关系的方法到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[集训冲关]1.[考法一]已知直线过A (2,4)，B (1，m )两点，且倾斜角为45°，则m ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－1解析：选A ∵直线过A (2,4)，B (1，m )两点，∴直线的斜率为m －41－2＝4－m .又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m ＝1，∴m ＝3.故选A.2.[考法一、二]已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos 2θ的值为( ) A.35B ．－35C.15 D ．－15解析：选B 由题意得－12·tan θ＝－1，∴tan θ＝2，cos 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B.3.[考法二]若直线l 1：ax －(a ＋1)y ＋1＝0与直线l 2：2x －ay －1＝0垂直，则实数a ＝( ) A ．3 B ．0 C ．－3D ．0或－3解析：选D ∵直线l 1与直线l 2垂直，∴2a ＋a (a ＋1)＝0，整理得a 2＋3a ＝0， 解得a ＝0或a ＝－3.故选D.4.[考法二]设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0的斜率都是－12，截距不相等，∴两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得a 1＝2a ＋1≠－14，解得a ＝－2或a ＝1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选C.突破点二 直线的方程[基本知识]直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x 0，y 0)，斜率k y －y 0＝k (x －x 0) 与x 轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b ，斜率k y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线 两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与x 轴、y 轴均不垂直的直线 截距式 横截距a ，纵截距bx a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面直角坐标系内所有直线[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb ＝1表示．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为______________． 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝02．(2019·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 斜率的－14的直线方程为____________．答案：3x ＋4y ＋15＝03．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝⎛⎭⎫x －32，即x ＋13y＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝0[全析考法]考法一 求直线方程[例1] (2019·湖北十堰模拟)已知菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程． [解] (1)k BC ＝－5－(－1)6－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2.∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)， 即2x －y ＋15＝0. (2)k AC ＝－5－76－(－4)＝－65.∵菱形的对角线互相垂直， ∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56.∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.[方法技巧]求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．考法二 与直线方程有关的最值问题[例2] (1)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( )A ．0B ．2 C. 2D ．1(2)若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)[解析] (1)直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D.(2)令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．[答案] (1)D (2)C [方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y ； (2)将问题转化成关于x (或y )的函数；(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．[集训冲关]1.[考法一]已知直线l 过点P (1,3)，且与x 轴，y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：选A 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得⎩⎨⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0.故选A.2.[考法一]过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________． 解析：当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1(a ≠0)，即x －y ＝a (a ≠0)，把(－3,5)代入，得a ＝－8， 所以直线方程为x －y ＋8＝0.故所求直线方程为y ＝－53x 或x －y ＋8＝0.答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝03.[考法二]已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：直线l 1可写成a (x －2)＝2(y －2)，直线l 2可写成2(x －2)＝a 2(2－y )，所以直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154.当a ＝12时，面积最小． 答案：12突破点三 直线的交点、距离与对称问题[基本知识]1．两条直线的交点2．三种距离类型 条件距离公式两点间的距离点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两平行直线间的距离 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB的中点在直线l 上．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 二、填空题1．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为________． 答案：2－12．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________． 答案：8233．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．答案：二4．(2018·忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，则直线l的方程为______________．答案：2x －y －3＝0[全析考法]考法一 距离问题[例1] (2019·北京西城期中)已知直线l 经过点P (－2，1)． (1)若点Q (－1，－2)到直线l 的距离为1，求直线l 的方程； (2)若直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程．[解] (1)当直线l 的斜率不存在时，即直线l 的方程为x ＝－2，符合要求； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 整理得kx －y ＋2k ＋1＝0，Q (－1，－2)到直线l 的距离d ＝|－k ＋2＋2k ＋1|k 2＋(－1)2＝|k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43，所以直线l 的方程为4x ＋3y ＋5＝0.(2)由题知，直线l 的斜率k 一定存在且k ≠0，故可设直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋1＝0， 当x ＝0时，y ＝2k ＋1，当y ＝0时，x ＝－2k ＋1k ， ∴2k ＋1＝－2k ＋1k ，解得k ＝－1或－12，即直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y ＋1＝0. [方法技巧]1．解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．2．求两条平行线间的距离要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．考法二 对称问题[例2] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， 因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. [方法技巧]1．中心对称问题的两种类型及求解方法2．轴对称问题的两种类型及求解方法[集训冲关]1.[考法一]“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，则有|1＋3＋C |12＋(3)2＝3，解得C ＝2或C ＝－10，故“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.2.[考法二]直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0，故选A.3.