平面解析几何与直线的方程

高三数学平面解析几何部分直线的方程知识精讲一. 本周教学内容：平面解析几何部分：直线的方程二. 教学目的：掌握直线方程的几种形式及其相关应用三. 教学重点、难点： 重点：（1）直线的斜率与倾斜角；（2）直线方程的几种形式及求法；（3）两直线的位置关系；（4）点到直线的距离；（5）有关对称问题． 难点：（1）注意斜率与倾斜角的区别：每条直线都有倾斜角，其X 围是0°≤θ<180°，但并不是每条直线都有斜率．（2）直线方程的五种形式之间要熟练转化，在使用直线方程时，要注意方程表示直线的“局限性”．（3）判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形．（4）在运用公式=d 求平行直线间的距离时，一定要把,x y 项的系数化成相等．（5）中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具，解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都归结为关于点的对称问题加以解决．四. 知识分析： 【知识梳理】1. 直线的斜率与倾斜角（1）已知两点1122(,),(,)P x y Q x y ，如果12≠x x ，那么直线PQ 的斜率为2121-=-y y k x x 。

（2）在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的角度，称为这条直线的倾斜角，由定义可知倾斜角的取值X 围是[)0,π。

2. 两条直线平行或垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//⇔=l l k k 。

（2）两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121⊥⇔⋅=-l l k k 。

3. 直线的点斜式方程如果直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则把方程00()-=-y y k x x 叫做直线的点斜式方程。

解析几何中的直线方程解析几何是数学中的一门重要分支，它是研究几何图形的性质以及它们的运动与变形规律的学科。

在解析几何的学习中，直线方程是非常重要的基本知识，本文将对几何解析中的直线方程作出详细解析。

一、直线方程的定义直线方程是用数学符号表达直线所满足的条件或者性质，通常用代数方程或不等式式表示。

在平面直角坐标系中，如果直线的斜率已知，则使用一般式方程y = kx + b表示；而如果直线的两个点的坐标已知，则使用两点式表示。

二、斜率表示的直线方程如果直线的斜率已知，则使用一般式方程y = kx + b进行表示。

在该式子中，k代表直线的斜率，b代表直线与y轴相交的截距。

因此，斜率k和截距b的数值都非常关键，它们可以帮助我们准确地标定一条直线。

需要注意的是，斜率k的值可能是正的、负的或零，它所代表的意义与数学实际意义也不相同。

当k>0时，直线向右上方倾斜；当k<0时，直线向右下方倾斜；当k=0时，直线水平。

此外，当斜率不存在时（例如垂直于x轴），方程中的k会出现分母为零的问题。

三、两点表示的直线方程如果直线过两个已知点，则可以使用两点式表示。

两点式是直线方程的一种，它可以通过任意两个不同的点来确定一条直线。

与斜率表示的方程不同，两点式可以准确地表示出一条经过具体坐标点的直线，因此在实际问题中得到了广泛的应用。

具体而言，两点式的表达式为：(y2 – y1) / (x2 – x1) = k。

在该式子中，k表示直线的斜率，(x1,y1)和(x2,y2)分别表示直线所经过的两个点的坐标。

这个方程式等价于将k带入一般式方程，即可得到与直线有关的其它参数。

四、斜截式表示的直线方程当直线经过y轴时，我们可以采用斜截式表示的方程表示它。

在此种情况下，方程的表达式一般为:y = kx + b。

此处的k为斜率，而b则代表截距。

这种表示方式比较直观，因为它可以清楚地显示出直线与y轴的截距，不需要进一步计算。

需要指出的是，表达式中的k和b的值会随着直线的不同而发生变化，因此我们需要根据实际的数据和信息来计算这两个变量的值，进而作出正确的判断和决策。

辅导讲义――直线方程围是___________1、五种直线方程：名称已知条件 示意图方程使用范围点斜式 点P (x 0，y 0)和斜率k斜率存在斜截式 斜率k 和在y 轴上的截距b斜率存在两点式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2斜率存在且不为0截距式在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且ab ≠0斜率存在且不为0，不过原点一般式在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一般式方程表示2、直线的截距：（1）直线在y 轴上的截距：直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标．（2）直线在x 轴上的截距：直线与x 轴的交点(a ，0)的横坐标．注意：(1)截距不代表距离，它是可正可负的.(2) 每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.[例1] 经过点（4，2）平行于x 轴的直线方程为__________.[巩固1] 一条直线过点（2，0），且与直线y=x+8在y 轴有相同的截距，则该直线的方程为____________________.[巩固2] 已知直线m 的倾斜角是直线0333=--y x 的倾斜角的2倍，且直线m 在x 轴上的截距为-3，则直线m 的知识模块2直线方程 精典例题透析题型一：求直线的倾斜角与斜率[例]如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1，l2的斜率.[巩固]已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，（1）求直线AB和AC的斜率；（2）若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．题型二：三点共线问题[例]求证：A(1,1)，B(4,7)，C(－1，－3)三点共线．[巩固]已知三点A(0，a)，B(2,3)，C(4,5a)在一条直线上，求a的值，并求这条直线的倾斜角．题型三：求直线方程[例1]三角形的顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．[巩固]写出下列直线的斜截式方程．（1）斜率是3，在y轴上的截距是－3；（2）倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；（3）倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.[巩固]设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．（1）l在x轴上的截距为－3；（2）斜率为1.题型五：直线方程的综合应用[例]已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．[巩固]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件__________.2．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是_______.解析 ∵tan α＝－sin π7cosπ7＝－tan π7＝tan 67π，∵α∈[0，π)，∴α＝67π.3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是_______________.解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 4．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________.解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.6．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1. 夯实基础训练当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0. ∴k ∈⎣⎡⎭⎫33，1∪[－3，0)．7．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或－a a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞)．8．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过定点A (－3,4)；（2）斜率为16.解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫－4k －3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是 y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3.15．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]．。

