2.1.1直线的倾斜角与斜率-导学案

第2课时 直线的斜率（2）【学习目标】理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；掌握直线的 斜率与倾斜角之间的关系.【学习重点】理解直线的倾斜角的范围；掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.【预习内容】1、已知︒ ︒ ︒ ︒ ︒ ︒ ︒=1501351206045300，，，，，，α，求αtan ．2、直线的斜率与倾斜角的关系【新知学习】问题：在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？【新知深化】 1. 倾斜角的定义： 规定：由定义可知，直线的倾斜角α的取值范围是 2．直线的斜率与倾斜角的关系：当直线与x 轴不垂直时，直线的斜率k 与倾斜角α之间满足 ； 当直线与x 轴垂直时，直线的斜率k ，但此时倾斜角α为 ． 3．斜率与倾斜角之间的变化规律：当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为正； 当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率 ；且均为负；并规定=αtan ；但我们不能错误的认为倾斜角越大，斜率越大．【新知应用】例1. 已知直线经过点(2,0)A -，)3,5(--B (5,3)B -，则该直线的倾斜角为___________变式1：已知过点()32 ，m A 、()12- ，B 的直线的倾斜角为︒135，求实数m 的值．变式2：已知两点A （m ，3），B （2，3+23），直线l 的斜率是33，且l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的31，求m 的值．例2. 过两点（－3，1），（0，b ）的直线l 的倾斜角介于30°与60°之间， 求实数b 的取值范围。

例3. 设点），（，，23)32(- - - B A ，直线l 过点)21( ，P ，且与线段AB 相交， 求直线l 的斜率的取值范围．【新知回顾】第2课时 直线的斜率（2）作业1．判断正误：（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率．（ ） （2）若一直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtan ． （ ） （3）倾斜角越大，斜率越大． （ ） （4）直线斜率可取到任意实数．（ ）2．光线射到x 轴上并反射，已知入射光线的倾斜角︒=301α，则斜率=1k ________，反射光线的倾斜角=2α_____________，斜率=2k ____________．3．已知直线l 1的倾斜角为α，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角为____ _． 4．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 25．过点()2,3-M 、()3,2-N 6．已知过点()m 21-，、()3+ -m m ，的直线l 的倾斜角 为60°，则实数m 的值为 ． 7．在下列叙述中：①一条直线倾斜角为α，则它的斜率为αtan =k ； ②若直线斜率1-=k ，则它的倾斜角为135°；③若()()3131- ，，，B A ，则直线AB 的倾斜角为90°； ④若直线过点()21 ，，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过()43 ，点； ⑤若直线斜率为43，则这条直线必过()11 ，点与()45 ，两点． 请选择所有正确命题的序号 ．8．设直线1l 的斜率为3，直线2l 的倾斜角是1l 倾斜角的两倍，则2l 的斜率为 ．9．已知()m m M ，32+，()12 -，m N ， （1）若直线MN 的倾斜角为直角，求m 的取值； （2）若直线MN 的倾斜角为锐角，求m 的取值．x。

《直线的倾斜角和斜率》◆教材分析本课是北师大版普通高中数学必修二第二章第1节的内容，是高中解析几何内容的开始。

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线与其几何性质的基础。

本节有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。

直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

◆教学目标【知识与能力目标】正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；理解直线的倾斜角的唯一性；理解直线的斜率的存在性；斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

【过程与方法目标】通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。

【情感态度价值观目标】通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

◆教学重难点◆【教学重点】抽象概括直线的倾斜角和斜率的概念，探索发现过两点的直线的斜率公式。

【教学难点】直线的倾斜角概念的形成、斜率的概念的理解。

◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线。

那么, 经过一点P 的直线l 的位 置能确定吗？二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。

如图, 过一点P 可以作无数多条直线a ,b ,c , …易见,答案是否定的。

这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P ； (2)它们的‘倾斜程度’不同。

2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。

（1）直线的倾斜角的概念在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l , 把 x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角叫做直线l 的倾斜角。