[考法一]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x－1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝04.[考法二]若直线l 与直线2x －y －2＝0关于直线x ＋y －4＝0对称，则直线l 的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线2x －y －2＝0上取一点A (1,0)，设点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba －1＝1，a ＋12＋b2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，即点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(4,3)，则直线l 的方程为y －23－2＝x －24－2，整理得x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝0[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．(2019·永州模拟)已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则直线l 1与直线l 2之间的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B 由平行线间的距离公式可知，直线l 1与直线l 2之间的距离为|1＋1|2＝ 2.3．(2019·成都月考)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，m 的值为( ) A. 2 B ．0 C ．－1D ．1解析：选C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q (2,1)，所以点P (3，2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，P Q 垂直直线，即m ·2－13－2＝－1，∴m ＝－1，故选C.4．(2019·济宁模拟)过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为( )A ．x －y ＝0B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0解析：选C 当直线经过原点时，此时直线的方程为x ＋y ＝0，满足题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x 4a ＋y a ＝1，把点(－10,10)代入可得a ＝152，故直线方程为x 30＋2y 15＝1，即x ＋4y －30＝0.综上所述，可知选C.5．(2019·深圳月考)若两直线kx －y ＋1＝0和x －ky ＝0相交且交点在第二象限，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：选A 由题意知k ≠±1.联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1＝0，x －ky ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝k1－k 2，y ＝11－k 2，∴⎩⎨⎧k1－k 2＜0，11－k 2＞0，∴－1＜k ＜0.故选A.6．(2019·银川月考)点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3)D ．(－6,3)解析：选C 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·广州月考)已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°解析：选C 设直线AB 的倾斜角为α. ∵A (1，3)，B (－1,33)， ∴k AB ＝33－3－1－1＝－3，∴tan α＝－3，∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.故选C.2．(2019·惠阳月考)点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255解析：选C 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.故选C.3．(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7 B.172 C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.4．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：选A 因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以x 2＋y 2的最小值即为原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方，d ＝|－4|1＋1＝22，d 2＝8.5．(2019·重庆第一中学月考)光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经x 轴反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点B (2,10)关于x 轴的对称点为B ′(2，－10)，由对称性可得光线从A 到B 的距离为|AB ′|＝(－3－2)2＋[5－(－10)]2＝510.故选C.6．(2019·黄陵期中)不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9，－4)解析：选D ∵直线方程为(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5， ∴直线方程可化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0.∵不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.故选D. 7．(2018·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|PA |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1，0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2,3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.8．(2019·大庆一中期末)设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 解析：选B 直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0，－2)，可得直线PA 的斜率k PA ＝－52，直线PB 的斜率k PB ＝43.若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.9．(2019·河南新乡期末)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠ －10，故选C.10．(2019·淮安期末)若三条直线x ＋y －2＝0，mx －2y ＋3＝0，x －y ＝0交于一点，则实数m 的值为________．解析：直线x ＋y －2＝0，x －y ＝0的交点为(1,1)，所以m －2＋3＝0，解得m ＝－1. 答案：－111．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝012．直线l ：x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．解析：设直线l 的倾斜角为θ，依题意知，θ≠π2，直线l 的斜率k ＝－33cos α，∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎡⎦⎤－33，33.又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π 13．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是________________．解析：设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3， 得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3. 联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0. 要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA与k MB 之积为3，则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ 14．(2019·江苏如皋联考)“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填空)解析：若l 1∥l 2，则m (m －2)－3＝0，解得m ＝3或m ＝－1(此时两直线重合，舍去)，所以m ＝3，必要性成立；若m ＝3，k 1＝k 2，l 1∥l 2，充分性成立，所以“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的充要条件．答案：充要15．(2019·四川达州月考)已知直线l 过点(1,2)且在x ，y 轴上的截距相等．(1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 在x ，y 轴上的截距不为0，点P (a ，b )在直线l 上，求3a ＋3b 的最小值． 解：(1)①截距为0时，l ：y ＝2x ；②截距不为0时，k ＝－1，l ：y －2＝－(x －1)， ∴y ＝－x ＋3.综上，l 的一般方程为2x －y ＝0或x ＋y －3＝0.(2)由题意得l ：x ＋y －3＝0，∴a ＋b ＝3，∴3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝63，当且仅当a ＝b ＝32时，等号成立，∴3a ＋3b 的最小值为6 3.16．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0. 所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线， 最大距离为|－5|5＝ 5.。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。