第1节 直线的方程考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan__α. (2)计算公式：①经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. ②若直线的方向向量为a ＝(x ，y )(x ≠0)，则直线的斜率k ＝y x. 3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0 0<α<π2π2 π2<α<π kk >0 不存在k <02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修2P89B5改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________.解析 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0. 答案 12x －y －18＝03.(老教材必修2P101B2改编)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________.解析 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A ≠0且B ≠0. 答案 A ≠0且B ≠04.(2020·西安调研)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.120°D.150°解析 由题意得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 答案 B5.(2020·昆明诊断)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案 B6.(2020·合肥调研)过点(－3，4)，在x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______.解析 由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9(舍).故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0.答案 4x －y ＋16＝0考点一 直线的倾斜角与斜率典例迁移【例1】 (一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.解析 法一 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移1】 若将例1中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 【迁移2】 若将例1中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.解 由例1知直线l 的方程kx －y －k ＝0，∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】 如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 D考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)(一题多解)经过点P (2，3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2). 解 (1)由题可知sin α＝45，则tan α＝±43，∵直线l 经过点P (1，2)，∴直线l 的方程为y －2＝±43(x －1)，即y ＝±43(x －1)＋2，整理得4x －3y ＋2＝0或4x ＋3y －10＝0.(2)法一 ①当截距为0时，直线l 过点(0，0)，(2，3)， 则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.②当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y a＝1. 因为直线l 过点P (2，3)，所以2a ＋3a＝1，所以a ＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0.令x ＝0，得y ＝－2k ＋3.令y ＝0，得x ＝－3k＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或k ＝－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的方向向量v ＝(－3，2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程； (2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 解 (1)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.考点三 直线方程的综合应用 多维探究角度1 直线过定点问题【例3－1】 已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； (3)若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________. 解析 (1)当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y ＝k (x ＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3，0). 答案 (1)(0，3) (2)(－3，0) (3)(3，0)规律方法 1.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标. 2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.角度2 与直线方程有关的多边形面积的最值问题【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.答案 12规律方法 1.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.2.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k ).依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.答案 A2.(2020·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.答案 A3.(2020·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合. 答案 B4.(2020·成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A.x ＝2 B.y ＝1 C.x ＝1D.y ＝2解析 直线y ＝－x －1的倾斜角为3π4，则所求直线的倾斜角为π2，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为x ＝2. 答案 A5.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.答案 A6.(2020·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以a ＝－b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－1，所以直线的倾斜角为3π4，故选D.答案 D7.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.又sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.答案 B8.(2020·东北三省四校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[－1，0]C.[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案 A 二、填空题9.直线l 的倾斜角为60°，且在x 轴上的截距为－13，则直线l 的方程为________.解析 由题意可知，直线l 的斜率为3，且该直线过⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，∴直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，即3x －3y ＋1＝0. 答案 3x －3y ＋1＝010.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝011.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________. 解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2，2].答案 [－2，2]12.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.解析 因为直线4x －3y ＋2 020＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以2tanα21－tan 2α2＝43，解得tan α2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12，所以y ＝－32.答案 －32B 级 能力提升13.(2019·湖南长郡中学月考)已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，56πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π解析 因为点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，所以(－a －2＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫33a －0＋1>0，即(a ＋1)(a ＋3)<0，所以－3<a <－1，又知直线l 的斜率k ＝a ，即－3<k <－1，又因为直线倾斜角的范围是[0，π)，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π，故选D. 答案 D14.(2020·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A.ab >0，bc <0 B.ab >0，bc >0 C.ab <0，bc >0D.ab <0，bc <0解析 易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－ab <0，－cb >0，所以ab >0，bc <0.答案 A15.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 解析 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9.所以直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45.答案 4516.(2020·豫北名校调研)直线l 过点P (6，4)，且分别与两坐标轴的正半轴交于A ，B 两点，当△ABO 的面积最小时，直线l 的方程为________.解析 设直线l 的方程为y －4＝k (x －6)(k ≠0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫6－4k，0，B (0，4－6k )，由题意知k <0，则S △ABO ＝12×|OA |·|OB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6－4k ·(4－6k )＝24－18k －8k ，∵k <0，∴－18k >0，－8k >0，∴－18k －8k≥2（－18k ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k ＝24，当且仅当－18k ＝－8k ，即k 2＝49，也即k ＝－23时取得等号，所以△ABO 的面积的最小值为48，此时直线l 的方程为y －4＝－23(x －6)，即2x ＋3y －24＝0.答案 2x ＋3y －24＝0C 级 创新猜想17.(多填题)设点A (－2，3)，B (3，2)，已知直线l 的方程为ax ＋y ＋2＝0，则直线l 过定点________，若直线l 与线段AB 没有交点，则实数a 的取值范围是________.解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－（－2）－2－0＝－52，k MB ＝2－（－2）3－0＝43，结合题意可知－a >－52，且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.答案 (0，－2) ⎝⎛⎭⎪⎫－43，52。

平面解析几何中的直线方程直线是解析几何中的基本概念之一，在平面解析几何中，直线方程是研究直线性质的重要工具。

本文将介绍平面解析几何中的直线方程，包括点斜式、斜截式和一般式三种表示方法。

一、点斜式点斜式是一种较为常用的直线方程表示方法。

它通过直线上的一个已知点和直线的斜率来表达直线的方程。

设直线上某一点为P（x1，y1），直线的斜率为k，则直线方程的点斜式可以表示为：y - y1 = k(x - x1)其中，（x，y）为直线上的任意一点。

点斜式的优点在于可以通过已知点和斜率来确定直线方程。

例如，已知一直线过点A（2，3），斜率为2，则直线的点斜式方程为：y - 3 = 2(x - 2)二、斜截式斜截式也是一种常见的直线方程表示方法。

它通过直线的斜率和与y轴的截距来表达直线的方程。

设直线的斜率为k，与y轴的截距为b，则直线方程的斜截式可以表示为：y = kx + b其中，（x，y）为直线上的任意一点。

斜截式的优点在于可以直接得到直线与y轴相交的截距。

例如，已知一直线的斜率为3，与y轴的截距为2，则直线的斜截式方程为：y = 3x + 2三、一般式一般式是直线方程的一种标准形式，它通过直线的两个未知数系数A、B和一个常数C来表达直线的方程。

