《直线的倾斜角与斜率》导学案3 高中数学同课异构优质课获奖教案

人教A版数学必修2 第三章直线与方程3.1.1 《直线的倾斜角与斜率》教学设计一、教学内容分析本节是学生学习解析几何的第一课时,通过本节的学习，需要帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法——用代数方法研究几何问题，这也是贯穿本节、本章知识的大概念。

同时在课堂中进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的应用意识。

本课有着开启全章，渗透方法的作用，并为后续教学内容——判断两条直线的位置关系及建立直线方程等起关键性的铺垫作用。

二、教学目标设计1．引导学生形成直线的倾斜角的定义、范围和斜率的概念；2．引导学生建立倾斜角、斜率与直线方向向量的关系；3．引导学生认识事物间联系的本质，体会生活问题与数学问题间的联系.三、教学重点、难点教学重点：1．引导学生感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；2．引导学生推导并初步掌握过两点的直线斜率公式.教学难点：1．用代数方法推导斜率的过程；2．体会数形结合及分类讨论思在概念形成及公式推导中的作用.四、教学流程设计12教学流程设计教学环节教学内容设计意图 知识背景自古希腊以来的几何研究，一直是以公理为基础，直接研究几何问题， 直到17世纪法国数学家笛卡尔创建了直角坐标系，用坐标法把几何的基本元素——点和代数的基本元素——数对应起来，并用代数方程来表示曲线，从而用代数的方法来研究几何问题,这就是解析几何的基本思想，也是本节课、本章学习渗透的大概念。

解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来。

今天我们就先来探究最怎样用代数的方法来研究直线！使学生了解解析几何的发展及解析几何的基本思想； 了解学习的新内容的特点及意义.用笛卡尔爱心曲线激发学生的兴趣与探索热情.情 景 导 入问题1、对于平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些要素确定呢？那么在直角坐标系内过一点P 可以作多少条直线？ 这些直线有什么区别?自然合理地提出问题， 从最简单问题着手，创造轻松的氛围。

“直线的斜率”的教学设计尝试 探究形成概念问题：怎样才能确定直线的问置？ 一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可） 思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？ （让学生举例）如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。

坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？前进量 坡度比＝前进量升高量例如:进2升3与进2升2比较 2、 直线斜率的概念 一条直线倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。

()090tan ≠=ααk给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定.确定直线位置几何要素转化为代数化升高量尝试探究形成概念对α取不同的范围进行分析k的取值情况。

3、直线的倾斜角与斜率之间的关系直线情况平行于α情况由左向右上升垂直于x轴由右向左上升α的大小k的情况k的增减性4、两点确定直线的斜率已知两点),)(,(),,(21222111xxyxpyxp≠则由这两点确定直线的线率?=k课本上是用坐标法推导的，分两种情况:让学生课前预习，这里用向量法推导①→21pp方向向上②→12pp方向向上1212xxyyk--=让学生掌握公式记忆注意：①当直线与x轴平行或重合时，0=k②当直线与y轴平行或重合时，k不存在为有利于调动学生学习的积极性，加深对两者关系理解，通过用几何画板演示倾斜角与斜率之间关系，给学生直观认识，降低学习的难度课本中是用坐标法去推导两点直线的斜率,学生课前预习易掌握,在证明过程中用向量法来推导两点确定直线的斜率,比较两种方法解题思路不同.0 xy。

直线的倾斜角与斜率导学案班级：姓名：【学习目标】1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.【知识梳理】复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※学习探究新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角. 反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tankα=.试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0oα=时，则k；⑵当090o oα<<时，则k；⑶当90oα=时，则k；⑷当090180oα<<时，则k.新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y12()x x≠的直线的斜率公式：2121y ykx x-=-.探究任务三：1.已知直线上两点1212(,),(,),A a aB b b运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y轴时，或与y轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？【典型例题】例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴30οα=；⑵135οα=；⑶60οα=；⑷90οα=变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴0k=；⑵1k=；⑶k=；⑷k不存在.例 2 求经过两点(2,3),(4,7)A B的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.※动手试试练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.⑴(2,3),(1,4)A B-；⑵(5,0),(4,2)A B-. 练2．画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C--三点的位置关系，并说明理由.三、总结提升※学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的王新敞3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差【检测】当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列叙述中不正确的是（）.A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o或90οD．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα2. 经过(2,0),(5,3)A B--两点的直线的倾斜角（）.A．45οB．135οC．90οD．60ο3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ).A.1B.4C.1或3D.1或44. 直线经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则α为角；k的取值范围.α为________.5．已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角2。

