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《微积分Ⅱ》课外练习题一、选择：1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件2. 二元函数定义域是． ( ) B．D．比较大小：． ( )B． C． D．不确定4.微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．15.下列广义积分发散的是． ( )A． B． C． D．6.是级数收敛的条件． ( )A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( )最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对微分方程是微分方程． ( )A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。
记，，，则的大小顺序是． ( )C. D.10. 函数的连续区域是． ( )B.D.1. ． ( )B. C. D.12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D．．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D．．微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．1．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．．设，则 ( )A． B． C． D．．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．18．下列等式正确的是． ( ) A．B．C．D．19．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( )A．B．C．D．||．． ( )A． B． C． D．22．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．23.下列式子中正确的是． ( )A． B．C． D．以上都不对24. 二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．25.二元函数在点的某一邻域内有连续的偏导数是函数在点的．( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件26.设，则． ( )A． B． C． D．. ． ( )A． B． C． D．. = 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．29． ． ( )A． B． C． D．30． 则=． ( )A． B． C． D．31．函数的连续区域是． ( )A． B．C． D．32． ． ( )A． B． C． D．33．差分方程的阶数为． ( )A. B. C. D.34．微分方程的阶数是 ( )A． B． C． D．35．函数的定义域是． ( )A． B．C． D．36．级数的部分数列有界是该级数收敛的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件37． ，其中积分区域D为区域． ( )A. B. C. D.38．微分方程的阶是． ( )A．一阶 B． 二阶 C．三阶 D．以上均不对 39．． ( )A． B． C． D．40．二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．以上都不对41．设，则 ( )A． B． C． D．42．下列式子中正确的是． ( )A． B． C． D．以上都不对43．， ( )A. B. C. D.44.微分方程是． ( )A．一阶线性非齐次微分方程 B．一阶齐次微分方程C．可分离变量的微分方程 D．不可分离变量的微分方程45. 设是第二象限内的一个有界闭区域，而且。
微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________. 2、设，则________________. 3、广义积分的敛散性为_____________. 4、____________ . 5、若 . 6、微分方程的通解是____. 7、级数的敛散性为 . 8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________. 9、交换的积分次序= . 10、微分方程的阶数为_____阶. 二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A, B, C, D，0 4、若A, B, C, D, 5、=（）A, 0 B, 1 C, 2 D, 三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2. 求，其中D是由，x=1和x轴围成的区域。
3. 已知z=f(x,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性. 四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：1. 求由和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2. 已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总1/ 14预算为*****元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1, 2，3，发散4，0 5，6，y=cx 7，收敛8，R(x)=x3+1000x 9，10，2 二、单选题（每小题3分，共15分）1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。