3.1.1倾斜角与斜率一、课时目标1.理解直线的倾斜角与斜率的概念．(重点)2.掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点)3.掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)二、自主学习1、知识点（一）倾斜角定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，轴正向与直线l向方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．规定当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为记法α图示范围0°≤α＜180°作用(1) 表示平面直角坐标系内一条直线的(2) 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的，二者缺一不可三、课堂练习1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率B．倾斜角为135°的直线的斜率为1C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanαD．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)2．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝()A．－32 B.32C．－1 D．1定义(α为直线的倾斜角) α≠90°一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率α＝90°直线斜率不存在记法k，即k＝范围公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的.3．如图3－1－3，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为______．图3－1－34．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)，若点D在线段BC上移动时，求直线AD斜率的变化范围．。

2.1.1 倾斜角与斜率本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习直线倾斜角与斜率。

直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发,引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定,是今后学习直线方程的必备知识。

它不仅在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用,而且通过本节课的学习,能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法,并初步体会坐标法的思想。

1.教学重点:理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系2.教学难点:过两点的直线斜率的计算公式.多媒体一、情境导学交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A 点前进到B 点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB 的值为负实数),则坡度k=上升高度水平距离=DB AD.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢? 二、探究新知一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定 当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法 α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可点睛:倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 1.下列图中表示直线倾斜角为( )通过生活中的现实情境,提出问题,帮助学生建立倾斜角与斜率的概念,引导学生回顾初中坡脚概念及三角函数知识,为直线倾斜角和斜率作知识上的准备。