《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。

2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。

3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

二、教学内容：1. 直线的倾斜角：定义、求法。

2. 斜率与倾斜角的关系：正切函数的应用。

3. 直线的斜率：定义、求法。

4. 实际问题中的应用：求直线的倾斜角和斜率。

三、教学重点与难点：1. 重点：直线的倾斜角的概念、斜率与倾斜角的关系。

2. 难点：直线的斜率的求法、实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解直线的倾斜角和斜率的定义及求法。

2. 利用例题，演示直线的倾斜角和斜率的计算过程。

3. 引导学生运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾直线的倾斜角和斜率的概念，引导学生思考两者之间的关系。

2. 讲解直线的倾斜角：介绍直线的倾斜角的定义，讲解求法，举例说明。

3. 讲解斜率与倾斜角的关系：引入正切函数，讲解斜率与倾斜角的关系，举例说明。

4. 讲解直线的斜率：介绍直线的斜率的定义，讲解求法，举例说明。

6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识。

8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂讲解：评估学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度，观察学生能否正确求解直线的倾斜角和斜率。

2. 课堂练习：评估学生运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题的能力，观察学生是否能够正确计算和应用。

3. 课后作业：评估学生对直线的倾斜角和斜率知识的掌握程度，检查学生是否能够独立完成相关练习。

七、教学反思：1. 反思教学内容：根据学生的学习情况，调整直线的倾斜角和斜率的教学内容，确保学生能够理解和掌握。

2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高学生的学习兴趣和参与度。

八、教学拓展：1. 直线的倾斜角和斜率在实际应用中的例子：如工程测量、物理学中的运动分析等。

直线的倾斜角与斜率一、教学目标：1、理解直线倾斜角的定义、范围和斜率；2、掌握过两点的直线斜率的计算公式；3、能用公式和概念解决问题。

二、教学重、难点：重点：直线的倾斜角和斜率难点：直线的斜率公式及应用三、使用说明及学法指导:指导学生预习教材，找出疑惑之处，并用笔画出来。

四、知识链接:在初中我们已经学习过一次函数及图象，知道一次函数b kx y +=的图象是一条直线，它是以满足b kx y +=的每一对y x ,的值为坐标的点构成的，由于函数式b kx y +=可看作二元一次方程，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系。

五、教学过程:阅读课本第82页第1段，尝试判断下列问题的真假：知识点一 直线的方程与方程的直线1、任意一条直线一定是某个一次函数的图象。

2、函数()0≥+=x b kx y 的图象是一条直线。

3、以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫这条直线的方程。

4、若一条直线上的所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫这个方程的直线。

阅读课本第82～83页的倒数第3段，尝试回答下列问题：知识点二 直线的倾斜角与斜率1、请描出下列各直线的倾斜角，并说明直线的倾斜角的范围是什么？2、怎么样用倾斜角表示斜率？3、任何一条直线都有倾斜角和斜率吗？说明理由。

4、直线倾斜角越大，它的斜率越大吗？它们之间的关系是怎样的？5、两条直线的倾斜角相等，斜率相等吗？6、你能根据正切函数图象，写出直线的倾斜角在︒︒<<900α和︒︒<<18090α两个范围内，斜率是怎么变化的吗？阅读课本，尝试回答下列问题：知识点三 斜率公式1、斜率公式与两点的顺序有关吗？如何理解21x x ≠？2、你能根据斜率公式求倾斜角吗？阅读课本的例1、例2，尝试完成以下几题：知识点四 典型例题A1、已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角。

