等比数列的定义

等比数列的判定方法

一、 定义法：1nnaqa〔0naq，不是为0的常数，nN〕na是等比数列

例1 数列na的前n项和为nS，11a，12(123)nnnaSnn，，，…，证明：数列nSn是等比数列．

证明：因为11nnnaSS，又12nnnaSn，所以1(2)()nnnnSnSS．

整理，得12(1)nnnSnS，所以121nnSSnn∶．

故数列nSn是等比数列．

二、 通项公式法：nnacq〔cq，均是不为0的常数，nN〕na是等比数列

例2 数列lgna是一个等差数列，第p项等于q，第q项等于()ppq，试判断数列na是否为等比数列，假设是，写出其通项公式．

解：由题意有11lg(1)lg(1)apdqaqdp，，解得11lg1dapq，，

所以1lglg(1)naandpqn．

解得1101010npqnpqna·．所以1110nnaa．

所以数列na是等比数列，通项10pqnna．

三、 等比中项法：212nnnaaa·12(0)nnnnaaanaN，，，是等比数列

例3 在数列na中，123aaa，，成等差数列，234aaa，，成等比数列，345aaa，，的倒数成等差数列，证明：135aaa，，成等比数列．

证明：由，有2132aaa， ①

2324aaa·， ② 435211aaa， ③

由③得354352aaaaa·，所以354352aaaaa·． ④

由①得1322aaa．

将④， ⑤代入②，得2133533522aaaaaaa··．

等比数列知识点总结

1、等比数列的定义：,称为公比

2、通项公式：,首项：；公比：推广：

3、等比中项：〔1〕如果成等比数列,那么叫做与的等差中 项,即：或注意：同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比 中项有两个〔两个等比中项互为相反数〕〔2〕数列是等比数列

4、等比数列的前项和公式：〔1〕当时,〔2〕当时,〔为常 数〕

5、等比数列的判定方法：〔1〕用定义：对任意的,都有为 等比数列〔2〕等比中项：为等比数列〔3〕通项公式：为等比数 列

6、等比数列的证实方法：依据定义：假设或为等比数列

7、等比数列的性质：〔1〕当时①等比数列通项公式是关于 的带有系数的类指数函数,底数为公比；②前项和,系数和常数 项是互为相反数的类指数函数,底数为公比.〔2〕对任何,在等 比数列中,有,特别的,当时,便得到等比数列的通项公式.因 此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.〔3〕假设,贝L 特别的,当时,得注：〔4〕数列,为等比数列,那么数 列,,,,〔为非零常数〕均为等比数列.〔5〕数列为等比数 列,每隔项取出一项仍为等比数列〔6〕如果是各项均为正数的等 比数列,那么数列是等差数列〔7〕假设为等比数列,那么数列,,,成 等比数列(8)假设为等比数列,那么数列,,成等比数列(9)①当 时,②当时,③当时,该数列为常数列(此时数列也为等差数 列)；④当时,该数列为摆动数列、(10)在等比数列中,当

项数 为时,二

例题解析

【例1】

Sn是数列｛an｝的前n项和,Sn=pn(p£R, n£N*),那 么数列｛an｝、()

A、是等比数列

B、当pWO时是等比数列

B、

C、当pWO, pWl时是等比数列

D、不是等比数列

【例2】

等比数列1, xl, x2,…,x2n, 2,求xlx2x3…x2n、

式；(2) a3a4a5 = 8,求 a2a3a4a5a6 的值、

【例4】

设 a、b、c、d 成等比数列,求证：(b —c)2+(c —a)2+(d —

6.3.1 等比数列的定义

教学目的：

1．正确理解等比数列的定义；明确1nnaqa(不为零的常数)的意义；

2．培养学生的观察能力、归纳能力和解决问题的能力.

教学重点：等比数列的定义.

教学难点：定义的理解．

授课类型：新授课.

课时安排：1课时.

教学设计：

本节的主要内容是等比数列的定义，等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．

等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:qaann1(常数).

例1是基础题目，有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：1a，q，n，na，只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意：例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.

从例4可以看到，若三个数成等比数列，则将这三个数设成是aq，a，aq比较好，因为这样设了以后，这三个数的积正好等于3a，很容易将a求出.

教学过程：

一、创设情境、兴趣导入：

观察

1. 将一张纸连续对折5次，列出每次对折纸的层数.

第1次对折后纸的层数为1×2=2（层）；第2次对折后纸的层数为2×2=4（层）；

第3次对折后纸的层数为4×2=8（层）；第4次对折后纸的层数为8×2=16（层）； 第5次对折后纸的层数为16×2=32（层）.

各次对折后纸的层数组成数列 2，,4，8，16，32.

不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其前一项的2倍，即从第2项开始，每一项与它的前一项的比都等于2．

2. 某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在今后的5年内，每年的产值都比上一年增加10%，那么今年及以后5年的产值构成下面的一个数列（单位：万元）：

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式

知识点一 等比数列的概念

(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．

(2)符号语言：an＋1an＝q(q为常数，n∈N*)

【重点总结】

(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．

(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．

(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．

要点二 等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

【重点总结】

(1)若G是a与b的等比中项，则Ga＝bG，所以G2＝ab，G＝±ab.

(2)与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝a＋b2”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab与－ab；当a，b异号时没有等比中项．

(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．

要点三 等比数列的通项公式

设等比数列{an}的公比为q，则这个等比数列的通项公式是an＝11naq (a1，q≠0且n∈N*)．

【重点总结】

(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．

(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．

(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．

【基础自测】