平面解析几何的直线方程直线是平面解析几何中的基本概念之一，它由直线上的两点确定。

在平面解析几何中，直线可以通过直线方程来表示和描述。

本文将介绍平面解析几何中直线的方程表示方法及其应用。

一、直线的一般方程平面直线可以用一般方程形式表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数，且A和B不同时为零。

二、直线的点斜式方程直线的点斜式方程是直线方程的一种常用表示形式。

点斜式方程的形式为y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，m为直线的斜率。

三、直线的截距式方程直线的截距式方程是直线方程的另一种常用表示形式。

截距式方程的形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示直线在x轴和y轴上的截距。

四、直线的两点式方程直线的两点式方程是直线方程的另一种重要表示形式。

两点式方程的形式为(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂,y₂)为直线上的两个点。

五、直线的斜截式方程斜截式方程是直线方程的又一种常见表示形式。

斜截式方程的形式为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

六、直线方程的转换和应用在解析几何中，我们常常需要在不同的直线方程之间进行转换和应用。

例如，通过变换可以从点斜式方程转换为斜截式方程，或者从截距式方程转换为一般方程形式。

这些转换可以帮助我们更好地理解和分析直线在平面上的性质。

直线方程在平面解析几何中有着广泛的应用。

我们可以利用直线方程求直线的斜率、截距、交点等性质，从而解决与直线相关的各类问题。

直线方程在几何图形的绘制、图像的处理以及物理学等领域都有重要的作用。

总结：本文介绍了平面解析几何中直线的方程表示方法，包括一般方程、点斜式方程、截距式方程、两点式方程和斜截式方程。

直线方程的转换和应用使我们能够更好地理解和分析直线在平面上的性质，并在实际问题中灵活运用。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.2 两条直线的位置关系考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．三种距离公式 (1)两点间的距离公式①条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ②结论：|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2(2)点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行直线间的距离两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.常用结论 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.2．五种常用对称关系(1)点(x ，y )关于原点(0,0)的对称点为(－x ，－y )．(2)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(3)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (4)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ,2b －y )． (5)点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x ,2b －y )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ ) 教材改编题1．点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255答案 C解析 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.2．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2(m ≠0)，故m＝2或－3.3．直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋7＝0的交点的坐标为________． 答案 (－1,3)解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以两条直线交点的坐标为(－1,3).题型一 两条直线的平行与垂直例1 (1)(2022·汉中模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0(a ∈R )，则“e a ＝1e ”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当l 1∥l 2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2＝0，2a －1≠0，解得a ＝－1或a ＝2. 而由e a ＝1e，解得a ＝－1，所以“e a ＝1e”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件．(2)(2022·长春模拟)已知直线l 经过点(1，－1)，且与直线2x －y －5＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．2x －y －3＝0答案 C解析 ∵直线l 与直线2x －y －5＝0垂直， ∴设直线l 的方程为x ＋2y ＋c ＝0， ∵直线l 经过点(1，－1)， ∴1－2＋c ＝0，即c ＝1. 直线l 的方程为x ＋2y ＋1＝0.教师备选1．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2，∴“m ＝3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．2．已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23答案 D解析 由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行时，m ＝23或m ＝－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.思维升华 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1 (1)(2022·洛阳模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (1,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．x －2y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．4x ＋2y ＋1＝0D ．2x －4y ＋1＝0答案 D解析 由题设，可得k AB ＝2－01－2＝－2， 且AB 的中点为⎝⎛⎭⎫32，1，∴AB 垂直平分线的斜率k ＝－1k AB ＝12，故AB 的垂直平分线方程为 y ＝12⎝⎛⎭⎫x －32＋1＝x 2＋14， ∵AC ＝BC ，则△ABC 的外心、重心、垂心都在AB 的垂直平分线上， ∴△ABC 的欧拉线的方程为2x －4y ＋1＝0.(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α＋1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则α＝________. 答案 k π±π4，k ∈Z解析 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得1－2sin 2α＝0， 所以sin α＝±22.又A 1C 2－A 2C 1≠0，所以1－2sin α≠0，即sin α≠12.所以α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.题型二 两直线的交点与距离问题例2 (1)两条平行直线2x －y ＋3＝0和ax ＋3y －4＝0间的距离为d ，则a ，d 的值分别为( ) A ．a ＝6，d ＝63 B ．a ＝－6，d ＝53 C ．a ＝6，d ＝53D ．a ＝－6，d ＝63答案 B解析 由题知2×3＝－a ，解得a ＝－6， 又－6x ＋3y －4＝0可化为2x －y ＋43＝0，∴d ＝⎪⎪⎪⎪3－435＝53. (2)已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________． 