B2、求经过A （10，8），B （4，-4）的直线的斜率和倾斜角？C3、如果A （5，1），B （a ，3），C （-4，2），在同一条直线上，求a 。

高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。

2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。

3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念2. 直线的斜率与倾斜角的关系3. 直线的倾斜角和斜率的计算4. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率与倾斜角的关系，直线的倾斜角和斜率的计算。

2. 教学难点：直线的倾斜角和斜率的计算，直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究直线的倾斜角和斜率的概念及关系，提高学生的思维能力。

2. 利用数形结合法，结合图形讲解直线的倾斜角和斜率，增强学生的直观理解。

3. 通过实例分析，让学生学会运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

五、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段学习的直线的倾斜角的概念，引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。

2. 新课讲解：（1）讲解直线的倾斜角的概念，介绍直线的倾斜角的定义及求法。

（2）讲解直线的斜率与倾斜角的关系，引导学生理解斜率与倾斜角之间的联系。

（3）讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法，让学生掌握计算直线的倾斜角和斜率的技巧。

3. 实例分析：运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题，如计算直线的倾斜角和斜率，分析直线在坐标系中的位置等。

4. 课堂练习：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。

6. 作业布置：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生课后巩固所学知识。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体直线图形，让学生理解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自对直线倾斜角和斜率的理解，互相学习，提高理解。

直线的倾斜角与斜率导学案Prepared on 24 November 20203.1.1直线的倾斜角与斜率【学习目标】1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。

2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.【重点】直线的倾斜角和斜率的应用，两条直线平行和垂直的条件。

【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用，启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．一、自主学习新知1：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做 .关键：① ；② ；③ .注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 .试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的 叫做这条直线的斜率.记为k= .试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0o α=时，则k ；⑵当090o o α<<时，则k ；⑶当90oα=时，则k；⑷当090180oα<<时，则k .新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y12()x x≠的直线的斜率公式：k= .练习：1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为；已知直线上两点1122(,),(,)A x yB x y且12x x≠，则直线的斜率为 .2. 若直线l过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为 ,倾斜角为 .3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值分别为 .4．已知12,l l的斜率都不存在且12,l l不重合，则两直线的位置关系 . 5．已知一直线经过两点(,2),(,21)A mB m m--，且直线的倾斜角为60ο，则m= .问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为，两直线位置关系是 .(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为，两直线的位置关系是 .问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l和2l的斜率为1k和2k.两条直线平行的情形．如果21//ll，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率；反之，如果它们的斜率相等，则它们，即12//l l注意，上面的等价是在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．两条直线垂直的情形.如果12l l⊥，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率；反之，如果它们的斜率，则它们互相垂直.即12l l⊥二、典型例题例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.动手试试练. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴(2,3),(1,4)A B -； ⑵(5,0),(4,2)A B -.例2、已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.例3．已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2),D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明.例4．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系.例5.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC 的形状.三、总结提升（一）学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是 .2.直线斜率的求法：⑴ ；⑵ ；⑶ 当直线的倾斜角90οα= 3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：1212//l l k k ⇔=12,l l 5．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.(二) 课堂检测1. 下列叙述中不正确的是（ ）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90οD ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α2. 经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（ ）.A ．45οB ．135οC ．90οD ．60ο3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )..4 C 或3 或44. 下列说法正确的是（ ）.A ．若12l l ⊥，则121k k =-B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行5. 经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直，则m 值为（）. A ．75- B ．75 C ．145- D ．145。