2.1.1直线的点斜式方程导学案【学习目标】1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题【自主学习】知识点一直线的点斜式方程y－y＝k(x－x)知识点二直线的斜截式方程y＝kx＋b【合作探究】探究一直线的点斜式方程【例1】写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．归纳总结：(1)求直线的点斜式方程(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外．【练习1】(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________．(2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程是________．(3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝33x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．【答案】 (1)x ＝－3 (2)y －3＝－12(x －1)(3)y ＋2＝3(x ＋1)解析 (1)∵直线与y 轴平行，∴该直线斜率不存在， ∴直线方程为x ＝－3.(2)由题意知，直线l 与直线y ＝2x ＋1垂直，则直线l 的斜率为－12.由点斜式方程可得l 的方程为y －3＝－12(x －1)．(3)∵直线l 2的方程为y ＝33x ， 设其倾斜角为α，则tan α＝33，∴α＝30°， 那么直线l 1的倾斜角为2×30°＝60°， 则l 1的点斜式方程为y ＋2＝tan 60°(x ＋1)，即y ＋2＝3(x ＋1)．探究二 直线的斜截式方程【例2】(1)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_______． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程． (1)【答案】 y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 解析 ∵直线的倾斜角是60°， ∴其斜率k ＝tan 60°＝3，∵直线与y 轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在y 轴上的截距是3或－3， ∴所求直线方程是y ＝3x ＋3或y ＝3x －3. (2)解 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2， 由题意知l 2在y 轴上的截距为－2， 所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2， 由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.归纳总结：(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．【练习2】已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的斜截式方程．解 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则当x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线l 的斜截式方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.探究三 平行与垂直的应用【例3】(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2： y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ 解 (1)由题意可知，1l k ＝－1，2l k ＝a 2－2，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2： y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4，∵l 1⊥l 2， ∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．归纳总结：设直线l 1和l 2的斜率k 1，k 2都存在，其方程分别为l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，那么：(1)l 1∥l 2∥k 1＝k 2，且b 1≠b 2；(2)k 1＝k 2，且b 1＝b 2∥两条直线重合；(3)l 1∥l 2∥k 1·k 2＝－1.【练习3】已知直线l ：y ＝(a 2－2)x ＋2a ＋9与直线y ＝－12x ＋1垂直，且与直线y ＝3x ＋5在y 轴上的截距相同，求a 的值．解 由题意知：(a 2－2)×(－12)＝－1，解得a ＝±2.经检验知a ＝－2符合题意．课后作业A组基础题一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为()A．y－2＝－33(x＋4)B．y－(－2)＝－33(x－4)C．y－(－2)＝33(x－4)D．y－2＝33(x＋4)【答案】B解析由题意知k＝tan 150°＝－33，所以直线的点斜式方程为y－(－2)＝－33(x－4)．2．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2斜率的2倍的直线方程是()A．y＝－1B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)【答案】C解析由方程知已知直线的斜率为2 2，∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)．3．直线y ＝ax －1a的图象可能是( )【答案】 B解析 根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的截距正负相反．4．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4【答案】 D解析 由题意可设所求直线方程为y ＝kx ＋4，又由2k ＝－1，得k ＝－12，∴所求直线方程为y ＝－12x ＋4.5．下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B解析 ①中方程：k ＝y －2x ＋1中x ≠－1；④中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴①④错误，②③正确．6．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点( ) A ．(1,3) B ．(－1，－3) C ．(3,1) D ．(－3，－1)【答案】 C解析 直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．7．若原点在直线l 上的射影是P (－2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋2y ＝0 B ．y －1＝－2(x ＋2) C ．y ＝2x ＋5 D ．y ＝2x ＋3【答案】 C解析 ∵直线OP 的斜率为－12，又OP ⊥l ，∴直线l 的斜率为2，∴直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x ＋2)，化简，得y ＝2x ＋5，故选C. 二、填空题8．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________． 【答案】 y ＝3x －6或y ＝－3x －6 解析 因为直线与y 轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为3或－3， 又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6.9．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________．【答案】 [32，＋∞)解析 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 10．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________________． 【答案】 y ＝34x －3解析 根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34，设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b 1，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a 1＝－43b 1.∵a 1＋b 1＝－43b 1＋b 1＝－13b 1＝1，∴b 1＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.11．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．【答案】 y ＝34x ±3解析 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3，由题意得|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋ b 2＋16b 29＝12， |b |＋43|b |＋53|b |＝12，4|b |＝12，∴b ＝±3，∴所求直线方程为y ＝34x ±3. 三、解答题12．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边上的高所在的直线方程．解 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k AD ·k BC ＝－1，即2＋30－3·k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝35(x ＋5)， 即y ＝35x ＋3. 13．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解 由题意知，直线l 的斜率为32， 故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ， l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ， 所以－23b －b ＝1，b ＝－35， 所以直线l 的方程为y ＝32x －35.B组能力提升一、选择题1．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)【答案】D[由条件知，直线AO与AB的倾斜角互补，斜率互为相反数，∥k AO＝3，k AB＝－3，由点斜式方程得y－3＝－3(x－1)．]2．(多选题)下列说法正确的有()A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)C．过点(2，－1)斜率为－3的点斜式方程为y＋1＝－3(x－2)D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3.【答案】ABC[A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，∥(k，b)在第二象限，正确．B 中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3,2)，正确．C中根据点斜式方程知正确．D 中，由斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．]二、填空题3．将直线y＝x＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．【答案】y＝3x解析由y＝x＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为 3.又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程有y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .4．若直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1，那么直线过定点________，若当－3＜x ＜3时，直线l 上的点都在x 轴上方，则实数k 的取值范围是________．【答案】(－2,1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡151-，[由y ＝kx ＋2k ＋1得y －1＝k (x ＋2)，由直线的斜截式方程知，直线过定点(－2,1)．又设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若－3＜x ＜3，直线l 上的点都在x 轴上方，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0， 解得－15≤k ≤1. 所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1.] 5．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且与x ，y 轴交点的横、纵坐标之和为56的直线l 的方程为________．【答案】y ＝－23x ＋13[由题意知，直线l 的斜率为－23，设其方程为y ＝－23x ＋b ，分别令x ＝0，y ＝0，得直线在y ，x 轴上的截距分别为b ，32b ， 则b ＋32b ＝56， 解得b ＝13， 故直线l 的方程为y ＝－23x ＋13.] 三、解答题6．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求l ′的方程，使得：(1)l ′与l 平行，且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4.解 (1)∵直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，∴直线l 的斜率为－34. ∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－34. ∴直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43. 设l ′在y 轴上的截距为b ，则l ′在x 轴上的截距为－34b ， 由题意可知，S ＝12|b |·|－34b |＝4，∴b ＝±463， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或y ＝43x －463. 7．已知直线l 过点(1,0)，且与直线y ＝3(x －1)的夹角为30°，求直线l 的方程．[解]∥直线y＝3(x－1)的斜率为3，∥其倾斜角为60°，且过点(1,0)．又直线l与直线y＝3(x－1)的夹角为30°，且过点(1,0)，由图可知，直线l的倾斜角为30°或90°.故直线的方程为x＝1或y＝33(x－1).。

