人教版高中数学必修二导学案：第三章第一节倾斜角与斜率

． 倾斜角与斜率．直线的倾斜角()倾斜角的定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．如图所示，直线的倾斜角是∠，直线′的倾斜角是∠.()倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是°≤α＜°，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为°. [点睛]()倾斜角定义中含有三个条件：①轴正方向；②直线向上的方向；③小于°的非负角．()平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．．直线的斜率()斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母表示，即＝α.()斜率公式：经过两点(，)，(，)(≠)的直线的斜率公式为＝.当＝时，直线没有斜率．()斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[点睛]直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于轴(平行于轴或与轴重合)．．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)()任一直线都有倾斜角，都存在斜率( )()倾斜角为°的直线的斜率为( )()若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为＝α( )()直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)( )答案：()×()×()×()√．若直线经过原点和(－)，则它的倾斜角是( )．°．°．－°．°或°解析：选作出直线，如图所示，由图易知，应选.．已知直线的倾斜角为°，则直线的斜率为( )．解析：选由题意可知，直线的斜率＝°＝.。

3.1 直线的倾斜角与斜率教案教学目标:1.知识与技能：（1）理解直线的倾斜角与斜率的概念（2）掌握倾斜角与斜率的对应关系（3）掌握过直线两点的直线的斜率公式2.过程与方法：（1）培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；（2）使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。

3.情感、态度与价值观：（1）通过直角坐标系将几何问题转化为代数问题，培养学生利用代数解决几何问题的能力；（2）通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化的辩证思维；（3）激发学生学习数学的热情。

重点难点：重点：确定直线位置的几要素，直线的倾斜角和斜率的概念，直线倾斜角与斜率的关系，用代数方法刻画直线斜率的过程以及过两点的直线斜率的计算公式。

难点：探索直线的斜率与它的倾斜角之间的关系，推导过两点的直线斜率的计算公式。

教学方法：探究式学习教学工具：多媒体教学过程：一、情景导学：1.笛卡尔人物简介（了解坐标系的创立历史）2.介绍坐标系的作用，从而引出本节内容。

二、新知：利用两个动画，探究在平面直角坐标系中确定直线的要素思考：通过以上两个动画，我们可以学到什么？在直角坐标系中：1.只知道直线上一点或者知道直线的方向，直线是不确定的。

2.要确定一条直线的位置，只要知道直线上的不同两点或一点和方向问题3：以上动画2又可以如何表示直线方向（或者倾斜程度）？用角：这个角在直线中也叫做直线的倾斜角，那么直线的倾斜角又是怎样定义的？（引出直线的倾斜角）1.直线的倾斜角定义：探究：直线倾斜角的取值范围：动画演示思考下列问题：你认为下列说法对吗？a.所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。

b.每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。

问题4:在表示直线的倾斜程度时，除了用倾斜角之外，还有没有其他的表示方法呢？（生活实例）2. 直线斜率的定义：定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。

斜率通常用k 表示，即：k=tana （a 为直线的倾斜角且a ≠90°）注意：倾斜角为90°时，斜率不存在。

章节
3.1.1 课题直线的倾斜角与斜率教
学目标1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；
2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程；
3、掌握过两点的直线的斜率计算公式。

教学重点理解直线的倾斜角与斜率的概念。

教学难点过两点的直线的斜率公式推导【复习回顾】
1．锐角三角函数的定义：如图所示，正弦（sin）等于对边比斜边，sinA=a/c；
余弦（cos）等于邻边比斜边，cosA=b/c；正切（t a n）等于对边比邻边，t a nA=a/b。

2．特殊角的正切值
α0o30o45o60o90o120o135o150o tanα
通过上述表格，你能得出互余的两个角、互补的两个角的正切有怎样的关系？
（1），（2）。

课前预习案
【新知探究】
探究一、确定直线的几何要素
问题1：给出一点P，可以作无数条直线，这些直线组成“直线束”，这些直线的共同点是什么，不同点是什么？由此你能总结出确定直线的几何要素吗？
共同点: ，不同点: 。

确定直线的几何要素：。

探究二、直线的倾斜角与斜率
问题2：平面直角坐标系中，直线l与x轴有几种位置关系？在刻画直线的倾斜程度时，我们取x 轴作为基准线，引入倾斜角的概念，它的定义是什么，取值范围如何？
直线l与x轴的位置关系：。