直线的倾斜角与斜率学习目标：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念；2.经历用代数方法刻画直线斜率的过程；3.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 教学重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式. 教学难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系. 教学用具：计算机，彩笔，三角板. 教学方法：启发引导法，讨论法. 教学过程：一、引入新课对于平面直角坐标系内的一条直线l （如图）,它的位置由哪些条件确定呢？ 二、直线的倾斜角定义:当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 与直线l 之间所成的角 叫做直线l 的倾斜角.规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为 . 思考1： 直线倾斜角的范围为 .练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，为什么？思考2：过一点不能确定直线的位置，那么倾斜角确定，直线的位置能确定吗？因此，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是： 和 ，二者缺一不可.日常生活中，还有没有其他表示倾斜程度的量？ 三、 直线的斜率 （一）定义把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率. 例如（1）倾斜角45α=时，直线的斜率k = ；（2）倾斜角135α=时，直线的斜率k = . （注：当α是锐角时,tan(180)tan αα-=-） 填写下表：练习：下列说法中正确的是 ，错误的请说明原因. A .任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B .平行于x 轴的直线的倾斜角是180C .两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等D .因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在如图，给定直线上的两点()111,p x y ,()222,p x y12p p 的斜率k ？设直线12p p 的倾斜角为(90)αα≠.（1）当直线12p p 的方向向上时，过点P 1作x 轴的平行线，过点P 2作y 轴的平行线，两线相交于点Q ，于是点Q 的坐标为()21,y x .①当α为锐角时，tan α= ；②当α为钝角时，设∠QP 1P 2=θ,则α与θ的关系是 ，1x 2x ，1y 2y ，tan α= tan θ，（填＞或＜）tan θ= = = .（2）当直线12p p 的方向向下时，tan α= .思考3：当直线12p p 与x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 思考4：当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述式子还成立吗？为什么？ （二）直线过两点()111,p x y ，()222,p x y （12x x ≠）的斜率公式思考5： 已知直线上两点()12,A a a ，()12,B b b ，运用上述公式计算直线AB 的斜率时，与A 、B 两点坐标的顺序有关吗？ 四、应用例.如图，已知A (3,2)，B (4,1)-，(0,1)C -,求直线AB 、BC 、CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 分析：1.直线过两点()111,p x y ，()222,p x y （12x x ≠）的斜率公式求直线的斜率；2.利用直线的斜率定义判断直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解：（略）方法总结：（一）直线过两点()111,p x y ，()222,p x y （12x x ≠）的斜率公式容易记得，只需理解21,y y 和21,x x 在公式中的前后次序可以同时交换，但分子分母并不能交换.（二）直线的斜率和倾斜角的关系尤其值得注意的是：三个特殊的倾斜角所对应的斜率值，一是00tan = ， 145tan = ，二是倾斜角为 90时，直线的斜率不存在.变式练习：1.求经过点()2,3A 和()1,2P 的直线的斜率和倾斜角. 2.若()2,3A 、()m P ,2、()1,0-C 三点共线，求实数m 的值. 3.画出经过点()1,2P 且斜率为1的直线. 五、课堂小结六、当堂达标A 组1.下列说法中错误的是（ ）（A ）平面直角坐标系内，每一条直线都有一个确定的倾斜角（B ）每一条直线的斜率都是一个确定的值 （C ）没有斜率的直线是存在的（D ）同一直线的倾斜角与斜率不是一一对应的2.若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角的范围是（ ）（A ）[) 90,0 （B ）)90,180⎡⎣ （C ）()90,180 （D ）)0,180⎡⎣3.若直线l 向上的方向与y 轴正方向成30角，则l 的倾斜角为 ，l 的斜率为 .4.直线l 过(),m n （0m ≠）和原点，则l 的斜率为（ ）（A ）m n （B ） n m（C ）n m - （D ）不存在思考：5.若三点()3,1A ，()2,B k -，()8,11C 在同一直线上，则k 的值为（ ） （A ）2 （B ）-9 （C ）9 （D ）3B 组6.直线l 过(),m n 、(),n m 两点，其中m n ≠，0m n ⋅≠，则（ ）（A ）l 与x 轴垂直 （B ）l 与y 轴垂直（C ）l 过原点和第一、三象限 （D ）l 的倾斜角为1357.已知直线l 过点(),6A m -、()1,3B m m +，且2l k =，求m 的值. 七、作业课本第89页A 组第2、4题.。

一、（一）考纲点击理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（二）考情聚焦：1、直线的倾斜角、斜率问题是最基本问题，是高考中常考的热点知识。