直线方程的一般式可以表示为：Ax + By + C = 0其中，A、B、C为常数且A、B不全为0，（x，y）为直线上的任意一点。

一般式的优点在于可以直接读取直线的系数。

例如，已知一直线的一般式方程为2x + 3y - 4 = 0，则该直线的系数为A=2，B=3，C=-4。

本文简要介绍了平面解析几何中直线方程的三种常见表示方法，包括点斜式、斜截式和一般式。

点斜式通过已知点和斜率来确定直线方程，斜截式通过斜率和截距来确定直线方程，一般式通过直线的系数来确定直线方程。

不同的表示方法适用于不同的问题和求解方式。

在实际应用中，根据具体情况选择合适的表达方式，可以更方便地进行计算和分析。

第八章平面解析几何第1节直线与方程[六年新课标全国卷试题分析]第1节直线与方程[考纲展示]1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义:当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.②范围:倾斜角α的范围为[0,π). (2)直线的斜率①定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k=tan α,倾斜角是π2的直线没有斜率. ②过两点的直线的斜率公式:经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k=2121yy xx --.2.直线方程的五种形式3.两条直线位置关系的判定4.两条直线的交点设直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,将这两条直线的方程联立,得方程组1112220,0.A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩ (1)若方程组有唯一解,则l 1与l 2相交,此解就是l 1,l 2交点的坐标;(2)若方程组无解,则l1与l2无公共点,此时l1∥l2;(3)若方程组有无数组解,则l1与l2重合.5.几种距离(1)两点距离两点P,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2(2)点线距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离(3)线线距离两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离A B+1.判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( × )(3)过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可用方程y-y 0=k(x-x 0)表示.( × )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)表示.( √ )(5)当直线l 1和l 2斜率都存在时,一定有k 1=k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (6)如果两条直线l 1与l 2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × ) (7)已知直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2+B 1B 2=0.( √ )2.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为3π4,则y 等于( B ) (A)-1 (B)-3 (C)0 (D)2解析:由k=32124y ----=tan 3π4=-1, 得-4-2y=2,所以y=-3.故选B.3.已知直线l:ax+y-2-a=0在x 轴和y 轴上的截距相等,则a 的值是( D ) (A)1 (B)-1(C)-2或-1 (D)-2或1解析:由题意可知a ≠0.当x=0时,y=a+2.当y=0时,x=2a a +.所以2a a+=a+2,解得a=-2或a=1.故选D.4.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则实数m 的值为( B )(A)0 (B)-8 (C)2 (D)10解析:由题意知4(2)mm ---=-2, 解得m=-8.故选B.5.过点(1,0),且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是( C ) (A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0解析:因为直线x-2y-2=0的斜率为12,所以所求直线的斜率k=-2.所以所求直线的方程为y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.故选C.6.已知直线l 1:kx+2y+1=0,l 2:x+y+2=0平行,则k= ,l 1,l 2之间的距离是 .解析:由l 1∥l 2,则1k =21≠12, 所以k=2,l 1:2x+2y+1=0. 先将2x+2y+1=0化为x+y+12=0,则两平行线间的距离为答案:2直线的倾斜角与斜率[例1] (1)已知直线方程为xcos 300°+ysin 300°=3,则直线的倾斜角为( )(A)60° (B)60°或300°(C)30° (D)30°或330°(2)直线l 过点P(1,0),且与以为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为 .解析:(1)因为直线方程为xcos 300°+ysin 300°=3,所以直线的斜率为k=-cos300sin300︒︒=-cos(36060)sin(36060)︒-︒︒-︒=-cos(60)sin(60)-︒-︒=cos60sin 60︒︒.因为直线倾斜角的范围为[0°,180°),所以倾斜角为30°,故选C.(2)如图,因为k AP =1021--=1,kBP 所以k ∈(-∞]∪[1,+∞).答案:(1)C (2)(-∞]∪[1,+∞)跟踪训练1:已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l 与线段AB 有公共点.(1)求直线l 的斜率k 的取值范围; (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围.解:如图,由题意可知,k PA =4031---=-1,k PB =2031--=1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).(2)由题意可知,直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间, 又PB 的倾斜角是π4,PA 的倾斜角是3π4,所以α的取值范围是[π4,3π4]. 直线方程[例2] (1)求过点A(1,3),斜率是直线y=-4x 的斜率的13的直线方程; (2)求经过点A(-5,2),且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程.解:(1)设所求直线的斜率为k,依题意k=-4×13=-43. 又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y-3=-43(x-1), 即4x+3y-13=0.(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为2x a +y a =1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-12,所以直线方程为x+2y+1=0;当直线过原点时,设直线方程为y=kx,则-5k=2,解得k=-25,所以直线方程为y=-25x,即2x+5y=0.故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.跟踪训练2:已知直线l 过点P(5,2),分别求满足下列条件的直线方程. (1)直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍; (2)直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52. 解:(1)当直线l 过原点时,直线l 的斜率为25, 所以直线方程为y=25x,即2x-5y=0;当直线l 不过原点时,设直线方程为2x a +y a =1,将x=5,y=2代入得a=92,所以直线方程为x+2y-9=0.综上,直线l 的方程为2x-5y=0或x+2y-9=0. (2)显然直线与坐标轴不垂直.因为直线l 经过点P(5,2),且能与坐标轴围成三角形,所以可设直线l 的方程为y-2=k(x-5)(k ≠0),则直线在x 轴上的截距为5-2k ,在y 轴上的截距为2-5k, 由题意,得12|5-2k |·|2-5k|=52, 即(5k-2)2=5|k|.当k>0时,原方程可化为(5k-2)2=5k,解得k=15或k=45; 当k<0时,原方程可化为(5k-2)2=-5k,此方程无实数解;故直线l 的方程为y-2=15(x-5)或y-2=45(x-5),即x-5y+5=0或4x-5y-10=0.两直线的位置关系[例3] 已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2-1=0. (1)当l 1∥l 2时,求a 的值; (2)当l 1⊥l 2时,求a 的值.解:(1)法一 当a=1时,l 1:x+2y+6=0, l 2:x=0,l 1不平行于l 2;当a=0时,l 1:y=-3,l 2:x-y-1=0,l 1不平行于l 2; 当a ≠1且a ≠0时, 两直线方程可化为l 1:y=-2ax-3,l 2:y=11a-x-(a+1),由l 1∥l 2可得1,213(1),aa a ⎧-=⎪-⎨⎪-≠-+⎩解得a=-1.综上可知,a=-1.法二 由l 1∥l 2知2(1)120,(1)160a a a a --⨯=⎧⎪⎨--⨯≠⎪⎩⇒2220,(1)6a a a a ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩⇒a=-1. 解:(2)法一 当a=1时,l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0,l 1与l 2不垂直,故a=1不符合;当a ≠1时,l 1:y=-2a x-3,l 2:y=11a -x-(a+1), 由l 1⊥l 2,得(-2a )·11a -=-1⇒a=23. 法二 因为l 1⊥l 2, 即a+2(a-1)=0,得a=23.跟踪训练3:(1)已知a 为实数,直线l 1:ax+y=1,l 2:x+ay=2a,则“a=-1”是“l 1∥l 2”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(2)已知直线l 1:ax+(3-a)y+1=0,l 2:x-2y=0.若l 1⊥l 2,则实数a 的值为 ,若l 1∥l 2,则a 的值为 . 解析:(1)由“l 1∥l 2”得a 2-1=0, 且a ×2a ≠1×1,解得a=-1或a=1,所以“a=-1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件.故选A. (2)由3a a -=-2,得a=2. 若l 1∥l 2,则1a =32a --,得a=-3.答案:(1)A (2)2 -3距离问题[例4] (1)已知点M 是直线上的一个动点,且点,-1),则|PM|的最小值为( )(A)12(B)1 (C)2 (D)3(2)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0,则c 的值是 .解析:(1)|PM|的最小值即点到直线y=2的距离,故|PM|的最小值为1.选B.(2)依题意知,63=2a -≠1c-,解得a=-4,c ≠-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+2c=0,,,解得c=2或-6.答案:(1)B (2)2或-6跟踪训练4:(1)若P,Q 分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )(A)95 (B)185 (C)2910 (D)295(2)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a 的取值范围为 .解析:(1)因为36=48≠125-,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离, =2910,所以|PQ|的最小值为2910.故选C.(2)由题意得,点P 到直线的距离为44315a ⨯-⨯-=1535a-. 又1535a-≤3,即|15-3a|≤15, 解得0≤a ≤10,所以a 的取值范围是[0,10].答案:(1)C (2)[0,10]对称问题[例5] (1)坐标原点(0,0)关于直线x-2y+2=0对称的点的坐标是( ) (A)(-45,85) (B)(-45,-85)(C)(45,-85) (D)(45,85)(2)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是( ) (A)x-2y+3=0 (B)x-2y-3=0 (C)x+2y+1=0 (D)x+2y-1=0(3)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为 .解析:(1)直线x-2y+2=0的斜率k=12,设坐标原点(0,0)关于直线x-2y+2=0对称的点的坐标是(x 0,y 0),依题意可得0000220,222,x y y x ⎧-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩解得004,58,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即所求点的坐标是(-45,85). 故选A.(2)设所求直线上任意一点P(x,y),则P 关于x-y+2=0的对称点为P ′(x 0,y 0),由000020,22(),x x y y x x y y ++⎧-+=⎪⎨⎪-=--⎩得002,2,x y y x =-⎧⎨=+⎩ 由点P ′(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 则2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0. 故选A.(3)设A ′(x,y),由已知得221,13122310,22y x x y +⎧⨯=-⎪⎪+⎨--⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得33,134,13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故A ′(-3313,413).答案:(1)A (2)A (3)(-3313,413)跟踪训练5:(1)若点(a,b)关于直线y=2x 的对称点在x 轴上,则a,b 满足的条件为( )(A)4a+3b=0 (B)3a+4b=0 (C)2a+3b=0 (D)3a+2b=0(2)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M 点对称的直线方程为( )(A)2x+3y-12=0 (B)2x-3y-12=0 (C)2x-3y+12=0 (D)2x+3y+12=0 解析:(1)设点(a,b)关于直线y=2x的对称点为(t,0),则有021,02,22b a tb a t -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯⎪⎩解得4a+3b=0.