定义包括两个方面：（1）当直线l与x轴相交时，。

（2）当直线l与x轴平行或重合时，。

取值范围：。

高中数学人教A版必修2导学案：3.1.1直线的倾斜角和斜率（学生版）。

人教版高中数学直线的倾斜角和斜率教案第一章：直线的倾斜角教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念；2. 学会计算直线的倾斜角；3. 掌握直线的倾斜角与斜率的关系。

教学重点：直线的倾斜角的概念及计算方法。

教学难点：直线的倾斜角与斜率的关系。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：引导学生回顾初中阶段学过的直线的倾斜概念，提问：直线的倾斜角是什么？2. 讲解：讲解直线的倾斜角的定义，通过直角坐标系图，演示直线的倾斜角的计算方法。

3. 练习：让学生在直角坐标系图中找出给定直线的倾斜角，并计算。

第二章：斜率的定义教学目标：1. 理解斜率的定义；2. 学会计算直线的斜率；3. 掌握斜率的符号表示。

教学重点：斜率的定义及计算方法。

教学难点：斜率的符号表示。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：引导学生回顾初中阶段学过的斜率概念，提问：斜率是什么？2. 讲解：讲解斜率的定义，通过直角坐标系图，演示斜率的计算方法。

3. 练习：让学生在直角坐标系图中找出给定直线的斜率，并计算。

第三章：斜率的计算教学目标：1. 掌握斜率的计算方法；2. 学会使用斜率公式；3. 能够应用斜率公式解决实际问题。

教学重点：斜率的计算方法及应用。

教学难点：斜率公式的运用。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：让学生回顾上一章所学的内容，提问：如何计算直线的斜率？2. 讲解：讲解斜率的计算方法，通过直角坐标系图，演示斜率的计算过程。

3. 练习：让学生运用斜率公式计算给定直线的斜率，并解决实际问题。

第四章：直线的倾斜角与斜率的关系教学目标：1. 理解直线的倾斜角与斜率的关系；2. 学会利用直线的倾斜角求斜率；3. 能够利用斜率求直线的倾斜角。

教学重点：直线的倾斜角与斜率的关系。

教学难点：利用斜率求直线的倾斜角。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：让学生回顾前几章所学的内容，提问：直线的倾斜角与斜率有什么关系？2. 讲解：讲解直线的倾斜角与斜率的关系，通过直角坐标系图，演示如何利用直线的倾斜角求斜率，以及如何利用斜率求直线的倾斜角。

《直线的倾斜角与斜率》教学设计一、内容及其解析《线的倾斜角与斜率》是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。

本节内容是:直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。

其核心内容是:直线倾斜角的概念和斜率的求法。

理解它的关键是:在平面直角坐标系中,直线向上的方向与X轴正方向所成的角,和角的正切值。

之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。

通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、教学目标（一）知识与技能1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.2、斜率公式的推导过程，掌握过两点的斜率公式（二）过程与方法经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”思想。

（三）情感态度与价值观1、通过直线倾斜角概念的引入学习，直线的斜率的定义，以及直线的倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流和评价能力。

2、通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合思想，树立辩证统一观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

三、学情与重难点分析本次授课班级为重点班，相对来说，学生基础较好。

本节课中教师主要采用问答式与学生分组讨论的形式进行，再由教师协助学生归纳总结的授课方式。

教学重点：直线的倾斜角，斜率的概念与公式。

教学难点：斜率的计算方法教学关键：直线斜率的两种计算方法教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法。

人教版高中数学必修2《直线的倾斜角与斜率》教学设计及教案本节课选自高中数学《必修2》（普通高中课程标准实验教科书）第三章第一节第一节课。

一、内容和内容解析内容：解析几何介绍，直线的倾斜角和斜率。

每一章的第一节课非常重要，所讲内容要体现出“大问题”，“显著问题”，要从全章的角度来看问题。

因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。

建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。

倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。

教学重点：1、使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法；2、理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。

二、目标和目标解析1．理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2．理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。

3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。

三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。

事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向，这与‘一个点和直线的方向确定一条直线’是一致的”。