2、主要以选择、填空题的形式出现属于中低档题目。

3.、常与平面向量结合、线性规划、与圆锥曲线、导数体现知识的交汇。

二、重点：直线的倾斜角与斜率的概念过两点的直线斜率公式。

难点：对直线倾斜角与斜率概念的理解，以及之间的关系。

三、教学过程三、教学过程（一）学习目标：1. 2.3. 4.（二）双基研习•面对高考基础梳理（三）考点探究•挑战高考考点一、倾斜角和斜率的概念1.判断下列命题的对错。

(1)任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；. ( )(2)平行于x轴的直线倾斜角是0或π；. ( )(3)直线的斜率的范围是(－∞，＋∞）；. ( )(4)过原点的直线，斜率越大越靠近y轴。

( )(5)两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等. ( )(6)两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等. ( )(7)一条直线向上的方向与x轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角；( )(8)直线l的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；( )（9）已知直线l经过()111,P x y，()222,P x y两点，则直线l的斜率2121y ykx x-=-；( )考点二、已知倾斜角求斜率1.已知2如果三点A（5，1），B（a，3），C（－４，2）在同一直线上，确定常数a的值.考点三、已知斜率求倾斜角1.直线L的斜率为k，倾斜角是α，若－1＜k＜1，则α的取值范围是 .2.直线x sin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π考点四、知识的交汇1.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A．1 B.12C．－12D．－12.已知实数x，y满足222(11)y x x x=-+-≤≤，试求32yx++的最大值和最小值．五：通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些困难？可以从知识，方法，数学思想，经验等方面谈谈。

优秀教案直线的倾斜角与斜率优秀教案引言：优秀的教案是教学活动的重要组成部分，它能够帮助教师有效地组织教学内容，使学生更好地掌握知识。

本文将重点探讨优秀教案中涉及直线的倾斜角与斜率的教学方法和策略。

一、直线的倾斜角直线的倾斜角是直线和水平方向之间的夹角，是斜率的几何意义之一。

在教学中，我们可以通过几何方法和数学方法两种不同的途径来介绍直线的倾斜角。

1. 几何方法通过几何方法来介绍直线的倾斜角可以帮助学生直观地理解倾斜角的概念。

教师可以通过实际操作，如使用直尺和量角器，帮助学生绘制倾斜角，并观察倾斜角的变化规律。

同时，教师可以引导学生观察不同直线的倾斜角是否相等或相似，让学生发现其中的规律。

2. 数学方法数学方法是更加严谨和精确的方法,通过数学公式来计算直线的倾斜角。

教师可以通过引入概念、定义和公式，让学生明确直线的倾斜角的含义和计算方法。

在教学中，可以设计一些实际问题，让学生运用所学知识解答，如求解两条直线的倾斜角大小之差等。

二、直线的斜率直线的斜率是表示直线的陡峭程度的一个重要指标，也是直线方程中的关键要素。

在教学中，我们可以通过图像分析和计算公式两种方法来介绍直线的斜率。

1. 图像分析通过图像分析的方法，教师可以引导学生观察直线的趋势和陡峭程度。

教师可以提供一些实际图像，如山坡、楼梯等，让学生观察并判断斜率的大小。

通过图像分析，学生可以感受到斜率与直线的陡峭程度之间的关系，从而更好地理解斜率的概念。

2. 计算公式通过计算公式来介绍直线的斜率可以让学生更加深入地理解斜率的含义和计算方法。

教师可以通过数学公式来引导学生计算直线上两个点的坐标之差，并将其带入斜率公式中进行计算。

同时，教师还可以设计一些实际问题，让学生运用斜率公式解答，从而提高学生的应用能力。

三、教学策略在教学过程中，我们可以运用一些教学策略来帮助学生更好地理解直线的倾斜角与斜率。

1. 激发学生兴趣激发学生的学习兴趣是提高教学效果的关键。

人教版必修2 第三章直线与方程
3.1.1 《直线的倾斜角与斜率》导学案
高二( )班学生______________
【学习目标】
1. 形成直线的倾斜角的定义、范围和斜率的概念；
2.建立倾斜角、斜率与直线方向向量的关系；
3.认识事物间联系的本质，体会生活问题与数学问题间的联系.
【学习重点】
1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；
2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式.
【学习难点】
1、用代数方法推导斜率公式的过程；
2、体会数形结合及分类讨论思在概念形成及公式推导中的作用.
【学习过程】
一、情景导入：
知识背景：解析几何的基本思想：用代数方法研究几何问题——大概念.
生活场景：
二、探究生成
探究任务一：怎样描述直线的倾斜程度？
试一试：请在图中标出下列直线的倾斜角.
y
o
4
l
o y
x
1
l
o
y。

