8.3等比数列【考纲要求】1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，了解等比数列与指数函数的关系；2. 能熟练应用等比数列的性质解决有关问题；3. 掌握等比数列的前n 项和公式；【考情分析】本节在高考中主要考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式和等比数列性质等，同时考查等差、等比数列的综合应用，方程思想，分类讨论思想，以及整体代换思想；以定义及其等比中项为背景考查等比数列的判定；以填空填的形式考查基本概念，基本公式和基本方法，综合性问题多以解答题形式出现，包括数列内部知识的综合和与其他内容的综合等.【知识回顾】一、 等比数列的定义1.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示.2.数学符号语言：在数列{}n a 中，若1(),n nq n N a q a *+∈=为常数，则{}n a 称这等比数列.二、 等比数列的通项公式1.若已知等比数列的首项为1a ，公比为q ，则11(0)n n a q a q -=≠. 2.若已知等比数列的第m 项m a 和公比q ，则(0)n mn m a qa q -=≠.三、 等比数列的递推公式：1(0)n n a q q a +≠=.四、 等比中项如果,,a G b 成等比数名，那么G 叫做a 与b的等比中项，且0)G ab =>.在等比数列中，从第二项起每一项（有穷数列最后一项除外）都是它前一项与后一项的等比中项，即211(2)n n n a a a n N n *-+=⋅∈≥且.五、 等比数列的公比公式：11n n q a a -=或n mn mqa a -=.六、 等比数列的通项公式的推导方法1. 归纳法：由定义可知：2321321431,,,a q a a a q a q a a q a q =====⋅⋅⋅归纳得：11n n a qa -=2. 迭代法：根据等比数列的定义有：232112321n n n n n n a qa q a q a q a q a -----====⋅⋅⋅==3. 累商法：由递推关系有：3241231,,,,n n a a a a a q q q q a a a -===⋅⋅⋅=累乘得：132121n nn a a a q q q qa a a --⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=即11()n n a qa n N -*=∈七、 等比数列的性质1. 若(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈，则m n p q a a a a ⋅=⋅；若2(,,)m n r m n r N *+=∈，则2m n r a a a ⋅=；2. 在有穷等比数列{}n a 中，与首末两项等距离的两项之积相等，且等于首末两项之积，即122n n a a a a -⋅==⋅⋅⋅3. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，从中每隔m 项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为mq ，即2,,,k k m k m a a a ++⋅⋅⋅成等比数列，公比为mq .4. 若{}n a ，{}n b 是等比数列，则（1）{}(0)n a λλ≠仍是公比为q 的等比数列；（2）1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列；（3）{}kn a 是公比为kq 的等比数列；（4）{lg ||}n a 是公差为lg ||q 的等差数列； （5）{}n n ma b ⋅是公比为qq '的等比数列. 5. 等比数列的单调性（1） 若10,1a q >>或10,01a q <<<时，数列{}n a 为单调增数列； （2） 若10,01a q ><<或10,1a q <>时， 数列{}n a 为单调减数列； （3） 当1q =时，数列{}n a 为常数列；（4） 当0q <时，数列{}n a 为摆动数列，且正负两项交替出现.八、 等比数列前n 项和1.公式：设{}n a 为等比数列，公比为q ，则其前n 项和公式为111(1))(1)(1)11n nn na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩2.推导：等比数列{}n a 前n 项和公式的推导方法——错位相减法（1） 归纲法：由定义知：3321321431,,,a a q a a q a q a a q a q =====⋅⋅⋅ 归纳得：11()n n a a qn N -*=∈（2） 迭代法：2311231n n n n n a a q a q a q a q ----====⋅⋅⋅= （3） 累商法：由递推关系式知3241231,,,,nn a a a a q q q q a a a a -===⋅⋅⋅=累乘得：2a 31a a ⋅2a 4a ⋅3a 1n n a a -⋅⋅⋅1n q q q q q-=⋅⋅⋅⋅⋅=所以1111n n n n a a qa a q--=⇒=九、 等比数列前n 项和的性质1. 等比数列{}n a 的前n 项和n S ,则232,,n n n n n S S S S S --构成等比数列.（当1,q n =-为偶数时，上述性质不成立）证明：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，当1q =时，12131,2,3,n n n S S S na na na ===显然232,,n n n n n S S S S S --成等比数列. 当1q ≠时，2311123(1)(1)(1),,,111nnnn n n S S S a q a q a q qqq ---===---则2112()(1)11nnnnn n S S a q qa q q qq---==--，2321132()(1)11nnnnn n S S a qq a qq qq---==--所以2222122((1))(1)nnn n S S a qq q --=-，2222111322(1)(1)(1)()11(1)nnnnnn nn S S S a q a q q a q q q q q ----=⋅=--- 2322()()n n n n n S S S S S ∴-=- 232,,n n n n n S S S S S ∴--成等比数列.2. 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则(,)nm n n m S S S q m n N *+=+∈. 证明：121m n n n n m S a a a a a +++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+12()n n m S q a a a =+++⋅⋅⋅+ nn m S S q =+3. 在等比数列{}n a 中，公比为q ，项数为2n ，若用,S S 奇偶分别表示奇数项与偶数项的和，则有S S q =偶奇.十、 等比数列与函数1. 