高中数学 3.1.1倾斜角与斜率导学案 新人教A 版必修2学习目标：（1）理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；（2）掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）能用公式和概念解决问题.学习重点：直线的倾斜角与斜率的概念、斜率公式．学习难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系．学习过程：(一)自主学习自学教材82~ 86P P 的内容，找出疑惑之处，并完成以下问题1： 叫做直线l 的倾斜角．注意：当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 度．★：请指出下列各直线l 的倾斜角的大小或范围．★：直线倾斜角α的范围是2：一条直线的倾斜角α (2πα≠)的 叫这条直线的斜率，记为tan k α=．★．已知各直线倾斜角，则其斜率的值为①当0α=时，则k = ；②当090α<< 时，则k ∈ ；③当 90α= 时，则k ；④当 90180α<< 时，则k ∈ ．3： 已知直线上两点 111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式： ★：已知直线上两点A(1a ，1b )、B （2a ，2b ）， 使用上述公式计算直线的斜率时，与A 、B 两点坐标的顺序相关吗？★：当直线平行于y 轴时，或与y 轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？(二)合作探究1.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1,2及-3的直线1l ，2l ，3l 及4l2.已知ABC ∆三个顶点的坐标为A(3,2)，B(-4,1),C(0,-1)．（1）求ABC ∆三边所在直线的斜率；（2）若点P 是边AC 上的动点，求直线PB 的斜率的变化范围及倾斜角的变化范围．(三)巩固练习1．倾斜角为α的直线经过两点(1,5)A 和(2,4)B -，则有 （ ）A ．030α<<B ．3045α<<C ．4560α<<D ．6090α<<2．下列说法正确的是 （ ）A ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α；B ．若两直线的倾斜角相等，则斜率也相等；C ．若两直线的斜率相等，则倾斜角也相等；D ．若直线的斜率存在，则直线的倾斜角越大，它的斜率也越大．3．若直线l 的斜率为l 的倾斜角为 ．4．已知一个三角形的三个顶点坐标为(4,2)A -，(2,2)B ，(4,8)C -，则直线AC 的倾斜角为 ；直线AB 的倾斜角为 ；直线BC 的倾斜角为 ．(四) 个人收获与问题：知识：方法：我的问题：。

