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沪科版七年级下册数学：8.3 完全平方公式和平方差公式 (共14张PPT)

1002 2100 4 42
10000 800 16
=10816
2 1982
21982 200 22
40000 800 4
39204
12
思考：
a b c2
解 a b c2 a b c2
a b2 2a bc c2
a2 2ab b2 2ca b c2
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 a (a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
完全平方公式 (a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点：
1、左边为两数和的平方； 2、右边为三项，其中两项为左边两数的平方的和，另一项为两数乘积的2倍
3、公式中的a,b可以表示数，也可以是代数式
1
x
2
6
1
x
3
y
2
6
1
x
2
2
1
x
3
y
3
y
2
6 6
1 x2 xy 9 y2
(2)
0.2a
1Leabharlann b220.2a 1 b2
2
2
0.2a
1 2
b
0.2a
1
b
2
0.2a2
2 2
0.2a
1
b
1
b
2
2 2
0.04a2 0.2ab 1 b2 4
变式2：
11042
11042 100 42
a b2
a ba b
a2 ab ab b2

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合作探究
思考：怎样添括号才能够变成乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平方公式
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尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式公式结构，再运用公式使计算简便。

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应用示例
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛应用，还能够帮助解决实际生活中的问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自由落体问题，通过建立数学模型，求出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简中具有重要作用，能够简化复杂的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的二次项和一次项组合转化为简单的平方形式，从而简化代数表达式的结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数，但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

完全平方公式(共16张PPT)

点评小组 5组
知识综合应用探究：
（书面展示）
9组
1组
8组 6组
5组
要求： ⑴ 先点评对错；再点评思路方法，应该注意的问题，力争进行必要的变形拓展。 ⑵ 其他同学认真倾听、积极思考、记好笔记、大胆质疑。
纠
错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： 2 2 (1) (2a−1) ＝2a −2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； 2 2 (3) (a−1) ＝a −2a−1.
(a b) a 2ab b
2 2
2
学习目标：
公式进行简单的计算，提高计算能力；全平方公式的应用技巧；提高学习数学的兴趣和热爱生活的情感。
1.能准确推导出完全平方公式，并能运用
2.通过自主学习，小组合作，探究总结完
3.激情参与，阳光展示，充分感知数学美，
预习反馈
小组第一组第二组第三组第四组第五组第六组第七组第八组第九组
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
，结果不同：
(a b)2＝a2 2ab+b2;
(a+b)(a−b)＝a2−b2.
整理巩固
要求：整理巩固探究问题
落实基础知识完成知识结构图
当堂检测
要求：学生自主完成答案：见教师用书
课堂评价
学科班长： 1.回扣目标总结收获 2.评出优秀小组和个人
用不同的形式表示实验田 a 的总面积, 并进行比较.
直 2 总面积 = ( a + b ) ；接法一求间接总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二求

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(1) (-1-2x)2 =(-1)2-2· (-1)· 2x+(2x)2=1+4x+4x2
从不同的角度来看同一问题，常常会首平方，尾平方，首尾 2倍放中间，有不同的方法。
中间符号看左边。
练习一：给出一组简单的习题，对照公式，模仿练习。（口答）
(1)(a 5)
2
(2)( y 7) 2
(5)(x 2 y) 2
作业
1. 基础训练：教材习题1.11 中第一题
2. 阅读“杨辉三角”知识：教材25页。
例1、运用完全平方公式计算：
2 (1)(4m+n)
解: (4m+n)2= (4m)2+2•(4m) •n + n2 (a
2 +b) = 2 a
+
2a
b+
2 b
2 =16m
+8mn +n2
例1、运用完全平方公式计算：
2 (2)(2x-3) 2 解：(2x-3) =(2x)2
-2•2x •3 + 32 -2 a b +
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米。
形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图1—6). 用不同的形式表示实验田的总面积 .
b
a
直 2 接总面积= (a+b) ；法一求 a b 间接总面积= a2+ ab+ ab+ b2 =a2+2ab+b2 图1—6 法二求
公式: (a+b)2= a2+ 2ab + b2.
动脑筋
想一想
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ;