通项公式与函数的关系等比数列{}n a 的通项11n n a a q -=还可以改写成1()nn a a q q=⋅.当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，所以n a 可以看成一个非零常数与指数函数的积，因此，等比数列的通项公式n a 是关于n 的函数，其各点(,)n n a 是函数1()nn a a q q=⋅上一群孤立的点.2. 前n 项和与函数的关系等比数列{}n a 的前n 项和1(1)1nn S a q q -=-可以改写成1111nnn S a a q mq m q q=-+=-+--.则n S 可以看成由一个指数式与一个常数的和，且指数式的系数与常数互为相反数，由此又可得到判定一个数列是等比数列的一种方法，公比1q ≠的等比数列是(0,1,0)n n S mq m m q q =-+≠≠≠的充要条件.十一、 判断等比数列的常用方法1.利用定义：1n n a a q -=（q 是常数且0q ≠）⇔{}n a 为等比数列.2.等比中项法：211(20)n n n n a a a n a -+=⋅≥≠且⇔{}n a 为等比数列.3.通项公式法：11n n a a q -=（,a q 均不为0的常数）⇔{}n a 为等比数列.4.前n 项和：(0,1,0)n n S mq m m q q =-+≠≠≠⇔{}n a 为等比数列.。
等⽐数列性质一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ¹，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q-=×，也可以为：n mn m a a q-=×3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=Þ=（2）若{}n a 为等比数列，则n N *"Î，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+Û=4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na =当1q ¹时，则()111n n a q S q-=-可变形为：()1111111n n n a q a a S q qq q -==----，设11ak q =-，可得：n n S k q k=×-5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有①数列{}n ka （k 为常数）为等比数列②数列{}na l （l 为常数）为等比数列，特别的，当1l =-时，即1n a ìüíýîþ为等比数列③数列{}n n a b 为等比数列④数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++L L ，则有：()()212212k m n mm m m k mkn n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++L L L L 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-L L 2122332,k k k k k a a a S S +++++=-L L ，则232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=Î（2）通项公式：n n a k q =×（指数类函数）（3）前n 项和公式：n n S kq k=-注：若()n n S kq m m k =-¹，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *"Î，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ìüíýîþ前n 项和n T 的关系()111n n a q S q-=-，因为1n a ìüíýîþ是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n n n n q a q q q T q a q q a q q-éùæö--êúç÷èøêú-ëû===---×()()1112111111n n n n n n a q a q q S a q T qq ----=×=--例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q ==答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（）A.64 B.64- C.8 D.8-思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==-×=-思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =-答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
（经典）讲义：等比数列及其前n项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1·q n－1.Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，同乘q得：qS n＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1q n，两式相减得(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1?1－q n?1－q(q≠1)．7.1由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.7.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．8.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{a n}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．632++若已“知三求二”.1.,成公比为的公比为q,成等比数列理解例题1:在等比数列中， （1）已知13,2,a q ==求66,a S ；（2）已知1112.7,,,390n a q a =-=-=求n ；（3）已知141,64,a a =-=求q 和4S ；（4）已知3339,22a S ==求1,a q ；分析:在等比数列中有五个重要量1,,,,,n n a a q n S 只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中1a 和q 两个最重要的量,通常要先求出1a 和q . 解:(1)55613296a a q ==⋅=.66161S =(2)n a (3) (4) a S ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ （2 2∴ 当知识体验:已知等比数列的五个量1,,,,n n a a q n S 中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前n 项和公式.