§3.1直线的倾斜角与斜率学习目标1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.学习过程一、课前准备（预习教材P90~ P91，找出疑惑之处）复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※学习探究新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tankα=.试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0oα=时，则k；⑵当090o oα<<时，则k；⑶当90oα=时，则k；⑷当090180oα<<时，则k .新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y12()x x≠的直线的斜率公式：2121y ykx x-=-.探究任务三：1.已知直线上两点1212(,),(,),A a aB b b运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y轴时，或与y轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？※典型例题例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴30οα=；⑵135οα=；⑶60οα=；⑷90οα=变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴0k=；⑵1k=；⑶3k=-；⑷k不存在.例2 求经过两点(2,3),(4,7)A B的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角. ※动手试试练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴(2,3),(1,4)A B -； ⑵(5,0),(4,2)A B -.练2．画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线. 练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C --三点的位置关系，并说明理由.三、总结提升 ※ 学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列叙述中不正确的是（ ）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o或90ο D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α2. 经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（ ）.A ．45οB ．135οC ．90οD ．60ο 3. 过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ).A.1B.4C.1或3D.1或4 4. 直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则α为 角；k 的取值范围 . 5． 已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角2α为________.1. 已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.2. 已知直线l 过2211(2,()),(2,())A t B t t t-+-两点，求此直线的斜率和倾斜角.§ 3.2两直线平行与垂直的判定1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系； 2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．一、课前准备：（预习教材P 95~ P 98，找出疑惑之处） 复习1：1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为 ；已知直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠，则直线的斜率为 .2.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为 .3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值分别为 .4．已知12,l l 的斜率都不存在且12,l l 不重合，则两直线的位置关系 . 5．已知一直线经过两点(,2),(,21)A m B m m --，且直线的倾斜角为60ο，则m = . 复习2：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?二、新课导学： ※ 学习探究问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ，两直线位置关系是 .(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 ，两直线的位置关系是 .问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k .⑴两条直线平行的情形．如果21//l l ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？ 新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立． ⑵两条直线垂直的情形.如果12l l ⊥，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =- ※ 典型例题例1 已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论. 例2 已知(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 的坐标，使直线CD AB ⊥，且//CB AD .变式：已知(5,1),(1,1),(2,3)A B C -，试判断三角形ABC 的形状.※ 动手试试练1. 试确定m 的值，使过点(,1),(1,)A m B m -的直线与过点(1,2),(5,0)P Q -的直线 ⑴平行； ⑵垂直练2. 已知点(3,4)A ，在坐标轴上有一点B ，若2AB k =，求B 点的坐标.三、总结提升：※ 学习小结：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合. 2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或0k =且l 的斜率不存在.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）. A ．若12l l ⊥，则121k k =-B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行2. 过点(1,2)A 和点(3,2)B -的直线与直线1y =的位置关系是（ ）.A ．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 3. 经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直，则m 值为（ ）.A ．75-B ．75C ．145-D ．1454. 已知三点(,2),(5,1),(4,2)A a B C a -在同一直线上，则a 的值为 .5． 顺次连结(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --，所组成的图形是 .1. 若已知直线1l 上的点满足260ax y ++=，直线2l 上的点满足2(1)10(1)x a y a a +-+-=≠，试求a为何值时，⑴12//l l ；⑵12l l ⊥.2． 已知定点(1,3),(4,2)A B -，以,A B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标.§ 3.2.1直线的点斜式方程1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.一、课前准备：（预习教材P 101~ P 104，找出疑惑之处）复习1．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ，则 ；如果12l l ⊥，则 . 2．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为 .3．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标.4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?二、新课导学： ※ 学习探究问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新知1：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题3：⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 .⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 问题4：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程.新知2：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距（intercept ）.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标. 问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.※ 典型例题例1 直线过点(1,2)-，且倾斜角为135ο，求直线l 的点斜式和斜截式方程，并画出直线l .变式：⑴直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程 ；⑵直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程 ； ⑶直线过点(1,2)-，且过原点的直线方程 . 例2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形： ⑴，在y 轴上的距截是－2； ⑵ 斜角是0135，在y 轴上的距截是0变式：已知直线的方程3260x y +-=，求直线的斜率及纵截距.※ 动手试试练1. 求经过点(1,2)，且与直线23y x =-平行的直线方程.练2. 求直线48y x =+与坐标轴所围成的三角形的面积.三、总结提升： ※ 学习小结1.直线的方程：⑴点斜式00()y y k x x -=-；⑵斜截式y kx b =+；这两个公式都只能在斜率存在的前提下才能使用.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 过点(4,2)-，倾斜角为135ο的直线方程是（ ）.A20y ++-=B360y +++=C．