(交错法不行就用比较法) （8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200x+400y-*****=0 （2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230. （9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。
微积分II_江西财经大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.若【图片】且积分区域【图片】关于【图片】轴对称则【图片】参考答案:错误2.一、设F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数，则（）也是f(x)的一个原函数。
参考答案:C+F(x)3.设D是第II象限内的一个有界闭区域，且【图片】记【图片】【图片】则【图片】参考答案:正确4.【图片】，则【图片】参考答案:ln25.微分方程【图片】是（）。
参考答案:可分离变量的微分方程6.若【图片】【图片】且【图片】则【图片】参考答案:错误7.若已知【图片】则【图片】的值不能确定参考答案:错误8.若D是由两坐标轴与直线【图片】围成的三角形区域,且【图片】则【图片】参考答案:正确9.在过点p(1,3,6)的所有平面中, 存在一平面与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求该四面体的最小体积.参考答案:8110.设【图片】，若【图片】，则常数【图片】参考答案:311.设函数【图片】，则点(0,0)是函数z 的( )参考答案:极大且最大值12.设【图片】的一个原函数是【图片】，则常数【图片】参考答案:313.曲线【图片】所围图形的面积为【图片】参考答案:正确14.函数【图片】在闭区间[a,b]上可积是该函数在[a,b]上连续的必要条件参考答案:正确15.若【图片】则【图片】参考答案:正确16.设【图片】则【图片】参考答案:正确17.函数【图片】是方程【图片】的（）。
参考答案:解，但既非通解也非特解18.由于积分是微分逆运算，故有( )参考答案:_19.已知【图片】则【图片】参考答案:错误。
江西财经大学试卷试卷代号：03023 适用对象：2001级课程学时：48 课程名称：微积分I一、 填空题（每小题2分，共14分）[在答题纸上写明各题题号，并写出正确答案]1、 设21)11(++=+x x x f ，则)(x f =______________________.2、当0→x 时，x sin 是x 的___________无穷小。
3、曲线)2sin(2-=x x y 在点（2，0）处的切线斜率为___________________。
4、函数434x x y -=的上凹区间为__________________。
5、 函数32)52(x x y -=的极大值为________________________。
6、 曲线x e y 1=的垂直渐近线为_______________________。
7、 已知某产品的需求函数为Q=50-5P ，则P=6时的需求弹性为___________。
（P 为价格，Q 为需求量）二、 单项选择题（每小题3分，共15分）[在答题纸上写明各题题号，并写出正确答案]1、 设)(x f 与)(x g 都是无界函数，则________。
A 、)()(x g x f +必是无界函数B 、)()(x g x f -必是无界函数C 、)()(x g x f ⋅必是无界函数D 、)()(22x g x f +必是无界函数 2、 若)0(),0(00+-x f x f 均存在，则必有_______。
A 、)(lim 0x f x x →存在 B 、)(lim 0x f x x →不存在 C 、)(lim 0x f x x →可能存在，也可能不存在 D 、以上都不对3、 若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=000cos 1)(x x x x x f ，则)0('f =______。
A 、0 B 、—2 C 、2 D 、44、 点（0，0）是曲线_________的拐点。
《微积分》第二章测试题1。
【导数的概念】已知()23f '=，求()()22lim h f h f h h→+--解()()()()()()()00222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---⎛⎫'=+== ⎪-⎝⎭2. 设函数cos ln xy x e a -=++，求dydx解sin xdy x e dx-=-- 3.设函数y e=，求dy dx解dydx111e e x =⋅⋅=+4. 设函数2sin cos 2y x x =，求dy dx ，0x dy dx=解()22224sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=-()()3222sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx=-=-=-，0x dy dx ==5. 【函数的微分,记得加dx 】设函数2sin 2xy x =，求dy 解24332cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x---==∴= 6。
【高阶导数】设函数11y x =-，求n n d y dx解()()()()()()()231234123!11,21,3!1,,1n nn n dyd y d y d y n x x x x dxdx dxdx x ----+'=-=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2sin 20xy y -=确定,求dydx解 等式两边同时对x 求导222sin 20,y xyy y y ''+-=则()2222sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '====---8.求曲线y =在点()4,2处的切线方程解41142x y y x=''===切线方程为114y x =+ 9。