故选A.(2)由ax+y+3a-1=0, 可得a(x+3)+(y-1)=0,令30,10,x y +=⎧⎨-=⎩可得3,1,x y =-⎧⎨=⎩ 所以M(-3,1),M 不在直线2x+3y-6=0上,设直线2x+3y-6=0关于M 点对称的直线方程为2x+3y+C=0(C ≠-6),解得C=12或C=-6(舍去), 所以所求直线方程为2x+3y+12=0, 故选D.数学抽象——直线系方程中的核心素养由直线过定点的直线方程特点抽象出直线系方程,体现了数学抽象的核心素养. [典例] 求过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点,且和A(-3,1),B(5,7)等距离的直线方程.解:设所求直线方程为2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0, 即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线等距离,可得整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=2935或λ=13, 所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.(1)过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为;(2)经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为.解析:(1)设所求直线方程为2x+3y+c=0(c≠5),由题意知,2×1+3×(-4)+c=0,所以c=10,故所求直线方程为2x+3y+10=0.(2)因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+c=0,又直线过点A(2,1),所以有2-2×1+c=0,解得c=0,即所求直线方程为x-2y=0.答案:(1)2x+3y+10=0 (2)x-2y=0y-9=0上存在点[例1] 已知两点A(-m,0)和B(2+m,0)(m>0),若在直线P,使得PA⊥PB,则实数m的取值范围是( )(A)(0,3) (B)(0,4)(C)[3,+∞) (D)[4,+∞)解析:设P(x,y),则k PA =y x m+,k PB =2y x m--,由已知可得90,1,2x y yx m x m⎧-=⎪⎨⋅=-⎪+--⎩ 消去x 得 4y 2y+63-m 2-2m=0,由题意得220,(44(632)0,m m m >⎧⎪⎨∆=--⨯⨯--≥⎪⎩解得m ≥3.故选C.[例2] 已知直线l 过点(1,0),且倾斜角为直线l 0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l 的方程为( ) (A)4x-3y-3=0 (B)3x-4y-3=0 (C)3x-4y-4=0 (D)4x-3y-4=0解析:由题意可设直线l 0,l 的倾斜角分别为α,2α,因为直线l 0:x-2y-2=0的斜率为12,则tan α=12, 所以直线l 的斜率k=tan 2α=22tan 1tan αα-=212211()2⨯-=43,所以由点斜式可得直线l 的方程为y-0=43(x-1), 即4x-3y-4=0.故选D.[例3] 设P 为曲线C:y=x 2+2x+3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P 横坐标的取值范围为( ) (A)[-1,-12] (B)[-1,0] (C)[0,1] (D)[12,1] 解析:由题意知y ′=2x+2,设P(x 0,y 0),则k=2x 0+2. 因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0,π4], 则0≤k ≤1,即0≤2x 0+2≤1,故-1≤x 0≤-12.故选A.[例4] 若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n= .解析:由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是3723,2231,72nm n m ++⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩解得3,531,5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故m+n=345. 答案:345[例5] 设m ∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是 . 解析:易知A(0,0),B(1,3)且两直线互相垂直, 即△APB 为直角三角形, 所以|PA|·|PB|≤222PA PB+=22AB =102=5. 当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立. 答案:5第1节 直线与方程[选题明细表](建议用时:20分钟)1.直线2x ·sin 210°-y-2=0的倾斜角是( B ) (A)45° (B)135° (C)30° (D)150°解析:由题意得k=2sin 210°=-2sin 30°=-1,故倾斜角为135°.故选B. 2.如图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则( D )(A)k 1<k 2<k 3 (B)k 3<k 1<k 2 (C)k 3<k 2<k 1 (D)k 1<k 3<k 2解析:直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3,所以0<k 3<k 2,因此k 1<k 3<k 2.故选D.3.若直线l 经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与经过点(-2,1)、斜率为-23的直线垂直,则实数a 的值为( A )(A)-23 (B)-32 (C)23 (D)32解析:由题意得,直线l 的斜率为k=2-a-2-a+2=-1a (a ≠0),所以-1a ·(-23)=-1,所以a=-23,故选A.4.过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x 的斜率的-14的直线方程为( A ) (A)3x+4y+15=0 (B)4x+3y+6=0 (C)3x+y+6=0 (D)3x-4y+10=0 解析:设所求直线的斜率为k,依题意k=-14×3=-34. 又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-34(x+1), 即3x+4y+15=0.5.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点( C ) (A)(1,-3) (B)(4,3) (C)(3,1) (D)(2,3) 解析:2mx+x+my+y-7m-4=0, 即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由{2x +y =7,x +y =4,解得{x =3,y =1.则直线过定点(3,1),故选C. 6.若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则m 的值是( A ) (A)1 (B)-2 (C)1或-2 (D)-32解析:①当m=-1时,两直线分别为x-2=0和x-2y-4=0,此时两直线相交,不合题意. ②当m ≠-1时,两直线的斜率都存在,由直线平行可得{-11+m =-m2,2≠-2,解得m=1.综上可得m=1.故选A.7.直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( C ) (A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0(C)2x+y-5=0 (D)x+2y-5=0解析:由题意可知,直线2x-y+1=0与直线x=1的交点为(1,3),直线2x-y+1=0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补,因此它们的斜率互为相反数.因为直线2x-y+1=0的斜率为2,故所求直线的斜率为-2,所以所求直线的方程是y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.故选C.8.已知坐标原点关于直线l 1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l 2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l 2的距离最大时,直线l 2的方程为( B )(A)2x+3y+5=0 (B)3x-2y+5=0(C)3x+2y+5=0 (D)2x-3y+5=0解析:设A(x 0,y 0),依题意可得{x 02-y 02+1=0,y 0x 0=-1,解得{x 0=-1,y 0=1, 即A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l 2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l 2垂直于直线AB,又-1k AB =32, 所以直线l 2的方程为y-1=3(x+1), 即3x-2y+5=0.9.一只虫子从点(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P 点,再从P 点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是( B )(A)√2 (B)2 (C)3 (D)4解析:点(0,0)关于直线l:x-y+1=0的对称点为(-1,1),则最短路程为√(-1-1)2+(1-1)2=2.10.已知两直线l 1:(3+m)x+4y=5-3m,l 2:2x+(5+m)y=8,若l 1∥l 2,则m= ;若l 1⊥l 2,则m= .解析:若l 1∥l 2,则3+m =4≠5-3m , 即m=-7或m=-1(舍去),所以m=-7.若l 1⊥l 2,则(3+m)×2+4(5+m)=0,即m=-133. 答案:-7 -133(建议用时:25分钟)11.若直线l 1:y=k(x-4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点( B )(A)(0,4) (B)(0,2)(C)(-2,4) (D)(4,-2)解析:由题知直线l 1过定点(4,0),则由条件可知,直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0),故可知直线l 2所过定点为(0,2),故选B.12.已知直线l 1:2x-y+3=0,直线l 2:4x-2y-1=0和直线l 3:x+y-1=0,若点M 同时满足下列条件:①点M 是第一象限的点;②点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12; ③点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是√2∶√5.则点M 的坐标为( D )(A)(13,2) (B)(13,3718) (C)(19,2) (D)(19,3718) 解析:设点M(x 0,y 0),若点M 满足②,则00√5=12×00√16+4, 故2x 0-y 0+132=0或2x 0-y 0+116=0, 若点M(x 0,y 0)满足③,由点到直线的距离公式, 得00√5=√2√5×00√2, 即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|,故x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0,由于点M(x 0,y 0)在第一象限,故3x 0+2=0不符合题意, 联立{2x 0-y 0+132=0,x 0-2y 0+4=0, 解得{x 0=-3,y 0=12,不符合题意; 联立{2x 0-y 0+116=0,x 0-2y 0+4=0,解得{x 0=19,y 0=3718, 即点M 的坐标为(1,37). 13.若△ABC 的顶点A(5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x-y-5=0,AC 边上的高BH 所在直线方程为x-2y-5=0,则直线BC 的方程为 .解析:由AC 边上的高BH 所在直线方程为x-2y-5=0可以知道k AC =-2,又A(5,1),AC 边所在直线方程为2x+y-11=0,联立直线AC 与直线CM 方程得{2x +y-11=0,2x-y-5=0,解得{x =4,y =3,所以顶点C 的坐标为(4,3). 设B(x 0,y 0),AB 的中点M 为(x 0+52,y 0+12),由M 在直线2x-y-5=0上,得2x 0-y 0-1=0,B 在直线x-2y-5=0上,得x 0-2y 0-5=0,联立{2x 0-y 0-1=0,x 0-2y 0-5=0.解得{x 0=-1,y 0=-3,所以顶点B 的坐标为(-1,-3).于是直线BC 的方程为6x-5y-9=0.答案:6x-5y-9=014.已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A,B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.解:法一 设直线方程为x a +y b =1(a>0,b>0),点P(3,2)代入得3a +2b =1≥2√6ab,得ab ≥24, 从而S △ABO =12ab ≥12, 当且仅当3a =2b 时等号成立,这时k=-b a =-23, 即△ABO 的面积的最小值为12.从而所求直线方程为2x+3y-12=0.法二 依题意知,直线l 的斜率k 存在且k<0.则直线l 的方程为y-2=k(x-3)(k<0),且有A(3-2k,0),B(0,2-3k), 所以S △ABO =1(2-3k)(3-2) =12[12+(-9k)+4(-k)] ≥12[12+2√(-9k)·4(-k)] =12×(12+12)=12. 当且仅当-9k=4-k ,即k=-23时,等号成立, 即△ABO 的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x+3y-12=0.15.已知直线l 1:x+a 2y+1=0和直线l 2:(a 2+1)x-by+3=0(a,b ∈R).(1)若l 1∥l 2,求b 的取值范围;(2)若l 1⊥l 2,求|ab|的最小值.解:(1)因为l 1∥l 2,所以-b-(a 2+1)a 2=0,且a 2+1≠3.则b=-a 2(a 2+1)=-a 4-a 2=-(a 2+12)2+14, 因为a 2≥0,所以b ≤0.又因为a 2+1≠3,所以b ≠-6.故b 的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0].(2)因为l 1⊥l 2,所以(a 2+1)-a 2b=0,又a=0,不满足l 1⊥l 2,则a ≠0,所以ab=a+1a ,|ab|=a+1a≥2,当且仅当a=±1时等号成立,因此|ab|的最小值为2.。