14.2.2完全平方公式-ppt课件

(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于它们
的平方和，加（或减）它们的积的2倍。
第6页，共33页。
(a+首b平)2方= ，a2尾+平2a方b，+b2
公式特点：
(a乘-b积)2的=2a倍2 放- 中2a央b+。b2
∴ (a+b)2= (-a-b)2 ∵ (a-b)2=a2-2ab+b2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a-b)2=(b-a)2
第17页，共33页。
做一做:根据两数和的完全平方公式填空.
(1)(x+6)2=( x )2+2( x )( 6 )+( 6 )2
=( x2+12x+36
第33页，共33页。
(2) 992= (100-1)2=1002-2×100×1+12
=10000-200+1=9801
利用完全平方公式计算:
1、先选择公式; 2、准确代入公式; 3、化简.
第16页，共33页。
想一想:
（a+b）2与（-a-b）2相等吗？（a-b）2与（b-a）2相等吗？为什么？
∵ (a+b)2=a2+2ab+b2 (-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b) 2=a2+2ab+b2
（7）已知 x+y=4，xy =-13，求: x2 3xy y 2 的值.
第23页，共33页。
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2

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(1)2 0022; (2)1 9992.
完全平方公式
单击添加副标题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
复习提问：
CONTENTS
用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式的乘法法则是什么？
am+an
01
bm+bn
+
=
02
03
04
05
06
(a+b)2
01
(a-b)2
02
= a2 +2ab+b2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2
错
错
错
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x +y)2 =x2+2xy +y2
例1 运用完全平方公式计算：
Y
N
Y
N
N
N
Y
(a - b)2 与 (b - a)2 (-b +a)2 与(-a +b)2
(-a -b)2 与(a+b)2
比较下列各式之间的关系：
相等
相等
相等
1
2
3
4
5
6
如何计算 (a43;b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2·(a+b)·c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

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八年级上册 RJ
14.2.2 完全平方公式
第2课时
初中数学
知识回顾
平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 ，(a-b)2=a2-2ab+b2. 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号
2.计算：
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
a+(b+c)=_______；
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (1) (x+2y-3)(x-2y+3)；
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
例1 运用乘法公式计算：
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．解：(2) (x－y－m＋n)(x－y＋m－n)
3.当x2-xy=18，xy-y2=-15时，求x2-2xy+y2的值. 解：x2-2xy+y2=x2-xy-xy+y2=(x2-xy)-(xy-y2). 因为x2-xy=18，xy-y2=-15，所以x2-2xy+y2 =18-(-15)
=18+15 =33.
=x2-(2y-3)2
=(a+b) +2(a+b)c+c 2 a+(b+c)=_______；
有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用Байду номын сангаас式.
2
[x+(2y-1)]2

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（1） 1012 （2）（49 4）2
5
计算: 1.(a+b+c)2 2.(x+2y-3)(x+2y+3)
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．完全平方公式的结果是三项，结果不同：即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果是两项，即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
让我们大家一起来想!
如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( D )
(A )-3 (B)3 (C)-9 (D)9
运用公式计算: 1.(a-b)(a+b)(a2+b2) 2.(2-1)(2+1)(22+1) (24+1)…… (232+1)+1
计算: 20082-2009×2007
解:原式=20082-(2008+1)(2008-1) =20082-(20082-1) =20082-20082+1 =1
1.(2x+y-z)(2x-y+z) 2.(a+2b-1)2
=a2+2ab+ b2;
利用两数和的
(a−b)2= [a+(−b)]2
完全平方公式推证公式
= a 2 + 2 a (−b) +(−b) 2 = a2 − 2ab + b2.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式特点： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符