40x -=D．40x += 2. 已知直线的方程是21y x +=--，则（ ）. A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1- B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1 C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1-D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1-3. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（ ）.A ．(0,0)B ．（3，1）C ．(1,3)D ．(1,3)-- 4. 直线l的倾斜角比直线12y =+的倾斜角大45ο，且直线l 的纵截距为3，则直线的方程 . 5. 已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程 .1. 已知三角形的三个顶点(2,2),(3,2),(3,0)A B C -，求这个三角形的三边所在的直线方程.2. 直线l 过点(2,3)P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.§ 3.2.2直线的两点式方程1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围； 2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.一、课前准备：（预习教材P 105~ P 106，找出疑惑之处）复习1：直线过点(2,3)-，斜率是1，则直线方程为 ；直线的倾斜角为60ο，纵截距为3-，则直线方程为 . 2．与直线21y x =+垂直且过点(1,2)的直线方程为 .3．方程()331--=+x y 表示过点______，斜率是______，倾斜角是______，在y 轴上的截距是______的直线.4．已知直线l 经过两点12(1,2),(3,5)P P ,求直线l 的方程.二、新课导学： ※ 学习探究新知1：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）. 问题1：哪些直线不能用两点式表示？例 已知直线过(1,0),(0,2)A B -，求直线的方程并画出图象.新知2：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程1=+bya x 叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.问题3：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？问题4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？※ 典型例题例1 求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程. ⑴(2,1),(0,3)A B -； ⑵(4,5),(0,0)A B --.例2 已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3)A B --，(0,2)C ，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.※ 动手试试练1.求出下列直线的方程，并画出图形. ⑴ 倾斜角为045，在y 轴上的截距为0； ⑵ 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为6；⑶ 在x 轴上截距是－3，与y 轴平行； ⑷ 在y 轴上的截距是4，与x 轴平行.三、总结提升： ※ 学习小结1．直线方程的各种形式总结为如下表格：2． 中点坐标公式:已知1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 直线l 过点(1,1),(2,5)--两点，点(1002,)b 在l 上，则b 的值为（ ）.A ．2003B ．2004C ．2005D ．2006 2. 若直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件( )A. ,,A B C 同号B. 0,0AC BC <<4. 在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为3-的直线方程 .5. 直线21y x =-关于x 轴对称的直线方程 ，关于y 轴对称的直线方程 关于原点对称的方程 .1. 过点P (2，1）作直线l 交,x y 正半轴于AB 两点，当||||PA PB ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.2. 已知一直线被两直线1:460l x y ++=，2l ：3x 560y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.§ 3.2.3直线的一般式方程1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.一、课前准备：（预习教材P 107~ P 109，找出疑惑之处）复习1：⑴已知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程 . ⑵在x 轴上截距为1-，在y 轴上的截距为3的直线方程 . ⑶已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线方程是 . 复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程表示吗？二、新课导学： ※ 学习探究新知：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form ）．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线 问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4：在方程0Ax By C ++=中，,,A B C 为何值时，方程表示的直线⑴平行于x 轴；⑵平行于y 轴；⑶与x 轴重合；⑷与y 重合.※ 典型例题例1 已知直线经过点(6,4)A -，斜率为12，求直线的点斜式和一般式方程.例2 把直线l 的一般式方程260x y -+=化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.变式：求下列直线的斜率和在y 轴上的截距，并画出图形⑴350x y +-=；⑵145x y-=；⑶20x y +=；⑷7640x y -+=；⑸270y -=.※ 动手试试练1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴ 斜率是12-，经过点(8,2)A -；⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴；⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-；⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --. 练2.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线PA的方程为10x y -+=，求直线PB 的方程三、总结提升：※ 学习小结 1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：0Ax By C ++=（A 、B 不全为0）；2．点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C +=学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.A ．360x y ++=B ．320x y -+=C ．360x y +-=D ．320x y --= 2. 若方程0Ax By C ++=表示一条直线，则（ ）. A ．1A ≠ B ．0B ≠ C ．0AB ≠ D ．220A B +≠ 3. 已知直线1l 和2l 的夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程为（ ）.A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+= 4. 直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a b += .5. 直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y +20-=平行，则m = .课后作业1. 菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.2．光线由点(1,4)A -射出，在直线:2360l x y +-=上进行反射，已知反射光线过点62(3,)13B ，求反射光线所在直线的方程. § 3.1两条直线的交点坐标学习目标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.学习过程一、课前准备：（预习教材P 112~ P 114，找出疑惑之处）1．经过点(1,2)A -，且与直线210x y +-+垂直的直线 . 2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学： ※ 学习探究问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？※ 典型例题例1 求下列两直线1:3420l x y +-=，2:22l x y ++0=的交点坐标.变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=； ⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=. 例2 求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程. 变式：求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程. 例3 已知两点(2,1),(4,3)A B -，求经过两直线2310x y -+=和3210x y +-=的交点和线段AB 中点的直线l 的方程.※ 动手试试练1. 求直线20x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程.练2. 已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=，直线2l 的方程为2340x y -+=，若12,l l 的交点在y 轴上，求C 的值.三、总结提升： ※ 学习小结1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（ ）.A ．13(,)24B ．13(,)24-C ．13(,)24--D ．13(,)24-2. 