江西财经大学08－09第一学期期末考试参考答案与评分标准试卷代码：03023A 授课课时：48 课程名称：微积分Ⅰ 适用对象:2008级一、填空题（3×5=15)1、02、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x x a x -⋅+ 5、3x = 二、单项选择题（3×5=15)1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）220000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822x x x x x x x x e x e x x x e x xe x →→→→----=-=+==分分分四、（8×1=8)()200ln cos 1lim1sin cos lim 112lim (cos )268x x x x x x x xx e e e+→++→→-⋅--===分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。
……1分 因为()20lim (sec )02lim 34x x x x x ax b bx b+--→→=+== 分分f 分所以 0b =5分又因为()()02000lim (sec )00lim 1x x x ax b f a xx x f x-+-→-+→+-'==-'== 所以 1a = ………8分六、（8×1=8）()22112arctan 5121arcsin 6arcsin 8xf x x x x x x dy xdx'=-⋅-⋅++==分分分七、(8×1=8)2222222223042272322(22)(23)(22)(26)()823(23)x y xy y y x y y x yx y y x y x y yy y x y x y ''--+=-'=-''------'''==--分分分八、(8×1=8） （1）定义域为 (),-∞+∞；(2)2133143343121213333y x x x y x x x ---'=-+''=+=分分令0y ''=得112x =-,又20x =为y ''不存在的点4分(3）列表：8分九、经济应用题(10×1=10)()()()()()()()121200220,62546250L Q R Q C Q Q L Q L Q Q L =-=-'=-'==''<、分分625Q =时利润最大,最大利润为()6251250L =………8分()23221000020000210000210p Q p EQ p p EPp EQ EP==-=⋅=-=-2、分十、证明题(6×2=12)1. 设()()F x f x x =- ，则有()F x 在[,]a b 上连续，………2分()()0,()()0,4F a f a a F b f b b =-<=->分根据零值定理可得在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0F ξ=， 即()f ξξ=………6分2。
《微积分II 》练习题一、 填空题1．函数()y x z +=ln 1的定义域是_______________ 。
2．函数(,)f x y =，则定义域为 。
3． 。
4.设(,)(1)arcsin f x y xy y =+-(,1)x f x = _______ 。
5.设222lny x e z x +=，则=)1,1(dz 。
6．函数yx z =在（2，1）点处的全微分为_______________。
7.22()Dxyf x y dxdy +=⎰⎰。
（其中D ：由曲线221y x y ==与所围成）。
8. 改变积分次序210(,)xx dx f x y dy ⎰⎰= _________ 。
9.微分方程'sin cos x y y x e -+=的通解是 。
10.微分方程0=+'y y 满足初始条件10==x y的特解 。
11.计算_________________sin 21231=⎰⎰-dy y dx x12．微分方程02'"=+-y y 的通解是 。
13．差分方程02312=+-++t t t y y y 的通解是 。
14.计算极限.______________________)sin(42lim 00=+-→→xy xy y x二、选择题),(,),( 22=-=-y x f y x yxy x f 则1．极限).(2lim22)0,0(),(=+→yx xyy x（A ）;0 （B ）;1 （C ）;2 （D ）不存在。
2．二元函数z=f(x,y)在点),(00y x 处各偏导数存在是全微分存在的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）无关条件 （D ）充要条件 3.设 f(x,y) 在点（a,b ）处的偏导数存在，则=--+→xb x a f b x a f x ),(),(lim 0（ ）(A) 0 (B) ),2(b a f x ' (C) ),(b a f x ' (D) ),(2b a f x ' 4．若)y , (x f z =在点P （x ，y ）处x z ∂∂，yz ∂∂都存在，则下列结论正确的是（ ）。
江西财经大学02-03学年第一学期期末考试试卷试卷代码：03023 课时：48课程名称：微积分I 适用对象：2002级一、 填空题（2×5=10）1.函数x x y -=1ln arcsin 1的定义域为______. 2.设)0(~cos 12→-x x ax ,则=a ______.3.若2)1(',2)1(-==g g ,则极限12)(lim 31--→x x g x x =________. 4.曲线x x y =在0=x 处的切线方程为_______.5.已知需求函数为P Q 510-=,则1=P EP EQ=_______.二、 单项选择题（2×5=10） 1.=+-∞→n n n n n sin cos lim_______A. 0B. 1C. ∞D.不存在2.值为2的极限是______ A. n n n 2sin lim ∞→ B. x x x arctan lim 0→ C. x x x )11(lim +∞→ D. 88)32()21(2lim +-∞→x x x 3.