第2章 平面解析几何初步2.1 直线与方程如图2—1—2（1），已知两点1122(,),(,)P x y Q x y ，如果12x x ≠，那么直线PQ 的斜率（slope)为211221()y y k x x x x -=≠-.例 1 如图2—1—3，直线123,,l l l 都经过点(3,2),P 又123,,l l l 分别经过点123(2,1),(4,2),(3,2)Q Q Q ----，试计算直线123,,l l l 的斜率.例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为： （1）34；（2）45-.在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角（inclination)，并规定： 与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0︒由定义可知，直线的倾斜角α的取值范围是0180α︒≤<︒.当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角（图2—1—5（1）），此时，tan .y BNk x ANα∆===∆当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角（图2—1—5（2）），此时，tan tan(180).y BNk x ANθα∆===-=-︒-∆-练习1.分别求经过下列两点的直线的斜率： （1）（2，3），（4，5）；（2）（－2，3），（2，1）；（3）（―3，―1），（2，―1）；（3）（―1，3），2.根据下列条件，分析画出经过点P ，且斜率为k 的直线： （1）(1,2),3P k =； （2）3(2,4),4P k =-； （3）(1,3),0P k -=；（3）(2,0),P -斜率不存在.3.设过点A 的直线的斜率为k ，试分别根据上列条件写出直线上另一点B 的坐标（答案不惟一）：（1）4,(1,2);k A =（2）2,(2,3);k A =--- （3）3,(2,4);2k A =--（4）4,(3,2).3k A =- 4.分别判断下列三点是否在同一直线上： （1）（0，2）（2，5），（3，7）； （2）（―1，4），（2，1），（―2，5）.若直线l 经过点(1,3)A -，斜率为2-，点P 在直线l 上运动，那么点P 的坐标(,)x y 满足什么条件（图2—1—6）？一般地，设直线l 经过点111(,)P x y ，斜率为k ，直线l 上任意一点P 的坐标是(,)x y . 当点(,)P x y （不同于点1P ）在直线l 上运动时，1PP的斜率恒等于k ，即 11y y k x x -=-， 故11()y y k x x -=-.可以验证：直线l 上的每个点（包括点1P ）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上.这个方程就是过点1P ，斜率为k 的直线l 的方程.方程11()y y k x x -=-叫做直线的点斜式方程.当直线l 与x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.但因为l 上每一点的横坐标都等于1x ，所以它的方程是1x x =例1 已知一直线经过点(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程.例2 已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程. 练习1.根据下列条件，分别写出直线的方程： （1）经过点(4,2)-，斜率为3；（2）经过点(3,1)，斜率为12； （3）斜率为2-，在y 轴上的截距为2-；（4，与x 轴交点的横坐标为7-. 2.直线(1)(0)y k x k =+>的图象可能是（ ）.3.若一直线经过点(1,2)P ，且斜率与直线23y x =-+的斜率相等，则该直线的方程是 .4.任一条直线都可以用点斜式方程表示吗？斜截式方程可以改写成点斜式方程吗？ 思考（1）方程121121y y y y x x x x --=--的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图表？ （2）方程121121y y y y x x x x --=--和方程112121y y x x y y x x --=--表示同一图形吗？ 例1 已知直线l 经过两点(,0),(0,)A a B b ，其中0ab ≠，求直线l 的方程（图2—1—8）.例2 已知三角形的顶点是(5,0),(3,3),(0,2)A B C --（图2—1—9），试求这个三角形三边所在直线的方程.1.分别写出经过下列两点的直线的方程： （1）（1，3），（－1，2）；（2）（0，3），（－2，0）.2.已知两点(3,2),(8,12)A B . （1）求出直线AB 的方程；（2）若点(2,)C a -在直线AB 上，求实数a 的值.3.求过点(3,4)M -，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.4.回答下列问题：（1）任一条直线都有x 轴上的截距和y 轴上的截距吗？（2）如果两条直线有相同的斜率，但在x 轴上的截距不同，那么它们在y 轴上的截距可能相同吗？（3）如果两条直线在y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x 轴上的截距可能相同吗？（4）任一条直线都可以用截距式方程表示吗？ 思考平面内任意一条直线是否都可以用形如0Ax By C ++=（,A B 不全为0）的方程来表示？例1 求直线:35150l x y +-=的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图.例2 设直线l 的方程为260x my m +-+=，根据下列条件分别确定m 的值： （1）直线l 在x 轴上的截距是3-； （2）直线l 的斜率是1.1.如果直线326x y +=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，那么有（ ）.A.3,32k b =-=B.2,33k b =-=- C.3,32k b =-=-D.2,23k b =-= 2.直线52100x y --=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）. A.2,5a b ==B.2,5a b ==-C.2,5a b =-=D.2,5a b =-=-3.设直线l 的方程为0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），根据下列条件，求出,,A B C 应满足的条件：（1）直线l 过原点；（2）直线l 垂直于x 轴； （3）直线l 垂直于y 轴；（3）直线l 与两条坐标轴都相交.4.写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：习题2.1（1）1.根据下列条件，分别写出直线的方程：（1）过点(3,2)-，斜率为3； （2）过点(3,0)-，且与x 轴垂直； （3）斜率为4-，且在y 轴上的截距为7；（4）经过点(1,8),(4,2)--.2.写出过点(3,1)P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程； （1）直线l 垂直于x 轴； （2）直线l 垂直于y 轴； （3）直线l 过原点.3.分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积： （1）2360x y --=；（2）5320x y ++=.4.一根弹簧挂4kg 的物体时，长20cm.在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg ，弹簧伸长1.5cm.试写出弹簧的长度l （cm ）和所挂物体质量m （kg ）之间的关系.5.一根铁棒在40℃时长12.506m ，在80℃时长12.512m.已知长度l （m ）和温度t （℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度.6.已知菱形的两条对角线长分别为8和6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程.7.直线l 经过点(3,1)-，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程. 8.设直线l 的方程为2(3)260(3)x k y k k +--+=≠，根据下列条件分别确定k 的值； （1）直线l 的斜率为－1；（2）直线l 在x 轴、y 轴上截距之和等于0.9.设直线l 的方程为3(2)y k x -=+，当k 取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点？10.已知两条直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=都过点(1,2)A ，求过两点111222(,),(,)P a b P a b 的直线的方程.11.“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度，这个词与直线的斜率有何关系？坡度为4%的道路很陡吗？调查一些山路或桥面的坡度，并与同学交流.例1 求证：顺次连结7(2,3),5,,(2,3),(4,4)2A B C D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭四点所得的四边形是梯形（图2—1—12）.例2 求过点(2,3)A -，且与直线250x y +-=平行的直线的方程. 思考如果两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？例3 （1）已知四点(5,3),(10,6),(3,4),(6,11)A B C D --，求证：AB CD ⊥； （2）已知直线1l 的斜率134k =，直线2l 经过点，且12l l ⊥，求实数a 的值.例4 如图2—1—14，已知三角形的顶点为(2,4),(1,2),(2,3)A B C --，求BC 边长的高AD 所在直线的方程.例5 在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m ） 习题1.分别判断下列直线AB 与CD 是否平行： （1）(3,1),(1,1)A B --；(3,5),(5,1)C D -；（2）(2,4),(4)A B --； (0,1),(4,1).C D 2.已知17(4,2),(1,1),(5,5),(,)32A B C D ----，求证：四边形ABCD 是梯形. 3.以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形是（ ）. A.锐有三角形B.直角三角形C.钝角三角形4.求过点(2,3)A ，且分别适合下列条件的直线的方程：（1）平行于直线2530x y +-=； （2）垂直于直线20x y --=.例1 分别判断下列直线1l 与2l 是否相交，若相交，求出它们的交点： （1）1:27,l x y -=2:3270;l x y +-= （2）1:2640,l x y -+= 2:41280;l x y -+=（3）1:4240,l x y ++= 2:2 3.l y x =-+例2 直线l 经过原点，且经过另两条直线2380,10x y x y ++=--=的交点，求直线l 的方程.例3 某商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：1270,220y x y x =-+=-.当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量. （1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？思考已知直线1:10l x y ++=和2:240l x y -+=，那么方程1(24)0x y x y λ+++-+=（λ为任意实数）表示的直线有什么特点？ 习题1.与直线230x y --=相交的直线的方程是（ ）. A.4260x y --= B.2y x = C.25y x =+D.23y x =-+2.若三角直线2380,10x y x y ++=--=和102x ky k +++=相交于一点，则k 的值等于（ ）A .－2B.12-C.2D.123.已知直线l 经过两条直线2330x y --=和20x y ++=的交点，且与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程.4.在例3中，求当每件商品征税3元时新的平衡价格. 习题2.1（2）1.分别求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点(3,2)A ，且与直线420x y +-=平行； （2）经过点(3,0)B ，且与直线250x y +-=垂直；（3）经过点(2,3)C -，且平行于过两点(1,2)M 和(1,5)M --的直线. 2.三角形三个项点是(4,0),(6,7),(0,3)A B C ，求AB 边上高所在直线的方程. 3.根据下列条件，求直线的方程：（1）斜率为－2，且过两条直线340x y -+=和40x y +-=的交点；（2）过两条直线230x y -+=和290x y +-=的交点和原点；（3）过两条直线22100x y -+=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=；（4）过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=.4.三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=相交于一点，求a 的值.5.已知(1,3),(3,2),(6,1),(2,4)A B C D ---，求证：四边形ABCD 为平行四边形.6.已知两条直线210ax ay ++=和(1)(1)10a x a y --+-=互相垂直，求垂足的坐标.7.已知两条直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=，当m 为何值时，1l 与2l ：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 8.已知三条直线10,280x y x y ++=-+=和350ax y +-=共有三个不同的交点，求实数a 满足的条件.9.试证明：如果两条直线斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直.10.（1）已知直线:0l Ax By C ++=，且直线1//l l ，求证：直线1l 的方程总可以写出110()Ax By C C C ++=≠；（2）已知直线:0l Ax By C ++=，且直线2l l ⊥，求证：直线2l 的方程总可以写成20Bx Ay C -+=.11.直线1l 和2l 的方程分别是1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=，其中11,A B 不全为220,,A B 也不全为0.试探求：（1）当12//l l 时，直线方程中的系数应满足什么关系？（2）当12l l ⊥时，直线方程中的系数应满足什么关系？例1 （1）求(1,3),(2,5)A B -两点间的距离；（2）已知(0,10),(,5)A B a -两点间的距离是17，求实数a 的值.例2 已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),(2,1),(4,7)A B C ---，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在直线的方程.例3 已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC =.习题1.求线段AB 的长及其中点的坐标：（1）(8,10),(4,4)A B -； （2）((A B .2.已知ABC ∆的顶点坐标为(3,2),(1,0),(2A B C ，求AB 边上的中心CM 的长.3.已知两点(1,4),(3,2)P A -，求点A 关于点P 的对称点B 的坐标.思考你还能通过其他途径求点P 到直线l 的距离吗？例1 求点(1,2)P -到下列直线的距离：（1）2100x y +-=；（2）32x =.例2 求两条平行直线340x y +-=与2690x y +-=之间的距离.例3 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.习题1.求下列点P 到直线l 的距离：（1）(3,2),:34250P l x y -+-=；（2）(2,1),:350P l y -+=.2.求下列两条平行直线之间的距离：（1）51220512150x y x y --=-+=与；（2）364502x y y x -+==与. 3.直线l 经过原点，且点(5,0)M 到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程.习题2.1（3）1.