两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（ ）.A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．与n 的值有关 3. 与直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线方程是（ ）.A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2380x y ++= 4. 光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程 .5. 已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标 .1. 直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限，求m 的取值范围.2. 已知a 为实数，两直线1l ：10ax y ++=，2l ：0x y a +-=相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.§ 3.3.2两点间的距离1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.一、课前准备：（预习教材P 115~ P 116，找出疑惑之处）1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 .2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= .3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点?二、新课导学： ※ 学习探究问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？ 问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则22122121()()PP x x y y =-+-.特殊地：(,)P x y 与原点的距离为22OP x y =+.※ 典型例题例1 已知点(8,10),(4,4)A B -求线段AB 的长及中点坐标.变式：已知点(1,2),(2,7)A B -，在x 轴上求一点，使PA PB =,并求PA 的值.例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.※ 动手试试练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，求证：ABC ∆是等腰三角形.练2.已知点(4,12)A ，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，求点P 的坐标.三、总结提升： ※ 学习小结1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 两点(1,3),(2,5)A B -之间的距离为（ ）. A ．23 B ．13 C ．11 D ．32. 以点(3,0),(3,2),(1,2)A B C ---为顶点的三角形是（ ）三角形.A ．等腰B ．等边C ．直角D ．以上都不是 3. 直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值（ ）.A ．2-B ．2C ．1D ．1-4. 已知点(1,2),(2,7)A B -，在x 轴上存在一点P ，使PA PB =，则PA = .5. 光线从点M (－2，3）射到x 轴上一点P (1，0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线的方程 .课后作业1. 经过直线23y x =+和320x y -+=3的交点，且垂直于第一条直线.2. 已知a 为实数，两直线1l ：01=++y ax ，2l ：0=-+a y x 相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.§ 3.3点到直线的距离及两平行线距离学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题一、课前准备：（预习教材P 117~ P 119，找出疑惑之处）复习1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为 ，AB 间的长度为 .复习2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l的距离呢?二、新课导学：※ 学习探究新知1：已知点00(,)P x y0=，则点P 到直线l 的距离为：d =.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢并画出图形来. 例 分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y --0=的距离.问题3：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y +10-=的距离.新知2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为d =注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.※ 典型例题例1 已知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，求三角形ABC 的面积.例2 求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：46x y +10-=的距离.※ 动手试试练1. 求过点(1,2)A -，的直线方程.练2．求与直线:51260l x y -+=平行且到l 的距离为2的直线方程. 三、总结提升：※ 学习小结1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1． 求点(5,7)P -到直线12530x y +-=的距离（ ）A ．1B ．0C ．1413D ．28132. 过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）.A.250x y +-=B.240x y +-=C.370x y +-=D.350x y +-= 3. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）. A ．0x y -= B ．0x y += C ．0x y -= D ．0x y -= 4. 两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离5. 在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有 条.1．已知正方形的中心为(1,0)G -，一边所在直线的方程为350x y +-=，求其他三边所在的直线方程. 2．,A B 两个厂距一条河分别为400m 和100m ，,A B 两厂之间距离500m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供,A B 两厂用水，要使提水站到,A B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？ § 3.3.3章未复习提高1． 掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式； 2． 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用；3． 掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用.一、课前准备： 复习知识点：一．直线的倾斜角与斜率1．倾斜角的定义 ， 倾斜角α的范围 ， 斜率公式k = ，或 . 二．直线的方程1． 点斜式：00()y y k x x -=- 2． 斜截式：y kx b =+ 3． 两点式：112121y y x x y y x x --=-- 4． 截距式：1x ya b+=5． 一般式：0Ax By C ++=三．两直线的位置关系 1． 两直线平行2． 两直线相交.⑴两直线垂直，⑵两直线相交 3． 两直线重合 四．距离1． 两点之间的距离公式 ， 2． 点线之间的距离公式 ， 3． 两平行直线之间的距离公式 .二、新课导学： ※ 典例分析例1 如图菱形ABCD 的60O BAD ∠=，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.例2 已知在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ， 60,45O O A B ∠=∠=.求⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例3 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 例4 已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例5 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.※ 动手试试练1. 设直线l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求m 的值. ⑴l 在x 轴上的截距为2-；⑵斜率为1-.练2．已知直线l经过点(2,2)-且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．三、总结提升：※学习小结1．理解直线的倾斜角和斜率的要领，掌握过两点的斜率公式；掌握由一点和斜率写出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2．掌握两条直线平行和垂直的条件，点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两直线的位置关系.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 点(3,9)关于直线3100x y+-=对称的点的坐标是（）.A．(1,3)-- B.(17,9)-C．(1,3)- D．(17,9)-2．方程(1)210()a x y a a R--++=∈所表示的直线（）.A．恒过定点(2,3)- B．恒过定点(2,3) C．恒过点(2,3)-和(2,3) D．都是平行直线3．已知点(3,)m到直线40x+-=的距离等于1，则m=（）.A．．D4．已知(3,)P a在过(2,1)M-和(3,4)N-的直线上，则a= .5．将直线2)y x=-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o，所得的直线方程是.1．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y+--=+-a-=.⑴若12//l l，试求a的值；⑵若12l l⊥，试求a的值2．两平行直线12,l l分别过点1(1,0)P和(0,5)P，⑴若1l与2l的距离为5，求两直线的方程；⑵设1l与2l之间的距离是d，求d的取值范围.。