答案 4x －y －2＝0或x ＝1解析 若所求直线的斜率存在，则可设其方程为 y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0， 由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2，即|k －1|＝|7－k |，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x ＝1，满足题设条件． 故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 教师备选1．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．答案 4x ＋3y －6＝0解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.2．直线l 1经过点(3,0)，直线l 2经过点(0,4)，且l 1∥l 2，d 表示l 1和l 2之间的距离，则d 的取值范围是________． 答案 (0,5]解析 当直线l 1，l 2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时， d max ＝32＋42＝5；当直线l 1和l 2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合． 所以0<d ≤5.思维升华 利用距离公式应注意的点(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x ，y 的系数化为相等．跟踪训练2 (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大， 即为|AP |＝ 2. 题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的垂直平分线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.命题点3 线关于线对称例5 直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为( ) A ．4x －2y －1＝0 B ．4x －2y ＋1＝0 C ．4x ＋2y ＋1＝0 D ．4x ＋2y －1＝0答案 A解析 设直线2x －4y －1＝0上一点P (x 0，y 0)关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为P ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0＝1，x ＋x 02＋y ＋y 02＝0，整理可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－y ，y 0＝－x ，∴－2y ＋4x －1＝0，即直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为4x －2y －1＝0. 教师备选1.在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图所示)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 的长度为( )A ．2B ．1 C.83 D.43答案 D解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B (4,0)，C (0,4)，A (0,0)，则直线BC 的方程为x ＋y －4＝0.设P (t ,0)(0<t <4)，可得点P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标为(4,4－t )，点P 关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－t ,0)，根据反射定律可知直线P 1P 2就是光线RQ 所在的直线，由P 1，P 2两点的坐标可得直线P 1P 2的方程为y ＝4－t 4＋t ·(x ＋t )．设△ABC 的重心为G ，易知G ⎝⎛⎭⎫43，43.因为重心G ⎝⎛⎭⎫43，43在光线RQ 上，所以43＝4－t 4＋t ·⎝⎛⎭⎫43＋t ，得t ＝43(t ＝0舍去)，即|AP |＝43.2．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________． 答案 2x －y ＋3＝0解析 易得A 不在l 1和l 2上，因此l 1，l 2为∠B ，∠C 的平分线，所以点A 关于l 1，l 2的对称点在BC 边所在的直线上，设点A 关于l 1的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于l 2的对称点为A 2(x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋x 12－y 1－12－1＝0，y 1＋1x 1－4·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)，又易得点A 关于l 2的对称点A 2的坐标为(－2，－1)， 所以BC 边所在直线的方程为y －3－1－3＝x －0－2－0，即2x －y ＋3＝0.思维升华 对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，Q (4,3)，则P ，Q 关于点A (－1，－2)的对称点P ′，Q ′均在直线l ′上， 易得P ′(－3，－5)，Q ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式， 得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.课时精练1．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0答案 A解析 由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0.2．过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0 D ．3x ＋19y ＝0答案 D解析 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，可得直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－197，37，又所求直线过原点，所以所求的直线方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.方法二 根据题意可设所求的直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－45，所以所求直线的方程为x －3y ＋4－45(2x ＋y ＋5)＝0，即3x ＋19y＝0.3．(2022·漳州质检)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为( ) A ．垂直或平行 B ．垂直或相交 C ．平行或相交 D ．垂直或重合答案 D解析 因为a 2－3a ＋2＝0，所以a ＝1或a ＝2. 当a ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：4x －2y －3＝0， k 1＝－12，k 2＝2，所以k 1·k 2＝－1 ，则两直线垂直；当a ＝2时，l 1：2x ＋y －2＝0，l 2：2x ＋y －2＝0，则两直线重合． 4．点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3) D ．(－6,3) 答案 C解析 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q (a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·－1＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．5．已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．6D ．1或2 答案 C解析 ∵直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0的斜率都存在，且l 1∥l 2， ∴k 1＝k 2，即－a2＝3－a ，解得a ＝6.6．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)，若直线l 上存在点P 使得|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－3) B ．