求,A B 两点之间的距离：（1）(2,0),(2,3);A B ---（2）(0,3),(3,3)A B ---；（3）(3,5),(3,3)A B -.2.已知点(1,2)P -，分别求点P 关于原点、x 轴和y 轴的对称点的坐标.3.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(2,1)-，求线段AB 的长度.4.已知,A B 两点都在直线1y x =-上，且,A B ,A B 之间的距离.5.已知两点(2,3),(1,4)A B -，点(,)P x y 到点,A B 的距离相等，求实数,x y 满足的条件.6.已知点(,)P x y 在直线40x y +-=上，O 是原点，求OP 的最小值.7.求点P 到直线l 的距离：（1）(2,1),:230P l x +=；（2）(3,4),:34300P l x y --+=.8.直线l 到两条平行直线220x y -+=和240x y -+=的距离相等，求直线l 的方程.9.直线l 在y 轴上截距为10，且原点到直线l 的距离是8，求直线l 的方程.10.点P 在直线350x y +-=上，且点P 到直线10x y --=求点P 的坐标.11.已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，求ABC ∆的面积. 12.已知直线l 经过点(2,3)-，且原点到直线l 的距离是2，求直线l 的方程.13.在ABC ∆中，点,E F 分别为,AB AC 的中点，建立适当的直角坐标系，证明：//EF BC ，且12EF BC =. 14.过点(3,0)P 作直线l ，使它被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得的线段恰好被P 点平分，求直线l 的方程.15.已知光线通过点(2,3)A -，经x 轴反射，其反射光线通过点(5,7)B ，求入射光线和反射光线所在直线的方程.16.已知光线通过点(2,3)A ，经直线10x y ++=反射，其反射光线通过点(1,1)B ，求入射光线和反射光线所在直线的方程.17.在直线20x y +=上求一点P ，使它到原点的距离与到直线230x y +-=的距离相等.18.已知直线:33l y x =+，求：（1）直线l 关于点(3,2)M 对称的直线的方程；（2）直线20x y --=关于l 对称的直线的方程.19.证明平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和.20.求证：两点(,)A a b ，(,)B b a 关于直线y x =对称.21.已知(1,3)M -，(6,2)N ，点P 在x 轴上，且使PM PN +取最上值，求点P 的坐标.22.某人上午8时从山下大本营出发登山，下午4时到达山顶.次日上午8时从山顶沿原路返回，下午4时回到山下大本营.如果该人以同样的速度匀速上山、下山，那么两天中他可能在同一时刻经过途中同一地点吗？如果他在上山、下山过程中不是匀速行进，他还可能在同一时刻经过途中同一地点吗？2.2 圆与方程例1 求圆心(2,3)C -，且经过坐标原点的圆的方程.例2 已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？思考假设货车的最大宽度为a m ，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？例3 已知ABC ∆顶点的坐标为(4,3),(5,2),(1,0)A B C ，求ABC ∆外接圆的方程. 思考 本题还有其他解法吗例4 某圆拱梁的示意图如图2—2—4所示.该圆拱的跨度AB 是36m ，拱高OP 是6m ，在建造时，每隔3m 需要一个支柱支撑，求支柱22A P 的长（精确到0.01m ）.习题1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径为6；（2）经过点(6,3)P ，圆心为(2,2)C -.2.求以点(1,5)C --为圆心，并且和y 轴相切的圆的方程.3.已知点(4,5),(5,1)A B ---，求以线段AB 为直径的圆的方程.4.下列方程各表示什么图形？若表示圆，则求其圆心和半径：（1）2240x y x +-=；（2）224250x y x y +--+=.5.求经过点(4,1),(6,3),(3,0)A B C -的圆的方程.6.如果方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有（ ）.A.D E =B.D F =C.E F =D.D E F ==习题2.2（1）1.求满足下列条件的圆的方程：（1）过点(2,2)P -，圆心是(3,0);C（2）与两坐标轴都相切，且圆心在直线2350x y -+=上；（3）经过点(3,5)A 和(3,7)B -，且圆心在x 轴上.2.已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,4)A C -，求这个圆的方程.3.已知半径为5的圆过点(3,4)P -，且圆心在直线210x y -+=上，求这个圆的方程.4.求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --的圆的方程.5.已知圆222420x y x by b ++++=与x 轴相切，求b 的值.6.求过两点(0,4),(4,6)A B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程.7.已知点(1,1)P 在圆22()()4x a y a -++=的内部，求实数a 的取值范围.8.画出方程1x -=. 9.求圆222210x y x y ++-+=关于直线30x y -+=对称的圆的方程.10.已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线.11.河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为9m ，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽4m ，故通行无阻.近日水位暴涨了2.7m ，为此，必须加得船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？例1 求直线430x y +=和圆22100x y +=的公共点坐标，并判断它们的位置关系.例2 自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程.例3 求直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长.习题1.判断下列各组中直线l 与圆C 的位置关系：（1）:10l x y +-=，22:4C x y +=； （2）:4380,l x y --=22:(1)1;C x y ++= （3）:40l x y +-=， 22:20C x y x ++=.2.若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是（ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定3.（1）求过圆224x y +=上一点的圆的切线方程；（2）求过原点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切的直线的方程.4.求直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长.5.从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向圆引切线，求切线长.例1 判断下列两圆的位置关系：（1）22(2)(2)1x y ++-=与22(2)(5)16x y -+-=；（2）22670x y x ++-=与226270x y y ++-=.例2 求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程.习题1.判断下列两个圆的位置关系：（1）22(3)(2)1x y -++=与22(7)(1)36x y -+-=；（2）2222320x y x y +-+=与22330x y x y +--=.2.已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，求实数m 的取值范围.习题2.2（2）1.过点(3,4)P --作直线l ，当l 的斜率为何值时，（1）直线l 将圆22(1)(2)4x y -++=平分？（2）直线l 与圆22(1)(2)4x y -++=相切？（3）直线l 与圆22(1)(2)4x y -++=相交，且所截得的弦长为2？2.已知过点(1,1)A --的直线l 与圆222660x y x y +-++=相交，求直线l 斜率的取值范围.3.，且与直线23100x y +-=切于点(2,2)P 的圆的方程.4.已知以(4,3)C -为圆心的圆与圆221x y +=相切，求圆C 的方程.5.求圆心在y 轴上，且与直线1:43120l x y -+=，直线2:34120l x y --=都相切的圆的方程.6.已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程.7.已知圆C 的方程是222x y r +=，求证：经过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程200x x y y r +=.8.已知圆222:C x y r +=，直线2:l ax by r +=.（1）当点(,)P a b 在圆C 上时，直线l 与圆C 具有怎样的位置关系？（2）当点(,)P a b 在圆C 外时，直线l 具有什么特点？2.3 空间直角坐标系例1 在空间直角坐标系中，作出点(5,4,6)P .例2 如图2—3—4，在长方体ABCD A B C D ''''-中，12,8, 5.AB AD AA '===以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA '分别为x 轴、y 轴和x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标.思考在空间直角坐标系中，x 轴上的点、xOy 平面内的点的坐标分别具有什么特点？例3 （1）在空间直角坐标系O xyz -中，画出不共线的3个点,,P Q R ，使得这3个点的坐标都满足3z =，并画出图形；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.习题1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：(0,0,3),(1,2,3),(2,0,4),(1,2,2).A B C D --2.在长方体ABCD A B C D ''''-中，6,4,7AB AD AA '===.以这个长方体的顶点B 为坐标原点，射线,,AB BC BB '分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标.3.写出空间直角坐标系yOz 平面内的点的坐标应满足的条件.例1 求空间两点12(3,2,5),(6,01)P P --间的距离12PP .例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为221x y +=.在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程.思考 连结平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 的线段12PP 的中点M 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么，已知空间中两点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z ，线段12PP 的中点M 的坐标是什么呢？练习1.运用两点间距离公式求图2—3—4中线段,OC B C ''的长度.2.一个长方体的8个顶点的坐标为（0，0，0），（0，1，0）（3，0，0），（3，1，0），（3，1，9），（3，0，9），（0，0，0），（0，1，9）.（1）在空间直角坐标系中画出这个长方体；（2）求这个长方体的体积.3.已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为13，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.4.已知(2,5,6),A -在y 轴上求一点P ，使7PA =.5.已知空间三点(1,0,1),(2,4,3),(5,8,5)A B C -，求证：,,A B C 在同一条直线上.6.（1）求点(4,3,7)P -关于xOy 平面的对称点的坐标；（2）求点(2,1,4)P 关于坐标原点的对称点的坐标；（3）求点(3,2,4)P -关于点(0,1,3)A -的对称点的坐标.7.在你的教室或房间里建立适当的空间直角坐标系，以此确定电灯、门锁或开关的位置，写出相应的坐标.复习题1.已知直线350ax y +-=经过点(2,1)A ，求实数a 的值.2.已知过两点(,3),(5,)A a B a --的直线的斜率为1，求a 的值及这两点间的距离.3.如果0,0AC BC <>，那么直线0Ax By C ++=不通过（ ）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知直线10mx ny +-=经过第一、三、四象限，求实数,m n 满足的条件.5.已知直线l 过点(5,4)P --，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5个平方单位，求直线l 的方程.6.直线过点(5,6)P ，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求此直线的方程.7.已知直线22x ay a +=+与直线1ax y a +=+平行，求实数a 的值.9.已知点A 与点(1,1)P -的距离为5，且到y 轴的距离等于4，求A 点的坐标.10.已知两条平行直线2360x y +-=和230x y a ++=之间的距离等于2，求实数a 的值.11.求圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦的长度.12.求与点(32,10),(42,0),(0,)A B C 的距离都相等的点的坐标.13.求与圆22:(5)3C x y ++=相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线的方程.14.判断两圆222200x y x y ++--=与2225x y +=的位置关系.15.过点(1,2)P 作一直线l ，使直线l 与点(2,3)M 和点(4,5)N -的距离相等，求直线l 的方程.16.在空间直角坐标系中作出下列点，并求两点间的距离和连结两点的线段的中点坐标：（1）(2,4,1),(4,6,7);A B --- （2）(8,3,2),(4,5,2).C D --17.河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的石拱桥，赵州桥的跨度约为37.4 m ，圆拱高约为7.2m ，试写出这个圆拱所在的圆的方程.18.已知平面内两点(4,1),(3,1)A B --，直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，求实数k 的取值范围.19.求证：无论k 取任何实数，直线(14)2(3)(214)0k x k y k +--+-=必经过一个定点，并求出定点的坐标.20.设集合22222{(,)|4},{(,)|(1)(1)(0)}M x y x y N x y x y r r =+≤=-+-≤>.当M N N = 时，求实数r 的取值范围.21.已知点(1,3),(5,2),M N -在x 轴上取一点P ，使得||PM PN -最大，求P 点的坐标.22.如图，在矩形ABCD 中，已知3,,AB AD E F =为AB 的两个三等分点，,AC DF 交于点G ，建立适当的直角坐标系，证明：EG DF ⊥.23.已知ABC ∆的一条内角平分线CD 的方程为210x y +-=，两个顶点为(1,2),(1,1)A B --，求第三个顶点C 的坐标.24.若直角y x b =+与曲线x =b 的取值范围.25.在直角坐标系中，已知射线:0(0),30(0)OA x y x OB y x -=≥+=≥，过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点,.A B（1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 26.已知点P 在xOy 平面内，点A 的坐标为（0，0，4），5PA =，那么，满足此条件的点P 组成什么曲线？27.已知圆222440x y x y +-+-=，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.28.把函数()y f x =在x a =和x b =之间的一段图象近似地看做直线，且设a c b <<，试用(),()f a f b 来估计()f c .。