直线的倾斜角与斜率课题说明：本节课是新人教A版数学必修2的3.1.1节的内容.内容分析：本节课的主要内容有两个概念（直线的倾斜角、直线的斜率）及一个公式（斜率计算公式）.直线的倾斜角是反映直线倾斜方向的量，它也是确定直线位置的一个重要的几何要素，它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程度.直线的斜率指倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念的.直线的斜率可看作是比值，实质上是数值，所以直线的斜率从本质上可看成是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度.华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.显然，与倾斜角相比，用斜率刻画倾斜程度会更细致.关于过已知两点的直线斜率公式：因为过两点的直线是唯一确定的，所以其倾斜程度也就确定（即直线的斜率也是确定的）.从而在直角坐标系中，直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联系.斜率不仅反映了这种联系，并用代数方法表示了出来，而且在公式的推导中蕴涵了分类讨论、数形结合、化归等重要数学思想.学情分析：本节课是高中解析几何部分的起始课，学生具备的知识基础是在直角坐标系中会用坐标表示点，明确了坐标平面上的点与有序数对可建立一一对应的关系.这节课的教学内容，不仅能反映出数学概念离不开生活，数学概念的形成是自然的，而且蕴涵了几何问题代数化的思想，从知识点及研究方法上，为后继判断两条直线的位置关系以及建立直线的方程等内容起着关键性的铺垫作用.教学目标分析：1.探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程.2.通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想.3.充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想.4.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想.教学重点与难点：重点：1.感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；2.推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3.体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.难点：用代数方法推导斜率的过程.教学方法：计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构.教学过程：一、创设情境，揭示课题问题1：（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？如何区分这两个点？从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分.从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题2：过这两点可作什么图形？（唯一吗？）只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式:（1）已知直线上两点；（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度.【设计意图】引导学生归纳确定直线位置的几何要素.问题3：角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线.在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴.问题4：过点P与x轴形成45 角的直线有几条？（学生可能答一条或两条，投影演示结果）如何区分清楚这两条直线呢？估计学生能想到还需要确定方向.选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分L1与L2）数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）倾斜角的定义：在平面直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角.学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线.学生容易忽略与x轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？如何规定？规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0 .自然有倾斜角的范围是[0 ，180 ）.这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角α与它对应.倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.【设计意图】倾斜角的形成离不开“基准”与“直线方向”的规定，同时让学生感受数学概念是自然的以及数学定义的统一美与简洁美，从而提示本节课的课题.二、巩固旧知，同化新知生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的？升高量坡度（比）=前进量（即坡角α的正切值）. 当坡角α增大时，坡度如何变化？当坡角α=90 与0 时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？ 坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率.斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即tan (90)k αα=≠.问题5：生活中坡角没钝角，当α为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角θ上）180()αθθ=-是锐角，tan tan(180)tan k αθθ∴==-=- .如：倾斜角120α= ，则斜率k =【设计意图】使学生会用转化思想求α为钝角时的斜率，明确课本脚注的用法.问题6：当α在[0 ，180 ）内变化时，斜率k 如何变化？【设计意图】更条理、更全面地认识斜率与倾斜角的变化关系.问题7：倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些.【设计意图】突出斜率刻画倾斜程度的优越性是更细致入微，使用方便简洁.三、尝试推导，深化认识两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率.由此看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系.问题8：在平面直角坐标系中，已知直线上两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）且x 1≠x 2，能否用P 1 、P 2的坐标来表示直线斜率k ？学生活动：随意在坐标系下画两点P 1 、P 2及直线P 1P 2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析.教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量、前进量，用点的坐标表示线段长，并请学生叙述各个图的推导过程与结果.解：设直线P 1 P 2倾斜角为α（≠α90 ），当直线P 1P 2方向向上时，过点P 1作x 轴的平行线，过点P 2作y 轴的平行线，两线交于点Q ，则点Q 为（x 2，y 1）.（1）当α为锐角时，21P QP ∠=α，21x x <，21y y <，在Q P P 21ΔRt 中，12121221tan tan x x y y Q P QP P QP --==∠=α. （2）当α为钝角时，θα-= 180（设21P QP ∠=θ），21x x <，21y y <， αtan =θθtan )180tan(-=- ，在Q P P 21ΔRt 中，1212121212tan x x y y x x y y QP QP ---=--==θ， 1212tan x x y y --=∴α（可让学生分组推导）. 同理，当直线P 2P 1方向向上时，无论α为锐角或钝角，也有1212tan x x y y --=α， 即1212x x y y k --=.【设计意图】给学生提供充分的自主探索的时间与空间，克服公式推导中不易把握的两点（①两点坐标与αtan 的联系；②图形分析不全面），培养数形结合与分类讨论的思想，促进思维的独立性、全面性，逻辑性.思考：①各种一般情形得出的结论一致吗？与P 1、P 2这两点坐标顺序有关系吗？②当直线垂直于x 轴或y 轴时，上述结论适用吗？③斜率公式使用时应注意什么问题？【设计意图】熟悉公式的结构特征及适用范围.巩固练习：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角.（1）A （3,2）,B （-4,1）.（71=AB k ） （2）A （3,2）,B （4,1）.（1AB k =-）（3）A （3,2）,B （3,-1）.（不存在）（4）A （3,2）,B （-4,2）.（0=AB k ）四、反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）1.明确了确定直线位置的几何要素.2.理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法），21tan 21y y k x x α-==-. 3.经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想.五、板书设计六、作业：①自学课本P.85：例1、例2；②作业本：P.89：1、2、3.预期效果分析：1.两个概念的形成，估计通过问题情境的设置，学生能达到预期的教学目标，而且这样设计之后，概念得出是自然的，不是强加于人的.2.斜率公式的推导可能存在学生对图形考虑不全面的问题，需要教师适当进行引导.。