(－2,3) C ．(2,3) D ．(－2,2)答案 B解析 根据题意画出大致图象，如图．设点A 关于直线x －2y ＋8＝0的对称点为A 1(m ，n )． 则有⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2·12＝－1，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8.故A 1(－2,8)．此时直线A 1B 的方程为x ＝－2.所以当点P 是直线A 1B 与直线x －2y ＋8＝0的交点时，|P A |＋|PB |最小，将x ＝－2代入x －2y ＋8＝0，得y ＝3，故点P 的坐标为(－2,3)．7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2答案 A 解析 ∵l 1∥l 2，∴AB 的中点M 的轨迹是平行于l 1，l 2的直线，且到l 1，l 2的距离相等，易求得M 所在直线的方程为x ＋y －6＝0.∴中点M 到原点的最小距离为原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即62＝3 2. 8．(2022·苏州模拟)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论不正确的是( )A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，O 为坐标原点，则|MO |的最大值是 2 答案 C解析 对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确； 对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立， 所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确； 对于C ，在l 1上任取点()x ，ax ＋1，其关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为()－ax －1，－x ， 代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不恒等于0，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1， 所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2， 所以|MO |的最大值是2，故D 正确．9．(2022·邯郸模拟)直线l 1：x ＋ay －2＝0(a ∈R )与直线l 2：y ＝34x －1平行，则a ＝________，l 1与l 2的距离为________． 答案 －43 25解析 由题可知直线l 1的斜率为－1a (a ≠0)，直线l 2的斜率为34，所以－1a ＝34，解得a ＝－43，则直线l 1：x －43y －2＝0，即3x －4y －6＝0，直线l 2：y ＝34x －1，即3x －4y －4＝0，所以它们之间的距离为d ＝|－6＋4|32＋－42＝25. 10．直线3x －4y ＋5＝0关于直线x ＝1对称的直线的方程为________． 答案 3x ＋4y －11＝0解析 直线3x －4y ＋5＝0与x ＝1的交点坐标为(1,2)，又直线3x －4y ＋5＝0的斜率为34，所以关于直线x ＝1对称的直线的斜率为－34，故所求直线的方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.11．已知直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0，则原点O 到l 1的距离的最大值是________． 答案 5解析 直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0等价于a (x ＋3)＋y －4＝0， 则直线过定点A (－3,4)，当原点到l 1的距离最大时，满足OA ⊥l 1，此时原点到l 1的距离的最大值为 |OA |＝－32＋42＝5.12．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1与l 2之间的距离最大时，直线l 1的方程是____________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2之间的距离最大． 因为A (1,1)，B (0，－1)， 所以k AB ＝－1－10－1＝2， 所以两平行直线的斜率k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.13．(2022·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线y ＝x ＋1x (x >0)上，则点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为( ) A.45 B ．1 C.65 D.75 答案 C解析 设点P (x 0，y 0)， y ＝f (x )＝x ＋1x(x >0)，则f ′(x 0)＝1－1x 20，点P 与直线3x －4y －2＝0的最小距离，即为f (x )在点P 处的切线的斜率等于直线3x －4y －2＝0的斜率时的情况，即满足1－1x 20＝34，解得x 0＝2，所以y 0＝2＋12＝52，所以点P ⎝⎛⎭⎫2，52， 所以点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为d ＝⎪⎪⎪⎪2×3－4×52－242＋32＝65.14．若两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25，则直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为( ) A ．x －2y －13＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －6＝0答案 A解析 因为直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0平行， 所以n ＝－2×2＝－4，又两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25， 所以|2m ＋6|4＋16＝25，解得m ＝7，即直线l 1：x －2y ＋7＝0，l 2：x －2y －3＝0，设直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为x －2y ＋c ＝0， 则|－3－7|5＝|－3－c |5，解得c ＝－13， 故所求直线方程为x －2y －13＝0.15．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋c a 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题正确的是( ) A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行 B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直 C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直 D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交答案 A解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，直线P 1P 2不一定与l 垂直，错误； 对于C ，若d 1＝d 2＝0，满足d 1＋d 2＝0， 即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误； 对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．16．(2022·武汉调研)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，AB ＝2AD ，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为( )A.16或12B.12或1C.16或32 D ．1或32答案 C解析 如图1，作A 关于DC 的对称点为E ，D 关于AB 的对称点为G ，C 关于AB 的对称点为F ，连接GF ，EF ， 由题可得tan α＝EG GF ＝3AD 2AD ＝32.图1 图2 如图2，作A 关于BC 的对称点为G ，B 关于AD 的对称点为F ，C 关于AD 的对称点为E ， 连接EF ，EG ，由题可得tan α＝EF GF ＝AD6AD ＝16.综上，tan α的值为16或32.。