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(1)(x+2y)2 解： (x+2y)2=
x2 +2•x •2y +(2y)2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =x2 +4xy +4y2
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例1 运用完全平方公式计算：
(2)(x-2y)2 解： (x-2y)2=
x2 -2•x •2y +(2y)2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2 =x2 -4xy +4y2
完全平方公式(重点)
例 1：计算：
(1)(－2m－3n) ； 2
(2)
a 2
12
.
思路导引：运用公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 和(a－b)2＝a2－
2ab＋b2.
解：(1)原式＝[－(2m＋3n)]2＝(2m＋3n)2＝(2m)2 ＋2·2m·3n
＋(3n)2＝4m2＋12mn＋9n2.
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算一算
（1）(x+2y)2 = （2）(4-y)2 = （3）(2m-n)2=
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例2、运用完全平方公式计算：
(1) ( 4m2 - n2 )2
分析：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
4m2
a
n2
b
解：（ 4m2 － n2）2
=( 4m)22－2( )·(4m2)+( )n22
(a-b)2
=(a-b) (a-b)
= a2 - ab - ab +b2 = a2 - 2ab+b2
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§完全平方公式
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完全平方公式的数学表达式：
((aa++bb))22==aa22++2ba2b+2ba2b ((aa--bb))22==aa22-+2ba2b-+2ba2b
解：( x1– 2y2)2 = 2
( 1 x)2 – 2 •( x1) •(2y2)
2
2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
1 = x2 – 2xy2+4y4 4
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+(2y2)2
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(7) (7) (-ab-c)2
()
Y
() () N
()
Y
() ()
N
( )N
N
Y
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1、比较下列各式之间的关系：
(1) (-a -b)2 与(a+b)2
(2) (a - b)2 与 (b - a)2 (3) (-b +a)2 与(-a +b)2
相等相等相等
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完全平方公式
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复习提问：
1、多项式的乘法法则是什么？用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把
所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am+an + bm+bn
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算一算：
(a+b)2 =(a+b) (a+b) = a2 +ab +ab +b2 = a2 +2ab+b2
(2)原式＝
a 2
2
－2·a2·1＋12＝a42－a＋1.
议一议
如何计算 (a+b+c)2
解: (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2·(a+b)·c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
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运用完全平方公式进行简便计算：
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二．下面计算是否正确？如有错误请改正．（４）(3-2x)2=9-12x+2x2 解：错误．(3-2x)2=9-12x+4x2 （５）(a+b)2=a2+ab+b2
（６） (a-1)2=a2-2a-1 解：错误．（a+b)2=a2+2ab+b2
解：错误．（a-1)2=a2-2a+1
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三、在下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的请填Y, 不能用的请填N.
(1) (-a+2b)2 (2) (b+2a)(b-2a) (3) (1+a)(a+1) (4) (-3ac-b)(3ac+b) (5) (a2-b)(a+b2) (6) ( 100-1)(100+1)
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
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完全平方公式的图形理解
完全平方和公式：
b ab
b²
(a+b)²
a a² ab
a
b
(ab)2 a 2+2ab+b 2
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完全平方公式的图形理解
完全平方差公式：
(1) 1042 解： 1042
= (100+4)2
(2) 99.92
=10000+800+16 =10816
解： 99.92
= (100 –0. 1)2 =10000 -20+0.01
(2)(x -y)2 =x2 -y2
错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2
错
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
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例1 运用完全平方公式计算：
b
ab
b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(ab)2 a 2 ababb2
a2abb 2 完全平方公式课件ppt
2
公式特点：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2abb21、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同。
首平方，末平方，首末两倍中间放
n2
=16m4－8m2n2+n4
解题过程分3步：
记清公式、代准数式、准确计算。完全平方公式课件ppt
算一算
1.(3x2-7y)2=
2.(2a2+3b3)2=
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二．下面计算是否正确？如有错误请改正．
(1)（x+y)2=x2+y2
解：错误．(x+y)2=x2+2xy+y2 (2) (-m+n)2=m2-2mn+n2 (解3) ：(x正-1)确(y．-1)=xy-x-y+1 解：正确．
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。
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例1 运用完全平方公式计算：
(1)(x+2y)2 解： (x+2y)2=
x2 +2•x •2y +(2y)2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =x2 +4xy +4y2
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(2) ( x1 – 2y2)2 2

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