§2.1 直线的倾斜角与斜率 2．1.1 倾斜角与斜率学习目标 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 导语交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A 点前进到B 点，在水平方向前进的距离为AD ，竖直方向上升的高度为DB (如果是下降，则DB 的值为负实数)，则坡度k ＝上升高度水平距离＝DBAD .若k >0，则表示上坡，若k <0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？一、直线的倾斜角问题1 在平面中，怎样才能确定一条直线？提示 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．问题2 在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P 的直线有什么区别？提示直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同．知识梳理当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.注意点：(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度．(3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.例1(1)(多选)下列命题中，正确的是()A．任意一条直线都有唯一的倾斜角B．一条直线的倾斜角可以为－30°C．倾斜角为0°的直线有无数条D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)答案AC解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误．(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α－45°答案AB解析根据题意，画出图形，如图所示．通过图象可知，当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)注意倾斜角的范围．跟踪训练1(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为．答案135°解析设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.二、直线的斜率问题3在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(1)已知直线l经过O(0,0)，P(3，1)，α与O，P的坐标有什么关系？(2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(2，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？(3)一般地，如果直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，x 1≠x 2，那么α与P 1，P 2的坐标有什么关系？ 提示 (1)tan α＝13＝33. (2)tan α＝1－1－2＝1－ 2.(3)tan α＝y 2－y 1x 2－x 1.知识梳理1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝y x .注意点：(1)当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.(2)斜率公式中k 的值与P 1，P 2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换． (4)若直线与x 轴平行或重合，则k ＝0.例2 (1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角． ①A (2,3)，B (4,5)； ②C (－2,3)，D (2，－1)； ③P (－3,1)，Q (－3,10)．解 ①存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，则直线AB 的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝45°.②存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－(－2)＝－1，则直线CD 的倾斜角α满足tan α＝－1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝135°.③不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°. (2)求经过两点A (a ,2)，B (3,6)的直线的斜率． 解 当a ＝3时，斜率不存在； 当a ≠3时，直线的斜率k ＝43－a. 反思感悟 求直线的斜率的两种方法(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k ＝tan α. (2)利用斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为 ． 答案 － 3(2)若过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为 ． 答案 1解析 由斜率公式k ＝4－m m ＋2＝1，得m ＝1.(3)已知直线l 的方向向量的坐标为(1，3)，则直线l 的倾斜角为 ． 答案 π3解析 设直线l 的斜率为k ， 则k ＝3，所以直线的倾斜率为π3.三、倾斜角和斜率的应用问题4 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？提示 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大． 知识梳理设直线的倾斜角为α，斜率为k .α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°k 的范围 k ＝0 k >0不存在k <0k 的增减性随α的增大而增大随α的增大而增大例3 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．解 如图，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1，(1)要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 反思感悟 倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 跟踪训练3 已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)． (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．解 (1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.1．知识清单：(1)直线的倾斜角及其范围． (2)直线斜率的定义和斜率公式． 2．方法归纳：数形结合思想．3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．1．(多选)下列说法正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180° B ．若k 是直线的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案 ABC2．若经过A (m ,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 由题意知，tan 45°＝2－31－m ，得m ＝2.3．已知经过点P (3，m )和点Q (m ，－2)的直线的斜率为2，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D.43答案 D解析 由m －(－2)3－m＝2，得m ＝43.4．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m ≥1) 答案 0°<α≤90°解析 当m ＝1时，倾斜角α＝90°；当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.课时对点练1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4,2)与(－4,1) B ．