第九章平面解析几何1。

平面解析几何初步(1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离．（2）圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2．圆锥曲线（1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．(4)了解曲线与方程的对应关系．（5)理解数形结合的思想．(6)了解圆锥曲线的简单应用．9．1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A,B两点的距离：数轴上点A的坐标为x1，点B 的坐标为x2,则A，B两点间的距离｜AB｜＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1),B（x2，y2）之间的距离公式为d(A，B）＝|AB｜＝_____________________．②线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为（x1,y1)，（x2，y2)，线段P1P2的中点M 的坐标为(x，y)，则错误!2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴____________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l与x轴________或________时,我们规定它的倾斜角为0°。

第九章解析几何9。

1直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准,x轴与直线l的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.（2）直线的倾斜角α的取值范围为。

2.直线的斜率（1）定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率。

(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1），P2(x2,y2)（x1≠x2）的直线的斜率公.式为k=y2-y1x2-x13。

直线方程的五种形式考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.（1）直线的倾斜角越大，其斜率越大.（）(2）过点M(a，b），N（b,a）(a≠b)的直线的倾斜角是45°.（）（3）若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α。

（）(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y—y1）（x2—x1）=（x—x1）(y2-y1)表示。

(）（5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.() 2。

直线2x·sin 210°—y-2=0的倾斜角是()A 。

45° B.135° C 。

30 D.150°3.如图所示，在同一直角坐标系中能正确表示直线y=ax 与y=x+a 的是( )4。

(2020山东德州高三诊测)过直线l ：y=x 上的点P (2，2）作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为 。

5.(2020云南丽江高三月考）经过点(4，1），且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为 .关键能力学案突破考点 直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线x-√3y+1=0的斜率为（ )A 。

√3B 。

数学平面解析几何公式数学的世界中，平面解析几何占据着重要的地位。

它通过坐标系将几何问题转化为代数问题，使我们能够更直观地理解和解决几何问题。

本文将为您详细介绍平面解析几何中常用的公式。

一、直线方程1.一般式方程：Ax + By + C = 0其中，A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

2.斜截式方程：y = kx + b其中，k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。

3.点斜式方程：y - y1 = k(x - x1)其中，(x1, y1)为直线上的一个点，k为直线的斜率。

二、圆的方程圆的标准方程为：(x - a) + (y - b) = r其中，(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。

三、椭圆的方程椭圆的标准方程为：(x / a) + (y / b) = 1其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

四、双曲线的方程双曲线的标准方程为：(x / a) - (y / b) = 1其中，a和b分别为双曲线的实半轴和虚半轴。

五、抛物线的方程抛物线的标准方程为：y = 2px 或x = 2py其中，p为焦点到准线的距离。

六、坐标变换1.平移变换：(x", y") = (x + h, y + k)其中，(h, k)为平移向量。

2.比例变换：(x", y") = (kx, ly)其中，k和l为比例系数。

3.旋转变换：(x", y") = (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)其中，θ为旋转角度。

