高考冲刺—三角函数概念、图象和性质

第1页 共20页 高考冲刺 三角函数的概念图象和性质

编稿：孙永钊 审稿：张林娟

【高考展望】

近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法

三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。

从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()yAx的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.

预测今年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.

２０１８年第２２期总第４０７期　数理化解题研究　＝　三角函数的图象和性质高考考点题型归类解析　杜红全　（甘肃省康县教育局教研室７４６５００）　摘　要：三角函数的图象和性质是高考重点考查的内容之一，通过三角函数的图象和性质高考考点题型　归类解析，让学生清楚此部分高考题目的形式和难度，为高三备考起到抛砖引玉的作用．　关键词：三角函数；图象；性质；高考题；归类　中图分类号：Ｇ６３２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—０３３３（２０１８）２２—００１１—０３　三角函数是高中数学的重要知识，也是高考重点考　查的内容之一，而三角函数的图象和性质是高考的热点，　题型既有选择题、填空题，又有解答题，多数是中低档题．　纵观近几年的高考题，发现其考点题型有以下几个方面，　供参考．　一、最值或值域　例１　（２０１７全国ＩＩ，理１４）函数，（　）＝ｓｉｎ　＋　ｃ。ｓ　一　３（　∈［０，詈】）的最大值是——．　解析　）＝ｓｉｎ　＋　ｃｏｓ　一÷＝１一ｃｏｓ　＋　ｃｏｓ　一÷＝一Ｃ０￥２￣＋　ｃ。ｓ　＋　１　．令ｃ。ｓ　＝￡，因为　∈　【０，詈】，所以　ｅ［０，１］，所以，（　）＝一　＋　ｔ＋÷＝　一ｔ－　）‘＋１．当　：孚时　（ｔ）　＝１．故填１．　点评本题考查了三角函数的基本关系、二次函数　在闭区间上的最值问题、三角函数的性质，考查了转化的　数学思想、数形结合的数学思想．解本题的关键是把原解　析式化为关于ＣＯＳＸ的二次函数的形式，然后用配方法求　解．有些题需把原解析式变形为Ｙ＝Ａｓｉｎ（　＋　）的形式　后求最值或值域．多数情况下需要用配方法或三角函数　的有界性来求最值或值域．　二、三角函数的奇偶性　例２（２０１３山东，理５）将函数Ｙ＝ｓｉｎ（２ｘ＋　）的　图象沿　轴向左平移詈个单位后，得到一个偶函数的图　象，则　的一个可能取值为（　）　Ａ．　Ｂ．，４ｒｒ　ｃ　０　Ｄ．一詈　解析将函数Ｙ＝ｓｉｎ（２ｘ＋　）的图象沿　轴向左平　移詈个单位，得到函数图象的解析式为ｙ＝　ｓｉｎ［２（　＋詈）＋　］，即ｙ＝ｓｉｎ　２　＋　＋　）．因为它是偶　函数，即函数图象关于ｙ轴对称，所以有寻＋　＝詈十　盯，　∈Ｚ，解得　＝詈＋｜ｊ｝１『，ｋ　Ｚ．当ｋ＝０时，　：詈，故选Ｂ．　点评本题考查了三角函数图象的平移、三角函数　的奇偶性．解答本题的关键是图象平移时函数解析式的　变化以及根据奇偶性列出关于竹的方程．　三、三角函数的周期性　例３（２０１４天津，文８）已知函数，（　）＝√　ｓｉｍｏｘ　＋ＣＯＳ（．Ｏ￣（　＞０），　∈Ｒ，在曲线Ｙ＝／（　）与直线Ｙ＝１的交　点中，若相邻交点距离的最小值为詈，则，（　）的最小正周　期为（　）　Ａ．詈　Ｂ．　Ｃ．订　Ｄ＿２订　解析由辅助角公式易得，（　）＝２ｓｉｎ（呲＋詈）．由　，（　）＝１得ｓｉｎ（　＋詈）＝　１，所以　＋詈＝２　耵＋詈或　收稿日期：２０１８—０３—１Ｏ　作者简介：杜红全（１９６９．９一），男，甘肃省陇南人，中学高级教师，

第三节三角函数的图象与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 R R x|x∈R，且x

≠kπ＋π2，k∈Z

值域 [－1,1] [－1,1] R

周期性 2π 2π π

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单调性  2kπ－π2，2kπ＋ π2为增；

󰀀[ 2kπ ＋π2，2kπ＋3π2为减 [2kπ－π，2kπ]为增；[2kπ，2kπ＋π]为减  kπ－π2，kπ ＋π2为增

对称中心 (kπ，0) kπ＋π2，0 kπ2，0

对称轴 x＝kπ＋π2 x＝kπ

[小题体验]

1．(2019·徐州调研)函数f(x)＝3sinx2＋π6的最小正周期为________． 答案：4π

2．函数y＝－tanx＋π6＋2的定义域为________________．

答案：x x≠kπ＋π3，k∈Z

3．函数y＝sinπ2－x的图象的对称轴是________．

解析：y＝sinπ2－x＝cos x，根据余弦函数的性质可知，y＝sinπ2－x图象的对称轴是x＝kπ，k∈Z.

答案：x＝kπ，k∈Z

4．(2019·苏州调研)若函数f(x)＝sin πx，x∈13，56，则f(x)的值域为________．

解析：函数f(x)＝sin πx，

∵x∈13，56，∴πx∈π3，5π6，∴12≤sin πx≤1.

2018届高考数学知识点汇编（全套）

三角函数的概念、性质和图象

复习要求（以下内容摘自《考纲》）

1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算．

2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义．会求y＝Asin(ωx＋)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式．

3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题．

4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。

5．形如yxyyxycossincossin或 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。

6．同一问题中出现yxyxxxcossin,cossin,cossin，求它们的范围。如求yxyxycossincossin的值域。

7．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。

如已知求,2tanx4coscossin2sin22yyxx的值。

8 正弦定理：）RRCcswinBbAa为三角形外接圆的半径(2sinsin

CBAcbasin:sin:sin::

余弦定理：Aabcbacos2222，…abacbA2cos222

可归纳为表9－1.

表9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例

三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、三角函数线、同角三角函数的关系式与诱导公式，以及两角和与差的三角函数，二倍角，降次公式等。

1. 三角函数的图象与性质和性质

2. 三角函数作为基本初等函数，它必然具备函数的共性；作为个体，它又具有自身的个性特点．例如周期性、弦函数的有界性，再如三角函数的单调性，具有分段单调的特征．通过复习对这些特性必须很好掌握，其中三角函数的周期性是高考中出现频率最高的试题．根据《考纲》的要求，只需要会求经过简单的恒等变形可化为正弦、余弦、正切、余切函数及y＝Asin(ωx＋)等形式的三角函数的周期，不必去研究周期函数的和、差、积、商的函数的周期．