已知函数)(x f 对一切x 满足1)(')("3-=+-x e x xf x f x ,若)0(0)('00≠=x x f ,则0x 是)(x f 的______A.极大值点B.极小值点C.拐点D.最小值点4. ____式中未知函数C x x f +=arctan )(,C 为任意常数.A. )(x df xdx =B. )(112x df dx x =+C. )(2x df dx xe x =D. )(tan x df xdx =5.函数x x y ln 2+=的上凸区间为_____ A. )21,(--∞ B.),21(+∞ C. ),(+∞-∞ D. )21,21(- 三、 计算题（6×5=30） 1.求x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→11lim 0 2.求30sin arctan lim x x x x -→3.设)1ln(211222++-+=x x x x y ,求'y .[第1页,共2页]4.设33222-+=x xx y ,求dy .5.设)(x f 在1=x 的某邻域内有连续的导数, 2)1('-=f ,求)(cos lim 0x f dx d x +→. 四、 计算题（8×4=32）1.求⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<=-<+=1110sin 00111sin )(x x x x x x x x f 的间断点,并指出它们的类型.2.设xy e y x -=++)sin(1,求)0,0("y .3.设)0()(≠-++=bc ad d cx b ax x f ,求)()(x f n . 4.求曲线x e y x+=1的全体渐近线. 五、 应用题（8×1=8）设某产品的需求函数为Q P 25.010-=,Q 为需求量, P 为价格（单位：万元），若固定成本为1万元,多生产一个单位产品成本增加5万元,假定产销平衡,求:利润最大时的价格和最大利润.六、 证明题(5×2=10)1.设)(x f 在]1,0[上连续, 0)0(=f ,在)1,0(内可导且0)(>x f ,证明存在)1,0(∈ξ使得)1()1(')(5)('3ξξξξ--=f f f f .[第2页,共2页]。
江西财经大学 02-03学年第一学期期末考试试卷 试卷代码：B 卷 课时：64 课程名称：微积分II 适用对象：选课班一、 填空题（3×5=15）1.已知)(x f 的一个原函数为)1ln(2x x ++，则⎰=dx x xf )('_________ 2.点(4,-3,6)到Z 轴的距离为_________3.当k _______时,⎰-b a k dx a x )(1发散.4. 02'3"=+-y y 的通解为_________.5.幂级数∑∞=12n n n x 的收敛区间为______.二、 单项选择题（3×5=15）1.偏导数),('00y x f x 和),('00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 处连续的_____A.充分条件B.必要条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件2.设⎰⎰⎰---=-==11111122cos ,)1ln (,sin xdx Q dx x x P xdx x N ,则_______ A.Q P N ≤≤ B. P Q N ≤≤ C. N P Q ≤≤ D. Q N P ≤≤ 3.函数π≤≤=x x y 0,sin ,与X 轴围成图形绕X 轴旋转所得旋转体体积为______ A. π2 B. π C.0 D. 24.若正项级数∑∞=1n n u 绝对收敛,则级数∑∞=1n n n u _____A.发散B.收敛C.不能确定D.以上均不对5.已知y xy Z )1(+=,则)2,1('x Z 的值为____.A.2B. 3C.6D. 12 [第1页,共2页]三、 计算题（3×6=18）1.已知⎰⎰=πππ00)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,求⎰+π02cos 1sin dx x x x .2.设)arctan(x y Z =,且x e y =,求dx dZ. 3.计算⎰⎰D dxdy xy 2,D 是由px y 22=和直线)0(2>=p p x 围成的区域.四、 计算题（4×7=28）1.设zx yz xy u ++=,求全微分du .2.设⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≥=-01cos 110)(x x x xe x f x ,求⎰-41)2(dx x f .3.判定级数∑∞=⋅1322cos n nn n π的敛散性.4.求微分方程0)()(=++-++dy e e dx e e x y x x y x 的通解. 五、 应用题（1×12+1×6=18）1.求由曲线)0(2≥=x x y 与其过点(1,1)的切线以及X 轴所围成图形面积,并求将此图形绕Y 轴旋转所得旋转体体积.2.某工厂生产的两种产品的产量为y x 和.其利润函数为14442326422--+-+=y xy x y x L ,求获得最大利润的两种产品的产量,并求最大利润.六、 证明题(1×6=6)设)(x f 在),(+∞-∞连续,且)()(x f x f -=,若⎰-=x dt t f t x x F 0)()2()(,求证:)()(x F x F =-.。
微积分II 期末模拟试卷1（满分：100分；测试时间：100分钟） 一、填空题（3X5=15）1、幂级数∑∞=-112n n n n x 的收敛区间为__________2、由曲线23x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是____________ 3、改变⎰⎰--21222x x xfdy dx 的积分次序_______________________4、微分方程02=-'+''y y y 的通解=y5、设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于____________ 二、选择题（3X5=15） 6、定积分()dx ex x x⎰-+22的值是（ ）。