总结：平面解析几何公式为我们解决几何问题提供了强大的工具。

掌握这些公式，有助于我们更好地理解和运用几何知识。

平面解析几何中的直线方程直线是解析几何中的基本概念之一，在平面解析几何中，直线方程是研究直线性质的重要工具。

本文将介绍平面解析几何中的直线方程，包括点斜式、斜截式和一般式三种表示方法。

一、点斜式点斜式是一种较为常用的直线方程表示方法。

它通过直线上的一个已知点和直线的斜率来表达直线的方程。

设直线上某一点为P（x1，y1），直线的斜率为k，则直线方程的点斜式可以表示为：y - y1 = k(x - x1)其中，（x，y）为直线上的任意一点。

点斜式的优点在于可以通过已知点和斜率来确定直线方程。

例如，已知一直线过点A（2，3），斜率为2，则直线的点斜式方程为：y - 3 = 2(x - 2)二、斜截式斜截式也是一种常见的直线方程表示方法。

它通过直线的斜率和与y轴的截距来表达直线的方程。

设直线的斜率为k，与y轴的截距为b，则直线方程的斜截式可以表示为：y = kx + b其中，（x，y）为直线上的任意一点。

斜截式的优点在于可以直接得到直线与y轴相交的截距。

例如，已知一直线的斜率为3，与y轴的截距为2，则直线的斜截式方程为：y = 3x + 2三、一般式一般式是直线方程的一种标准形式，它通过直线的两个未知数系数A、B和一个常数C来表达直线的方程。

直线方程的一般式可以表示为：Ax + By + C = 0其中，A、B、C为常数且A、B不全为0，（x，y）为直线上的任意一点。

一般式的优点在于可以直接读取直线的系数。

例如，已知一直线的一般式方程为2x + 3y - 4 = 0，则该直线的系数为A=2，B=3，C=-4。

本文简要介绍了平面解析几何中直线方程的三种常见表示方法，包括点斜式、斜截式和一般式。

点斜式通过已知点和斜率来确定直线方程，斜截式通过斜率和截距来确定直线方程，一般式通过直线的系数来确定直线方程。

不同的表示方法适用于不同的问题和求解方式。

在实际应用中，根据具体情况选择合适的表达方式，可以更方便地进行计算和分析。

知识点一：直线的斜率已知两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，如果x 1≠x 2,那么直线PQ 的斜率为1212x x y y k --= 直线的斜率反应了直线相对于X 轴正方向的倾斜程度，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大知识点二：直线的倾斜角例1：下列说法中，正确的是① 直线的倾斜角为α则次直线的斜率为tan α② 直线的斜率为tan θ,则此直线的倾斜角为θ③ 若直线的倾斜角为α，则sin α>0④ 任一直线都有倾斜角，但不一定都有斜率例2：给出下列结论：① 直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角② 如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数③ 如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数④ 如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等。

其中，正确的结论是 。

练习1：已知直线的图像经过点(a,1)和(a+1,tan α+1)，则下列说法正确的是 。

① α一定是直线l 的倾斜角② α一定不是直线l 的倾斜角③ α不一定是直线l 的倾斜角④ 180°-α一定是直线l 的倾斜角练习2：设直线l与x周的交点为P,且倾斜角为α，若将其绕点P按逆时针旋转45°，得到直线l的倾斜角为α+45°，则α的取值范围是。

问题二，斜率公式的运用例1：已知点B在坐标轴上，点A（3,4），K AB=2，求点B的坐标。

例2：已知A（m,3）,B（1，m）是斜率为m的直线上的两点，求直线的倾斜角。

练习1：求通过下列两点的直线的斜率和倾斜角，其中a,b,c是两两不相等的实数。

（1）(a,c),(b,c)（2）(a,b),(a,c)（3）(a,a+b),(c,b+c)练习2：已知A （0,8），B （-4,0），C （m,-4）三点共线，求m 的值。

知识点二：直线的方程点斜式：y=k x+b两点式方程：121121x x x x y y y y --=-- 截距式方程：1=+by a x一般式方程：Ax+By+C=0例1：对于直线l 上任意一点（x,y ），点（4x+2y,x+3y ）也在直线l 上，求直线l 的方程。