位置由哪些条件确定呢？[问题2]直线的倾斜角是如何定义的？给出直线的倾斜角的定义，指出倾斜角的意义：作出图中直线的倾斜角[问题3]由定义，倾斜角的范围是什么？ [问题4]直线的斜率是如何定义的？[问题5]直线的斜率能否反映直线的倾斜程度？【模块二】：直线的倾斜角和斜率的关系 [问题6]是否所有的直线都有斜率？ [问题7]根据斜率定义的过程，你能否将斜率坐标化？即:已知直线l 上两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) （其中x 1≠x 2）的坐标，如何求出直线P 1 P 2的斜率k ？ 【模块三】：直线的倾斜角与斜率的计算 练1已知直线的斜率，求其倾斜角. ⑴ 0k =；⑵1k =；⑶3k =-；⑷k 不存在.练2 （1）α∈[30°，60°)，求k ∈ （2）α∈（30°，120°]，求k ∈ （3）k ∈[-1，3]，求α∈【模块四】：本节知识小结 1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线倾斜角的范围是[0,180°)2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵ 利用直线上两点1p (),11y x ,),(222y x p 的坐标义，取值范围，能够找出[问题2]中的倾斜角。

让学生感受概念形成过程。

【针对模块二】 让学生通过区分，明白所有直线都有倾斜角，但根据定义倾斜角为90°的直线没有斜率， 根据斜率定义：除90°以外直线的倾斜角与斜率一一对应。

过两点的直线斜率的计算公式注意(21x x ≠)，让学生严谨地思考问题。

【针对模块三】要求学生能够独立作出斜率k 关于倾斜角α的函数关系图 像，并发现图像的特点。

【针对模块四】 学生自己总结梳理知识结构，教师做智慧型指导。

注意直线倾斜角、斜率、斜率。