（A ） 0 ； （B ） 2 ； （C ） 2e 2+2； （D ） 26e7、一曲线在其上任意一点),(y x 处的切线斜率等于yx2-，这曲线是（ ） (A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆 8、设函数()xy f xyz =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 9、设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点10、设级数10nn na∞==∑，且()11n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1n n a ∞=∑（ ）（A ）收敛 （B ） 发散 （C ）不定 （D ） 与n a 有关 三、计算题（5X10=50）11、计算下列定积分 (1)⎰-2234dx x x ；(2)求抛物线342-+-=x x y 及其在)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积。
一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将题号及答案写在答题纸上。
答案错选或未选者，该题不得分。
每小题3分，共15分）. 1．若),(y x f 在点),(00y x 处偏导数存在， 则下列结论正确的是（ ）．A ．),(y x f 在点),(00y x 处可微B ．),(y x f 在点),(00y x 处连续C ．),(y x f 在点),(00y x 处有定义D ．),(y x f 在点),(00y x 处不可微 2.⎰=+dx x dx d 211（ ）.A ．x arctanB ．c x +arctanC ．c x ++211D ．211x+ 3.设 dx e I x⎰-=11，dx e I x ⎰-=122，则有（ ）.A ．21I I >B ．21I I =C ．21I I <D ．不能确定 4.⎰⎰=13cos yydx xxdy（ ）． A. )1cos 1(sin 2- B. )1cos 1(sin 2+ C.1cos 1- D ．1cos 1+ 5. 下列四个数项级数中绝对收敛的为 ( )．①∑∞=+121sin n n n ②∑∞=-+-111)1(n n n n ③ ∑∞=-+-1211)1(n n n n ④∑∞=-+-113)1(n nn n A ．① ② B ．② ③ C ．③ ④ D ． ④ ①二、填空题（请将下列各小题的正确答案写在答题册上，在答案前标明题号；每小题3分，共15分）. 1.=-⎰dx x211＿＿＿＿.2．⎰+∞-=1dx e x ＿＿＿＿.3.⎰=++40122dx x x ＿＿＿＿.4. 差分方程121=++x x y y 的通解为＿＿＿＿.5. 设函数),(3xyxy f x z =，),(v u f 具有二阶连续偏导数，则=∂∂22y z.三、求隐函数的偏导数（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；8分）.已知函数),(y x f z =由方程0=--+--x y z ze x y z 确定，求dz .四、求不定积分（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；8分）.求dx xx ⎰-22)1(. 五、求面积和体积（请将正确答案写在答题卷上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；8分）.求由x y sin =，0=x 及1=y 所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕x 轴旋转所形成立体的体积.六、求二重积分（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；8分）.求⎰⎰--Dy xd e σ22，其中D 是由122≤+y x 所确定的闭区域．七、解微分方程（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的证明步骤；10分）.求解初值问题⎩⎨⎧='==-'-''==1,03200x x y y xy y y .八、级数问题（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；10分）.求幂级数∑∞=+-0212)1(n nn n x n 的收敛半径，收敛区间. 九、经济应用题（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；10分）.假设市场对两种商品的需求量分别为1Q ,2Q , 且需求函数分别为21128P P Q +-=，2125210P P Q -+=，其中1P ,2P 为两种商品的价格，总成本函数为2123Q Q C +=,问两种商品如何定价可获得最大利润？最大利润是多少？十、证明题（请将下列各小题的正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的证明步骤；8分）.设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. （1） 证明在],[b a 上至少存在一点c ，使得))(()(a b c f dx x f ba-=⎰；（2） 当))((21)(2a b a f dx x f bba -=⎰+时，证明在),(b a 上至少存在一点ξ，使0)(='ξf ..。
