高考冲刺 三角函数的概念图像与性质(提高)

高考冲刺 三角函数的概念图象和性质编稿：孙永钊 审稿：张林娟【高考展望】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。

当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。

从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测今年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【知识升华】 方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。

诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法： （1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域； （2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性 5. 三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；sin y x =的对称轴是2x k ππ=+()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2k ππ+()k Z ∈tan y x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈ 注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0ω>.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式． ⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω=-. （三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩s i n y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 【典型例题】类型一、三角函数的概念【例1】在平面直角坐标系xOy 中，将点A (1绕原点O 顺时针旋转90°到点B ，那么点B 的坐标为________；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为________．【思路点拨】根据三角函数的定义求出点B 的坐标，进而求出角α，可求sin 2α. 【答案】1)－2【解析】如图所示，∵点A 的坐标为1)，∴∠AOx ＝60°，又∠AOB ＝90°，∴∠BOx ＝30°， 过B 作BC ⊥x 轴于C ， ∵OB ＝2，∴OCBC ＝1， ∴点B 的坐标为1)，则直线OB 的倾斜角为56π，即α＝56π，∴sin 2α＝sin 53π＝－sin23π【总结升华】三角函数的定义与诱导公式的应用(1)三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定义求三角函数值有时反而更简单．(2)应用诱导公式化简三角函数式，要注意正确地选择公式，注意公式的应用条件． 举一反三：【变式】在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为 A.5(,)(,)424ππππ⋃ B.(,)4ππ C.5(,)44ππ D. 53(,)(,)442ππππ⋃ 答案 C【解析】在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin x ＞cos x ，则x ∈5(,)44ππ.【例2】已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值。

【思路点拨】本题求α的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角α的终边上任意一点P （4t,-3t ）(t ≠0)，求出r ，由定义得出结论。

【解析】∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点 P （4t,-3t ）(t ≠0)，则x=4t,y=-3t.,当t>0时，r=5t,sin α=y r =3355t t-=-,44cos 55x t r t α===，33tan 44y t x t α-===-； 当t<0时，r=-5t ，sin α=y r =3355t t -=-，44cos 55x t r t α===--，33tan 44y t x t α-===-。

综上可知，sin α= 35-，4cos 5α=，3tan 4α=-；或sin α= 35,4cos 5α=-,3tan 4α=-.【总结升华】已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。

若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。

举一反三： 【变式】-sin ,cos tan 4p m =+θθθθ已知角的终边上的一点（）且求的值。

类型二、同角三角函数基本关系B 、例 3.（2016春 衡水期中）已知0<α<2π,若cosα-sinα=，试求：2sin cos cos 11tan αααα-+-的值。

【总结升华】（1）对于sin α+cosα，sin αcos α，sin α-cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求。

转化的公式为(sin α±cos α)2=1±2 sin αcos α;（2）关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tanx 的式子。

【例4】已知一扇形的圆心角是α，所在圆半径是R 。

（1） 若α=600，R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。

（2） 若扇形的周长是一定值C （C>0），当α是多少弧度时，该扇形有最大面积？【思路点拨】（1）利用弧长、面积公式求解；（2）把扇形面积用α表示出来，或用弧长表示出来，然后求sin =0,==0cos +tan =-1cos +tan =- cos +tan =-+ 43m m m m m ±θθθθθθθ由三角函数的定义得所以 或当时，；当；当【解析】出函数的最值。

【解析】（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，020260,10,310(),311011010sin 60,23250().32弓扇R l cm S S S cm παπππ∆===∴==-=⨯⨯-⨯⨯=-（2）方法一：∵扇形周长C=2R+l =2R+φR,∴R=2Cα+ 22222211()22211.422164444扇C S R C C C αααααααα=⋅=+=⋅=⋅≤++++∴当且仅当4αα=，即α=2（α=-2舍去）时，扇形面积有最大值216C 。

方法二：由已知2R+l =C,2(),2111()2224C lR l C C l S Rl l Cl l -∴=<-==⋅⋅=-221()4216C C l =--+∴当2C l -时，2max 16C S =，此时2 2.22C l C RC α===-∴当α=2弧度时，扇形面积有最大值216C 。