理解例题分析: 解法一: 2m m S S ⎧=⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩解法二: ②可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解.三、 例题（一） 题型分类全析1．等比数列前n 项和公式的基本运算例1：在等比数列的{}n a 中:31648,216,40,n a a a a S -=-==求公比q ,1a 及n . 思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n .本题有关等比数列前n 项和的基本运算的考查.解:由已知可得 总结：在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例2 已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和n S ,若3692S S S +=,求该数列的公比q .思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n . 解: 若1q =,则1n S na =,36111369S S a a a ∴+=+=,91218S a =,此时3692S S S +≠∴96320q q q --=,即63210q q --=,即33 故2笔记不明确,转化为关于1,a q 的方程组求解. 本题考查了等比数列前n 项和公式的运用和分类讨论的思想.因不知q 的2例3思路直现:解: {n a2,S S ∴故4S 4,S ∴笔记：次k 项和,成等比数列来解决3,n n S S ,例4 首项为1的等比数列的和为思路: 解： q ∴=故8n =阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较低.增根. 本题考查了等比数列的性质. 注意S qS =偶奇这个性质是在项数为偶数这一前提下成立的. 建议：巧用特例，熟记等差等比数列奇偶项的一些性质.3．某些特殊数列的求和例5: (1)已知数列{}n a 的通项公式2n n a n =+，求该数列的前n 项和n S ； (2)已知数列{}n a 的通项公式23n n n a =+，求该数列的前n 项和n S . 解:(1)123n n S a a a a =++++ (2)笔记:例6思路:解：n S 笔记:的前n 考查数列的分组求和问题.例7:（2007天津）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n N *∈皆成立．思路直现: (1)由递推关系式构造出数列n a n -,并证明其是等比数列. (2)利用分组求和法求出{}n a 的前n 项和. (3)考虑用作差法证明. (Ⅰ)证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n N *∈．本小题考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明 利用递推关所以数列{}n a n -是首项为111a -=，且公比为4的等比数列． (Ⅱ)解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=， 14n n a n -∴=+．(Ⅲ)证明：对任意的n N *∈，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n N *∈皆成立．笔记: 本题实际上第一步的证明起到一个提示的作用,即应从递推关系出发构造出n a n -的形式,并证明其为等比数列.例8: （3414n n n n a a b a --⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（I ）令n c （II 思路:(1) （II 阅题: 解答本题的方法,应整体考虑.系式证明数列成等比. 利用分组求和法求和 利用作差比较法证明不等式. 建议：学会解题的技巧，有时候题目的四、习题一、选择题1.（2008福建) 设{}n a 是公比为正数的等比数列，若151,16a a ==,则数列{}n a 前7项的和为A.63B.64C.127D.128 2.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则12231n n a a a a a a ++++=A.16(14)n --B.16(12)n --C.32(14)3n --D.32(12)3n --3.（2008海南）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = A. 2B. 4C.152 D. 1724．(2007陕西) 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32,14n n S S == 则4n S 等于A.80B.30C. 26D.16 5．（2006辽宁） 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A.122n +- B. 3n C. 2n D.31n -6.数列11111,2,3,4,24816的前n 项和为（ ）211n 111n -211n 11n 7.2n ++=B.112n --8.9 15n 712-2. C. 分析：{}n a 为等比数列，352a a q ∴=，311242q q ∴=⋅⇒=设1n n n b a a +=，{}n b ∴是首项为8，公比为14的等比数列.122311218[1()]324(14)1314n n n n na a a a a ab b b -+-+++=+++==--，3. C 分析: 414421(1)1215122a q S qa a q ---===-4. B 分析: {}n a 为等比数列，23243,,,n n n n n n n S S S S S S S ∴---成等比2322()()n n n nnS S S S S -=-即22222(14)(2)6n n n S S S -=-⇒=或24n S =-{}n a 各项均为正数，故2n n S S >，故26n S =，432,4,8,n n S S ∴-成等比，所以4316n n S S -=，430n S ∴=5. D 分析: 解：依题意，()f n 为首项为2，公比为328=的前4n +项和，根据等比数列的求和公式可得D6.C 分析：因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则2212112221(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++++++++=++⇒+=++⇒+=2(12)01n a q q q ⇒+-=⇒=，即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。