江西财经大学05-06学年第二学期期末考试试卷试卷代码：03034A 卷 课时：64课程名称：微积分II 适用对象：2005级一、 填空题(3×5=15分)1．已知)(x f 的一个原函数为x ln ，则=')(x f .2．=⎰dt t x dx d b a )sin (2 .3．=⎰∞+-dx e x 0λλ .4．{}30,20),(≤≤≤≤=y x y x D 时⎰⎰=D xydxdy .5．差分方程013=++∆x x Y Y 的阶数是 .二、单项选择题(3×5=15分)1．⎰=+'dx x f x f )(1)(2 . A ．c x f ++)(1lnB ． c x f ++)](1ln[212C ．()c x f +arctan 21D ．()c x f +arctan .2．函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续是该函数在[]b a ,上可积的 . A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．无关条件. 3．设 222:a y x D ≤+，当=a __⎰⎰=--D dxdy y x a π222时. A ．1 B ．323C ．343D ．321. 4．下列方程中不是微分方程.A ．032=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dyB ．2=+ydx dyC ．x y y sin =+''D ．1cos sin =+x y x e x .5．若级数e n n =∑∞=0!1，则∑∞==+1!13n n n .A ．eB ．e 3C ．14-eD ．e 4.三、(10×1=10分)求⎰++dx x 211 四、(10×1=10分)求dx x x ⎰2022cos π.五、(10×1=10分)求dxdy e D y ⎰⎰2，其中D 由直线1,==y x y 及y 轴所围成.六、(10×1=10分)求微分方程065=+'-''y y y 通解.七、(10×1=10分)判定级数∑∞=+113n n n 的敛散性. 八、(10×1=10分) 求幂级数∑∞=-12)3(n n n x 的收敛区间.九、经济应用题(10×1=10分)已知生产某产品x 百台的边际成本函数和边际收益函数分别为百台）万元（百台）万元/(7)/(313)(x x R x x C -='+='（1）当产量从1百台增加到5百台时，求总成本与总收益的增量.（2）若固定成本1)0(=C （万元），求总成本函数，总收益函数和总利润函数.（3）产量多少时，总利润最大？最大利润为多少？十、(10×1=10分)设()x f y =是第一象限内连接点A （0，1），B （1，0）的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点。
江西财经大学06-07学年第二学期期末考试试卷试卷代码：03034A 授课课时：64 课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2006级试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.若c x g dx x f +=⎰)()(，则=⎰dx x xf )(cos sin .2.极限=⎰→xtdt x x 020cos lim .3.已知xy z =而)tan(t s x +=，)cot(t s y +=则=∂∂sz . 4.设{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D 则=⎰⎰Dxy d xe σ.5.微分方程02=+''y y 的通解为.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1.设⎰=+21xdx .A. c x +arctanB. c x x +++)1ln(2C. c x ++212D. c x ++)1ln(212.2.下列积分值为0的是.A. ⎰+∞+0211dx x B. ⎰-1121dx xC. ⎰-++ππdx x xx)cos 1sin (2 D. ⎰--1121dx x . 3.函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微的充分条件是函数在该点处.A.有极限B.连续C.偏导数存在D.有连续的偏导数. 4. =⎰⎰100),(xdy y x f dx .A. ⎰⎰1010),(dx y x f dyB. ⎰⎰y dx y x f dy 010),( C. ⎰⎰100),(ydx y x f dy D. ⎰⎰101),(ydx y x f dy .5.下列级数收敛的是.A ．∑∞=-+-12123n n n n B. nn nn ∑∞=+1)1(C ． ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n nD. ∑∞=1!n n n n .三、（计算题请写出主要步骤及结果，每小题6分，共18分.） 1. ⎰dx e x x 2 2. ⎰+41)1(x x dx 3.请给出第七章（定积分）的知识小结.四、（请写出主要计算步骤及结果，6分.） 已知方程z x e z xy +=+ 确定函数),(y x z z = 求dz . 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆周122=+y x 围成的区域.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求初值问题的解⎩⎨⎧=+==0)2(0x y dx y x dy 七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求幂级数∑∞=-0)1(n nnnx的收敛半径，收敛区间.并求∑∞=03n nn的和.八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求由2x y =与2y x =所围成的平面图形的面积，并求此平面图形分别绕x 轴，y 轴旋转所成的体积.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）某厂生产某种产品的生产函数为y x Q 2005.0=，若甲、乙两种原料的单价分别为1万元和5万元，现用150万元购原料，求两种原料各购多少时，能使生产量最大？