第3课时一般式学习目标核心素养1.了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点）2．根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程几种形式之间的关系．（易错、易混点）3．能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程．(重点）通过学习本节内容来提升学生的数学运算和数学建模核心素养。

1．直线与二元一次方程的关系（1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）来表示．（2）在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A,B不全为0）都表示一条直线．2．直线的一般式方程(1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示直线．方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫做直线方程的一般式．（2)对于直线Ax＋By＋C＝0,当B≠0时，其斜率为－错误!,在y 轴上的截距为－错误!；当B＝0时，在x轴上的截距为－错误!；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－错误!,－错误!．(3）直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y,常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．1。

思考辨析(1）在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0都表示一条直线．（）（2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程．( ）（3）直线方程的一般式同二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B 不同时为零）之间是一一对应关系．（)（4）方程①x＋2y－3＝0；②x－3＝0；③y＋1＝0均表示直线．( )[答案] (1)×（2）×（3)√(4)√2．过点（1，2)，斜率为0的直线对应的二元一次方程为________．y－2＝0 [过点(1，2)，斜率为0的直线方程为y＝2，其对应的二元一次方程为y－2＝0.］3．方程错误!－错误!＝1,化成一般式为________．2x－3y－6＝0 [由错误!－错误!＝1,得2x－3y－6＝0。