(0,3)与(3,0) C ．(3，－1)与(2，－1) D ．(－2,2)与(－2,5)答案 D解析 D 项，因为x 1＝x 2＝－2，所以直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 2．(多选)已知直线斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角可以为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 BC解析 由题意得直线的斜率为3或－3，故直线的倾斜角为60°或120°. 3．已知点A (3，1)，B (33，3)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 答案 B 解析 k AB ＝3－133－3＝33， ∴tan θ＝33且0°≤θ＜180°， ∴θ＝30°.4．若某直线的斜率k ∈(－∞，3]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π3，π2 C.⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π3，π答案 C解析 ∵直线的斜率k ∈(－∞，3]， ∴k ≤tan π3，∴该直线的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 5．如图，若直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1＜k 3＜k 2B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 1＜k 2＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1答案 A解析 设直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°， 所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0， 即k 1＜0，k 2＞k 3＞0.6．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 答案 A解析 如图所示，当直线l 在l 1的位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2的位置时，k ＝2－01－0＝2，故直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．7．已知点A (1,2)，若在坐标轴上存在一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为 ． 答案 (3,0)或(0,3)解析 由题意知，k P A ＝－1，若点P 在x 轴上，设点P 的坐标为P (m ,0)(m ≠1)， 则0－2m －1＝－1，解得m ＝3，即P (3,0)．若点P 在y 轴上，设点P 的坐标为P (0，n )，则n －20－1＝－1， 解得n ＝3，即P (0,3)．综上，点P 的坐标为(3,0)或(0,3)．8．若经过点A (1－t ,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 ． 答案 (－2,1)解析 由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2.因为直线的倾斜角为钝角， 所以k AB ＝t －1t ＋2<0， 解得－2<t <1.9．已知直线l 经过两点A (－1，m )，B (m ,1)，问：当m 取何值时： (1)直线l 与x 轴平行？ (2)直线l 与y 轴平行？(3)直线l 的方向向量的坐标为(3,1)． (4)直线的倾斜角为45°？ (5)直线的倾斜角为锐角？ 解 (1)若直线l 与x 轴平行， 则直线l 的斜率k ＝0， ∴m ＝1.(2)若直线l 与y 轴平行， 则直线l 的斜率不存在， ∴m ＝－1.(3)直线l 的方向向量的坐标为(3,1)，故k ＝13，即1－m m ＋1＝13， 解得m ＝12.(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即m－1－1－m＝1，解得m＝0.(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即m－1－1－m>0，解得－1<m<1.10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD ＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．解在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以k OD＝k BC＝tan 60°＝ 3.因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以k OB＝k CD＝0，由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，所以k OC＝tan 30°＝33，k BD＝tan 120°＝－ 3.11．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是()A．－2 B．－1 C．1 D．2答案 B解析设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A′(a－2，b＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA ′＝b ＋2－b a －2－a＝－1. 12．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 始终没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪ 34<k <2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪ k >2或k <34 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪k >34 D ．{k |k <2}答案 A解析 ∵k AP ＝3－12－1＝2，k BP ＝－2－1－3－1＝34，如图，∵直线l 与线段AB 始终没有交点，∴斜率k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，2.13．已知直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，则直线l 的斜率的取值范围是 ．答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 当倾斜角α＝π2时，l 的斜率不存在； 当α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2时，l 的斜率k ＝tan α∈[1，＋∞)；当α∈⎝⎛⎦⎤π2，3π4时，l 的斜率k ＝tan α∈(－∞，－1]．14．已知O (O 为坐标原点)是等腰直角三角形OAB 的直角顶点，点A 在第一象限，∠AOy ＝15°，则斜边AB 所在直线的斜率为 ．答案 33或－ 3 解析 设直线AB 与x 轴的交点为C ，(图略)则∠ACO ＝180°－∠A －∠AOC ＝180°－45°－105°＝30°，或∠ACO ＝180°－∠A －∠AOC ＝180°－45°－75°＝60°.所以k AB ＝tan 30°＝33或k AB ＝tan 120°＝－ 3.15．直线l 的方向向量为(－1,2)，直线l 的倾斜角为α，则tan 2α的值是( ) A.43B ．－43 C.34D ．－34 答案 A解析 ∵直线l 的方向向量为m ＝(－1,2)，∴直线l 的斜率等于－2，∴tan α＝－2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－41－4＝43. 16．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，求y －1x －2的取值范围． 解 y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率． 因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝⎛⎭⎫1，52，B ⎝⎛⎭⎫3，32， 又k NA ＝－32，k NB ＝12， 所以y －1x －2的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。