最大生产量为多少？十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且有M x f ≤'(及0)(=a f ，试证：⎰-≥b adxx f b a M )()(22江西财经大学06-07学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准试卷代码：03034A 授课课时：64 课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2006级试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平一、1.c x g +-)(cos 2.1 3.)(csc )tan()cot()(sec 22t s t s t s t s ++-++ 4.2-e 5.x c x c y 2sin 2cos21+=二、1 2 3 4 5三、1. c e xe e x dxe xe e x xde e x dx xe e x de x dx e x xx x x x x x x x x x x ++-=+-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰2222222222222. x t =2t x =⎰⎰⎰=-=+=+-=+=+41212121234ln 221ln 232ln 21ln 2)111(2)1(2)1(t t dt t t t t tdt x x dx四、z x e z xy z y x F +-+=),,(z x x e y F +-= x F y = z x z e F +-=111-+--=---=-=∂∂++z xy zxy y e e y F F x z zx z x Z x 11-+=--=-=∂∂+z xy xex F F y z zx Z y dy z xy xdx z xy z xy y dy y z dx x z dz 11-++-+--=∂∂+∂∂=五、⎰⎰⎰⎰+=++Drdr r d d y x 1022022)1ln()1ln(πθσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+=⎰⎰⎰1022210221022201)1ln()1ln(21dr r r r r dr r d πθπ 1021021022)1ln(2ln )111ln(2ln r r dr r ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰ππππ )12ln 2(2ln 22ln 2ln -=-=+-=ππππππ六、x y y 2=-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰=⎰---c dx xe e y dxdx f )1()1(2 []c dx xe e x x +=⎰-2[][]⎰⎰++-=+-=---c dx e xe e c xde e x x x x x 222x ce x +--=22因为00==x y 所以c =2 所求特解为)1(2--=x e y x 七、111=+==+n na a R n n 当1±=x 时 ∑±n n )1(发散 收敛区间为)1,1(- 设∑∑∞=-∞===010)(n n n nnx x nxx S设∑∞=-=01)(n n nx x T则xx xdx nxdx x T n n x n n x n n x-====∑∑⎰∑⎰∞=∞=∞=-11)(00010 2)1(1)(x x T -=所以2)1()()(x x x xT x S -==31=x 时 439431)311(31)31(320==-==∑∞=S n n n八、31)(102=-=⎰dx x x S ()dx x x V x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10222)(π π103=()ππ103)(10222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰dy y y V y 九、解 )1502(005.0),,(2-++=y x y x y x F λλ 0001.0=+=λxy F x02005.02=+=λx F y ⎩⎨⎧==⇒25100y x01502=-+=y x F λ==25*100*005.02Q 十、b a a x f a f x f x f <<-'=-=ξξ))(()()()(Mx f ≤')()()(a x M x f -≤22)(212)()()(a b M a x M dx a x M dx x f baba b a-=-⋅=-≤⎰⎰dx x f dx x f b ab a⎰⎰≥)()(2)(2)(a b Mdx x f b a-≤⎰dxx f b a M b a⎰-≥)()(22江西财经大学07-08学年第二学期期末考试试卷试卷代码：03034A 授课课时：64 课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2007级试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.已知cos()z xy =，而()y x ϕ=可导,则dz dx=.2.若2()1f x xdx c x x=++⎰,则()f x =. 3p 时，广义积分22111(1)p dx x --⎰发散. 4.若20cos (1),(,)(2)!nnn x x x n ∞==-∈-∞+∞∑,则函数2sin x 的麦克劳林级数等于. 5.微分方程0y ay y '''+-=的通解为12x x y c e c e -=+，则a =.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.设xy z xe =，则'x z .A.xy xyeB.xy e x 2C.xy eD.xy e xy )1(+ . 2=⎰.x c + B. c +c +3x c +.3.下列结论正确的个数是.