平面解析几何的直线方程直线是平面解析几何中的基本概念之一，它由直线上的两点确定。

在平面解析几何中，直线可以通过直线方程来表示和描述。

本文将介绍平面解析几何中直线的方程表示方法及其应用。

一、直线的一般方程平面直线可以用一般方程形式表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数，且A和B不同时为零。

二、直线的点斜式方程直线的点斜式方程是直线方程的一种常用表示形式。

点斜式方程的形式为y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，m为直线的斜率。

三、直线的截距式方程直线的截距式方程是直线方程的另一种常用表示形式。

截距式方程的形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示直线在x轴和y轴上的截距。

四、直线的两点式方程直线的两点式方程是直线方程的另一种重要表示形式。

两点式方程的形式为(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂,y₂)为直线上的两个点。

五、直线的斜截式方程斜截式方程是直线方程的又一种常见表示形式。

斜截式方程的形式为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

六、直线方程的转换和应用在解析几何中，我们常常需要在不同的直线方程之间进行转换和应用。

例如，通过变换可以从点斜式方程转换为斜截式方程，或者从截距式方程转换为一般方程形式。

这些转换可以帮助我们更好地理解和分析直线在平面上的性质。

直线方程在平面解析几何中有着广泛的应用。

我们可以利用直线方程求直线的斜率、截距、交点等性质，从而解决与直线相关的各类问题。

直线方程在几何图形的绘制、图像的处理以及物理学等领域都有重要的作用。

总结：本文介绍了平面解析几何中直线的方程表示方法，包括一般方程、点斜式方程、截距式方程、两点式方程和斜截式方程。

直线方程的转换和应用使我们能够更好地理解和分析直线在平面上的性质，并在实际问题中灵活运用。

平面解析几何知识点1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.（2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=-(直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+by a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：BA k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点．4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式：(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A C By Ax d +++=． 7．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221B A C C d +-=．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解．10．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）． （2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ．（3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=． （2）一般方程的特点：① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D（3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．11．圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(r d l =+； （2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则||11||1||22B A B A y y kx x k AB -+=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔．②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔．③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔． 【P 到圆心距离d =13．直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22B A CBb Aa d +++=):圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆．0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d ．14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； 无公切线内含⇔⇔-<21r r d ；条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ．15．圆系方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x（1）过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程：1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程．（2）过直线0=++C By Ax l ：与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数．（3）过圆1C :011122=++++F y E x D y x 与圆2C :022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数．特别地，当1λ=-时，2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．16．圆的切线方程：（1）过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ．（3）过圆220x y Dx Ey F ++++=上的点),(00y x P 的切线方程为:0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=． (4) 若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB 的方程为200xx yy r +=(5) 若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线,切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（6）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，即r d =，求出k ；或利用0=∆，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =．17．把两圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 方程相减即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．18．空间两点间的距离公式:若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB =。

数学解析几何中的平面和直线方程解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形和代数方程之间的关系。

在解析几何中，平面和直线是最基础的图形，在许多数学和物理问题中都有广泛的应用。

本文将介绍数学解析几何中平面和直线方程的相关知识。

一、平面的方程平面是一个无限大而无厚度的二维几何对象，它由无数个点组成。

在空间中确定一个平面需要至少三个点，或者两个不共线的向量来决定。

为了表示一个平面，我们需要知道该平面上的一个点和该平面的法向量。

在解析几何中，平面的一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是平面的截距。

根据平面上的点和法向量的关系，我们可以得到平面的法向量和截距的公式。

例如，给定平面上的点P(x1, y1, z1)，以及平面的法向量为n(a, b, c)，那么平面的方程可以表示为(a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0。

通过此公式，我们可以将一个平面用其上的一点和法向量来表示。

二、直线的方程直线是由无数个点组成的一维几何对象，它有无限的长度但没有宽度和高度。

在解析几何中，直线的一般方程形式可以表示为Ax + By +C = 0，其中A、B分别是直线在x轴和y轴上的斜率，C是该直线的截距。

当给定直线上的两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)时，我们可以通过这两个点的坐标来求解直线的斜率和截距。

斜率可以用公式k = (y2 - y1) / (x2 - x1)来计算，而截距可以利用y = kx + b的形式来求解，其中b为y 轴的截距。

此外，直线的参数方程也是解析几何中常用的一种表示形式。

一般来说，直线的参数方程可以表示为x = x1 + at，y = y1 + bt，其中a和b 为直线的方向向量的分量，t为参数。

三、平面和直线的关系在解析几何中，研究平面和直线的关系是一个重要的问题。

一般来说，平面和直线有三种不同的相交关系：相交于一点、平行和重合。

数学平面解析几何公式数学的世界中，平面解析几何占据着重要的地位。

它通过坐标系将几何问题转化为代数问题，使我们能够更直观地理解和解决几何问题。

本文将为您详细介绍平面解析几何中常用的公式。

一、直线方程1.一般式方程：Ax + By + C = 0其中，A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

2.斜截式方程：y = kx + b其中，k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。

3.点斜式方程：y - y1 = k(x - x1)其中，(x1, y1)为直线上的一个点，k为直线的斜率。

二、圆的方程圆的标准方程为：(x - a) + (y - b) = r其中，(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。

三、椭圆的方程椭圆的标准方程为：(x / a) + (y / b) = 1其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

四、双曲线的方程双曲线的标准方程为：(x / a) - (y / b) = 1其中，a和b分别为双曲线的实半轴和虚半轴。

五、抛物线的方程抛物线的标准方程为：y = 2px 或x = 2py其中，p为焦点到准线的距离。

六、坐标变换1.平移变换：(x", y") = (x + h, y + k)其中，(h, k)为平移向量。

2.比例变换：(x", y") = (kx, ly)其中，k和l为比例系数。

3.旋转变换：(x", y") = (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)其中，θ为旋转角度。

总结：平面解析几何公式为我们解决几何问题提供了强大的工具。

掌握这些公式，有助于我们更好地理解和运用几何知识。

知识点一：直线的斜率已知两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，如果x 1≠x 2,那么直线PQ 的斜率为1212x x y y k --= 直线的斜率反应了直线相对于X 轴正方向的倾斜程度，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大知识点二：直线的倾斜角例1：下列说法中，正确的是① 直线的倾斜角为α则次直线的斜率为tan α② 直线的斜率为tan θ,则此直线的倾斜角为θ③ 若直线的倾斜角为α，则sin α>0④ 任一直线都有倾斜角，但不一定都有斜率例2：给出下列结论：① 直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角② 如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数③ 如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数④ 如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等。

其中，正确的结论是 。

练习1：已知直线的图像经过点(a,1)和(a+1,tan α+1)，则下列说法正确的是 。

① α一定是直线l 的倾斜角② α一定不是直线l 的倾斜角③ α不一定是直线l 的倾斜角④ 180°-α一定是直线l 的倾斜角练习2：设直线l与x周的交点为P,且倾斜角为α，若将其绕点P按逆时针旋转45°，得到直线l的倾斜角为α+45°，则α的取值范围是。

问题二，斜率公式的运用例1：已知点B在坐标轴上，点A（3,4），K AB=2，求点B的坐标。

例2：已知A（m,3）,B（1，m）是斜率为m的直线上的两点，求直线的倾斜角。

练习1：求通过下列两点的直线的斜率和倾斜角，其中a,b,c是两两不相等的实数。

（1）(a,c),(b,c)（2）(a,b),(a,c)（3）(a,a+b),(c,b+c)练习2：已知A （0,8），B （-4,0），C （m,-4）三点共线，求m 的值。

知识点二：直线的方程点斜式：y=k x+b两点式方程：121121x x x x y y y y --=-- 截距式方程：1=+by a x一般式方程：Ax+By+C=0例1：对于直线l 上任意一点（x,y ），点（4x+2y,x+3y ）也在直线l 上，求直线l 的方程。