（1）112300x dx x dx <⎰⎰ （2）22211x e e dx e ---<<⎰（3）cos 0x xdx ππ-=⎰ （4）2221[sin ]2sin x t dt x x '=⎰ A.0 B.1 C.2 D.3. 4.1200(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰ .A. 1100(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dx f x y dy ⎰⎰C. 1100(,)dx f x y dy ⎰⎰D. 100(,)dy f x y dx ⎰⎰.5.微分方程1y y '-=的通解是.A ．x y ce = B. 1x y ce =+ C ．1x y ce =- D. (1)x y c e =+.三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.） 1. arctan x xdx ⎰ 2. 41⎰四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 已知方程sin xy x z yz += 确定函数(,)z f x y =，求dz .五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求2()Dx y d σ-⎰⎰,其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =围成的区域.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求由y =与3y x =所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕x 轴旋转所形成的立体的体积.七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）判断级数n ∞=的敛散性.八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求幂级数1(1)nn n e x n∞=-∑的收敛半径，收敛区间.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 某工厂生产A 、B 两种产品，单位成本分别为2元和14元，需求量分别为1Q 件和2Q 件，价格分别为1P 元和2P 元，且满足关系式1214()Q P P =-，2128048Q P P =+-，试求A 、B 两种产品的价格1P ，2P ，使该厂总利润最大（要求利用极值的充分条件）.十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.） 设)(x f 为连续函数，试证：()()(())x xtf t x t dt f u du dt -=⎰⎰⎰.江西财经大学07-08学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准试卷代码：03034A 授课课时：64 课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2007级试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平一、填空题（每小题3分，共15分）1.sin[()][()()]x x x x x ϕϕϕ'-+2. 21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭3.1p ≥4.()()1212121,(2)!n n n n x x n --∞=-∈-∞+∞∑ 5.0二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1 2 3 4 5三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.）1.2222222221arctan arctan (1211arctan (32211111arctan (5221111arctan arctan 22211(1)arctan (822x xdx xdx x x x dx x x x x dx x x x x x c x x x c ==-++-=-+=-++=+-+⎰⎰⎰⎰分）分）分）分）2.44114141(2(42ln(1(632ln(82===+=⎰⎰⎰分）分）分）分）.四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）sin (1sin cos (4sin (5cos (6cos sin (8cos cos x y z x z y z F xy x z yz F y z F x z F x z y F z y z x F x z yF z x z y F x z y y z x zdz dx dyx z y x z y=+-'''=+=-=-'∂+=-='∂-'∂-=-='∂-+-=+--分），，分）分）分）分）五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 图(1分）222022220222303420()()(31()(5231()(68211()(7881(8yy Dy y x y d dy x y dx x xy dyy y dy y y σ-=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰分）分）分）分）分）六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）图(1分）130341201260)(321()(4345(512](75(814x S x dxx x V x dx ππ=-=-==-=⎰⎰分）分）分）分）分）七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）1(4n =分）由比较判别法的极限形式知级数3121,n n n∞∞==∑敛散性相同，因为3121,n n∞=∑所以0n ∞=收敛。
